弹簧振子的简谐运动.
弹簧振子简谐运动实验报告
弹簧振子简谐运动实验报告一、实验目的1、观察弹簧振子的运动，理解简谐运动的特征。
2、测量弹簧振子的周期，探究周期与振子质量、弹簧劲度系数的关系。
3、学会使用实验仪器进行数据测量和处理。
二、实验原理弹簧振子是一个理想化的物理模型，它由一个轻质弹簧和一个质量可忽略不计的小球组成。
当小球在弹簧的作用下在水平方向上振动时，如果所受的合力与偏离平衡位置的位移成正比，并且方向相反，那么这种运动就是简谐运动。
根据胡克定律，弹簧的弹力 F ＝ kx，其中 k 是弹簧的劲度系数，x是弹簧的伸长或压缩量。
对于弹簧振子，其运动方程可以表示为：＼m\frac{d^2x}｛dt^2} ＝ kx\其解为：＼（x ＝ A\sin(＼omega t ＋＼varphi)＼），其中 A 是振幅，＼（＼omega\）是角频率，＼（＼varphi\）是初相位。
简谐运动的周期 T 与角频率\（＼omega\）的关系为：＼（T ＝＼frac{2\pi}｛＼omega}＼），又因为\（＼omega ＝＼sqrt{＼frac{k}｛m}｝＼），所以弹簧振子的周期公式为：＼（T ＝ 2\pi\sqrt{＼frac{m}｛k}｝＼）。
三、实验仪器1、气垫导轨、光电门、数字计时器。
2、不同劲度系数的弹簧。
3、不同质量的滑块。
四、实验步骤1、将气垫导轨调至水平，开启气源。
2、把弹簧一端固定在气垫导轨的一端，另一端连接滑块，使滑块在气垫导轨上做水平方向的振动。
3、在滑块上安装遮光片，调整光电门的位置，使其能够准确测量滑块通过的时间。
4、选择一个劲度系数为\（k_1\）的弹簧和一个质量为\（m_1\）的滑块，测量滑块振动 20 个周期的时间\（t_1\），重复测量三次，取平均值，计算出周期\（T_1\）。
5、保持弹簧劲度系数不变，更换质量为\（m_2\）的滑块，重复步骤 4，测量周期\（T_2\）。
6、保持滑块质量不变，更换劲度系数为\（k_2\）的弹簧，重复步骤 4，测量周期\（T_3\）。
弹簧振动与简谐运动
弹簧振子：弹簧振子是一种常见的简谐运动实例，当弹簧振子受到外力作用时，会进行简谐振动。
单摆：单摆是一种简单的简谐运动实例，当单摆受到重力作用时，会进行简谐振动。
弦振动：弦振动是一种常见的简谐运动实例，当弦受到外力作用时，会进行简谐振动。
电磁振荡：电磁振荡是一种常见的简谐运动实例，当电磁系统受到外力作用时，会进行简谐振动。
弹簧振动的谐振频率与振幅的关系
弹簧振动与简谐运动的理论研究
5
理论模型与公式推导
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弹簧振动方程：描述弹簧振动的物理规律
胡克定律：描述弹簧的形变与弹力之间的关系
简谐运动方程：描述简谐运动的物理规律
公式推导：从胡克定律和弹簧振动方程推导出简谐运动方程
理论分析与计算方法
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差异：弹簧振动的振幅和频率与弹簧的刚度和质量有关，而简谐运动的振幅和频率与物体的质量和弹簧的刚度有关。
联系：弹簧振动是简谐运动的一种特殊情况，当弹簧的刚度和质量满足一定条件时，弹簧振动可以简化为简谐运动。
弹簧振动与简谐运动的关系在现实生活中的应用
钟摆：钟摆的摆动是简谐运动，其振动周期与弹簧的刚度和质量有关。
弹簧振动的能量守恒，即动能和势能相互转化，没有能量损失。
弹簧振动的应用
机械手表：利用弹簧振动来控制手表的走时精度
地震监测：利用弹簧振动来监测地震活动，提前预警
简谐运动的定义
2
简谐运动的描述
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简谐运动的特点是位移、速度和加速度都与时间呈正弦或余弦关系
简谐运动是一种周期性、重复性的运动
弹簧的弹性系数：决定弹簧振动频率和振幅的重要参数
弹簧振子的简谐振动
弹簧振子的简谐振动【实验目的】：1.测量弹簧振子的振动周期T2.求弹簧的劲度系数k 和有效质量m【实验器材】：气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、秒表【实验原理】：1.弹簧振子的简谐运动方程质量为m 1的质点由两个弹簧拉着, 弹簧的劲度系数分别为k 当m 偏离平衡位置的距离为x 时, 它受弹簧作用力并用牛顿第二定律写出方程−kx = mx ¨方程的解为:x = A sin(ω0t + ϕ0) 即物体作简谐振动, 其中ω0 =kmω0是振动系统的固有角频率. m = m 1 + m 0 是振动系统的有效质量, m 0是弹簧的有效质量. A 是振幅, φ0是初相位, ω0有系统本身决定, A 和φ0由初始条件决定. 系统的振动周期: T =2πω0= 2π,mk=2πm 1 + m 0k在实验中改变质量，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出劲度系数与有效质量【实验过程】：1.将各装置装好并调到工作状态2.将滑块从平衡位置拉到某一合适位置，然后放手让滑块振动与此同时按下秒表，当振子振动10个周期时再按下秒表，记录下时间，重复测量10次得到每次的振动周期如下表所示： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 T/s 1.7531.7531.7531.7541.7431.7531.7561.7531.7501.7563.称量滑块质量为319.748g ，四个砝码的质量为67.862g ，六个砝码的质量为100.087g ，将四个砝码对称地放到滑块的两边，重复过程2，得到下表一的数据。
将六个砝码对称地放到滑块的两边，同样重复过程2，得到下表二的数据。
表一：次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10T/s 1.922 1.932 1.934 1.934 1.919 1.925 1.925 1.918 1.928 1.929表二：次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10T/s 2.004 2.019 1.984 2.000 1.996 1.994 1.997 1.994 1.985 1.9974.用逐差法处理上述数据得弹簧等效劲度系数k=4.39N/m弹簧等效质量m=0.218g丁朝阳2012301020025。
实验报告弹簧振子的简谐运动
实验报告弹簧振子的简谐运动本实验主要研究弹簧振子的简谐运动，探究其运动规律、振动周期等物理特性。
通过大量测试数据的分析和比较，得到一系列准确的实验结果，为进一步研究弹簧振子在物理学中的应用打下了坚实的实验基础。
首先，我们需要知道什么是弹簧振子。
在物理学中，弹簧振子是指以弹簧为主要构件的简谐振动系统。
简谐振动是指物体在平衡位置附近做来回振动的运动状态，其特点是周期性、振幅相等、周期时间相等等。
实验过程中，我们需要利用一种称为“托线法”的测量方式，即将一个弹簧振子的末端挂于一根轻质托线上，并调整托线为竖直状态，然后加以激励，使其作简谐振动。
通过测量振子的振幅、周期等参数，可以得到弹簧振子的运动规律。
对于弹簧振子的运动规律，我们可以通过实验采集的数据进行分析和推导。
例如，我们可以通过测量振幅和时间的关系，得到振子的加速度。
同时，我们还可以利用弹簧振子的重要物理特性——弹性系数，计算出其振动周期。
在实验室中，我们可以通过不同的测量方法，不断验证弹簧振子的运动规律，最终得到更加准确的实验结果。
此外，在实验过程中，我们还要注意控制实验环境的干扰因素，以确保实验数据的准确性和可靠性。
例如，我们需要保持实验室的温度、湿度等环境参数稳定，防止外部扰动对实验数据的影响。
并且，我们还需要对实验装置进行维护和校准，以确保测试时的设备状态和运行性能。
总之，弹簧振子的简谐运动是物理学中一个重要的实验课题，研究其运动规律可以为我们更全面地理解和应用简谐振动提供帮助。
通过本实验的学习和探究，我们不仅提高了理论知识的掌握程度，还加强了实验技能和数据处理能力。
相信这些能力的提升可以让我们更好地解决实际问题，为科学技术的发展作出更大的贡献。
实验报告弹簧振子的简谐运动
表格 2 振子周期和质量之间的关系
A = 40.0(cm)
m0(g) 453.8 505.0 556.3 608.5 659.7 710.9
TL (s) 2.08580 2.19880 2.30622 2.41073 2.50893 2.60368
2.08582 2.19866 2.30653 2.41077 2.50916 2.60376
vmax = ω0A ...............................................................................(5)
3.
简谐振动的机械能
在实验中, 任何时刻系统的振动动能为:
系别 同组姓名
___________ __________
实验日期 _________________________
教师评定 ______________
800.1 700.1
y = 4180.7x - 6.9347
600.1
500.1
t2/4pi2
400.1
300.1
200.1
100.1
0.1 0.000000
0.020000
0.040000
0.060000
有效质量;
2.
