理论力学第十章质点动力学的基本方程
理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件
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质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ,其质量为 m ,作 用其上的力有 F1,F2,…, Fn, 合力为 FR ,根据牛顿第二定律, 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式:
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
(惯性定律)
d mv F dt
3、牛顿第三定律 (作用与反作用定律)
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解:3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 : 现在是已知运动,要求力,属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时,可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时,可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题:
若已知运动求作用力,则称为动力学第一类问题;
若已知作用力求运动,则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
理论力学第10章 质点动力学
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y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m,忽略摩擦及连 杆AB的质量,试求当 t 0 和 时,连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解:
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象,当φ=ωt 时,受力 如图。连杆应受平衡力系作用,由于不计连 杆质量,AB 为二力杆,它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解: 以弹簧未变形处为坐标原点O,物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ,弹簧 力大小为 F k x ,并指向点O,如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连,如图所示。物块
质量为 m ,弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时, 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程,可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题:已知质点的运动,求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程,通过其对时间微分两次得到质 点的加速度,代入质点运动微分方程,就可得到作用在质点 上的力。
质点动力学的基本方程
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动力学引言动力学是研究物体的机械运动与作用力之间关系的科学。
工程中的许多问题,如高速转动机械的动力计算、结构的动力计算。
宇宙飞行器和火箭轨道的计算等等,都需要应用动力学的理论。
在动力学中,物体的抽象模型有质点和质点系。
质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。
如研究人造地球卫星的轨道时,卫星形状和大小对所研究的问题不起主要作用,可以忽略。
顾客警卫星抽象唯一的质量集中在重心的质点。
刚体作平动时,也可以抽象为一个质点系来研究。
如果物体的形状和大小在所研究的问题中不可忽略,或刚体不作平动,则应抽象为质点系。
所谓质点系是由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。
我们常见的固体、流体、气体以及由几个物体组成的机构,都是质点系。
刚体是一种特殊的质点系,其中任意两个质点间的距离保持不变,也成为不变质点系。
动力学可分为质点动力学和质点系动力学。
我们以后各章都以质点动力学入手,然后再研究质点系问题。
第十章质点动力学的基本方程§10-1 动力学的基本定律质点动力学的基础是三个基本定律,这些定律是牛顿在总结前人研究成果的基础上提出的,称为牛顿三大定律:第一定律(惯性定律)不受力的指点,将永远保持静止或做匀速直线运动。
