基本物理量(基本坐标)之间的洛伦兹变换

狭义相对论：一种起源于非平衡态熵的不完备理论段旭（河南省大河基础工程公司，郑州450052）1、熵的动力学理论为了写出熵的动力学方程，我们需要利用熵力的概念，以及安鲁公式。

熵力[1]，作为自由能的梯度，是一种真实的自然力，它由系统的熵变来驱动。

熵力的表达式如下：TdS Fdx = (1)式中 T 和 S 分别代表系统的温度和熵，F 为熵力，x 为空间坐标。

量子场论中的安鲁定律[1] 可由(2)式表示：1a kT 2cπ= (2)这里 T 表示安鲁温度，a 为加速度。

k , 和 c 分别为玻尔兹曼常数，约化普朗克常数和真空光速。

现在我们开始推导熵的动力学方程。

依据(2)式，有11kT Ma = 2c 2cM F ππ⋅=2c c kT = 2M F π⋅2c c kTd = d 2M R F R π⋅⋅⋅ (3)凭借(1)式， (3)式变为：2cc kTd = d 2M R T S π⋅⋅于是()2k dS 2c cM dR π= (4) (4)式的积分形式可写为：()2k S 2c cM R π∆= (5) 此外我们引进逃逸速度e v 来表征引力势的大小， RGMv e 2=。

不难发现对于一个普通物体（也包括黑洞），内能U 、视界R 和逃逸速度e v 满足如下关系：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22e p p 2x R E U c v (6) P x 称为普朗克尺度，3c G x P =, P E 称为普朗克能量，Gc E P 5=, 2c M U =, G 为万有引力常数。

考虑到(6)式，(5)可改写为：p222222p k S 2= 2k c x 22= 2x 2p e p e U RU R E v U c R k k E v c ππππ∆=⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(7)若c v e =, 一个普通物体就变为史瓦西黑洞，其视界R 和内能U 满足：pp x R21E U =所以223BH S p R R c k k x G ππ⎛⎫∆== ⎪ ⎪⎝⎭(8) (8)式正是贝肯斯坦黑洞熵[2]的表达式。

2、熵-速度关系的数学原理（熵的热力学理论）玻尔兹曼首先将概率思想与熵联系起来，参照文献[3] ，熵可以用概率分布的密度函数精确定义如下：dx x x k N )(ln )(S 0defϕϕ⎰+∞∞--= (9)当且仅当)(x ϕ表示指数分布的概率密度函数，并且满足下列归一化条件：1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ这里 0N 为物体所含有的微粒数，也可看作自由度数（bits 数），k 为玻尔兹曼常数。

令)(x ϕ服从玻尔兹曼能量分布[4]，即1exp[]000(){UU kT kT U U ϕ-≥=这里假定温度T 为常数，我们对能量 U 进行积分。

注意到对数的运算需要无量纲量，我们选取任意的能量 *U 来消去能量的量纲。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=**∞+***∞+**∞++∞∞-⎰⎰⎰⎰T U k N U U d T U U T k N U U d T U T U k N dU U T TU T k N dxx x k N T U T UT Uk ln 1e k k ln k e k k ln k e k 1)(ln )(S 00k -00k -00k -00ϕϕ 上面的计算适用于一般情形下（非平衡态）的熵。

熵增加原理指出：系统自发地从非平衡态向平衡态演化，同时熵值自发地增大，直至达到平衡态时对应的最大值。

系统在处于平衡态时，熵取得最大值，并且是量子化的，其熵值为k 0N 。

因0S ≥0k ln 1≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-*T U又因为00max k S S S N ==≤所以1k ln 0≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤*T U这里 *U 和 T 可取任意非负值, 我们令21U U k ln =⎪⎭⎫ ⎝⎛*T U ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤1U U 0211U 和 2U 具有能量的量纲。

考虑到c v 0≤≤，最简单的方法是指定21mv U =; 22mc U =⎭⎬⎫⎩⎨⎧=*22c v exp k T U 于是有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=220220c v -1c v -1k S S N (10) 同理可得熵变-速度的关系式⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆=∆220c v -1S S (11) 下标 0 对应于静态 (0v =)（或称平衡态）。

洛伦兹因子中的v 反映了一个物体或粒子偏离平衡态（即处于非平衡态）的程度。

式(11)引出的也就是所谓的相对论热力学，许多国内外学者在这方面也做过研究，比如讨论关于温度T 与速度的关系，但是结论比较混乱。

或许我们把精力过多地集中到相对论动力学上，而一直忽视了热力学。

熵恰好在热力学和动力学之间搭起了一座桥。

另据文献记载，爱因斯坦本人也曾提出过关于熵和微粒数的洛伦兹关系式：0S S = 0N N =却是作为假定直接猜出的，有些想当然的色彩，正确与否值得商榷。

3、非平衡态熵中隐含的熵-速度关系（另一种推导方法）在非平衡态热力学中，我们知道熵产生可写为：0S S 0i d dS d =-≥并且有：Si k k kd J X dt =∑ k J 称为广义驱动力, k X 称为广义流。

广义力与流总是呈线性关系：k k k J L X =k L 称为唯象系数。

动力学中的流实际上就是运动速度：22Si d LX Lv dt== 运用量纲分析法，可得出20S c d L dt= 于是得出相同的结论2200S S11i d d v dt dt dS dS c dt dt=-=-202S 1v d dS c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭第三种思路来源于李淼老师介绍Erik Verlinde 的报告。

不难证明：202cN S Φ-=∆k 0N 为静态时的微粒数（或bits 数），Φ为牛顿势，221v -=Φ 且 12c02≤Φ-≤所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∆220c v S k N由于熵变为平衡态熵与非平衡态熵之差：S k N S S -=-=∆00S所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=220220c v -1c v -1S S k N这个方程构成了狭义相对论的基础，再利用方程的协变性，我们可以简便的导出所有其它的关系式。

4、物理学方程的洛伦兹协变性洛伦兹协变性是所有物理学方程必须满足的基本要求。

即 A B C 是三个物理量，若 ()B A ,f C =成立，则()000B ,f C A =也成立，方程形式保持不变。

例如①：霍金的黑洞质量与温度的关系kT E E Mc pp 2= 0pp 20kT E E c M =例如②：库仑定律22Rq K F =2020R q K F =方程中包含的基本物理量下标全部添加0后依然成立，也就是说物理方程在静态（下标为0）与非静态时皆成立。

这就在物理量的静态（平衡态）、非静态（非平衡态）之间建立了联系。

这一原理简单实用，是检验相对论的各种关系式是否完全正确的金标准。

接下来将会看到5个基本物理量随速度的变化可以简便地由熵-速关系推出，包括空间间隔R , 时间间隔 t ∆, 微粒数 N , 宏观质量 M , 微观质量 m , 温度 T 。

5、基本物理量与速度的关系（相对论的平行理论）5.1关于空间间隔v -R 、时间间隔v -t ∆先假设速度与洛伦兹因子无关（下一节可以证明）, 即00dR dR v dt dt ==依据 (7) 和 (11)222022p vS S 1-2cx 2e v R k c π⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=∆= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22002p S 2x 2e R v k c π⎛⎫⎛⎫∆= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭空间-速度关系便可以确定如下：220cv -1 R R = (12)推导时间-速度关系最简单的方法是基于闵可夫斯基时空关系：t c ∆=R同时方程的协变性要求：00t c ∆=R故有220cv -1t t ∆=∆ (13)5.2关于微粒数（bits 数）N v - 上面已经提到k N 00S =按照洛伦兹协变的要求, 有：Nk =S所以由式（10）得到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=220c v -1 N N (14)还有一种推导方法如下： 按照量子全息原理，G c R G Ac N 3234 π== G c R N 3204 π=由式（12）可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=220c v -1 N N两种方法是一致的。

5.3关于宏观质量v -M 同样依照 (7) 和 (11)222022v2S S 1-2cp e U c k E v π⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=∆= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 220022S 2p e U c k E v π⎛⎫⎛⎫∆= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到220cv -1 U U = (15)进一步得到220cv -1M M = (16)推导方法还有很多，但都大同小异，例如： 从能量均分原则出发⎰=S TdN 21M⎰=SdN T 00021M由式（14）和（18）同样得到式（16）220cv -1M M =5.4关于微观质量v -m质量—速度关系应分为两类区分对待。

宏观质量指的是宏观物体的质量, 而微观质量指的是单一微观粒子的质量。

显然宏观质量 M 与微观质量 m 满足：m M N =000m M N =于是由 (16) 和 (14), 就能得到：22c v -1 (17)也可以从德布罗意公式推出上述关系：（微观粒子服从德布罗意公式）=λmv=00v m λ根据式（12），同样可得（17）220cv -1m m = 由此可见①不论哪种方法都离不开物理方程的协变性这一基础；②各种方法得出的结论都相互一致，不矛盾。

可以帮助我们检验结论的正确性。

特别应该指出的是，宏观物体与微观粒子遵循截然不同的质-速关系，有必要区分宏观质量与微观质量。

宏观物体的运动质量随速度的增大而减小，相反微观粒子的运动质量随速度的增大而增大。

这个看似矛盾的结论一直以来被我们所忽视。

5.5 关于温度v -T热力学方程同样满足协变性：T 21U Nk = 000T 21U k N = 由 (14) 和 (15), 可得：22c v -1 (18)6、狭义相对论的本质——熵定律在动力学中的体现总之，我们尝试性地采用了一种全新的方法（结合熵与协变性）来重构相对论，完全不同于爱因斯坦所采用的洛仑兹变换的途径。

相对论中的一些核心概念并不是必须的, 例如“洛仑兹变换”， “惯性参照系”, 以及“同时性的相对性”。

似乎有必要重新思考爱因斯坦提出的时空理论。

我们认为狭义相对论本质上反映了运动的非平衡态(v 0≠)与平衡态(0v =)之间的一种固有属性，这种属性内禀起源于非平衡态与平衡态熵之间的联系。