绘制样条曲线PPT课件
合集下载
第三节 B-样条曲线
2012-3-5 6
关于递推定义的系数
t − ti ti + k − t N i ,k +1 (t ) = N i ,k (t ) + N i +1,k (t )，i = 0,1,..., n ti + k −1 − ti ti + k − ti +1
ti ti
ti+1 ti+1 ti+1
t
t t
N i ,k −1 (t ) N i +1,k −1 (t ) N 'i ,k (t ) = (k − 1) − ti + k −1 − ti ti + k − ti +1
N i ,k (t )在l重节点处至少为k −1 − l次参数连续。
2012-3-5
28
问题：3阶B样条曲线生成
N i ,k (t )在区间[ti , ti + k ]上有定义，称后者为前者的支撑区间。
2012-3-5 20
3阶B-样条基函数图形
N i ,3 (t )
N i ,3 (t )的图形
2012-3-5
21
3阶B样条曲线示例
t2
T=[t0,t1,…,tn+1,tn+2,tn+3]
2012-3-5
t n +1
16
2012-3-5
续前页：
当t ∈ [ti , ti +1 )时： t − ti N i ,3 (t ) = N i , 2 (t ) tii+ 2 − ti +
t − ti t − ti ti + 2 − t = ( N i ,1 (t ) + N i +1,1 (t )) ti + 2 − ti ti +1 − ti ti + 2 − ti +1
关于递推定义的系数
t − ti ti + k − t N i ,k +1 (t ) = N i ,k (t ) + N i +1,k (t )，i = 0,1,..., n ti + k −1 − ti ti + k − ti +1
ti ti
ti+1 ti+1 ti+1
t
t t
N i ,k −1 (t ) N i +1,k −1 (t ) N 'i ,k (t ) = (k − 1) − ti + k −1 − ti ti + k − ti +1
N i ,k (t )在l重节点处至少为k −1 − l次参数连续。
2012-3-5
28
问题：3阶B样条曲线生成
N i ,k (t )在区间[ti , ti + k ]上有定义，称后者为前者的支撑区间。
2012-3-5 20
3阶B-样条基函数图形
N i ,3 (t )
N i ,3 (t )的图形
2012-3-5
21
3阶B样条曲线示例
t2
T=[t0,t1,…,tn+1,tn+2,tn+3]
2012-3-5
t n +1
16
2012-3-5
续前页：
当t ∈ [ti , ti +1 )时： t − ti N i ,3 (t ) = N i , 2 (t ) tii+ 2 − ti +
t − ti t − ti ti + 2 − t = ( N i ,1 (t ) + N i +1,1 (t )) ti + 2 − ti ti +1 − ti ti + 2 − ti +1
4.参数样条曲线
k 1
si [0,1]
s0 0 i s Pk Pk 1 / s i k 1
1.1 大 挠 度 问 题
• 所谓大挠度，即曲线斜 率存在大于1的情况。
三次样条的力学模型注定了 它不能解决大挠度问题
1 y 3 2 2 ρ( x ) (1 y ) M(x) y 1, y EJ
(2) (2) (1) (1) r '(0) r ''(0) r '(1) r ''(1) 3 3 (2) (1) r '(0) r '(1)
Ferguson曲线段的合成
ri-1
ri
ri+1
rn
r0
( 1 ) ( 1 ) (1) (1) 6r (0) 6r (1) 2r (0) 4r (1) ( 2 ) ( 2 ) (2) (2) 6r (0) 6r (1) 4r (0) 2r (1) 记 ri ti，有
C Pt
Ferguson曲线段的合成
• 切向连续
( 2) r (0 ) α2 ( 1) r (1) α1
(1) r (1) α1T ( 2) r (0 ) α2T
Ferguson曲线段的合成
• 曲率连续
(1) ( 2) r (1) r (0 ) ( 2) (1) r (1) r (0 ) r (1)(1) r ( 2 )(0 )
参数样条曲线
主要内容
1 累加弦长参数化方法 2 Ferguson曲线 3曲线曲面应用示例
问题的提出
si [0,1]
s0 0 i s Pk Pk 1 / s i k 1
1.1 大 挠 度 问 题
• 所谓大挠度，即曲线斜 率存在大于1的情况。
三次样条的力学模型注定了 它不能解决大挠度问题
1 y 3 2 2 ρ( x ) (1 y ) M(x) y 1, y EJ
(2) (2) (1) (1) r '(0) r ''(0) r '(1) r ''(1) 3 3 (2) (1) r '(0) r '(1)
Ferguson曲线段的合成
ri-1
ri
ri+1
rn
r0
( 1 ) ( 1 ) (1) (1) 6r (0) 6r (1) 2r (0) 4r (1) ( 2 ) ( 2 ) (2) (2) 6r (0) 6r (1) 4r (0) 2r (1) 记 ri ti，有
C Pt
Ferguson曲线段的合成
• 切向连续
( 2) r (0 ) α2 ( 1) r (1) α1
(1) r (1) α1T ( 2) r (0 ) α2T
Ferguson曲线段的合成
• 曲率连续
(1) ( 2) r (1) r (0 ) ( 2) (1) r (1) r (0 ) r (1)(1) r ( 2 )(0 )
参数样条曲线
主要内容
1 累加弦长参数化方法 2 Ferguson曲线 3曲线曲面应用示例
问题的提出
三次B样条曲线ppt课件
三次B 样条曲线示例
数字图像处理
10
B 样条曲线示例
三次B 样条曲线示例
数字图像处理
11
B 样条曲线示例
四次B 样条曲线示例
数字图像处理
12
B 样条曲线示例
五次B 样条曲线示例
数字图像处理
13
2.2 B 样条曲线基函数的性质
B样条函数基函数为：
Gi,n (t)
1 n!
