282解直角三角形
282解直角三角形(第2课时)
1．数形结合思想.
2．方程思想.
3．转化（化归）思想.
方法：把数学问题转化成解直角三角形问题， 如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅 助线，构造出直角三角形.
练习
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的
A
D处观察旗杆顶部A的仰角50°，观察底部B 的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
B
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m 在Rt△ACD中
∵ tan ADC AC DC
∴AC=DC×tan∠ADC
540°45°
D 40m
tan a BD , tan CD
AD
AD
BD AD tan a 120 tan30
120 3 40 3 3
CD AD tan 120 tan 60
B
αD Aβ
120 3 120 3
BC BD CD 40 3 120 3
C
160 3 277 .1
答：这栋楼高约为277.1m
tanA＝
a b
例题分析
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线AD= 4 3，解这个直角三角形。
解：cos CAD AC 6 3
AD 4 3 2
CAD 30
A
6 43
因为AD平分∠BAC
C
D
B
CAB 60,B 30
AB 12, BC 6 3
提高练习
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边)
Ｂ
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
c
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(第四课时)282解直角三角形1PPT课件
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
Ｂ
(3)边角之间的关系: a
sinA＝ c
tanA＝
a b
cosA＝
b c
c a
Ａ
bＣ
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC 2,BC 6
解这个直角三角形
A
解： tanABC 6 3 AC 2
35 AB=10，那么BC=_8____，tanB=___4 ___．
基础练习
3.在Rt△ABC中,∠C=90°，a、b、c分别为 ∠A 、∠B、 ∠C的对边.根据已知条件， 解直角三角形.
(1)c=8，∠A =60°； (2) b= 2 2 ， c=4；
1 a 43 ,b 4 , B 302 A 4 , 5 B 4 ,a 5 22
根据以上条件,你能求出塔身中心 线与垂直中心线的夹角吗？
sinABC5.2, AB 54.5
A5.5
5.2 54.5
B
c a
Aபைடு நூலகம்
bC
在直角三角形中，除直角外，还有哪些元素?
还有三条边和两个锐角
知道其中哪些元素，可以求出其余的元素?
A
2
C
6
在Rt△ABC中, 一角一边
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30, 你能求出这三个角的其他元素吗？
CD1AC 3
A
2
D
B
cosA AD AC
A D 23co 3s 0 3
BD CD 3 2
tanB
3 2
tanB CD BC
A A B D D 3 B 2 5
28.2解直角三角形教案
28.2解直角三角形教案篇一：28.2解直角三角形及其应用教学设计教案教学准备1.教学目标知识技能使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
过程方法通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。
情感态度渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。
2.教学重点/难点教学重点直角三角形的解法。
教学难点三角函数在解直角三角形中的灵活运用。
3.教学用具4.标签教学过程板书篇二：数学：28.2解直角三角形教案28.2解直角三角形【探究目标】1．目的与要求能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．2．知识与技能能根据直角三角形中的角角关系、边边关系、边角关系解直角三角形，能运用解直角三角形的知识解决有关的实际问题．3．情感、态度与价值观通过解直角三角形的应用，培养学生学数学、用数学的意识和能力，激励学生多接触社会、了解生活并熟悉一些生产和生活中的实际事物．【探究指导】教学宫殿在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如下图：222角角关系：两锐角互余，即∠a+∠B＝90°；边边关系：勾股定理，即a?b?c；边角关系：锐角三角函数，即a,cosa?cbsinB?,cosB?csina?b,tana?ca,tanB?ca,cota?bb,cotB?abaab解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，如没有特殊要求外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′．例1在△aBc中，∠c＝90°，根据下列条件解直角三角形．(1)c＝10，∠B＝45°，求a，b，∠a；(2)a?2,b?62，求c，∠a，∠B思路与技巧求解直角三角形的方法多种多样，如(1)可以先求a或b，也可以先求∠a，依据都是直角三角形中的各元素间的关系，但求解时为了使计算简便、准确，一般尽量选择正、余弦，尽量使用乘法，尽量选用含有已知量的关系式，尽量避免使用中间数据．解答(1)∠a＝90°-45°＝45°a?c?sina?10?sin45??52b?a?5222c?a?b?24?72?6(2)sina?24?1,2所以?a?30??B?90???a?60?例2如图，cd是Rt△aBc斜边上的高，Bc?2，cd?22,求ac，aB，∠a，∠B(精确到1′)．思路与技巧在Rt△aBc中，仅已知一条直角边Bc的长，不能直接求解．注意到Bc和cd在同一个Rt△Bcd中，因此可先解这个直角三角形．解答在Rt△Bcd中Bd?Bc2?cd2??8?2sinB?cosB?cd22??Bc233Bd2??Bc233用计算器求得∠B＝54°44′于是∠a＝90°-∠B＝35°16′在Rt△aBc中，aB?Bc3?23??6cosB6?263ac?aB?sinB?6?例3气象台测得台风中心在某港口a的正东方向400km处，正在向正西北方向转移，距台风中心300km的范围内将受其影响，问港口a 是否会受到这次台风的影响?思路与技巧如图19—48，就是要求出a到台风移动路线Bc的距离是否大于300km，Rt△aBc中，∠acB＝90°，∠aBc＝45°，aB＝400km，是ac可求．解答在Rt△aBc中，ac?sin?aBc由于aB所以ac＝aB·sin∠aBc＝400×sin45°?400?2?2?283?3002所以港口a将受到这次台风的影响．例4如图，两幢建筑物的水平距离为56．5m，从较高的建筑物的顶部看较低的建筑物的底部的俯角是42°，从较低的建筑物的顶部看较高建筑物顶部的仰角是22°，求这两幢建筑物的高度(精确到0．1m)．思路与技巧如图，aB、cd表示两幢建筑物，aB⊥Bd，cd⊥Bd，Bd＝56．5m，根据俯角、仰角的意义，∠daE＝42°，∠acF＝22°，于是Rt△aBd、Rt△acF都可解．解答在Rt△aBd中，∠adB＝∠daE＝42°Bd＝56.5(m)aB＝Bd·tan∠adB＝56.5×tan42°≈50.9(m)在Rt△acF中，aF＝cF·tan∠acF=56.5×tan22°≈22.8(m)所以cd＝aB-aF＝28.1(m)答：两幢建筑物的高度分别为50.9m，28.1m例5如图，沿水库拦水坝的背水坡，将坝顶加宽2m，坡度由原来的1：2改为1：2．5，已知坝高6m，坝长50m求：(1)加宽部分横断面aFEB的面积；(2)完成这一工程需要多少土方?思路与技巧只须求出梯形aFEB的下底EB的长，作aG⊥Bc，FH⊥EB，垂足分别为G、H，根据坡度的意义，可以求出坡aB、坡EF的水平长度．解答(1)作aG⊥Bc，FH⊥EB，垂足分别为G、H，由题意得HG＝aF ＝2(m)．aG＝FH＝6(m)在Rt△aBG中，因为i?aG1?BG2所以BG＝2×6＝12(m)在Rt△FEH中，因为i?FH1?EH2.5所以EH＝2．5×6＝15(m)所以EB＝EH+HG-BG＝15+2-12＝5(m)所以S梯形aFEB?1?aF?EB??aG?1?2?5??6?21m222??V?S梯形aFEB?50?21?50?1050m3答：加宽部分横断面aFEB的面积为21m，完成这一工程需要1050方土．例6海上有两条船，甲船在乙船的正南方向，甲船以每小时40海里的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿正东方向以每小时20海里的速度航行，问两船会不会相撞?为什么?思路与技巧根据题意画出图形，如图19—51，可知甲、乙两船的路线可能会成为直2??