正弦量的向量表示法

试求总电流 i 。
本题可用几种方法求解计算 1. 用三角函数式求解
i i1 i2 2 I1 sin( t 1 ) 2 I 2 sin( t 2 ) ......
2001-02-10 南京航空航天大学
解法2. 用正弦波求解
i
129sin (t＋18.3)
0
60sin (t–30)
③ 旋转因子 ejt 反映了另一要素t。
2001-02-10 南京航空航天大学

例1：
u 200 2 sin(314t 20 )V
其相量形式：

U m 200 220V

U 200 20 V 200 e j 20V
但不能写成：
u 200 2 sin(314t 20) 200 220 200 2e j 20
例2： 已知
解：
f 1000Hz, I 0.530 A,

求i。
2f 6280 rad / s
i 0.5 2 sin( 6280t 30) A
2001-02-10 南京航空航天大学
五、相量图
按照各个正弦量的大小和相位关系用初始位置的 有向线段画出的若干个相量的图形，称为相量图。 在相量图上能形象地看出各个正弦量的大小和 相互的相位关系。



j
e
j ( )
B Ae
j 90
e
j ( 90 )
jA

e j 90 cos90 j sin 90 j
2001-02-10 南京航空航天大学
C Ae



j 90
e
j 90
j ( 90 )
jA
180

i 129sin(t 1820) A
2001-02-10
南京航空航天大学
③ 正弦量的复数表示法
复数简介
一、复数的几种表示形式 1. 代数形式（直角坐标形式）
A a jb
j 1
a 称为实部
b称为虚部
2001-02-10

均为实数，复矢量 在实、虚轴的投影
南京航空航天大学
2. 三角形式
则
A a jb cos j sin
与代数形式的关系
a cos a 2 b 2 或 b b sin arctg a
2001-02-10
南京航空航天大学
3. 指数形式 由欧拉公式：
e
j
cos j sin
i2 I 2m sin(t 2 ) 60sin(t 30) A
i1
试求总电流 i 。
解 用 三 角 函 数 式 求 解
i i1 i2 I 1m sin(t 1 ) I 2 m sin(t 2 ) I 1m (sin t cos 1 cost sin 1 ) I 2 m (sin t cos 2 cost sin 2 ) ( I 1m cos 1 I 2 m cos 2 ) sin t ( I 1m sin 1 I 2 m sin 2 ) cost
D Ae

e
j 90
Ae
A

e180 cos180 j sin180 1
2001-02-10
南京航空航天大学
例：已知
i1 2I1 sin( t 1 ) A
i2 2I 2 sin( t 2 ) A
求
解：
i i1 i2
jt i i1 i2 I m 2 I 1 e I m 2 I 2 e jt
求： i i1 i2
解： I I 1 I 2 70.745 42.4 30

(50 j50) (36.7 j 21.1)
86.7 j 28.8 91.418.4
i 91.4 2 sin( t 18.4) A
亦可用相量图定性分析
A B = 1 2 ( 1 + 2 )
2001-02-10 南京航空航天大学
B=a2+jb2= 22
三、旋转矢量 设
A A
e
jt
1t
——称为旋转因子（ ejt ）
则Ae jt
表示将A逆时针旋转一角度t
故称 A e jt 为旋转矢量。
2001-02-10
Um
u U m sin( t )V
b t t a
P

1
0

0 t
t
Um
u
OP=Um cos (t+) + j Um sin(t+)
= Um e j(t+)
2001-02-10
= Um t +
南京航空航天大学
四、利用向量表示正弦交流量
设正弦电压
u U m sin(t u )
t
100sin (t+45)
2001-02-10
南京航空航天大学
解法3. 用相量图求解
45° 18.3° 30°
解法4. 用相量（复数）求解
2001-02-10 南京航空航天大学
例： i1 70.7 2 sin( t 45) A i2 42.4 2 sin( t 30) A
Ume
j ( t u )
Um cos(t u ) jUm sin(t u )
很明显，上式的虚部恰好是 u，即
u I m U me
2001-02-10