观测简谐振动的运动学特征;
3.
测量简谐振动的机械能.
【仪器用具】
气轨, 弹簧, 划块, 骑码, 挡光刀片, 光电计时器(精度:0.00001s), 电子天平(精度:0.01g), 游 标卡尺(游标刻度 0.02mm).
【实验原理】
k
m1
k
1.
弹簧振子的简谐运动方程
质量为 m1 的质点由两个弹簧拉着, 弹簧的劲度系数分别为 k1 和 k2, 如图所示. 当 m 偏离平 衡位置的距离为 x 时, 它受弹簧作用力:
气轨上的弹簧振子的简谐振动
X X 大学实验报告课程名称 基础物理实验 实验项目名称 气轨上的弹簧振子的简谐振动指导教师 学生姓名 学号 系 同组姓名实验日期 年 月 日 成绩评定【实验目的】1.观察简谐振动现象，测定简谐振动的周期。
2.求弹簧的劲度系数k 和有效质量m 03.观察简谐振动的运动学特征4.验证机械能守恒定律【实验原理】1.弹簧振子的简谐运动在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图1所示。
如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐振动。
设质量为m 1的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为x 0，当m 1距平衡点x 时，m 1只受弹性力-k 1(x +x 0)与-k 1(x -x 0)的作用，其中k 1是弹簧的倔强系数。
根据牛顿第二定律，其运动方程为（1） ，01m m m =+ （2）式中：m —振动系统的有效质量；m 0—弹簧的有效质量；m 1—滑块和砝码的质量。
方程（1）的解为00sin()x A t ωϕ=+ （3）说明滑块是做简谐振动。
式中：A —振幅；0ϕ—初相位。
0ω= （4）0ω叫做振动系统的固有频率，由振动系统本身的性质所决定。
振动周期T 与0ω有下列关系：图1简谐运动原理图02/22T πω=== （5）（5）式两边平方即可得到22104()/T m m k π=+ （6）在实验中，我们改变m 1，测出相应的T ，采用作图法获得T 2-m 的曲线，该曲线应该为一条直线，直线的斜率为24/k π，采用最小二乘法可以计算出该斜率值，并得到k 的值。
同时，可以从该条直线的截距获取m 0的值。
也可采用逐差法求解k 和m 0的值。
2.简谐运动的运动学特征描述 对（2）式在时间上进行求导即可得到000cos()dxv A t dtωωϕ==+ （7） 由（7）式可见，速度v 与时间有关，且随时间的变化关系为简谐振动，角频率为0ω，振幅为0A ω，而且速度v 的相位比x 超前π/2。
弹簧振子周期
弹簧振子周期
弹簧振子是一种典型的简谐运动系统，它的运动周期可以用下面的公式来计算：
T = 2π √(m/k)
其中，T是弹簧振子的周期，m是振子的质量，k是弹簧的弹性系数。
这个公式适用于弹簧的静力学，即振子的运动受到的力是一个常数。
如果弹簧的长度是L，则弹簧的弹性系数可以表示为：
k = F/ΔL
其中，F是弹簧在延伸或收缩时受到的力，ΔL是弹簧延伸或收缩的长度。
例如，如果弹簧的质量是0.5千克，弹簧的弹性系数是50牛，则弹簧振子的周期为：
T = 2π √(0.5/50) = 0.63秒
注意，这个公式只适用于小振幅的弹簧振子。
如果振幅很大，弹簧振子的周期就不是固定的了。
弹簧振子的简谐运动
弹簧振子的简谐运动原始数据：弹簧质量：m1=9.952g; m2=10.480g.砝码质量：m120=17.504g; m115=17.740g; m17=14.551g; m135=17.840g; m82=17.747g; m85=17.774g一．实验目的（1）测量弹簧振子的动周期T。
（2）求弹簧的倔强系数k和有效质量m0二．实验器材气垫导轨，滑块，附加砝码，弹簧，光电门，数字毫秒计。
三．实验原理在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一块滑块，让滑块作往返振动。
如果不考虑滑块运动的的阻力，那么滑块的振动可以看成是简谐振动。