角三角形中60°所对的直角边和斜边，两船同时出发，在相同的时间内所走路程的比如果正好等于60°的正弦就会相撞，否则不会．解答如图，因为乙船的速度为每小时20海里，甲船的速度为每小时40海里，所以乙船与甲船所走路程的比为1：2．又sin60??1?22所以不会发生相撞．例7某市为改变城市交通状况，在大街拓宽工程中，要伐掉一棵树aB．在地面上事先划定以B为圆心，半径与aB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3m远的d点测得树的顶部a点的仰角为60°，树的底部B的仰角为30°，如图19—52，问距离B点8m远的保护物是否在危险区内?思路与技巧本题的实质是要计算大树的高度，如果大于8m，说明保护物在危险区内，否则不在．由于大树不在哪一个直角三角形中，根据条件，过c作cE⊥aB，则可把aB放在Rt△acE和Rt△BcE中进行求解．解答过c作cE⊥aB，垂足为E.由题意可知，cE＝dB＝3m在Rt△cEB 中，。
新疆哈密市第四中学人教版九年级数学下册课件：282解直角三角形(共14张PPT)
C
34°
B
1. 海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向到航行，在B点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点， 这时测得小岛A在北偏到30°方向上，如果渔
船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危 险？
60° B
A DF
变式 7.(2014·仙桃)如图，在坡角为 30°的山坡上有一铁塔 AB，其正前方矗立着一大型 广告牌，当阳光与水平线成 45°角时，测得铁塔 AB 落在斜坡上的影子 BD 的长为 6 米，落 在广告牌上的影子 CD 的长为 4 米，求铁塔 AB 的高(AB，CD 均与水平面垂直，结果保留根 号)．
A
BD
C
例题
如图，线段AB、CD表示甲、乙两幢楼的 高．从甲楼底部B处测得乙楼顶部C的仰角 是45°，从乙楼顶部C处测得甲楼顶部A的 俯角是30°.已知甲、 乙两楼间的距离BD ＝60m，求甲、乙两楼的高（精确到1m）
C
A
E
B
D
2. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中 i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的 比），根据图中数据求：
例题
如图，水库的横截面是梯形，坝高23m，斜
坡AB的坡度
i 1: 3，斜坡CD的坡度
i'=1:1,求斜坡AB的长及坡角a和坝底宽AD
（精确到0.1m）
BC
i 1: 3
α A
EF
D
例题
如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝ 10， sin B 4 ，D是BC上一点，且 ∠DAC＝30°5，求BD的长和S△ABD
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工 进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上 的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，
282解直角三角形课件-精选文档63页
解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是 △BDE的一个外角． ∴∠BED=∠ABD－∠D=90° ∴DE=BD·cosD=500×0.6428
=321.400≈321.4（m） 答：开挖点E离D为321.4米，正好能使A、C、E 成一直线．
小练习
（2）如图 ，水库大坝的横断面是梯形，坝顶 宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1:2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB的长（精确到0.1m）．
有触礁的危险
【例5】燕尾槽的横断面是等腰梯形，下 图是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是45°， 外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm， 求它的里口宽BC（精确到1mm）．
解：等腰梯形中，AD=180mm，AE=70mm， ∠B=45°AE⊥BC
∵ tan B AE BE
又∵BE=EC ∴ BE AE 70 70
a 4.8.