即:不受力作用的质点,不是处于静止状态,就是永远保持其原有的速度不变。
这种性质称为惯性。
第一定律阐述了物体做惯性运动的条件,故又称为惯性定律。
由此可知,质点如受到不平衡力系作用时,其运动状态一定改变。
则作用力与物体的运动状态改变的定量关系将由第二定律给出。
第二定律(力与加速度之间关系定律)质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小。
加速度方向与力的方向一致,即:am=F此式建立了质点的的质量、加速度与力之间的关系。
该式表明:1.加速度矢a与力矢F的方向相同。
2.力与加速度之间的关系时瞬时关系。
即:只要其瞬时有力作用于质点,则在该瞬时质点必有确定的加速度。
3.如在某段时间内没有力作用于质点,则在该段时间内质点没有加速度,质点做惯性运动。
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st 0
k( st x)
st
st
O
x
mg
x
x
O
mg
x
第16页
质点系运动微分方程 内力 外力 质点系内力系主矢和对任一点主矩都等于零。
设质点系由 n 个质点所组成,将每一个质点 所受力分为外力协力 ,内Fi 力协力 。 Fi 对于每一个质点
矢量形式质点系运动微分方程。
第17页
d
( mi i ) Fi
A
A
B
C
O
b
c
FN
FT
x
M
o
G
h h
第15页
例9-5卷扬机钢丝绳绕过固定滑轮后悬吊着质量m=15t重物匀速下
降,速度0=20m/min。因为滑轮发生故障,钢丝绳上端突 然被卡住。这时,因为钢丝绳含有弹性,重物将发生上下
振动。设钢丝绳悬垂段弹簧刚度系数k=5.78MN/m, 试求因 为重物振动所引发刚丝绳最大拉力。
F ma
质量—— 质点惯性量度。
Ma
F
重力加速度g——物体仅受重力作用而自由降落。
表示了质点加速度、所受力以及质量之间关系。
第4页
第三定律(作用与反作用定律) ——两质点间相互作用力,总是大小相等,方向相反, 沿着两点连线分别作用在两质点上。
第5页
第四定律(力独立作用定律) ——若质点同时受到几个力作用,则其加速度等于各 力分别作用于该质点时所作用各加速度矢量和。
d
( mi i ) Fi
Fi
( i 1,2,,n )
dt
本章小结
第18页
提议
用MATLAB求解理论力学问题。
第19页
9-24 9-26 9-29
理论力学---质点动力学的基本方程
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dvx dx c m 0 x c1t c3 1 dt dt 1 dv dy y gt2 c2 t c4 m y m g gt c2 2 dt dt 微分方程 积分一次 再积分一次
代入初始条件得: c1 v0 cos0 ,c2 v0 sin0 ,c3 c4 0
18
dvx mgR2 2 即: mvx dx x
d 2 x dvx dvx dx v x dvx ( 2 ) dt dt dx dt dx
v x mgR2 mvx dvx 2 dx v0 R x
(t 0时x R,v x v0 )
则在任意位置时的速度
质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有极坐标形式, 柱坐标形式等等。 应用质点运动微分方程,可以求解质点动力学的两类问题。
6
质点动力学两类问题
第一类: 已知运动求力—微分 第二类: 已知力求运动—积分
1.绕线轮与滑块,已知ω,r,m,f=0,求rω
x x(t ) ( 式中 y y (t ) 为质点直角坐标形式的 运动方程 ) z z (t )
5
3.自然形式
d 2s m 2 F dt v2 m Fn
(式中s s (t )为质点的弧坐标形式的 运动方程。F , Fn , 分别为力F 在 自然轴系 轴, n轴上的投影)
质点系是力学中最普遍的抽象化模型;
包括刚体,弹性体,流体。
3
三、动力学分类:
质点系动力学
质点动力学
质点动力学是质点系动力学的基础。
四、.动力学的基本问题:大体上可分为两类: 第一类:已知物体的运动情况,求作用力;
质点动力学的基本方程
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y aC x ar
FS
maa Fi m(ae ar aC ) Fi
φ
F
a
n e
φ FN
mg
沿x方 向 投 影: m (a r aen ) F mg sin Fs 2 ( 0.2) F 2 9.8 sin57.3o Fs (1) 沿y方 向 投 影: maC FN mg cos
t m m y D2 e g ( 6) m m m C1 v 0 C 2 v0 0 可得 m2 m2 0 D1 2 g D2 2 g
t m 代入( 3) , (5) 式整理可得: x v0 (1 e m )
t m2 m m y 2 g(e 1) gt
k cos v x 1 0
例三
质量为m 的小球以水平速度vo 射入静水中. 水对小球的阻力F与 小球的速度方向相反, 而大小为F = μv , μ 为阻尼系数. 忽略水对 小球的浮力. 求小球在重力和阻力作用下的运动方程.