设质量为m1的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为x0,当m1距离平衡点x时，m1只受到弹性力−k(x+x0)和−k(x−x0)的作用，其中k1是弹簧的倔强系数。
根据牛顿第二定律，其运动方程为：−k(x+x0)−k(x−x0)=mẍ令k1=2k则有：−2k1=mẍm=m1+m0式子中，m为振动系统的有效质量，m0为弹簧的有效质量，m1为滑块和砝码的质量。
ω0由振动系统本身的性质所决定。
振动周期T与ω0有下列关系：T=2πω0=2π√m0+m1k在实验中，我们改变m1,测出相应的T，考虑T与m 的关系，从而求出k和m0四．实验具体操作（1）按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。
（2）将滑块从平衡位置拉到光电门左边某位置，然后放手让滑块振动，记录T A的值。
要求记录五位有效数字，共测量十次。
（3）再按步骤（2）将滑块从平衡位置拉到光电门的右边某处，测量记录TB，共测量十次。
取T A和T B的平均值作为振动周期T，与T相应的有效质量是m=m1+m0，其中m1就是滑块本身的质量，m0为弹簧的有效质量。
（4）在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤（２）和（３）测量相应的周期T。
有效质量m=m2+m0，m2为滑块本身质量加上俩砝码质量的和。
（5）再继续两个两个地增加砝码，且滑块和砝码总质量分别记为ｍ３，ｍ４．（6）测量完毕，先取下砝码，弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。
简谐运动知识点以及习题
简谐运动知识点以及习题简谐运动及其图象知识点⼀：弹簧振⼦要点诠释：1.弹簧振⼦如图，把连在⼀起的弹簧和⼩球穿在⽔平杆上，弹簧左端固定在⽀架上，⼩球可以在杆上滑动。
⼩球滑动时的摩擦⼒可以忽略，弹簧的质量⽐⼩球的质量⼩得多，也可忽略.注意：①⼩球原来静⽌的位置就是平衡位置。
⼩球在平衡位置附近所做的往复运动，是⼀种机械振动。
②⼩球的运动是平动，可以看作质点。
③弹簧振⼦是⼀个不考虑摩擦阻⼒，不考虑弹簧的质量，不考虑振⼦（⾦属⼩球）的⼤⼩和形状的理想化的物理模型。
2.弹簧振⼦的位移——时间图象（1）振动物体的位移是指由平衡位置指向振⼦所在处的有向线段，可以说某时刻的位移。
说明：振动物体的位移与运动学中位移的含义不同，振⼦的位移总是相对于平衡位置⽽⾔的，即初位置是平衡位置，末位置是振⼦所在的位置。
因⽽振⼦对平衡位置的位移⽅向始终背离平衡位置。
（3）如何记录振动的图象①⽤频闪照相的⽅法。
因为摄像底⽚从下向上匀速运动，底⽚运动的距离与时间成正⽐，因此可⽤底⽚运动的距离代表时间轴。
振⼦的频闪照⽚反映了不同时刻振⼦离开平衡位置的位移，也就是位移随时间变化的规律。
②在弹簧振⼦的⼩球上安装⼀只绘图笔，让⼀条纸带在与⼩球振动⽅向垂直的⽅向上匀速运动，笔在纸带上画出的就是⼩球的振动图象。
这种⽅法在实际中有着很重要应⽤。
如医院⾥的⼼电图仪、地震仪中绘制地震曲线的装置等，都⽤类似的⽅法记录振动情况。
（4）弹簧振⼦的位移－时间图象是⼀条正（余）弦曲线。
知识点⼆：简谐运动1.简谐运动如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x-t图象)是⼀条正弦曲线，这样的振动，叫做简谐运动。
简谐运动是机械振动中最简单、最基本的振动。
弹簧振⼦的运动就是简谐运动。
2.描述简谐运动的物理量（1）振幅（A）振幅是指振动物体离开平衡位置的最⼤距离，是表征振动强弱的物理量。
⼀定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的，⽽位移是时刻在改变的。
机械振动——简谐运动的基本概念
式中的比例系数k为弹簧的劲度系数（Stiffness），它反映弹簧的固有性质，负号表示力的方向与位移的方向相反，它是始终指向平衡位置的。离平衡位置越远，力越大；在平衡位置力为零，物体由于惯性继续运动。这种始终指向平衡位置的力称为回复力。
2．动力学方程及其解
根据牛顿第二定律，
f=ma
可得物体的加速度为
对于给定的弹簧振子，m和k均为正值常量，令
则上动的微分方程。