bc2 a 28 2 4 .8 26 .4
【例2 】在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，
b
11
，求∠A、∠B、c边． B
a
c
┓ Cb
A
解：ca2b252( 11)26
sinAa50.8 c6
∴∠A≈56.1°， ∴∠B＝90°－56.1°＝32.9°．
教学重难点
重点：
直角三角形的解法．
难点：
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
直角三角形ABC中，∠C=90°，a、 b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量 关系呢？
B
c
a
┓
A
C
b
B
c
a
┓
A
C
b
282解直角三角形(坡度问题)PPT课件
h α
L
1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α=______度。
2、斜坡的坡角是600 ，则坡比是 _______。
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。
4、传送带和地面所成的斜坡的坡比为1：2，把物体 从地面送到离地面9米高的地方，则物体通过的路 程为 _______米。
5、斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100 米，则斜坡高为_______米。
练习
3.如图,在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的 水平距离)是5.5米,测得斜坡的倾斜角是24度,求 斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米?（精 确到0.1米）
B
24°
C
(
5.5
A
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过 程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平 面图形，转化为解直角三角形的问题）；
。
3、一辆汽车沿着坡度为i =1:3的斜坡前进了100m，
则它上升的最大高度为
m。(精确到0.1m)
练习
2.我军某部在一次野外训练中,有一辆坦克准备通 过一座小山,已知山脚和山顶的水平距离为1000 米,山高为565米,如果这辆坦克能够爬300 的斜坡, 试问:它能不能通过这座小山？
A
1000米
B 565米 C
基础练习
1.如图 (1)若h=2cm，l=5cm，则i=
(2)若i=1:1.5，h=2m，则l=
2.水库的横断面是梯形ABCD,迎水坡AB的坡 度i= 1：2坝高h=20m,迎水坡的水平宽度= tanα=
BC B
h
α
C
l
AA
E
D
例1.铁路路基横断面是一个等腰梯形ABCD,若腰 的坡度是i=1: 3 ,顶宽是4m,路基高是6m,求（1）
g282解直角三角形3
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算 出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把 h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直， 以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数 学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内 容．
第7课时 解直角三角形(3)
一、新课导入 二、典型问题 三、归纳小结 四、阶梯训练 五、考题链接
•课本P89 例5 •P90归纳
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般 过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图 形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函 数等去解直角三角形；
向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南 偏东30°方向上的B
处，这时，海轮所在 B 的B处距离灯塔P有
多远？
例2.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12 海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30° 方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行， 有没有触礁的危险？
中i=1: 3 是指坡面的铅直高度AF与水
平宽度BF的比）根据图中数据求:
(1)坡角α和β. (2)斜坡AB的长.
i=1: 3
α
B
A 6m F
D i=1:1
β
E
C
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根 据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测 量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝 的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测 量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这 是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l
【2019年整理】g282解直角三角形3
如图是一海堤的横断面为梯形ABCD，已知堤顶宽BC 为6m，堤高为3.2m，为了提高海堤的拦水能力，需要 将海堤加高2m，并且保持堤顶宽度不变，迎水坡CD的 : : 坡度也不变。但是背水坡的坡度由原来的i=1:2改成 i=1:2.5（有关数据在图上已注明）。 (1)求加高后的堤底HD的长。 (2)求增加部分的横断面积 (3)设大堤长为1000米，需多少方土加上去？ (4)若每方土300元，计划准备多少资金付给民工？
6
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶.
植树节，某班同学决定去坡度为1︰2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树 间的水平距离）是6m，斜坡上相邻
3 5 两树间的坡面距离为_________m.
A
i=1︰2
C B
︰ i 1 某山路的路面坡度
399
沿此山路向上前进了200m,
升高了______m
．
方位角
• 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角. • 如图：点A在O的北偏东30° • 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
北
A 30° 东
西
B
O 45° 南
60°
A C
P
30°
B
例1. 一艘海轮位于灯 塔P的北偏东60°方 向，距离灯塔80海里 的A处，它沿正南方 向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南 偏东30°方向上的B 处，这时，海轮所在 的B处距离灯塔P有 多远？
∴AE=1.5×0.6=0.9(米)． ∵等腰梯形ABCD， ∴FD=AE=0.9(米)． ∴AD=2×0.9+0.5=2.3(米)．
总土方数=截面积×渠长 =0.8×100=80(米3)． 答：横断面ABCD面积为0.8平方米，修一条长为 100米的渠道要挖出的土方数为80立方米．