ni j 0
P
0,3(0)
P
0,3(1)
P"0,
3
(0)
1 2 ( P2 P0 ),
1 2
( P3
P1 ),
P2 2P1 P0
,
P"0,3 (1) P3 2P2 P1,
数字图像处理
29
三次B样条曲线
三次B样条曲线的顶点位置和顶点切矢
P1
P2
P0
P3
数字图像处理
三次B 样条曲线的基函数
四次B 样条曲线的基函数
数字图像处理
16
2.3 B 样条曲线的性质
1. 局部性
根据定义式可知，第 k 段n次B样条曲线只与 n+1 个 顶点Pi(i=0，1，…，n)有关，因此，当改动其中一个 控制顶点时，只会对相邻的n+1段产生影响，不会对
整条曲线(当 m＞＞ n)产生影响。这就为设计曲线时修
28
三次B样条曲线
性质1：端点位置
P0,3
(0)
1 6
( P0 4 P1 P2 )
1 3
P0
2
绘制样条曲线
指定第一个点或 [对象(O)]:
//指定样条曲线的起点
当前点模式: PDMODE=0 PDSIZE=0.
笛卡尔坐标系有3个轴，即X轴、Y轴和Z轴。
(2)指定起点、圆心以及另一参数方式 ：圆弧的起点和圆心决定了圆弧所在的圆，第3个参数可以是圆弧的端点（中止点）、角度（即
起点到终点的圆弧角度）和长度（圆弧的弦长）.
在该对话框中，“当前多线样式”显示当前正在使用的多线样式，“样式”列表框显示已经创建好的多线样式，“预览”框显示当前
选中的多线样式的形状，“说明”文本框为当前多线样式附加的说明和描述。
中心点、一条轴端点和另一条轴半径：这种方式需要依次指定椭圆的中心点、一条轴的端点以及另外一条轴的半径。
REVCLOUD命令用于创建由连续圆弧组成的多段线，以构成修订云线对象。
当前设置: 对正 = 上，比例 = 20.
指定起点切向:
//指定样条曲线起点的切线方向
用户可以通过选择“绘图”GON来执行正多边形命令。
通过指定不同的中心点，可以继续创建具有相同直径的多个副本。
REVCLOUD命令用于创建由连续圆弧组成的多段线，以构成修订云线对象。
“偏移（O）”方式可以创建平行于一条基线一定距离的构造线。
0000>: 80 //输入圆环的外径值
指定下一点或 [闭合(C)/放弃(U)]:
//指定下一点、闭合或取消
指定圆的半径: //输入圆半径
指定第一个角点或[倒角(C)/标高(E)/圆角(F)/厚度(T)/宽度(W)]://指定矩形的第一个角点坐标
当前设置: 对正 = 上，比例 = 20.
二、绘制点 画笔(P)/退出(X)/结束(Q)/记录(R)/删除(E)/连接(C) //绘制图形及选择选项
样条函数及三次样条插值PPT课件
(x)
lim
x xk
Sk 1( x)
lim
x
x
k
Sk (x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
k 1,2,,n 1
------(4)
lim
x
x
k
Sk( x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
共4n 2个条件
5
Sk (x)是[xk , xk 1 ]上的三次样条插值多项式,应有4个待定的系数 即要确定S(x)必须确定4n个待定的系数 少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件:
例. 使用不同的插值方法于函数
y
1
1 x2
x [5,5]
最后，介绍一个有用的结论
定理 . 设f (x) C 2[a,b], S(x)是以xk (k 0,1,, n)
为节点, 满足任意边界条件的三次样条插值函数，
设hi
xi 1
xi
,
h
max
0in1
hi
,
min
0in1
hi
,
则当 h
c 时
S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x)和f (x)
------(6)
13
由(11)式,可知
S0( x0
)
6( x0
x1 h03
2 x0
) ( y1
y0 )
6 x0
2 x0 h02
4 x1
m0
6 x0
4 x0 h02
2 x1
m1
6 h02
(
第六章 创建样条曲线
6.1.11 截面
截面是一种特殊类型的对象， 截面是一种特殊类型的对象，它可以通过自身的网格平面与其 他物体相交，然后生成相交平面形状。 他物体相交，然后生成相交平面形状。
【操作实例11】创建软管截面 操作实例 】 目标：掌握截面的创建方法，并熟练使用。 目标：掌握截面的创建方法，并熟练使用。
生成的截面图形
6.1.6 圆环
圆环效果图
【操作实例6】创建图环 操作实例 】 目标：掌握圆环的创建方法。 目标：掌握圆环的创建方法。
6.1.7 多边形
多边形效果图
【操作实例7】创建多边形 操作实例 】 目标：掌握多边形的创建方法。 目标：掌握多边形的创建方法。