三、简谐运动的运动学特征：
1．简谐振动的表达式（运动学方程）
简谐运动的微分方程的解具有正弦、余弦函数或指数形式。我们采用余弦函数形式，即
这就是简谐运动的运动学方程，式中A和φ是积分常数。
说明：
1）简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦函数。
定义：物体在2π秒时间内所作的完全振动的次数，用ω表示，单位为弧度/秒(rad. s-1或s-1)。
说明：
1）简谐运动的基本特性是它的周期性；
2）周期、频率或圆频率均有振动系统本身的性质所决定，故称之为固有周期、固有频率或固有圆频率。
3）对于弹簧振子， ， ， 。
4）简谐运动的表达式可以表示为
三、相位(Phase)—反映振动的状态
物体在B、C之间来回往复运动。
结论：物体作简谐运动的条件：
物体的惯性——阻止系统停留在平衡位置
作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置
二、弹簧振子的动力学特征：
1．线性回复力
分析弹簧振子的受力情况。取平衡位置O点为坐标原点，水平向右为X轴的正方向。由胡克定律可知，物体m(可视为质点)在坐标为x(即相对于O点的位移)的位置时所受弹簧的作用力为
物体的简谐振动与弹簧振子
物体的简谐振动与弹簧振子物体的简谐振动是物理学中一个重要而基础的概念，它描述了一类在恢复力作用下沿固定轴线做往复运动的物体。
弹簧振子是简谐振动的一个经典例子，通过弹簧的伸缩使物体做简谐振动。
本文将介绍物体的简谐振动以及弹簧振子的原理和特性。
1. 物体的简谐振动物体的简谐振动是指在恢复力作用下，物体在平衡位置附近以往复方式振动的运动形式。
简谐振动的基本特点是振幅恒定且周期相等，其速度和加速度与位移成正比。
这种振动形式在自然界中广泛存在，例如摆钟的摆动、弦乐器的琴弦振动等。
简谐振动的数学描述使用简谐运动方程：x = A * sin(ωt + φ)，其中x为位移，A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
角频率ω的大小决定了振动的快慢，初相位φ则决定了振动的起始位置。
2. 弹簧振子弹簧振子是简谐振动的一个典型例子，它由质量m的物体通过一根弹簧与定点连接而成。
当物体偏离平衡位置时，弹簧会产生恢复力，把物体拉回平衡位置。
这种恢复力与位移成正比，符合简谐振动的特点。
弹簧振子的特性由弹簧的劲度系数k和物体的质量m共同决定。
劲度系数k越大，弹簧越“硬”，物体的振动周期越短；质量m越大，物体的振动周期越长。
弹簧振子的振动频率f与角频率ω的关系由公式f = ω/2π得到。
除了振动频率，弹簧振子还具有振幅、位移、速度和加速度等运动参数。
振幅是物体离开平衡位置的最大位移；位移描述了物体相对平衡位置的位置；速度描述了物体运动的快慢和方向；加速度描述了物体在振动过程中受到的加速度大小和方向。
3. 弹簧振子的应用弹簧振子的简谐振动特性使其在实际应用中具有广泛的应用价值。
下面介绍一些常见的应用：（1）钟表：钟表的摆动采用了弹簧振子的原理，通过合适的调整摆长和质量来实现精确的时间测量。
（2）工程结构：在建筑和工程结构设计中，弹簧振子的理论可以用来分析和减小结构的振动，从而提高结构的稳定性和安全性。
（3）振动传感器：弹簧振子可以用作振动传感器，通过测量弹簧振子的振动频率和振幅变化，可以得到所感知的振动信号信息。
弹簧振子的简谐运动
弹簧振子的简谐运动弹簧振子是物理学中重要的一个概念，它是指一个质点固定在一根弹簧的一个端点，然后在重力或其他外力的作用下，它能够在一根垂直线上进行来回振动的现象。
弹簧振子的运动遵循简谐运动的规律，而简谐运动是力学中的基本运动之一。
弹簧振子的简谐运动可以通过数学模型进行描述。
首先，我们可以建立一个坐标系，在这个坐标系中，弹簧振子的平衡位置为原点O，向上为正方向。
然后，我们令x表示质点离开平衡位置的位移，设弹簧的劲度系数为k，质点的质量为m。
根据胡克定律，弹簧对质点的恢复力与质点的位移成正比，可以表示为F = -kx，其中负号表示力的方向与位移方向相反。
根据牛顿第二定律，质点所受合外力等于质点的质量乘以加速度，即ma = -kx。
根据简谐运动的定义，加速度与位移有关，可表示为a = -ω²x，其中ω表示角频率。
将上述两式联立，得到质点的运动微分方程：m( d²x/dt² )+ kx = 0。
通过求解这个微分方程，我们可以得到弹簧振子的解析解，进而可以了解其运动特性。
弹簧振子的解析解为：x(t) = A * cos(ωt + Φ)，其中A表示振幅，即质点离开平衡位置的最大位移。
Φ表示相位常数，它决定了弹簧振子的初始相位。
ω表示角频率，它与弹簧的劲度系数k和质点的质量m 有关，具体计算公式为ω = sqrt(k/m)。
从这个解析解中，我们可以得到弹簧振子的一些运动特性。
首先是周期性，弹簧振子的运动是周期性的，即在一定时间内，它能够完成一个完整的振动周期。
这个周期为T = 2π/ω，与振幅A和劲度系数k无关。
其次是频率，频率指的是单位时间内完成的振动次数，可用f = 1/T表示。
频率与角频率之间有简单的联系，即f = ω/2π。
根据这个公式，我们可以得到频率与振幅和劲度系数的关系。
此外，还有相位差的概念，当我们观察两个弹簧振子同时运动时，它们之间可能存在相位差。
相位差可以用相位角来表示，相位角等于两个质点的相位常数之差，即ΔΦ = Φ₁ - Φ₂。
简谐运动实验报告
简谐运动实验报告简谐运动实验报告引言简谐运动是物理学中的一个重要概念，它在我们日常生活中随处可见。
为了更好地理解简谐运动的特点和规律，我们进行了一系列的实验。
本实验旨在通过观察和分析简谐运动的特征，探究其背后的物理原理。
实验一：弹簧振子的简谐运动我们首先进行了弹簧振子的简谐运动实验。
实验装置包括一个弹簧和一个质量块。
我们将质量块悬挂在弹簧上方，并给予它一个初速度。
随着时间的推移，我们观察到质量块在弹簧的拉伸和压缩之间来回振动。
通过记录振动的周期和振幅，我们可以得出以下结论。
结论一：弹簧振子的周期与质量无关，与弹簧的劲度系数有关。
我们发现，无论质量块的质量如何变化，弹簧振子的周期保持不变。
然而，当我们改变弹簧的劲度系数时，周期会发生变化。
这表明，弹簧振子的周期与质量无关，但与弹簧的劲度系数成正比。
实验二：单摆的简谐运动接下来，我们进行了单摆的简谐运动实验。
实验装置包括一个线轴和一个质量球。
我们将质量球悬挂在线轴上方，并给予它一个初角度。
随着时间的推移，我们观察到质量球在线轴的摆动过程中，角度的变化呈现出周期性的规律。
通过记录摆动的周期和振幅，我们得出以下结论。
结论二：单摆的周期与摆长有关，与质量无关。
我们发现，无论质量球的质量如何变化，单摆的周期保持不变。
然而，当我们改变摆长时，周期会发生变化。
这表明，单摆的周期与质量无关，但与摆长成正比。
实验三：双摆的简谐运动最后，我们进行了双摆的简谐运动实验。
实验装置包括两个线轴和两个质量球。
我们将两个质量球悬挂在不同长度的线轴上，并给予它们一个初角度。
随着时间的推移，我们观察到两个质量球在线轴的摆动过程中，角度的变化呈现出复杂而有趣的规律。
通过记录摆动的周期和振幅，我们得出以下结论。
结论三：双摆的周期与摆长和质量有关。
我们发现，双摆的周期既与摆长有关，又与质量有关。
当我们改变摆长或质量时，周期会发生变化。
这表明，双摆的周期与摆长和质量成正比。
结论通过以上实验，我们得出了关于简谐运动的几个重要结论。
弹簧振子简谐运动条件
弹簧振子简谐运动条件有质量的弹簧振子的简谐运动是一个经典的物理实验，由$textit{Isaac}$ $textit{Newton}$他的《自然哲学原理》一书中作出解释。
简谐运动是一种周期性，有规律的运动,在每个周期内，它的物理量都会有一种振荡的运动。
一般情况下，简谐运动可以被软件模拟，来测量振子的运动模式。
在有质量的弹簧振子的简谐运动中，给定一些条件和参数，当给定的条件被满足时，就可以产生简谐运动。
一般来说，这些条件有：振子的质量、弹簧的劲度、摩擦系数、质量的位置、应力等等。
第一个条件是关于振子的质量，即 m。
要产生简谐运动，质量 m 不能是零。
如果质量为零，则振子不受力，弹簧不会拉伸，也不会发生简谐运动。
第二个条件是关于弹簧的劲度，即 $k$。
弹簧的劲度越大，质量的运动越快，反之越慢。
由于弹簧的劲度有限，当弹簧的劲度越大时，质量所承受的力也越大，弹簧的拉伸量也越大，此时质量本身也会缓慢收敛，所以弹簧的劲度不能无限大。
第三个条件是关于摩擦系数，即 $zeta$。
摩擦系数对质量的运动有重要的影响。
当摩擦系数 $zeta$大时，质量摩擦力就越大，摩擦力会减缓质量的运动速度，当摩擦系数 $zeta$小时，摩擦力就越小，质量的运动速度就会加快。
第四个条件是关于质量的位置，即 $x$。
改变质量的位置，会改变弹簧的力，这也会影响质量的运动。
当质量的位置为零时，弹簧的力就会减小，这时质量的运动速度也会减慢。
最后，还有一个条件是关于应力。
当我们将外力施加到振子上时，振子会改变位置，弹簧也会拉伸，从而产生一定的力。
当外力施加到振子上时，质量的运动也会受到影响，但是，应力对质量的运动模式不大。
总而言之，要产生简谐运动，我们必须满足以上所有条件。
满足这些条件之后，整个物体就会出现简谐运动现象，有规律的振荡过程。
现在，有质量的弹簧振子的简谐运动已经应用在许多领域，比如天文、声学、电子、机械等，都可以用简谐运动现象来解释一些现象或进行模拟。
简谐运动 课件
解析 物体经过平衡位置向正方向运动，先后经过P、Q 两点，故位移增大，速度减小；物体从正方向最大位移 处向负方向运动，先后经过M、N两点，且N点在平衡位 置另一侧，故从M→N位移先减小后增大. 答案 AC
课堂要点小结
二、弹簧振子的x－t图象 例2 如图6甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为 正方向，振子经过O点时开始计时，其振动的x－t图象如 图乙所示.则下列说法中正确的是( )
图6
A.t2时刻振子在A点 B.t2时刻振子在B点 C.在t1～t2时间内，振子的位移在增大 D.在t3～t4时间内，振子的位移在减小 解析 振子在A点和B点时的位移最大，由于取向右为正 方向，所以振子运动到A点有正向最大位移，在B点有负 向最大位移，则t2时刻，振子在A点，t4时刻，振子在B点， 故选项A正确，B错误；
三、简谐运动及其图象
问题设计
简谐运动与匀速运动比较，速度有何不同？如何判断一个 物体的运动是不是简谐运动？ 答案 简谐运动的速度大小、方向都不断变化，只要物体 的位移随时间按正弦函数规律变化，则这个物体的运动就 是简谐运动.
要点提炼
1.定义：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦(或余弦)函 数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条 正弦(或余弦) 曲线 ，这样的振动叫做简谐运动. 2.特点：简谐运动是最简单、最基本的振动，其振动过程 关于平衡位置对称，是一种 周期性 运动.弹簧振子的运动就 是简谐运动.
振子的位移是以平衡位置为参考点的，所以在t1～t2和 t3～t4时间内振子的位移都在增大，故选项C正确，D错误. 答案 AC
三、对简谐运动图象的理解
例3 如图7所示为某物体做简谐运动的图象，下列说法
中正确的是( )
A.由P→Q位移在增大
水平弹簧振子简谐证明
弹簧振子是一种典型的振动，它的特点是小球偏离平衡位置时总是受到一个指向平衡位置的力，称为回复力。
水平弹簧振子的回复力就是弹簧弹力，而竖直弹簧振子的回复力是弹力和小球重力的合力。
我们在课上已经证明，无论是水平弹簧振子，还是竖直弹簧振子，它的回复力总是与位移反向且成正比的。
其实，很多振动都有这种特点：如果一个振动中物体所受的回复力与位移反向且成正比，那么这个物体的运动就称为简谐振动。
简谐振动具有共同的特点，比如简谐运动的周期公式都是相同的。
生活中有很多简谐振动，比如我们将一个浮标放入水中，让浮标受到一个微小的扰动而上下运动，那么浮标就是简谐运动。
在比如绳子悬挂一个小球，小球做微小的左右摆动，就构成单摆，单摆也是简谐运动。
可以从数学上证明：任何一种周期性的运动，都可以分解成一系列简谐振动的合成，这称为傅里叶变换，大家上了大学就知道了。
简谐运动的回复力与位移反向且成正比，而根据牛顿第二定律，加速度与回复力同向且成正比，所以简谐运动的加速度也与位移反向成正比。
例如，在坐车时候，如果把人随着车上下颠簸看作简谐运动，那么当车
在最低点时人向下的位移最大，加速度向上最大，此时人就处于超重状态，座椅对人的支持力就最大。
在简谐运动中，我们还要讨论的问题是能量。
无阻力的简谐运动机械能是守恒的，动能和势能相互转化。
以水平弹簧振子为例子，动能是小球具有的，势能是弹簧具有的。
在平衡位置处弹簧处于原长，势能最小，此时小球最快，动能最大；在两侧振幅处，弹簧的形变量最大，此时势能最大，小球速度为零，动能为零。
这个结论对于所有简谐运动都成立：即靠近平衡位置动能大，远离平衡位置势能大。
弹簧振子的谐振简谐运动和周期性振动的原理
弹簧振子的谐振简谐运动和周期性振动的原理谐振是物体在外力作用下发生周期性振动的现象。
而弹簧振子是一种经典的谐振系统，在许多物理领域有广泛的应用。
本文将探讨弹簧振子的谐振简谐运动以及周期性振动的原理。
一、弹簧振子的谐振简谐运动弹簧振子由一个质量为m的物体和一个弹性劲度系数为k的弹簧组成，当物体在弹簧的拉伸或压缩作用下发生振动时，形成了弹簧振子的谐振简谐运动。
弹簧振子的谐振简谐运动满足以下条件：1. 力的方向与位移的方向相同，即弹簧和物体之间的力是恢复力，与物体的位移方向相反。
2. 力的大小与位移呈线性关系，即恢复力的大小正比于物体的位移。
根据胡克定律，弹簧恢复力的大小与物体的位移成正比，即F = -kx，其中F为恢复力，x为位移，k为弹簧的劲度系数。
根据牛顿第二定律，物体受到的合力与物体的加速度成正比，即F= ma，其中F为物体所受合外力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
将上述两个方程联立可得：ma = -kx，整理得到物体的振动方程为m¨x = -kx，其中¨x表示物体位移的二阶导数。
解以上振动方程可得到物体的位移解为x(t) = A sin(ωt + φ)，其中A 为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
二、周期性振动的原理周期性振动是指物体在一定条件下，周期地重复发生相同的振动过程。
弹簧振子的谐振简谐运动就是一种周期性振动。
周期性振动的原理可用能量转化和损耗的角度来解释。
在弹簧振子的谐振简谐运动过程中，弹簧和物体之间的能量不断地由动能转化为势能，同时由势能转化为动能。
当物体经过平衡位置并完成一次往复振动后，其动能和势能的总能量恢复初始状态。
然而，在实际振动过程中，存在着摩擦阻力等非保守力的损耗，使得物体的振幅逐渐减小，最终停止振动。
这是因为非保守力将机械能耗散为热能和其他形式的能量，从而导致周期性振动的停止。
为了维持周期性振动的稳定，需要外力对系统进行周期性的驱动，这个外力称为驱动力。
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N=0，a同, v同
劲度系数为k的轻弹簧两端分别连接质量都是m的木块A、 B如图所示，处于静止状态。现用竖直向下的力F缓慢压A， 最终使系统处于静止状态。撤去F后A做简谐运动而B 恰好 始终不离开地面。求： （1）物体P的振幅A。 （2）物体P的最大加速度am。 A （3） 外力F所做的功
B
• AB紧靠在一起将弹簧压缩，释放后一起做做简谐 运动，A与弹簧连接，若地面光滑在何处分离？ 如果地面不光滑呢？
如图所示，质量为m=1kg的物体放在质量为M=4kg 的物体上.M与竖直弹簧连接．用力将系统下压一端距 离释放，m与M将一起做简谐运动。已知弹簧的劲度系 数为k=500N/m.
(1)若振幅A=0.08m,m在最低点与最 高点时与M之间的弹力各是多大？ (2)若振幅A=0.2m,m在最低点与最高 点时与M之间的弹力各是多大？ 分离点有什么特点？
怎样判断一个物体的运动是否是 简谐运动？
如图所示，一根轻弹簧竖直直立在水平地面上， 下端固定，在弹簧的正上方有一个小球．小球从某 高处自由下落到弹簧上，将弹簧压缩。在小球从接 触弹簧开始到将弹簧压到最短的过程中，分析小球 的速度、动能、机械能、加速度如何变化？
如图，轻弹簧的劲度系数k=39.2N/m，物体A 的质量mA=0.1kg,物体B的质量mB=0.2kg，两 物块间接触水平，最大静摩擦力F’=1.96N，为 使两物体在光滑水平面上一起做简谐运动，它 们之间不发生相对滑动，振动的最大振幅应为 多大？
A B
分析