解:
O vo F M v mg x
y
取质点分析其受力及运动: 0 m x 0 C x Ct D x x eA cos kt m y
m x
0
vo
F
v
e A cos kt y m e y A sin kt E km e y 2 A cos kt Et F k m
0 (1) x m g ( 2) m y mg y y y m 先求二阶常系数齐次的 通解 x m x x (特征根法) 0 m 1 0 2 m
理论力学第10章质点动力学的基本方程
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动力学是研究物体运动与作用力之间的关系。
动力学中物体的抽象模型有质点和质点系。 质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。质点系是由几个或无限个相互 有联系的质点所组成的系统。刚体是特殊的质点 系。
动力学分为质点动力学和质点系动力学。
第十章 质点动力学的基本方程
重点:建立质点运动微分方程,质点动力学中“已知 运动求力”问题的解法。
eA
vy
0
dv y
m
eA mk
t
cos ktdt
0
得
vx
dy dt
dx dt
v0
sin kt
vy
由 t 0时
x y 0, 积分
v0dt ,
x
dx
0
t
0
y
dy
0
mk
2
eA
t
sin ktdt
0
得运动方程 x v t , 0 消去t, 得轨迹方程
F eE , 不计重力
作用。
已知常数A,k,忽略质点的重力,试求质点的运动轨迹。
求:质点的运动轨迹。
解:
m
d x dt
vx
2
2
m
dvx dt
0,
m
d y dt
2
2
m
dv y dt
eA cos kt
由 t 0时 v v , v 0, x 0 y 积分
v0
dv x 0
ab 0, 2 v m Fni ,
0 Fbi
3 、质点动力学的两类基本问题 第一类问题:已知运动求力(求导)。 第二类问题:已知力求运动(积分)。
质点动力学的基本方程最新课件.ppt
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则x 求:
l 1
0,
2
4
r
cos t cos 2
4
时杆AB受力F
t
?
r l
1
2
解:研究滑块
max F cos
其中 ax x r2cos t cos2 t
当 0时, ax r21 ,且 0,
得 F mr21
当
l2 r2 l
伽利略通过实验得到了“摆的小摆动周期与摆长的平方根成 正比”的结论,从理论上为钟表的核心装置——摆奠定了基础。 伽利略对自由落体和摆的研究也标志着人类对动力学研究的开始。
1657年,惠更斯完成了摆钟的设计。他还发表了一系列关 于单摆与动力学的重要研究结果,如向心力和向心加速度的概念。
1676年,英国学者胡克发表了胡克定律,使人们对弹簧出现 了两项改进;弹簧发条储能器的改进;弹簧摆轮(或游丝)的发 明。基于这两项改进,便于携带的钟表、怀表、手表开始出现。
例9-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速
度 转动,OA=r,AB=l,当 r / l 比较小时,以O 为坐
标原点,滑块B 的运动方程可近似写为
x
l
1
2
4
r
cos
t
4
cos
2
t
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试
求当 t 0和 时 ,
连杆AB所受的力. 2
已知: 常量, OA r, AB l, m。 设
0
mk 0
得质点运动方程
x v0t,
y
eA mk2
coskt 1
(c)
轨迹方程
y
eA mk2
cos
k v0
理论力学10质点运动微分方程
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= mgR 2,于是火箭在任意位置 x 处所受地球引力 F 的大
小为
m g R2 F = x2
(b)
(3)列运动方程求解,由于火箭作直线运动,
火箭的直线运动微分方程式为:m
分离变量积分式(c)
d2 dt
x
2
mg R2 x2
(c)
因 为
d d2 tx 2d dv td dv xd dx tvd dv x
其次,定律还指出,若质点的运动状态发生改 变,必定是受到其他物体的作用,这种机械作用就 是力。
第二定律(力与加速度关系定律)
质点的质量与加速度的乘积,等于作用于质点的 力的大小,加速度的方向与力的方向相同。
设质点M的质量为m,所受的力为F,由于力F的
作用所产生的加速度为a,如图10-1所示。则此定律
以上两例都是动力学的第一类基本问题,由此可
归纳出求解第一类问题的步骤如下:
(1) 取研究对象并视为质点; (2)分析质点在任一瞬时的受力,并画出受力图; (3) 分析质点的运动,求质点的加速度; (4) 列质点的运动微分方程并求解。
例10-3 以初速v0自地球表面竖直向上发射一质量 为 m 的火箭,如图10-6所示。若不计空气阻力,火箭所
解:取质量块为研究对象,并视其为质点。质
量块沿x方向作直线运动,弹性杆对质量块的作用相 当于一弹簧,图10-8(b)是该系统的计算模型。
设弹簧刚度系数
为 k ,任意位置时弹
a
在静力学中,我们研究了力系的简化和平衡问题, 但没有研究物体在不平衡力系作用下将如何运动。在 运动学中,我们仅从几何学的角度描述了物体的运动 规律及其特征,并未涉及物体的质量(Mass)及其所受 的力。因此,静力学和运动学都是从不同的侧面研究 了物体的机械运动。
质点动力学基本方程
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y 质心C 质心 x F1 G F2 FA
l 解:(1)取活塞为研究对象; (2)受力分析,画受力图; (3)运动分析,写出运动方程;
x = OA cos ωt + l
求加速度
d 2x = OAω 2 cos ωt dt 2
d x 由 m 2 = ∑ Fx dt
2
2
FA
F1
得
d 2x = OAω 2 cos ωt dt 2
此速度为质点在阻尼介质中运动的极限速度 极限速度.跳伞运 极限速度 动员着地时的速度即可由该式求出.
