圆轴的扭转

第八章 圆轴的扭转

工程构件一般可分为三类。第四章已指出：杆是某一方向尺寸远大于其它二方向尺寸的构件，若杆件的轴线为直线，则称为直杆。此外，若构件在某一方向的尺寸远小于其它二方向的尺寸，称之为板。若构件在x 、y 、z 三个方向的尺寸具有相同的数量级，则称为块体。本课程主要讨论直杆，这是一种最简单的构件。 如同4.4节所述，在空间任意力系的作用下，杆件截面内力的最一般情况是六个分量都不为零，其变形是很复杂的。为了简化讨论，我们将杆的基本变形分成为三类，即拉压、扭转、弯曲，如图4.3所示。 前面已经讨论了在轴向载荷作用下杆的拉伸和压缩；现在再来研究杆的另一类基本变形，即扭转问题。

§8.1

扭转的概念和实例

工程中承受扭转的构件是很常见的。如图8.1所示的汽车转向轴，驾驶员操纵方向盘将力偶作用于转向轴AB 的上端，转向轴的下端B 则受到来自转向器的阻抗力偶的作用，使转向轴AB 发生扭转。又如图8.2中的传动轴，轮C 上作用着主动力偶矩，使轴转动；轮D 输出功率，受到阻力偶矩的作用，轴CD 也将发生扭转。

以上二例都是承受扭转的构件实例。由于工程中承受扭转的构件大多为圆截面直杆，故称之为轴。本章亦仅限于讨论直圆轴的扭转问题。

图8.2 传动轴

图8.3所示为等截面直圆轴扭转问题的示意图。

扭转问题的受力特点是：在各垂直于轴线的平面内承受力偶作用。如在图8.3中，圆轴AB 段两端垂直于轴线的平面内，各作用有一个外力偶M 0，此二力偶的力偶矩相等而转向相反，故是满足平衡方程的。圆轴扭转问题的变形特点是：在上述外力偶系的作用下，圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动；任意两横截面间相对转过的角度，称为相对扭转角，以φ表示。图8.3中，φAB 表示截面B 相对于截面A 的扭转角。必须指出，工程中的传动轴，除受扭转作用外，

往往还伴随有弯曲、拉伸(压缩)等其它形式的变形。这类问题属于组合变形，将在以后研究。

§8.2 扭矩与扭矩图

已知轴所传递的功率、转速，可利用6.3节提供的“功率、转速与传递的扭矩之关系”来计算作用于传动轴上的外力偶矩M 0。M 0给出以后，即可用截面法确定扭转轴各横截面上的内力。显然，对于承受扭转作用的轴，横截面上的内力是作用于截面上的内力偶矩，称之为扭矩。

为确定图8.4(a )所示之扭转轴内任意横截面C 上的内力，可截取左段为研究对象，如图8.4(b)所示。截面C 上的内力(扭矩)记为M T ，由平衡方程有：

M x =M T -M 0=0

图8.3 扭转及扭转角

(b)

(c)

图8.4 截面上的扭矩

即得： M T =M 0

若截取轴的右段为研究对象, 如图8.4(c)所示，同样可求得截面C 上的扭矩

'T M =M 0。'T M 与M T 是作用力与反作用力关系，其数值相等，转向相反，作用在不

同的轴段上。为了使截取不同研究对象所求得的同一截面上的扭矩不仅数值相等，而且符号也相同，可对扭矩符号作如下规定：采用右手螺旋法则，用四指表示扭矩的转向，大拇指的指向与截面的外法线方向相同时，该扭矩为正，反之为负。应用此规则可知，图8.4所示截面C

之扭矩为正号。

当轴上作用有两个以上的外力偶矩时，应分段计算轴的扭矩。为了清楚地表示扭矩沿轴线的变化情况，通常以横坐标表示截面的位置，纵坐标表示扭矩的大小，给出各截面扭矩随其位置而变化的图线，称为扭矩图。扭矩图与轴力图一样，应画

在载荷图的对应位置，一目了然。

例8.1 传动轴如图8.5(a )所示，已知转速n=300 r/min ，主动轮A 输入功率N pA =400kW

，三个从动轮输出的功率分别为：N pB =N pC =120kW ，N pD =160kW ，试作轴的扭矩图。 解：(1)

计算外力偶矩 由(6-10)式知：

M (kN ∙m) =9.55N P (kW) /n (r/min) 故有：

M A =9.55⨯400kW/300(r/min) =12.73 kN ∙m

M B =M C =9.55⨯120 kW /300 (r/min)

=3.82 kN ∙m

M D =9.55⨯160 kW /(300 r/min)

M T 图8.5 例8.1图

=5.09 kN∙m

(2)用截面法求截面扭矩

BC段：沿截面1-1将轴截开，取左段为研究对象，沿正向假设截面扭矩为M T1，如图8.5(b)。由平衡方程可知有：

∑M x=M T1+M B=0

得到：M T1=-M B=-3.82 kN∙m

CA段：截取研究对象如图8.5(c)所示，由平衡方程可知截面扭矩M T2为：

∑M x=M T2+M B+M C=0

得到：M T2=-(M B+M C)=-7.64 kN∙m

AD段：沿3-3截面截开后取右段为研究对象，如图8.5(d)所示。有平衡方程：

∑M x=M T3-M D=0

得到：M T3=M D=5.09 kN∙m

应当指出，在求以上各截面的扭矩时，采用了“设正法”，即截面扭矩按正向假设；若所得结果为负，则表示该扭矩的实际方向与假设的方向相反。本题计算结果

表明BC段及CA段扭矩为负，AD段扭矩为正。

(3)作扭矩图

注意到轴各段内的扭矩均相同，则由上述结果不难作出如图8.5(e)所示之扭矩图。

可见，该轴的最大扭矩|M T|max=7.64 kN∙m，作用在CA段上。

讨论一：扭矩图的简捷画法

类似于第四章所述轴力图的简捷画法，对于扭矩图，同样可以从左端开始，按扭矩符号规定标出参考正向如图8.6，图中M B为负，扭矩图向下画至3.82kN∙m；BC 段无外力偶矩作用，画水平线；C处M C与参考正向相反，扭矩图继续向下行