j (t u )
U
m
sin(t u )
南京航空航天大学
u I m U m e j (t u ) I m U m e j u e jt jt I m U m e
i1 i2
求
i i1 i2 2 I1 sin( t 1 ) 2 I 2 sin( t 2 ) ......
2001-02-10
南京航空航天大学
例题 分析
• 对如图电路，设
i i2
i1 I1m sin(t 1 ) 100sin(t 45) A
i i2
因此，总电流 i 的幅值为
I m (I1m cos 1 I 2m cos 2 ) (I1m sin 1 I 2m sin 2
总电流 i 的初相位为

2
i1
1 2 2 )

I1m sin 1 I 2m sin 2 arctg ( ) I1m cos 1 I 2m cos 2
南京航空航天大学
正弦量的旋转矢量表示
Um
P1
a1 a2
+j
t
P0 t 0
Um
u U m sin( t )V
b b1
t 2
t1
0
P1
a
+1

0 t1
t 2
t
P2
b2
Um
P2
2001-02-10
南京航空航天大学
※旋转矢量与瞬时值之间的关系
Um
P
j
P0 t 0
例：
i I m sin(t i ) A
u Um sin(t u ) V
U U u V
I Ii A
2001-02-10 南京航空航天大学


注意 不同频率的正弦量，不能在在同一张图上用相量表示。
六、相量运算
设： A e j

则
B Ae
当 90时
复数 A (cos j sin ) e j
4. 极坐标形式
A
2001-02-10
南京航空航天大学
二、复数运算
加、减宜用代数形式 例：A=a1+jb1 B=a2+jb2
A B = (a1 a2) + j(b1 b2)
乘、除宜用极坐标形式 例： A=a1+jb1=11
2001-02-10 南京航空航天大学
jt
i Im 2 I e
I 2 ( I 1 I 2 )e jt m

可见，两个同频率正弦量相加仍为同频率的正弦量
2001-02-10
南京航空航天大学
令：
i I m 2 I e j t
j t 则有： I m 2 I e I m （ 2 I1 I 2 )e j t
2001-02-10 南京航空航天大学
两个同频率正弦量相加仍得到一个正弦量，设此正弦量为
i I m sin( t ) I m cos sin t I m sin cos t
则
I m cos I1m cos 1 I 2m cos 2 I m sin I1m sin 1 I 2m sin 2
但对于分析线性电路来说，电路中电压、电流都是和电源同频率的正弦量。

注意：① 幅值相量正弦量，它们存在一定得对应关系。
U m U me

j u
U mu u U m sin(t u )
② 幅值相量反映了振幅和初相位的两个要素。
U m U m e ju U m u
上式对任何t 均成立
I 3 I1 I 2
同理 若i3 i1 i2
2001-02-10



对应有 I 3 I 1 I 2
南京航空航天大学



例题 分析
• 对如图电路，设
i i2 i1
i1 I1m sin(t 1 ) 100sin(t 45) A
i2 I 2m sin(t 2 ) 60sin(t 30) A
式中 ①





Im [ ] 为取“虚部”的运算符。
U m U m e ju U m u
称为正弦量 u 的“幅值相量” 同样有： U U Ue j

（最大值相量） 有效值相量
2001-02-10
南京ห้องสมุดไป่ตู้空航天大学
相量 U m 正好体现了正弦量的量特征：初相、幅值，而没能体现t。
南京航空航天大学
2001-02-10
由此，代入数据I m1=100A, I m2=60A, 1=45, 2= –30 则：
Im (70.7 52) 2 (70.7 30) 2 122.7 2 40.7 2
129A
70.7 30 arctg ( ) 1820 70.7 52
§3-2 正弦量的向量表示法
正弦量的常见表示方法 ① 三角函数表示法： ② 正弦波形图示法:
u U m sin( t )
u
+ _

2001-02-10 南京航空航天大学
0
t
例：已知
i1 2I1 sin( t 1 ) A
i i1 i2
i
i2 2I 2 sin( t 2 ) A