例5 发射火箭,求脱离地球引力的最小速度. 求 属于已知力是位置的函数的第二类问题. 解:属于已知力是位置的函数的第二类问题. 属于已知力是位置的函数的第二类问题 取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示. 火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用.
dv dv , 再分离变量积分. =v dt ds
例4:求质量为m的质点M在粘性介质中自由下落的 : 运动方程.设质点受到的阻尼力Fr=-cv,c称为粘度系 数,简称粘度.初始时质点在介质表面上被无初速度 释放.
解:取质点M为研究对象,作用其上的力有重力和介质阻尼 力,均为已知,求质点的运动,属于动力学第二类问题. 在任意位置上,有 d 2x dx m 2 = mg c dt dt
于是 分离变量, 再积分一次 质点的运 动方程
即
e
g t v′
v′ v = v′
)
dx = v = v ′(1 e dt
g t v′
∫
x
0
dx = ∫ v ′(1 e
0
t
g t v′
)dt
g ′ 2 v′ t v x = v ′t + (e 1) g
《理论力学》第十章 质心运动定理
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--质心运动定理 --质心运动定理
结论: 结论:
质心“ 1. 质心“像一个质点一样遵循牛顿第二定 理”。 无论刚体( )、质点系做何形式的运 2. 无论刚体(系)、质点系做何形式的运 动,此定理成立。 此定理成立。 3. 质心的运动仅与质系的外力有关,与
内力无关。 内力无关。
HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY
质心是永远存在, 质心是永远存在,而重心只有在重力场中才存在
在重力场内, 在重力场内,质心与重心重合
Wi ∑ ix C x = W Wi ∑ iy y = C W W ∑ izi z C= W
质心坐标
(二)质心运动定理 d2r i m 2 =F 对每个质点 i i d t 2 dr i 求和 F m 2 =∑ i ∑ i d t 2 2 2 d d dr C 左 = 2 (∑ ir) = 2 (mC) =m 2 边 mi r d t d t d t E I 右 =∑F +F =∑ iE +∑ iI 边 F F i i
mi ∑ ir r = C m ∑ i
问题: 问题:
mi ∑ ix x C= m ∑ i mi ∑ iy y = C m ∑ i mi ∑ iz z C= m ∑ i
构成,每个刚体质心位置已知, 系统由几个刚体构成,每个刚体质心位置已知, 系统质心如何确定? 1. 系统质心如何确定? 质心的速度如何确定? 2. 质心的速度如何确定?
10 质点的运动微分方程
![10 质点的运动微分方程](https://img.taocdn.com/s3/m/cf605d6c1eb91a37f1115c27.png)
dy 1 2 = gt + c3 , y = gt + c3t + c4 dt 2
再积分式(2),有 v y =
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第十章 质点运动微分方程
当t=0时, y = y 0 = 0, v y = v0 y = v0 sin α 代入上式得:
1 2 于是有 y = v 0 t sin α gt (4) 2 式(3)、(4)为所求的炮弹运动方程。
2
b
an
Fn
n
a
M
F
aτ
Fτ
上式即为自然轴投影式的质点运动微分方程。
τ
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第十章 质点运动微分方程
§10- 3质点动力学两类基本问题 10-
用质点运动微分方程的投影式可解决质点动力学问题,解 题时要注意根据问题的条件对质点进行受力分析合运动分析。 包括两类问题 ①已知质点的运动规律,求作用于质点的力。此类问题仅 用到微分运算,故又称为微分问题。 ②已知作用于质点的力,求质点的运动规律。此类问题需 对质点运动微分方程进行积分,故又称为积分问题。 第二类问题比较复杂。除了要给知作用于质点的力外,还 须给运动的初始条件,这样才能确定质点的运动。
【思考题】
1.选择题 (1)如图所示,质量为m的质点受力F作用,沿平面曲线运 动,速度为v。试问下列各式是否正确?
