基本物理量(基本坐标)之间的洛伦兹变换

狭义相对论：一种起源于非平衡态熵的不完备理论

段旭

（河南省大河基础工程公司，郑州450052）

1、熵的动力学理论

为了写出熵的动力学方程，我们需要利用熵力的概念，以及安鲁公式。 熵力[1]，作为自由能的梯度，是一种真实的自然力，它由系统的熵变来驱动。熵力的表达式如下：

TdS Fdx = (1)

式中 T 和 S 分别代表系统的温度和熵，F 为熵力，x 为空间坐标。

量子场论中的安鲁定律[1] 可由(2)式表示：

1a kT 2c

π= (2)

这里 T 表示安鲁温度，a 为加速度。 k , 和 c 分别为玻尔兹曼常数，约化普朗克常数和真空光速。

现在我们开始推导熵的动力学方程。依据(2)式，有

11

kT Ma = 2c 2c

M F ππ⋅=

2

c c kT = 2M F π⋅

2

c c kT

d = d 2M R F R π

⋅⋅⋅ (3)

凭借(1)式， (3)式变为：

2

c

c kT

d = d 2M R T S π

⋅⋅

于是

()2

k dS 2c c

M dR π= (4) (4)式的积分形式可写为：

()2

k S 2c c

M R π∆= (5) 此外我们引进逃逸速度e v 来表征引力势的大小， R

GM

v e 2=。不难发现对于

一个普通物体（也包括黑洞），内能U 、视界R 和逃逸速度e v 满足如下关系：

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=22

e p p 2x R E U c v (6) P x 称为普朗克尺度，3c G x P =, P E 称为普朗克能量，G

c E P 5

=, 2

c M U =, G 为

万有引力常数。

考虑到(6)式，(5)可改写为：

p

22

22

22p k S 2= 2k c x 22= 2x 2p e p e U R

U R E v U c R k k E v c ππππ∆=⋅⋅⋅

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

(7)

若

c v e =, 一个普通物体就变为史瓦西黑洞，其视界R 和内能U 满足：

p

p x R

21E U =

所以

2

23

BH S p R R c k k x G ππ⎛⎫∆== ⎪ ⎪⎝

⎭

(8) (8)式正是贝肯斯坦黑洞熵[2]的表达式。

2、熵-速度关系的数学原理（熵的热力学理论）

玻尔兹曼首先将概率思想与熵联系起来，参照文献[3] ，熵可以用概率分布的密度函数精确定义如下：

dx x x k N )(ln )(S 0def

ϕϕ⎰+∞

∞

--= (9)

当且仅当)(x ϕ表示指数分布的概率密度函数，并且满足下列归一化条件：

1

)(=⎰+∞

∞

-dx x ϕ

这里 0N 为物体所含有的微粒数，也可看作自由度数（bits 数），k 为玻尔兹曼常数。

令)(x ϕ服从玻尔兹曼能量分布[4]，即

1exp[]00

0(){

U

U kT kT U U ϕ-≥

=

这里假定温度T 为常数，我们对能量 U 进行积分。注意到对数的运算需要无量纲量，我们选取任意的能量 *U 来消去能量的量纲。

⎥

⎦⎤

⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=**∞

+***∞

+**∞

++∞

∞

-⎰⎰⎰⎰T U k N U U d T U U T k N U U d T U T U k N dU U T T

U T k N dx

x x k N T U T U

T U

k ln 1e k k ln k e k k ln k e k 1)(ln )(S 00k -00k -00k -00ϕϕ 上面的计算适用于一般情形下（非平衡态）的熵。熵增加原理指出：系统自发

地从非平衡态向平衡态演化，同时熵值自发地增大，直至达到平衡态时对应的最大值。系统在处于平衡态时，熵取得最大值，并且是量子化的，其熵值为k 0N 。

因

0S ≥

0k ln 1≥⎪⎭

⎫ ⎝⎛-*T U

又因为

00max k S S S N ==≤

所以

1k ln 0≤⎪⎭

⎫ ⎝⎛≤*T U

这里 *U 和 T 可取任意非负值, 我们令

21

U U k ln =⎪⎭⎫ ⎝⎛*T U ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛≤≤1U U 021

1U 和 2U 具有能量的量纲。

考虑到

c v 0≤≤，最简单的方法是指定

21mv U =; 22mc U =

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=*

22c v exp k T U 于是有

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=220220c v -1c v -1k S S N (10) 同理可得熵变-速度的关系式