6.1.8 星形
星形效果图
【操作实例8】创建星形 操作实例 】 目标：掌握星形的创建方法。 目标：掌握星形的创建方法。
创建样条曲线命令面板
6.1.1 线
角点： 能生成尖锐转角的不可调整的节点，并且角点的两侧产生直线。 角点： 能生成尖锐转角的不可调整的节点，并且角点的两侧产生直线。 平滑点： 能生成平滑连续曲线的不可调整的节点， 平滑点： 能生成平滑连续曲线的不可调整的节点，平滑点处的曲率是由相 邻节点的间距决定的。 邻节点的间距决定的。 Bezier点： 带有锁定连续切线控制柄的可调整的顶点，用于创建平滑曲线， 点 带有锁定连续切线控制柄的可调整的顶点，用于创建平滑曲线， 节点处的曲率由切线控制柄的方向和长短确定。 节点处的曲率由切线控制柄的方向和长短确定。 Bezier 角点： 带有不连续的切线控制柄的可调整的顶点，用于创建带有尖 角点： 带有不连续的切线控制柄的可调整的顶点， 锐转角的曲线，节点两侧的曲率可以不同， 锐转角的曲线，节点两侧的曲率可以不同，分别由两侧切线控制柄的方向和 长短确定。 长短确定。
非均匀有理B样条NURBS曲线课件
04 NURBS曲线的应用实例
工业设计中的NURBS曲线应用
汽车设计
在汽车设计中，NURBS曲线被 广泛应用于车身、车轮和座椅等 零部件的轮廓设计，以实现流畅
的曲线和完美的曲面。
航空航天
在航空航天领域，NURBS曲线 用于飞机和航天器的外形设计， 以满足空气动力学和结构强度的
要求。
电子产品
在消费电子产品设计中，NURBS 曲线用于创建具有现代感和时尚 感的外观，如手机、电视和笔记
几何建模
01
在计算几何中，NURBS曲线用于几何建模，以描述复杂的几何
形状和曲面。
计算机图形学
02
在计算机图形学中，NURBS曲线用于渲染和可视化复杂的几何
模型。
机器人学
03
在机器人学中，NURBS曲线用于路径规划和运动控制，以确保
机器人的平滑运动和精确位置。
05 NURBS曲线的优缺点分析
优点分析
本电脑等。
动画制作中的NURBS曲线应用
角色动画
在角色动画中，NURBS曲线用于创建角色的轮廓 和表情，以实现逼真的表情和动作。
场景建模
NURBS曲线用于场景建模，以创建具有复杂几何 形状的背景和道具。
特效制作
在特效制作中，NURBS曲线用于模拟自然现象， 如水流、火焰和烟雾等。
计算几何中的NURBS曲线应用
动画。
02 NURBS曲线的数学表示
参数化
参数化方法
参数化是将几何信息转化 为数学表达的过程，通过 参数化，可以将几何形状 表示为参数值的变化。
参数范围
参数化过程中需要确定参 数的范围，以确保曲线形 状的正确表示。
参数化精度
参数化的精度决定了曲线 表示的准确性和光滑度， 精度越高，曲线表示越精确。
三次样条曲线PPT课件
第17页/共43页
• Charles Hermite（1822－ 1901）
• 法国洛林（Lorraine ）
• 巴黎综合工科技术学院
• 曾任法兰西学院、巴黎高等师 范学校、巴黎大学教授。法兰 西科学院院士。
• 在函数论、高等代数、微分方 程等方面都有重要发现。 1858年利用椭圆函数首先得 出五次方程的解。1873年证 明了自然对数的底e的超越性。 在现代数学各分支中以他姓氏
f (x) 再用
计算插值，即
y* f (x*).
y y* • • 1
y0 •
• •
x0 x1 x*
xn
第8页/共43页
几种常用插值方法
分段线性插值：
收敛性良好 只用两个节点，且线性，简单实用 曲线不光滑
三次样条插值:(*)
曲线2阶光滑，收敛性有保证 实际中应用广泛 误差估计较难
B样条插值：
曲线光滑随B样条的次数增加而增加，收敛性有保证 实际中应用广泛 理论知识比较复杂，编程实现比较繁琐
第9页/共43页
两种插值方式的图例
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
n=10
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
分段线性插值
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
45Leabharlann 三次样条插值第10页/共43页
1.2 样 条 函 数 的 工程背 景
• Charles Hermite（1822－ 1901）
• 法国洛林（Lorraine ）
• 巴黎综合工科技术学院
• 曾任法兰西学院、巴黎高等师 范学校、巴黎大学教授。法兰 西科学院院士。
• 在函数论、高等代数、微分方 程等方面都有重要发现。 1858年利用椭圆函数首先得 出五次方程的解。1873年证 明了自然对数的底e的超越性。 在现代数学各分支中以他姓氏
f (x) 再用
计算插值，即
y* f (x*).
y y* • • 1
y0 •
• •
x0 x1 x*
xn
第8页/共43页
几种常用插值方法
分段线性插值：
收敛性良好 只用两个节点，且线性，简单实用 曲线不光滑
三次样条插值:(*)
曲线2阶光滑，收敛性有保证 实际中应用广泛 误差估计较难
B样条插值：
曲线光滑随B样条的次数增加而增加，收敛性有保证 实际中应用广泛 理论知识比较复杂，编程实现比较繁琐
第9页/共43页
两种插值方式的图例
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
n=10
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
分段线性插值
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
45Leabharlann 三次样条插值第10页/共43页
1.2 样 条 函 数 的 工程背 景
2_样条曲线
s PLM Software
样条曲线的创建
Spline Studio Spline Fit Spline Curve on Surface
第一种方法主要用于工程设计。 后三种方法简单易用，具有实时反馈的显示，非常适合于工业造型设计。
© 2007. Siemens Product Lifecycle Management Software Inc. All rights reserved
Page 9
Siemens PLM Software
Spline
过极点法（ 过极点法（By Poles） ） Spline不通过定义点，定义点作为Spline的控制点，该方法有助于 控制Spline曲线的整体形状，以避免不必要的波动。 过点法（ 过点法（Through Points） ） Spline精确通过每个定义点。 拟合法（ ） 拟合法（Fit） 使用指定公差将样条与其数据点相“拟合”；样条不必通过这些 点。三座标测量机采集的密集点，并用Fit方法构造Spline，往往能 Fit Spline 取得较好的结果。 垂直于平面（ 垂直于平面（Perpendicular to Planes） ） 样条通过并垂直于平面集中的各个平面。
© 2007. Siemens Product Lifecycle Management Software Inc. All rights reserved
Page 14
Siemens PLM Software
Studio Spline
在创建过程中，Spline会象橡皮筋一样在屏幕动态显示， 实时反馈Spline形状。 同时出现Infer Point工具条，提供更直观的点工具。 创建的Spline与定义点、定义切矢和曲率的几何体保持 全相关。 可与一曲线和一对象达到G3约束。 用同一个对话框来创建和编辑全相关的Spline。 Spline
样条曲线的创建
Spline Studio Spline Fit Spline Curve on Surface
第一种方法主要用于工程设计。 后三种方法简单易用，具有实时反馈的显示，非常适合于工业造型设计。
© 2007. Siemens Product Lifecycle Management Software Inc. All rights reserved
Page 9
Siemens PLM Software
Spline
过极点法（ 过极点法（By Poles） ） Spline不通过定义点，定义点作为Spline的控制点，该方法有助于 控制Spline曲线的整体形状，以避免不必要的波动。 过点法（ 过点法（Through Points） ） Spline精确通过每个定义点。 拟合法（ ） 拟合法（Fit） 使用指定公差将样条与其数据点相“拟合”；样条不必通过这些 点。三座标测量机采集的密集点，并用Fit方法构造Spline，往往能 Fit Spline 取得较好的结果。 垂直于平面（ 垂直于平面（Perpendicular to Planes） ） 样条通过并垂直于平面集中的各个平面。
© 2007. Siemens Product Lifecycle Management Software Inc. All rights reserved
Page 14
Siemens PLM Software
Studio Spline
在创建过程中，Spline会象橡皮筋一样在屏幕动态显示， 实时反馈Spline形状。 同时出现Infer Point工具条，提供更直观的点工具。 创建的Spline与定义点、定义切矢和曲率的几何体保持 全相关。 可与一曲线和一对象达到G3约束。 用同一个对话框来创建和编辑全相关的Spline。 Spline
抛物样条曲线课件
与其他几何曲线的结合
探索抛物样条曲线与其他几何曲线的结合方式，以获得更多具有创 新性的曲线形状。
抛物样条曲线未来的研究方向
1 2 3
几何形状的表示与建模 深入研究抛物样条曲线的表示与建模方法，以提 高其对于复杂几何形状的表达能力。
算法优化与加速 针对抛物样条曲线的计算和绘制算法进行优化和 加速，以提高其在实际应用中的效率。
形状调整与变形技术 研究抛物样条曲线的形状调整与变形技术，以实 现对其形状的动态控制和修改。
06
结论与参考文献
结论回顾
抛物样条曲线的定义
抛物样条曲线是一种数学曲线，其形状类似于抛物线，但具有更 复杂的弯曲和变化。
抛物样条曲线的性质
抛物样条曲线具有连续的弯曲和变化，并且在曲线的每个点处都 有一个对应的斜率。
数值计算软件
有些专用的数值计算软件，如Maple、Maxima等，也提供了内置的函数来绘 制抛物样条曲线。用户只需要输入曲线的参数和阶数，软件就会自动生成对应 的代码并绘制出曲线。
基于图形软件的绘制方法
Adobe Illustrator
Adobe Illustrator是一种专业的图形设计软件，广泛应用于矢量图形的制作。 用户可以在Illustrator中创建抛物样条曲线，通过调整控制点和阶数来达到所需 的效果。
抛物样条曲线的应用
抛物样条曲线可以用于描述和分析各种自然现象和工程问题，例 如物理学、生物学、经济学等。
参考文献
01
02
03
04
参考文献1
作者1，论文标题1，期刊名 称1，发表时间1。
参考文献2
作者2，论文标题2，期刊名 称2，发表时间2。
参考文献3
作者3，论文标题3，期刊名 称3，发表时间3。
探索抛物样条曲线与其他几何曲线的结合方式，以获得更多具有创 新性的曲线形状。
抛物样条曲线未来的研究方向
1 2 3
几何形状的表示与建模 深入研究抛物样条曲线的表示与建模方法，以提 高其对于复杂几何形状的表达能力。
算法优化与加速 针对抛物样条曲线的计算和绘制算法进行优化和 加速，以提高其在实际应用中的效率。
形状调整与变形技术 研究抛物样条曲线的形状调整与变形技术，以实 现对其形状的动态控制和修改。
06
结论与参考文献
结论回顾
抛物样条曲线的定义
抛物样条曲线是一种数学曲线，其形状类似于抛物线，但具有更 复杂的弯曲和变化。
抛物样条曲线的性质
抛物样条曲线具有连续的弯曲和变化，并且在曲线的每个点处都 有一个对应的斜率。
数值计算软件
有些专用的数值计算软件，如Maple、Maxima等，也提供了内置的函数来绘 制抛物样条曲线。用户只需要输入曲线的参数和阶数，软件就会自动生成对应 的代码并绘制出曲线。
基于图形软件的绘制方法
Adobe Illustrator
Adobe Illustrator是一种专业的图形设计软件，广泛应用于矢量图形的制作。 用户可以在Illustrator中创建抛物样条曲线，通过调整控制点和阶数来达到所需 的效果。
抛物样条曲线的应用
抛物样条曲线可以用于描述和分析各种自然现象和工程问题，例 如物理学、生物学、经济学等。
参考文献
01
02
03
04
参考文献1
作者1，论文标题1，期刊名 称1，发表时间1。
参考文献2
作者2，论文标题2，期刊名 称2，发表时间2。
参考文献3
作者3，论文标题3，期刊名 称3，发表时间3。
B样条曲线曲面解析课件
2 局部性：样条函数的定义区间是几段；移动控制点 Pi，曲线影响区间是什么；某一段曲线有几个控制点 定义；移动曲线上一点，曲线的哪些区间变化；
两端插值的标准节点矢量是什么；
2 de Boor求值算法推导：
n
j
P(t) Pi Ni,k (t) Pi Ni,k (t)
i0
i jk 1
i
j
j k
图3.1.28 B样条曲线的deBoor算
法的几何意义
3.3.4 节点插入算法
通过插入节点可以进一步改善B样条曲线的局部 性质，提高B样条曲线的形状控制的灵活性，可 以实现对曲线的分割等。
插入一个节点
在定义域某个节点区间 ti ,ti1 内插入一个节点t，得到
新的节点矢量：
T 1
重新编号成为
Pj1 Pj ,
Pj1 (1 j )Pj1 j Pj ,
Pj1 Pj1,
j 0,1,,i k 1 j i k 2,,i r j i r 1,, n 1
j
t tj t jk 1 t j
r 表示所插结点t在原始节点矢量T中的重复度。
Pik 1 Pik 2 Pik 3
de Boor-Cox递推定义
1 Ni,1(t) 0
ti x ti1 Otherwise
Ni,k (t)
t ti tik 1 ti
Ni,k1(t)
tik t tik ti1
Ni1,k 1(t)
并约定
0 0
0
t0, t1 ,, tk1, tk ,, tn , tn1,, tnk , t 几1 个问n题k
i0
t [tk1, tn1]
Ni,k (t)
k 1 tik 1 ti
两端插值的标准节点矢量是什么；
2 de Boor求值算法推导：
n
j
P(t) Pi Ni,k (t) Pi Ni,k (t)
i0
i jk 1
i
j
j k
图3.1.28 B样条曲线的deBoor算
法的几何意义
3.3.4 节点插入算法
通过插入节点可以进一步改善B样条曲线的局部 性质，提高B样条曲线的形状控制的灵活性，可 以实现对曲线的分割等。
插入一个节点
在定义域某个节点区间 ti ,ti1 内插入一个节点t，得到
新的节点矢量：
T 1
重新编号成为
Pj1 Pj ,
Pj1 (1 j )Pj1 j Pj ,
Pj1 Pj1,
j 0,1,,i k 1 j i k 2,,i r j i r 1,, n 1
j
t tj t jk 1 t j
r 表示所插结点t在原始节点矢量T中的重复度。
Pik 1 Pik 2 Pik 3
de Boor-Cox递推定义
1 Ni,1(t) 0
ti x ti1 Otherwise
Ni,k (t)
t ti tik 1 ti
Ni,k1(t)
tik t tik ti1
Ni1,k 1(t)
并约定
0 0
0
t0, t1 ,, tk1, tk ,, tn , tn1,, tnk , t 几1 个问n题k
i0
t [tk1, tn1]
Ni,k (t)
k 1 tik 1 ti
《电气制图与CAD》PPT课件 5.2.1样条曲线的绘制
样条曲线的绘制
选项说明：
（1）对象（O）：将二维或三维的二次或三次样条线拟合多段线转换为等价的样 条曲，然后（根据DELOBJ系统变量的设置）删除该多段线。 （2）闭合（C）：将最后一点定义与第一点一致，并使其在连接处相切，以闭 合样条曲线。选择该项，命令行提示如下。 指定切向：指定点或按<Enter>键。
样条曲线的绘制
例题2：按图a的局部视图波浪线绘制图b。
解：命令行提示 命令: SPLINE 指定第一个点或 [对象(O)]: <对象捕捉 开> 依次指定5个点，，连按三次确认键，退出命令，画出 上方一条波浪线。 重复命令，依次指定5个点，连按三次确认键，退出命 令，画出下方一条波浪线。 用图案填充命令画出剖面线。
样条曲线的绘制
例题1： 按图a的波浪线绘制图b。
解：命令行提示 命令: SPLINE 指定第一个点或 [对象(O)]:（如图2c所示5个夹点中的最上方点） 指定下一点: （依次指定第2个点，如图2c所示） 指定下一点或 [闭合(C)/拟合公差(F)] <起点切向>: （依次指定第3、4、5个点，如图2c所示） 指定下一点或 [闭合(C)/拟合公差(F)] <起点切向>（按确认键） 指定起点切向:（按确认键） 指定端点切向:（按确认键）
谢谢大
——样条曲线的绘制
山东商业职业技术学院
主讲：李军
目录
1
执行方式
2
操作步骤
3
选项说明
4
例题
样条曲线的绘制
在AutoCAD中使用的样条曲线为非一致有理B样条(NURBS)曲线，使 用NURBS曲线能够在控制点之间产生一条光滑的曲线。
样条曲线可用于绘制形状不规则的图形，如为地理信息系统(GIS)或汽 车设计绘制轮廓线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
笛卡尔坐标系有3个轴，即X轴、Y轴和Z轴。输入坐标值时，需要指 示沿X轴、Y轴和Z轴相对于坐标系原点（0，0，0）点的距离（以单位表 示）及其方向（正或负）。极坐标使用距离和角度定位点。例如，笛卡 尔坐标系中坐标为（0，10）的点，在极坐标系中的坐标为（10，/2）。 其中，10表示该点与原点的距离，/2表示原点到该点的直线与极轴所 成的角度。当然，在命令行中输入坐标时，实际的输入方式采用真实角 度表示，（10，/2）的极坐标表示为（10＜90）。
命令: _point
当前点模式: PDMODE=0 PDSIZE=0.0000
指定点: from
//通过相对坐标法确定点，都需要先输入from，按Enter键
基点:
//输入作为参考点的绝对坐标或者捕捉参考点，即A点
<偏移>:
//输入目标点相对于参考点的相对位置关系，即相对坐标，即B相对于A的坐标
中文版AutoCAD 2008电气设计
中文版AutoCAD 2008电气设计
清华大学出版社
四、绘制弧线型图形
1. 绘制圆弧
选择 “绘图”→“圆弧”菜单下的级联菜单命令，或单击“圆弧” 按钮，或在命令行中输入ARC，都可执行绘制圆弧命令。
(1)指定三点方式：ARC命令的默认方式，依次 指定3个不共线的点，绘制的圆弧为通过这3个点而 且起于第一个点止于第三个点的圆弧。
//指定矩形
的第二个角点坐标
命令行提示中的“标高”选项和“厚度”选项使用较少；“倒角” 选项用于设置矩形倒角的值，即从两个边上分别切去的长度，用于绘制 倒角矩形；“圆角”选项用于设置矩形4个圆角的半径，用于绘制圆角 矩形；“宽度”选项用于设置矩形的线宽。系统给用户提供了3种绘制 矩形的方法：一种是通过两个角点绘制矩形，这是默认方法；第二种是 通过角点和边长确定矩形；第三种是通过面积来确认矩形。
在AutoCAD制图中，点是最基本的因素，是组成图形的基本单位。 每个点都有自己的坐标，图形的绘制一般也是通过坐标对点进行精在图形中指定点，也可以 在命令行中直接输入坐标值。在AutoCAD中，坐标系主要分为笛卡尔坐 标系和极坐标，用户可以在指定坐标时任选一种使用
中文版AutoCAD 2008电气设计
二、绘制点
清华大学出版社
1. 设置点样式
选择“格式”→“点样式”命令，弹出如图2-1所示的“点样式” 对话框，在该对话框中可以设置点的表现形状和点大小，系统提供了20 种点的样式供用户选择。
中文版AutoCAD 2008电气设计
二、绘制点
清华大学出版社
2. 绘制点
中文版AutoCAD 2008电气设计
第2章 绘制基本图形
重点内容：
平面坐标系 绘制点 绘制直线型图形 绘制弧线型图形 绘制封闭图形
清华大学出版社
绘制多段线 绘制多线 绘制样条曲线 绘制修订云线 徒手画线
中文版AutoCAD 2008电气设计
一、平面坐标系
清华大学出版社
中的“构造线”按钮 ，或者在命令行中输入XLINE，都可以执行该命
令。
命令: _xline 指定点或 [水平(H)/垂直(V)/角度(A)/二等分(B)/偏移(O)]:
命令行给出了5种绘制构造线的方法，“水平（H）”和“垂直 （V）”方式能够创建一条经过指定点并且与当前UCS的X轴或Y轴平行的 构造线；“角度（A）”方式可以创建一条与参照线或水平轴成指定角 度，并经过指定一点的构造线；“二等分（B）”方式可以创建一条等 分某一角度的构造线；“偏移（O）”方式可以创建平行于一条基线一 定距离的构造线。
五、绘制封闭图形
1. 绘制矩形
选择“绘图”→“矩形”命令，或单击“矩形”按钮，或在命令行 中输入RECTANG来执行矩形命令。
命令: _rectang
指定第一个角点或[倒角(C)/标高(E)/圆角(F)/厚度(T)/宽度(W)]://指定矩
形的第一个角点坐标
指定另一个角点或 [面积(A)/尺寸(D)/旋转(R)]:
(2)指定起点、圆心以及另一参数方式 ：圆弧 的起点和圆心决定了圆弧所在的圆，第3个参数可 以是圆弧的端点（中止点）、角度（即起点到终点 的圆弧角度）和长度（圆弧的弦长）.
(3)指定起点、端点以及另一参数方式 ：圆弧 的起点和端点决定了圆弧圆心所在的直线，第3个 参数可以是圆弧的角度、圆弧在起点处的切线方向 和圆弧的半径。
选择“绘图”→“点”→“单点”命令，或在命令行中输入POINT 命令，或单击“绘图”工具栏中的“点”按钮，均可执行点绘制命令。 选择“绘图”→“点”→“多点”命令可以同时绘制多个点。
命令:_point 当前点模式: 指定点: 点的坐标
PDMODE=0
PDSIZE=0.0000
//系统提示信息 // 要 求 用 户 输 入
确定直线第一点
指定下一点或 [放弃(U)]: //通过其他方式确定直线第二点
中文版AutoCAD 2008电气设计
三、绘制直线型图形
清华大学出版社
2. 绘制构造线
向两个方向无限延伸的直线称为构造线，构造线可用作创建其他对
象的参照。在AutoCAD制图中，通常使用构造线配合其他编辑命令来进
行辅助绘图。选择“绘图”→“构造线”命令，或单击“绘图”工具栏
中文版AutoCAD 2008电气设计
清华大学出版社
四、绘制弧线型图形
2. 绘制椭圆弧
单击“绘图”工具栏的“椭圆弧”按钮，可以执行椭圆弧命令。椭 圆弧的绘制方法比较简单，与椭圆的绘制方法基本一致，只是在绘制椭 圆弧时要指定椭圆弧的起始角度和终止角度。
中文版AutoCAD 2008电气设计
清华大学出版社
清华大学出版社
三、绘制直线型图形
1. 绘制直线
直线是AutoCAD中最基本的图形，也是绘图过程中用得最多的图形。 用户可以绘制一系列连续的直线段，但每条直线段都是一个独立的对象。 单击“直线”按钮 ，或在命令行中输入LINE，都可执行该命令。
命令: _line
指定第一点:
//通过坐标方式或者光标拾取方式
用户输入点的时候，通常会遇到这样一种情况，即知道B点相对于A
点（已存在的点或者知道绝对坐标的点）的位置距离关系，却不知道B
的绝对坐标，这就没有办法通过绝对坐标或者“点”命令来直接绘制B
点，这个时候的B点可以通过相对坐标法来进行绘制。这种方法在绘制
二维平面图形中经常使用，以“点”命令为例，命令行提示如下。
命令: _point
当前点模式: PDMODE=0 PDSIZE=0.0000
指定点: from
//通过相对坐标法确定点，都需要先输入from，按Enter键
基点:
//输入作为参考点的绝对坐标或者捕捉参考点，即A点
<偏移>:
//输入目标点相对于参考点的相对位置关系，即相对坐标，即B相对于A的坐标
中文版AutoCAD 2008电气设计
中文版AutoCAD 2008电气设计
清华大学出版社
四、绘制弧线型图形
1. 绘制圆弧
选择 “绘图”→“圆弧”菜单下的级联菜单命令，或单击“圆弧” 按钮，或在命令行中输入ARC，都可执行绘制圆弧命令。
(1)指定三点方式：ARC命令的默认方式，依次 指定3个不共线的点，绘制的圆弧为通过这3个点而 且起于第一个点止于第三个点的圆弧。
//指定矩形
的第二个角点坐标
命令行提示中的“标高”选项和“厚度”选项使用较少；“倒角” 选项用于设置矩形倒角的值，即从两个边上分别切去的长度，用于绘制 倒角矩形；“圆角”选项用于设置矩形4个圆角的半径，用于绘制圆角 矩形；“宽度”选项用于设置矩形的线宽。系统给用户提供了3种绘制 矩形的方法：一种是通过两个角点绘制矩形，这是默认方法；第二种是 通过角点和边长确定矩形；第三种是通过面积来确认矩形。
在AutoCAD制图中，点是最基本的因素，是组成图形的基本单位。 每个点都有自己的坐标，图形的绘制一般也是通过坐标对点进行精在图形中指定点，也可以 在命令行中直接输入坐标值。在AutoCAD中，坐标系主要分为笛卡尔坐 标系和极坐标，用户可以在指定坐标时任选一种使用
中文版AutoCAD 2008电气设计
二、绘制点
清华大学出版社
1. 设置点样式
选择“格式”→“点样式”命令，弹出如图2-1所示的“点样式” 对话框，在该对话框中可以设置点的表现形状和点大小，系统提供了20 种点的样式供用户选择。
中文版AutoCAD 2008电气设计
二、绘制点
清华大学出版社
2. 绘制点
中文版AutoCAD 2008电气设计
第2章 绘制基本图形
重点内容：
平面坐标系 绘制点 绘制直线型图形 绘制弧线型图形 绘制封闭图形
清华大学出版社
绘制多段线 绘制多线 绘制样条曲线 绘制修订云线 徒手画线
中文版AutoCAD 2008电气设计
一、平面坐标系
清华大学出版社
中的“构造线”按钮 ，或者在命令行中输入XLINE，都可以执行该命
令。
命令: _xline 指定点或 [水平(H)/垂直(V)/角度(A)/二等分(B)/偏移(O)]:
命令行给出了5种绘制构造线的方法，“水平（H）”和“垂直 （V）”方式能够创建一条经过指定点并且与当前UCS的X轴或Y轴平行的 构造线；“角度（A）”方式可以创建一条与参照线或水平轴成指定角 度，并经过指定一点的构造线；“二等分（B）”方式可以创建一条等 分某一角度的构造线；“偏移（O）”方式可以创建平行于一条基线一 定距离的构造线。
五、绘制封闭图形
1. 绘制矩形
选择“绘图”→“矩形”命令，或单击“矩形”按钮，或在命令行 中输入RECTANG来执行矩形命令。
命令: _rectang
指定第一个角点或[倒角(C)/标高(E)/圆角(F)/厚度(T)/宽度(W)]://指定矩
形的第一个角点坐标
指定另一个角点或 [面积(A)/尺寸(D)/旋转(R)]:
(2)指定起点、圆心以及另一参数方式 ：圆弧 的起点和圆心决定了圆弧所在的圆，第3个参数可 以是圆弧的端点（中止点）、角度（即起点到终点 的圆弧角度）和长度（圆弧的弦长）.
(3)指定起点、端点以及另一参数方式 ：圆弧 的起点和端点决定了圆弧圆心所在的直线，第3个 参数可以是圆弧的角度、圆弧在起点处的切线方向 和圆弧的半径。
选择“绘图”→“点”→“单点”命令，或在命令行中输入POINT 命令，或单击“绘图”工具栏中的“点”按钮，均可执行点绘制命令。 选择“绘图”→“点”→“多点”命令可以同时绘制多个点。
命令:_point 当前点模式: 指定点: 点的坐标
PDMODE=0
PDSIZE=0.0000
//系统提示信息 // 要 求 用 户 输 入
确定直线第一点
指定下一点或 [放弃(U)]: //通过其他方式确定直线第二点
中文版AutoCAD 2008电气设计
三、绘制直线型图形
清华大学出版社
2. 绘制构造线
向两个方向无限延伸的直线称为构造线，构造线可用作创建其他对
象的参照。在AutoCAD制图中，通常使用构造线配合其他编辑命令来进
行辅助绘图。选择“绘图”→“构造线”命令，或单击“绘图”工具栏
中文版AutoCAD 2008电气设计
清华大学出版社
四、绘制弧线型图形
2. 绘制椭圆弧
单击“绘图”工具栏的“椭圆弧”按钮，可以执行椭圆弧命令。椭 圆弧的绘制方法比较简单，与椭圆的绘制方法基本一致，只是在绘制椭 圆弧时要指定椭圆弧的起始角度和终止角度。
中文版AutoCAD 2008电气设计
清华大学出版社
清华大学出版社
三、绘制直线型图形
1. 绘制直线
直线是AutoCAD中最基本的图形，也是绘图过程中用得最多的图形。 用户可以绘制一系列连续的直线段，但每条直线段都是一个独立的对象。 单击“直线”按钮 ，或在命令行中输入LINE，都可执行该命令。
命令: _line
指定第一点:
//通过坐标方式或者光标拾取方式
用户输入点的时候，通常会遇到这样一种情况，即知道B点相对于A
点（已存在的点或者知道绝对坐标的点）的位置距离关系，却不知道B
的绝对坐标，这就没有办法通过绝对坐标或者“点”命令来直接绘制B
点，这个时候的B点可以通过相对坐标法来进行绘制。这种方法在绘制
二维平面图形中经常使用，以“点”命令为例，命令行提示如下。