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第十章 质点运动微分方程
dv dv a.m = Fτ , b.m = F dt dt
A.a、b都正确。 B.a、b都不正确。 C.a正确,b不正确。 D.a不正确,b正确。
第十章 质点运动微分方程
1.直角坐标系的投影式 1.直角坐标系的投影式 将(3)式投影至固定的直角坐标系oxyz坐标轴上:
15质点的运动微分方程
![15质点的运动微分方程](https://img.taocdn.com/s3/m/bb825b95c77da26925c5b06a.png)
an
v20
0, a
l0
建立图示坐标系,有
mx Fx , ma cos F
my Fy , ma sin FN G
根据静滑动摩擦力的性质有:
y
G
a
F FN
x
(b)
F FN f
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第十章 质点运动微分方程
解方程组:
ml 0 cos f FN ml 0 sin FN mg 可得: f l 0 cos 0.35
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第十章 质点运动微分方程
第二类:已知作用在质点上的力,求质点的运动(积分问题) 解题步骤如下: ①正确选择研究对象。 ②正确进行受力分析,画出受力图。判断力是什么性质的力 (应放在一般位置上进行分析,对变力建立力的表达式)。 ③正确进行运动分析。(除应分析质点的运动特征外,还要确 定出其运动初始条件)。 ④选择并列出适当的质点运动微分方程。 ⑤求解未知量。根据力的函数形式决定如何积分,并利用运动 的初始条件,求出质点的运动。
1N=1kg 1m/s2=1m.kg/s2
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第十章 质点运动微分方程
第三定律:(作用力与反作用力定律)
两个物体相互作用的力,总是大小相等、方 向相反、沿同一直线,且同时分别作用在两 个物体上。
此定律既适用于平衡的物体,而且也适用于任何运动 的物体。
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第十章 质点运动微分方程
F
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第十章 质点运动微分方程
应用质点运动微分方程,可以求解下面两类质点动 力学的问题: 第一类:已知质点的运动,求作用在质点上的力(微分问题) 解题步骤和要点: ①正确选择研究对象(一般选择联系已知量和待求量的质点)。 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 ③正确进行运动分析(分析质点运动的特征量)。 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程(建立坐标系)。 ⑤求解未知量。
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ma = F
1)建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定 建立了质点的加速度、 量关系。 量关系。 质量是质点惯性的度量。 质量越大,质点惯性越大) 2)质量是质点惯性的度量。 质量越大,质点惯性越大) ( 3) 重力加速度 g )
P = mg, g = 9.8m 2 s kg 力的单位: 力的单位:牛[顿], 1N =1 ×1ms2
[例3] 质量为 的质点带有电荷 以速度 0进入强度按 例 质量为m的质点带有电荷 以速度v 进入强度按E=Acoskt变 的质点带有电荷e,以速度 变 化的均匀电场中,初速度方向与电场强度垂直 如图所示。质点在 化的均匀电场中 初速度方向与电场强度垂直,如图所示 初速度方向与电场强度垂直 如图所示。 电场中受力 F = −eE 作用。已知常数 作用。已知常数A,k,忽略质点的重力 试求质 忽略质点的重力,试求质 忽略质点的重力 点的运动轨迹。 点的运动轨迹。 解: 属第二类问题 dvx d2x m 2 =m = 0, dt dt dvy d2 y m 2 =m = −eAcoskt dt dt 由 t =0 时 vx = v0, vy = 0, 上式两边取积分: dvx = 0 上式两边取积分:
