2019年天津市高考数学试卷(理科)以及答案解析

的函数为 g（ x）．
即 g（x）＝ Asin（ ωx）
∵ g（ x）的最小正周期为 2π，
∴
＝ 2π，得 ω＝2，
则 g（x）＝ Asinx， f（ x）＝ Asin2x，
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若 g（ ）＝ ，则 g（ ）＝ Asin ＝ A＝ ，即 A＝ 2，
则 f（ x）＝ 2sin2x，则 f（ ）＝ 2sin（ 2× ＝ 2sin ＝ 2× ＝ ，
b＝ log0.50.2＝
＝
＝ log 25＞ log24＝ 2．
c＝ 0.50.2＜1， ∴ b 最大， a、 c 都小于 1．
∵ a＝ log52＝
， c＝ 0.50.2＝
＝＝．
而 log 25＞ log24＝2＞ ，
∴
＜．
∴ a＜ c，
∴ a＜ c＜ b． 故选： A．
【点评】 本题主要考查对数、指数的大小比较，这里尽量借助于整数 较．本题属基础题．
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
.
15．（ 13 分）在△ ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c．已知 b+c＝2a， 3csinB ＝ 4asinC．
（Ⅰ）求 cosB 的值；
（Ⅱ）求 sin（2B+ ）的值．
16．（ 13 分）设甲、乙两位同学上学期间，每天 7： 30 之前到校的概率均为 ．假定甲、乙
＝
＝
＝ 2﹣3i，
∴ | |＝ |2﹣ 3i |＝
＝．
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故答案为：
．
【点评】 本题主要考查复数定义及模的概念及基本运算．本题属基础题．
10．【分析】 本题可根据二项式的展开式的通项进行计算，然后令 的值，代入 r 的值即可算出常数项．
证明 2nπ+ ﹣xn＜
．
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2019 年天津市高考数学（理科）答案解析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
.
1．【分析】 根据集合的基本运算即可求 A∩ C，再求（ A∩ C）∪ B； 【解答】 解：设集合 A＝ { ﹣ 1， 1， 2， 3，5} ， C＝ { x∈R |1≤ x＜ 3} ，
A ．2
B．3
C． 5
3．（ 5 分）设 x∈R，则“ x2﹣ 5x＜ 0”是“ |x﹣ 1|＜ 1”的（
）
D．6
A ．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．（ 5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出
S 的值为（
）
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A ．5
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18．（ 13 分）设椭圆 + ＝ 1（ a＞b＞ 0）的左焦点为 F，上顶点为 B．已知椭圆的短轴
长为 4，离心率为
．
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点
M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点
N 在 y 轴的负半轴上．若 |ON|＝ |OF|（ O 为原点），且 OP⊥ MN ，求直线 PB 的斜率． 19．（ 14 分）设 { an} 是等差数列， { bn} 是等比数列．已知 a1＝4， b1＝ 6，b2＝ 2a2﹣ 2， b3＝
1 作为中间量来比
7．【分析】 根据条件求出 φ 和 ω 的值，结合函数变换关系求出 求出 A 的值，利用代入法进行求解即可． 【解答】 解：∵ f（ x）是奇函数，∴ φ＝ 0，
g（ x）的解析式，结合条件
则 f（ x）＝ Asin（ ωx） 将 y＝ f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
2 倍（纵坐标不变） ，所得图象对应
∵ |x﹣ 1|＜1，∴ 0＜ x＜2，
∵ 0＜ x＜ 5 推不出 0＜ x＜ 2，
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0＜ x＜2? 0＜ x＜5， ∴ 0＜ x＜ 5 是 0＜x＜ 2 的必要不充分条件， 即 x2﹣ 5x＜ 0 是 |x﹣ 1|＜ 1 的必要不充分条件． 故选： B．
【点评】 本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．
两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立． （Ⅰ）用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7： 30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布 列和数学期望； （Ⅱ）设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7： 30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率． 17．（ 13 分）如图， AE⊥平面 ABCD ，CF ∥ AE，AD ∥ BC，AD ⊥AB，AB＝ AD ＝ 1，AE＝ BC ＝ 2． （Ⅰ）求证： BF∥平面 ADE ； （Ⅱ）求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角 E﹣ BD ﹣F 的余弦值为 ，求线段 CF 的长．
【解答】 解：由约束条件
作出可行域如图：
联立
，解得 A（﹣ 1， 1），
化目标函数 z＝﹣ 4x+y 为 y＝ 4x+z，由图可知，当直线 y＝ 4x+z 过 A 时， z 有最大值为 5．
故选： C．
【点评】 本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
3．【分析】 充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果 【解答】 解：∵ x2﹣5x＜ 0，∴ 0＜ x＜ 5，
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9．（ 5 分） i 是虚数单位，则 | |的值为
．
10．（ 5 分）（ 2x﹣
） 8 的展开式中的常数项为
．
11．（ 5 分）已知四棱锥的底面是边长为
的正方形，侧棱长均为
．若圆柱的一个底面
的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱
的体积为
则 A∩ C＝ {1 ， 2} ，
∵ B＝ {2 ，3， 4} ，
∴（ A∩ C）∪ B＝{1 ， 2} ∪ {2 ， 3， 4} ＝ {1 ， 2， 3， 4} ；
故选： D ．
【点评】 本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．【分析】 由约束条件作出可行域， 化目标函数为直线方程的斜截式， 数形结合得到最优解， 把最优解的坐标代入目标函数得答案．
.
1．（ 5 分）设集合 A＝ { ﹣ 1，1，2，3， 5} ，B＝ {2 ，3，4} ，C＝ { x∈R|1≤ x＜3} ，则（ A∩C） ∪ B＝（ ）
A ．{2}
B ．{2 ， 3}
C． { ﹣ 1， 2， 3}
D． {1 ， 2， 3，4}
2．（5 分）设变量 x，y 满足约束条件
则目标函数 z＝﹣ 4x+y 的最大值为 （ ）
绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 理科数学
答卷前， 考生务必将自己的姓名、 准考号填写在答题卡上， 并在规定位置粘贴考试用条 形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试 卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
一、选的
第三次执行第一个判断语句后， S＝ 8， i ＝ 4，满足退出循环的条件； 故输出 S 值为 8，
故选： B． 【点评】 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得
出正确的结论，是基础题
5．【分析】 推导出 F （1， 0），准线 l 的方程为 x＝﹣ 1， |AB|＝ ， |OF |＝ 1，从而 b＝ 2a，
）
A ．a＜ c＜ b
B ．a＜ b＜ c
C． b＜ c＜ a
D． c＜ a＜ b
7．（ 5 分）已知函数 f（ x）＝ Asin（ ωx+φ）（A＞ 0， ω＞ 0， |φ|＜ π）是奇函数，将 y＝f（x）
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
2 倍（纵坐标不变） ，所得图象对应的函数为 g
（ x）．若 g（ x）的最小正周期为 2π，且 g（ ）＝ ，则 f （ ）＝（
进而 c＝
＝ ，由此能求出双曲线的离心率．
【解答】 解：∵抛物线 y2＝ 4x 的焦点为 F ，准线为 l ． ∴ F（ 1， 0），准线 l 的方程为 x＝﹣ 1，
∵ l 与双曲线 ﹣ ＝ 1（a＞ 0，b＞0）的两条渐近线分别交于点 A 和点 B，且 |AB |＝4|OF |
（ O 为原点）， ∴ |AB|＝ ， |OF |＝ 1，∴
．
12．（ 5 分）设 a∈R ，直线 ax﹣ y+2 ＝0 和圆
（ θ为参数）相切，则 a 的值
为
．
13．（ 5 分）设 x＞ 0，y＞ 0， x+2y＝5，则
的最小值为
．
14．（ 5 分）在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC，AB＝ 2 ， AD＝ 5，∠ A＝ 30°，点 E 在线段
CB 的延长线上，且 AE＝BE ，则 ? ＝
故选： C． 【点评】 本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出
A， ω 和 φ 的值是解决
本题的关键．
8．【分析】 分 2 段代解析式后，分离参数 a，再构造函数求最值可得． 【解答】 解：当 x＝1 时， f（ 1）＝ 1﹣ 2a+2a＝ 1＞ 0 恒成立；
当 x＜ 1 时， f（ x）＝ x2﹣2ax+2a≥0? 2a≥
）
A ．﹣ 2
B ．﹣
C．
D．2
8．（ 5 分）已知 a∈R ．设函数 f（ x）＝
若关于 x 的不等式 f（ x）≥ 0
在 R 上恒成立，则 a 的取值范围为（
）
A ．[0， 1]
B ．[0， 2]
C． [0， e]
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 .
D． [1， e]
4．【分析】 由已知中的程序语句可知： 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
S 的值，
【解答】 解： i＝ 1， s＝ 0；
第一次执行第一个判断语句后， S＝ 1， i ＝ 2，不满足条件；
第二次执行第一个判断语句后， j＝ 1， S＝ 5， i ＝ 3，不满足条件；
2a3+4 ． （Ⅰ）求 { an} 和 { bn} 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 {c n} 满足 c1＝ 1， cn＝
其中 k∈N *．
（ i）求数列 { a （ c ﹣ 1） } 的通项公式；
（ ii ）求 aici（ n∈N* ）．
x
20．（ 14 分）设函数 f（ x）＝ e cosx， g（ x）为 f（ x）的导函数． （Ⅰ）求 f（x）的单调区间； （Ⅱ）当 x∈[ ， ]时，证明 f （x） +g（ x）（ ﹣ x）≥ 0； （Ⅲ） 设 xn 为函数 u（ x）＝ f（ x）﹣1 在区间 （2nπ+ ，2nπ+ ）内的零点， 其中 n∈N ，
B．8
C． 24
D． 29
5．（ 5 分）已知抛物线 y2＝ 4x 的焦点为 F ，准线为 l ．若 l 与双曲线 ﹣ ＝ 1（ a＞ 0， b
＞ 0）的两条渐近线分别交于点
率为（
）
A 和点 B，且 |AB|＝ 4|OF |（O 为原点），则双曲线的离心
A．
B．
C． 2
D．
6．（ 5 分）已知 a＝ log 52，b＝ log 0.50.2，c ＝0.50.2，则 a， b， c 的大小关系为（
恒成立，
令 g（ x）＝
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣（ 1﹣x+ ﹣
2）≤﹣（ 2
﹣ 2）＝ 0，
∴ 2a≥g（ x） max＝ 0，∴ a＞ 0． 当 x＞ 1 时， f（ x）＝ x﹣ alnx≥ 0? a≤
恒成立，
令 h（x）＝
，则 h′（ x）＝
＝
，
当 x＞ e 时， h′（ x）＞ 0， h（ x）递增， 当 1＜x＜ e 时， h′（ x）＜ 0， h（ x）递减， ∴ x＝ e 时， h（ x）取得最小值 h（ e）＝ e， ∴ a≤ h（ x） ＝ e， 综上 a 的取值范围是 [0， e]． 故选： C． 【点评】 本题考查了函数恒成立，属中档题． 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9．【分析】 本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算． 【解答】 解：由题意，可知：
，∴ b＝ 2a，
∴ c＝
＝
，
∴双曲线的离心率为 e＝
．
故选： D ． 【点评】 本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考 查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
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6．【分析】 本题先将 a、 b、 c 的大小与 1 作个比较，发现 b＞ 1， a、 c 都小于 1．再对 a、 c 的表达式进行变形，判断 a、 c 之间的大小． 【解答】 解：由题意，可知： a＝ log52＜1，