1)当 = 0时 ax = −rω2(1+λ), 且 =0, β ϕ ,
2) ϕ = 当
π
2
⇒F = mrω2(1+λ)
, 时 ax = rω2λ 且 β = l 2 −r2 l cos
⇒F = −mr2ω2
l 2 −r2
[注] 第一类问题较简单,一般将运动方程求导后 第一类问题较简单, 可得到加速度, 可得到加速度,代入质点运动微分方程后即 可求得力。 可求得力。
第十章 质点动力学的基本方程
引
言
研究物体的机械运动与作用力之间的关系 一.研究对象: 研究对象: 力学模型: 二.力学模型: 具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 1.质点: 质点: 质点 具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如:研究卫星的轨道时, 质点; 例如:研究卫星的轨道时,卫星 质点; 刚体作平动时,刚体 刚体作平动时, 质点。 质点。 2.质点系: 质点系: 质点系 由有限或无限个有着一定联系 的质点组成的系统。 的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系 是一个特殊的质点系, 刚体是一个特殊的质点系,由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。 不变的质点组成。又称为不变质点系。
上式两边取积分: 由 t = 0时 x = y = 0 上式两边取积分:
⇒ dx = v0dt ,
0 0
∫
x
ห้องสมุดไป่ตู้
∫
t
eA t ∫0 dy = − mk∫0 sin ktdt
y
得运动方程
x = v0t, y =
eA m k
2
(coskt −1)
消去t, 得轨迹方程 消去
eA k y = 2 cos x −1 v mk 0
dv dv = v ,再 离 量 分 分 变 积 。 dt ds
[例4] 一圆锥摆 如图所示。质量 例 一圆锥摆,如图所示 质量m=0.1kg的小球系于长 如图所示。 的小球系于长l=0.3m 的小球系于长 的绳上,绳的另一端系在固定点 绳的另一端系在固定点O,并与铅直线成 的绳上 绳的另一端系在固定点 并与铅直线成 θ = 60o 角。如 小球在水平面内作匀速圆周运动,求小球的速度v与绳的张力 与绳的张力。 小球在水平面内作匀速圆周运动,求小球的速度 与绳的张力。
v0
∫
vx
∫
vy
0
eA t dvy = − ∫ cosktdt m 0
已知: m, v0 , E = Acos kt, v0 ⊥ E, F = −eE,不 重 已知 计 力 质点的运动轨迹。 求:质点的运动轨迹。 质点的运动轨迹
dx dy eA ⇒vx = =v0, vy = = − sin kt dt mk dt
第10章 质点动力学的基本方程 10章
第十章结束
解: 研 小 , 究 球
0 =Fcosθ −mg v2 m = F sinθ
ρ
中 其 ρ = l sinθ, 解 得 mg F= =1.96N cosθ
Fl sin 2 θ v= = 2.1m s m
属于混合问题
[例5] 粉碎机滚筒半径为R,绕通过中心的水平轴匀速转动, 例 绕通过中心的水平轴匀速转动, 筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使小球获得粉碎矿石 筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。 的能量,铁球应在θ =θ0时才掉下来。求滚筒每分钟的转数 。 时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。 的能量, 解:研究铁球
b
A
解: 属第一类问题
n
FA
an
B FB M
由 an = ∑F , 0 = ∑F m ni bi
⇒m n = FA cosθ + FB cosθ a
ω
mg
0 = FA sinθ − FB sinθ −m g
a 且 n = l 2 −a2ω2
τ
m 2 l ⇒FA = (ω a + g) 2a
m 2 l FB = (ω a − g) 2a
v2 m = F + m cosθ g N R πn 中 , 当 θ =θ0时 FN = 0, 其 v = 30 R
g ⇒n = 9.549 cosθ0 R
g , 不 离 壁 当 n≥ 9.49 时 球 脱 筒 。 R [思考题:P240 10-1,10-2 思考题: 思考题 ,
n
习题:P241 10-3] 习题
1010-2 质点的运动微分方程
r r r 点受 n个力 1, 2, F 作用 , F F …n 时, 质 到 时
m = ∑F a i
d2r 或 m 2 = ∑F ———质点的运动微分方程 i ———质点的运动微分方程 dt
1 、在直角坐标轴上的投影
d2x d2 y d2z m 2 = ∑F , m 2 = ∑Fyi , m 2 = ∑F xi zi dt dt dt
4、例题分析 、
[例1] 图示质量为 的球 ,由两根各长为 的杆所支持,此 例 图示质量为m的球 的球M,由两根各长为l 的杆所支持, 绕铅直轴AB转动 转动。 机构以不变的角速度ω绕铅直轴 转动。如AB=2a,两杆的 两杆的 各端均为铰接,且杆重忽略不计,求杆的内力。 各端均为铰接,且杆重忽略不计,求杆的内力。
三.动力学分类: 质点动力学 动力学分类:
质点系动力学
1010-1 动力学的基本定律 第一定律 (惯性定律): 惯性定律): 不受力作用的质点,将保持静止或作匀速直线运动。 不受力作用的质点,将保持静止或作匀速直线运动。 第二定律 (力与加速度之间的关系定律) 力与加速度之间的关系定律)
④选择并列出适当的质点运动微分方程。 选择并列出适当的质点运动微分方程。 选择并列出适当的质点运动微分方程 ⑤求解未知量。 求解未知量。 求解未知量 应根据力的函数形式决定如何积分, 应根据力的函数形式决定如何积分,并利用运动的初 始条件,求出质点的运动。 始条件,求出质点的运动。 1)如力是常量或是时间及速度函数时,可直接分离变量 如力是常量或是时间及速度函数时, 如力是常量或是时间及速度函数时 dv 对 积 。 分 dt 2)如力是位置的函数,需进行变量置换 如力是位置的函数, 如力是位置的函数
1010-2 质点的运动微分方程
解题步骤和要点: 解题步骤和要点:
第一类:已知质点的运动,求作用在质点上的力(微分问题) 第一类:已知质点的运动,求作用在质点上的力(微分问题) ①正确选择研究对象 (一般选择联系已知量和待求量的质点)。 一般选择联系已知量和待求量的质点)。 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析) ③正确进行运动分析(分析质点运动的特征量)。 正确进行运动分析(分析质点运动的特征量)。 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程(建立坐标系)。 选择并列出适当形式的质点运动微分方程(建立坐标系)。 ⑤求解未知量。 求解未知量。
ω转
如滑块的质量为m, 如滑块的质量为 忽略摩 擦及连杆AB的质量 试求 擦及连杆 的质量,试求 的质量 当ϕ =ωt = 0和π 时连杆 ,连杆 连杆AB 2 所受的力. 所受的力 解:属第一类问题
FN F mg
m x = Fcosβ a −
& 其中 ax = & = −rω2(cosωt +λcos2 t) ω x
[例2] 曲柄连杆机构如图所示 曲柄 以匀角速度 例 曲柄连杆机构如图所示.曲柄 曲柄OA以匀角速度 B 的运动方程可近似写为
λ2 λ 1− +r cosωt + cos2 t x =l ω 4 4
动,OA=r,AB=l,当 λ = r/ l比较小时 以O 为坐标原点 滑块 比较小时,以 为坐标原点,滑块 当
1010-1 动力学的基本定律 第三定律 (作用与反作用定律): 作用与反作用定律): 两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等, 两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等, 方向相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个 方向相反,沿着同一直线, 物体上。 物体上。 [注] 牛顿三定律有一定的适用范围。与之相适 牛顿三定律有一定的适用范围。 应的参考系称为惯性参考系。 应的参考系称为惯性参考系。 惯性参考系
1010-2 质点的运动微分方程 2、在自然轴上的投影 、
由 a = atτ +ann, ab = 0,
v2 dv a a 有 m t = m = ∑F , m n = m = ∑F , 0 = ∑F ni ti bi ρ dt
3 、质点动力学的两类基本问题 第一类问题:已知运动求力 第一类问题: 第二类问题:已知力求运动 第二类问题: 混合问题:第一类与第二类问题的混合 混合问题: