清华大学微积分全
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清华微积分答案
清华微积分答案a=? f是向量值函数，可以观察，e与a平行时，f的方向导数最大，且大小a.e=||a||，称a是f的梯度场向量值函数的切平面、微分、偏导f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))，若所有fi在x0处可微，则称f在x0处可微，即f(x)=f(x0)+a(x-x0)+o(||x-x0||)，其中a=(aij)m*n=?f/?x=?(f1,f2,…,fm)/?(x1,x2,…,xn)=j(f(x0)))称为f在x0处的jacobian (f的jacobian的第i行是f的fi分量的梯度，aij := ?fi/?xj)f的全微分df=adx当m=n时，f有散度div(f)和旋度curl(f)div(f) = ?.f=?f1/?x1 +…+?fm/?xm复合函数求导一阶偏导：若g=g(x)在x0可微，f=f(u) (u=g(x))在g(x0)可微，则f○g在x0处可微，j(f○g) = j(f(u)) j(g(x))具体地，对于多元函数f(u)=f(u1,…,um)，其中u=g(x)即ui=g(x1,…,xn)?f/?xj= ?f/?u * ?u/?xj= sum[?f/?ui * ?ui/?xj]{for each ui in u}高阶偏导：不要忘记偏导数还是复合函数例：f(u):=f(u1,u2), u(x):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))?2f/(?x1)2 = 数学分析教程p151隐函数、隐向量值函数由f(x,y)=0确定的函数y=f(x)称为隐函数隐函数：1. 存在定理：若n+1元函数f(x,y)在零点(x0,y0)处导数连续，且?(f)/?(y)(x0,y0)0，则存在(x0,y0)附近的超圆柱体b=b(x0)*b(y0)，使得b(x0)上的任意一点x可以确定一个y使得f(x,y)=0，即函数f 在b内确定了一个隐函数y=f(x)，而且这个隐函数的一阶偏导数也连续注：如果?(f)/?(y)=0，那么在x=x0超平面上，y在x0处取得了极值，那么沿曲面被x=x0截的曲线从x0处向任意方向走，y都会减小，所以y是双值函数，不是函数,??)处，2.偏导公式：在b内的(??????????/??????=???或者说????????/????=?????不正式的证明：f(x,y)≡0, 所以?f/?xi=0,即sum[?f/?xj* ?xj/?xi]=0 (把y记做xn+1)由于x的各分量都是自变量，?xj/?xi=0 (ij)所以?f/?xi + ?f/?y * ?y/?xi=0于是立即可得上述公式隐向量值函数：1.存在定理：若x∈rn,y∈rm，m维n+m元向量值函数f(x,y)=0，在p0=(x0,y0)点的某个邻域b(p0,r)内是c(1)类函数，f(p0)=0，且?f/?y可逆，则存在p0的邻域b(x0)*b(y0)，使得对于在b(x0)内的任意x，存在唯一y∈b(y0)满足f(x,y)=0，即f在b内确定了一个连续可微隐函数y=f(x)2.偏导公式：j(f) :=?(y1,…,ym)/?(x1,…,xn) :=?y/?x= -[?f/?y]-1*?f/?x注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/|a|，a*是a的余子矩阵的转置2.如果只求j(f)中的一列，?(y)/?(xi)=-[?(f)/?(y)]-1* [?(f)/?(xi)]3.如果只求j(f)中的一行或者一个元素，问题退化成隐函数偏导的问题4.计算?f/?x时，忽略y是x的函数，将y当作自变量计算（从证明中可以看出原因，因为?y/?x的成分被移到了等式左侧j(f)里面)，而不用偏导公式，采取对f(x,y)=0左右同时对xi求偏导的方法时，y要看做xi的函数）3.隐向量值函数的反函数：函数y=f(x)将rn映射至rm，如果j(f)= ?f/?x可逆，那么存在f的反函数x=f-1(y)，且j(f-1)=[j(f)]-1注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/|a|，a*是a的余子矩阵的转置2.|j(f-1)|=|j(f)|-1用参数形式给出的隐函数若有x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，则需要列方程求曲面和曲线的切平面、法线、法向量三维空间下，函数f(x,y,z)=0确定了一个曲面。
清华大学微积分课件(全)x66_ppt课件
3 d ) rdr 0(r 1 2
1 2
D
11
[解法2] 利用Gauss公式
补上底面 S 1:
S : z 1 x y
2
2 2
2
z 0 , x y 1
xdy ^ dz ydz ^ dx zdx ^ dy S
S
1
z
n
y
SS 1
o
n1
D xy
D xy
Z dx ^ dy 0 Z [ x ,y ,z ( x ,y )] dxdy ( 2 )
1
S3
同理可证
Z Zdx ^ dy dV 比较 ( 1 ) 式与 (2 ) 式 ,可以得到 z S
X Xdy ^ dz dV , x S
S3
n
Z [ x ,y ,z ( x ,y )] dxdy ( 1 ) 1
2018/11/16
D xy
9
另一方面,曲面积分
S外
Zdx ^ dy Zdx ^ dy Zdx ^ d Zdx^ dy
S 1 S 2 S 3
[注意] Z [x ,y ,z ( x , y )] dxdy 2
z
n
y
T 2 2 v ( x ,y , z ), dS 1 4 x 4 y d o D xdy ^ dz ydz ^ dx zdx ^ dy
S
2 2 x v ndS (x y 1 ) d
S 2
0
2018/11/16
2若 向 向 曲 量 面 场
定1 理 ： 设 为空间有 ,其 界 边 S 是 闭 界 分 域
清华大学微积分B1课程讲义及习题答案
(2) Z+. (思路: 当" ! 1, G¯" = {a1, a2, . . . , an, . . . }, 即当"足够大时, A的"邻域可包
含{a1, a2, . . . , an, . . . }, 此时G" = Z+. 注意等号的位置.)
证明: 令M=max{|a1 A|, |a2 A|, . . . , |an A|, . . . }, 8"M > M, G¯"M = {x|x 2
<
pp 2, 故 2是S的上界. p
8c < 2, 9x 2 (c, 2), x > c(满足定理1.2.3的第二个条件), 故supS= 2.
4. 若A,B为R中的非空有界集,则A[B与A\B也是有界集,并且 inf(A[B)=min{infA,infB}, sup(A[B)=max{supA,supB},
1.3.3 习题1.3解答
8
8
1.
设f (x)
=
<x + :0,
1,
1.2.2 定理1.2.3的证明
定理1.2.3 设E为非空集合, a, b为实数. 则有
(1) b=supE的充分必要条件是下列两个条件同时满足:
1 b是E的一个上界; 2 对于任意满足c < b的实数c, 9x 2 E, 使得x > c.
(2) b=infE的充分必要条件是下列两个条件同时满足:
1 a是E的一个下界; 2 对于任意满足c > a的实数c, 9x 2 E, 使得x < c.
微信: 18811708556 • 基础习题课的教学目标:
– 使同学掌握课程基本内容 – 使同学掌握常见问题的一般解法 – 使同学学会正确地书写解答过程 • 其他要求和说明:
清华大学微积分高等数学课件第讲常微分方程二 共32页
29.07.2019
10
给 y(x0)y0 得 C y0
特解
x
x
yex0p(x)d(xy0xx0q(非x)齐e次x0特p(x解)dd x )x
非齐次通解的结构：
设y是y'p(x)y0 (2)的通 解 ,
y(x)是y'p(x)yq(x) (1)的 一 个 ,
则(1)的 通 解 为 y(x)yy(x)
代入方程并计算化简
yC (y) C (y) C (y) yye
C(y)ey
积分得 C(y)eyd yeyC
通解 xCyyey
29.07.2019
14
[例 3]设 a0,f(x)在 [0, )连 续,证 有明 界 方程
dxaxf(t) (t0) dt
每个[0 解 , 在 )有.界
x2 ydx x2ydyd(x2y2) 2
29.07.2019
23
[ 例 1 ]解(x 方 2 y ) d 程 ( x x y ) d 0 y
[解] 凑微分
x 2 d x (xd yyd )x yd 0 y
d(x3)d(x)yd(y2)0
3
2
d(x3 xyy2)0
3
2
通解
x3 xy y2 C
3
2
29.07.2019
24
[例 2] 解方 yd 程 x(y3ln x)d y0
x
[解] 改写为
(ydx lnxd) yy3dy 0 x
(yld n x ln x) d y y 3 d y 0
d(ylnx)d(y4)0 4
通解为
yl nx1 y4 C 4
例如 xd ydx d(x)y
清华大学微积分-PART1
2019/8/14
1
微积分
讲课教师 陆小援
Tel: 62782327
E-mail: xylu@
2019/8/14
2
参考书目：
1. 《微积分教程》 韩云瑞等
清华大学出版社
2. 《一元微积分》 萧树铁 主编
高教出版社
3. 《微积分学习指导》韩云瑞等
清华大学出版社
f 1 的 值 域 是f 的 定 义 域D.
2019/8/14
30
[例2] 设 y f ( x) sin x 则 f :[ , ] [1, 1] 严格单调
22 有反函数
x f 1( y) arcsin y y [1, 1]
[例3] y e x (, ) (0, )
在函数定义中，要求函数是单值的，即
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 但 是, x1 x2 , 不 一定 有 f ( x1 ) f ( x2 )
如果 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
则 在 定 义 域D与 值 域 f (D) 之 间 就 有 如下 关 系
有 理 数c". 2019/8/14
13
二、函数概念
存在
唯一
定义： 设 D R为 非 空 数 集.
如 果 x D , 按 确 定 的 规 则f , !实 数
y 与 之 对 应, 记 作 y f ( x).则 称 f 为 定 义
在D上 的 一 个 函 数.
或记 f : D R
x —自变量, y —因变量, D —定义域.
可以确定一个函数y f (g( x)),则称
这个函数为由f 与g 构成的复合函数.
1
微积分
讲课教师 陆小援
Tel: 62782327
E-mail: xylu@
2019/8/14
2
参考书目：
1. 《微积分教程》 韩云瑞等
清华大学出版社
2. 《一元微积分》 萧树铁 主编
高教出版社
3. 《微积分学习指导》韩云瑞等
清华大学出版社
f 1 的 值 域 是f 的 定 义 域D.
2019/8/14
30
[例2] 设 y f ( x) sin x 则 f :[ , ] [1, 1] 严格单调
22 有反函数
x f 1( y) arcsin y y [1, 1]
[例3] y e x (, ) (0, )
在函数定义中，要求函数是单值的，即
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 但 是, x1 x2 , 不 一定 有 f ( x1 ) f ( x2 )
如果 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
则 在 定 义 域D与 值 域 f (D) 之 间 就 有 如下 关 系
有 理 数c". 2019/8/14
13
二、函数概念
存在
唯一
定义： 设 D R为 非 空 数 集.
如 果 x D , 按 确 定 的 规 则f , !实 数
y 与 之 对 应, 记 作 y f ( x).则 称 f 为 定 义
在D上 的 一 个 函 数.
或记 f : D R
x —自变量, y —因变量, D —定义域.
可以确定一个函数y f (g( x)),则称
这个函数为由f 与g 构成的复合函数.
清华大学微积分课件——函数极限
x
y
y−1
= (1 + 1 ) y = (1 + 1 ) y−1 ⋅ (1 + 1 )
y−1
y−1
y−1
2011-9-5
26
当x → −∞ 时, y → +∞ , 从而 y − 1 → +∞ , 于是有
lim (1+ 1 )x = lim (1+ 1 )y−1 ⋅ lim (1+ 1 )
x→−∞
x
y−1→+∞
2011-9-5
5
2011-9-5
6
1
[注意2] lim f ( x ) = A 的几何意义是什麽？ x→ x0 y
(
A+ε
A
o
)
A−ε
y = f (x)
O
(
x0 − δ
x0
)
x0 + δ
x
或∀ε > 0, ∃δ > 0, 使 f ( N ( x0 , δ )) ⊂ U ( A, ε )
2011-9-5
f ( x′n′)
所以 , 极限 lim sin 1 不存在
x→ 0
x
2011-9-5
证毕
19
三、函数极限的存在性 1.夹逼定理:
∀ x ∈ N ( x 0 ), 有 f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h( x )
且
lim f ( x ) = lim h( x ) = A
x→ x0
x→ x0
则 lim g ( x ) = A x→ x0
± 趋向于无穷
x → +∞ ⇔ ∃N > 0, x > N
x → −∞ ⇔ ∃N > 0, x < − N
清华大学微积分A习题课_6一致连续 函数的可积性 定积分的性质 不定积分
n
“ ”. 用反证法. 假设 f ( x) 在 I 上非一致连续，即 0 0, 0, x, y I ，满足 | x y | ，但
f ( x) f ( y ) 0 ．
取 1, x1 , y1 I ,| x1 y1 | 1, 有 f ( x1 ) f ( y1 ) 0 . 取
n
lim[ f ( xn ) f ( yn )] 0 ,与已知条件矛盾.故函数 f ( x) 在区间 I 上一致连续.
n
二、函数的可积性. 5. 已知 f ( x)) R[a, b] . 证明：因为 f ( x) 在 [a, b] 上可积，所以 f ( x) 在 [a, b] 上有界，设 M sup {| f ( x) |} ．
1 1 , x2 , y2 I ,| x2 y2 | , 有 f ( x2 ) f ( y2 ) 0 . 2 2 1 1 , xn , yn I ,| xn yn | , 有 f ( xn ) f ( yn ) 0 . n n
取
从 而 在 区 间 I 上 构 造 出 两 个 数 列 { xn } 与 { yn } . 显 然 lim( xn yn ) 0 ， 但
i 1
n
由于
f ( x) 可积，当划分直径趋向于零时， i xi 0 ，于是
i 1
n
ie
i 1
n
f
xi 0 ，
故函数 exp[ f ( x)] 在 [a, b] 上可积． 6. 证明：当 f ( x) 0 时， w
a x b
对于区间 [a, b] 的任意划分 T {x0 , x1 , x2 ,, xn } ， 记
“ ”. 用反证法. 假设 f ( x) 在 I 上非一致连续，即 0 0, 0, x, y I ，满足 | x y | ，但
f ( x) f ( y ) 0 ．
取 1, x1 , y1 I ,| x1 y1 | 1, 有 f ( x1 ) f ( y1 ) 0 . 取
n
lim[ f ( xn ) f ( yn )] 0 ,与已知条件矛盾.故函数 f ( x) 在区间 I 上一致连续.
n
二、函数的可积性. 5. 已知 f ( x)) R[a, b] . 证明：因为 f ( x) 在 [a, b] 上可积，所以 f ( x) 在 [a, b] 上有界，设 M sup {| f ( x) |} ．
1 1 , x2 , y2 I ,| x2 y2 | , 有 f ( x2 ) f ( y2 ) 0 . 2 2 1 1 , xn , yn I ,| xn yn | , 有 f ( xn ) f ( yn ) 0 . n n
取
从 而 在 区 间 I 上 构 造 出 两 个 数 列 { xn } 与 { yn } . 显 然 lim( xn yn ) 0 ， 但
i 1
n
由于
f ( x) 可积，当划分直径趋向于零时， i xi 0 ，于是
i 1
n
ie
i 1
n
f
xi 0 ，
故函数 exp[ f ( x)] 在 [a, b] 上可积． 6. 证明：当 f ( x) 0 时， w
a x b
对于区间 [a, b] 的任意划分 T {x0 , x1 , x2 ,, xn } ， 记
清华大学多元函数微积分题库
=
．
8．（2008j）设函数 z = z(x，y) 由方程 z + e z + 2xy = 5 确定，则 dz (1，2，0) =
．
9．（2004gj）由方程 xyz + x 2 + y 2 + z 2 = 2 所确定的函数 z = z(x，y) 在点 (1, 0, -1) 处
的全微分 dz (1,0,-1) =
．（
2007g
）
曲
线
L：îíì3xx2
2 +2 + y2
y2 +
- 2z -1= 0, z2 - 4y - 2z
+
2
=
0
在
点
M
(1，1，2)
处
的
切线
方
程
为
．
19．（2011g）椭球面 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1上平行于平面 x - y + 2z = 0 的切平面方程为
与
．
二、单项选择题
．
10 ．（ 2006gj ） 设 函 数 z = z(x，y) 由 方 程 z - x - y + xe z-x- y = 2 所 z = z(x，y) 由方程 2 y = z - e2x-3z 所确定，则 3 ¶z + ¶z =
．
¶x ¶y
r 12 ．（ 2002g ） 函 数 z = x 2 - xy + y 2 在 点 (-1，1) 处 沿 方 向 l =
（B） 函数 u(x，y) 的最大值点与最小值点都在区域 D 的边界上；
（C） 函数 u(x，y) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；
清华大学微积分习题课(Stolz定理、数列极限、函数极限)
（ ）求极限 ． 4
lim
x→0
2 1
+ +
1
ex
4
ex
+
sin x
x
Page 1 of 3
2/3
3．求下列极限
（ ）求 ．1
1
lim(1 + sin x)2x
x→0
（ ） ． x2 −1x2
3
lim
x→∞
x2
+
1
4．求下列极限
（ ）求 2
lim(sin 1 + cos 1 )x .
x→∞
f (x) g(x)
τ = Tf ∈Q
f (x) g(x)
x→∞
Tg
什么关系？
．证明：若 ，且 ≤ ，则 11
f (x) = a1 sin x + a2 sin 2x + ⋯ + an sin nx
| f (x) | | sin x |
≤ ． a1 + 2a2 + ⋯ + nan 1
Page 2 of 3
．已知 ，求证： ． 1
lim
n→∞
an
=
+∞
lim a1 + a2 + ⋯ + an = +∞
n→∞
n
．已知数列 单调，且 ，证明： ． 2
{an }
lim a1 + a2 + ⋯ + an = A
n→∞
n
lim
n→∞
an
=
A
3．证明：数列
{an
}
没有收敛子列等价于
lim
n→∞
清华大学微积分高等数学课件第4讲不定积分二
[解] 选择 ln xu , xd dxv
则vx2, u1dx
2
x
于 是 xln xd x x 22ln xx 221 xdx
x2
1
2 lnx2xdx
20.06.2021
x2
(12lnx)C
4a
16
[例 4]计算 xarcxta dn x
[解]
x2
xarcxta dn x arcxt(a d2n )
x2a2
令 xach(0 tt)
Ias1htashdt t1dt
“双曲代换” 和 “倒数代换”
20.06.2021
a
11
例如I ：求 dx (a0)
x2 a2x2
dx 1 1
1
d( )
x2 a2x2 x a2(1 x)21 x
当x0时,令x1 t
I1 1 d(1) t dt
x a2(1 x)21 x
解 excoxs exsix ndx
法
问题出在此
三 excoxsexdcoxs
不
可 exco xs exco xsexco xs dx
取
！
ex cosxdx
20.06.2021
a
出现恒等式 21
利用分部积分推导递推公式
[ 例 7 ]求I n 积 sn ix n 分 d ( n 1 x ,2 , )
se x tc a x n ta x s ne x tc a xd nx
se x tc a x n (s2x e 1 c )se x d cx
se x tc a x n sse33 ce xx dd c x x se x dcx
1
1
sextcax nln sex ctaxn C
则vx2, u1dx
2
x
于 是 xln xd x x 22ln xx 221 xdx
x2
1
2 lnx2xdx
20.06.2021
x2
(12lnx)C
4a
16
[例 4]计算 xarcxta dn x
[解]
x2
xarcxta dn x arcxt(a d2n )
x2a2
令 xach(0 tt)
Ias1htashdt t1dt
“双曲代换” 和 “倒数代换”
20.06.2021
a
11
例如I ：求 dx (a0)
x2 a2x2
dx 1 1
1
d( )
x2 a2x2 x a2(1 x)21 x
当x0时,令x1 t
I1 1 d(1) t dt
x a2(1 x)21 x
解 excoxs exsix ndx
法
问题出在此
三 excoxsexdcoxs
不
可 exco xs exco xsexco xs dx
取
！
ex cosxdx
20.06.2021
a
出现恒等式 21
利用分部积分推导递推公式
[ 例 7 ]求I n 积 sn ix n 分 d ( n 1 x ,2 , )
se x tc a x n ta x s ne x tc a xd nx
se x tc a x n (s2x e 1 c )se x d cx
se x tc a x n sse33 ce xx dd c x x se x dcx
1
1
sextcax nln sex ctaxn C
清华大学微积分习题课参考答案(微分法、方向导数与梯度、泰勒公式)
(x
+
y)
+
f
(x
−
y)
+
∫ x+y x− y
g (t )dt
其中函数
f
具有二阶导数
g
具有一阶导
数，求 ， ． ∂2u , ∂2u ∂x2 ∂y2
∂2u ∂x∂y
解：因为 ， ∂u ∂x
=
f
′(x +
y) +
f
′(x
−
y) +
g(x
+
y) −
g(x −
y)
， ∂u
∂y
=
f ′(x +
y) −
f ′(x −
． x(z
+
y)x
−1
(
∂z ∂y
+ 1)
=
x
所以 ． ∂z ∂y
(1,2)
=
0
（ ）设函数 由方程 确定，求 ． 2
z = z(x, y)
x + y − z = ez
∂z
∂x（1,0）
解：将 y 看作常数， z 看作是 x 的函数，在 x + y − z = ez 两端关于 x 求导，得
． 1 −
r2 cos2 θ
−
∂f ∂x
r
cosθ
−
∂f ∂y
r sinθ
， ∂2u = ∂2 f
∂z2 ∂z2
微积分 B(2)
第 2 次习题课（By ） Huzm
6 / 12
所以
∂2u ∂r 2
+
1 r2
∂2u ∂θ 2
+
1 r
清华大学微积分第1次习题课答案
（5） lim
x y
x y . x xy y 2
2
解： （1） （2）
( x , y ) (1,0)
lim ( x y )
x y 1 x y 1
( x , y ) (1,0)
lim (1 ( x y 1))
1 ( x y 1) x y 1
2
因此 lim
x y =0. x x xy y 2 y
2
y 0 x 0 x 0 y 0 x 0 y 0
4.讨论下列函数的累次极限 lim lim f x, y , lim lim f x, y 与二重极限 lim f x, y
1 1 x sin y sin , x y 0 y x （1） f x, y = 0, x y 0 x2 y 2 （3） f ( x, y ) 2 2 . x y ( x y)2
即 U ( a, 0 ) f
1
(G ) ，即 f 1 (G ) 是 R n 中的开集，证毕。
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作者：闫浩, 章纪民
2014 年 3 月
二、多元函数的极限与连续 3. 下列极限是否存在？若存在，求出极限值；若不存在，说明理由。
（1）
( x , y ) (1, 0 )
lim ( x y )
n m m
f 1 (G ) {x R n | f ( x) G} 是 R n 中的开集。
证明: 由于 f : R R 是一个连续映射，由定义，有 a R ， 0, 0 ，当
n m
n
d n ( x, a ) 时，有 d m ( f ( x), f (a )) 。
清华大学微积分考试真题3
bn m bn an1q
n 1
an 2 q
n 2
an m q
nm
M q
n 1
1 qm 1 q
M n 1 q ． 1 q
由此易证数列 bn 是一 Cauchy 列，所以收敛． 6． 若数列 {a n } 满足 a n 1 a n q a n a n 1 ( n 1,2, ) ， 其中 0 q 1 ， 试证数列 {a n } 收敛． 证明： 0 ，因为
k →∞ k →∞
存在。 9. 证 明 ： 有 界 数 列 {an } 若 不 收 敛 ， 则 必 存 在 两 个 子 列 ank
{ } 、 {a } ， 使 得
mk
lim ank = a, lim amk = b 且 a ≠ b 。
k →∞ k →∞
10.（1）利用 Cauchy 收敛准则证明单调有界数列收敛。 （2）利用区间套定理证明单调有界数列收敛
n →∞
a1 + a2 + L + an = A ，证明： lim an = A 。 n →∞ n
二、实数理论（柯西收敛准则，Bolzano 定理，区间套，有限覆盖） 4． 设 an = 收敛． 5．设 bn = a 0 + a1 q + a 2 q 2 + L + a n q n ，其中 q < 1 且数列 {a k } 有界，试证数列 {bn } 收敛． 6． 若数列 {a n } 满足 a n +1 − a n ≤ q a n − a n −1 ( n = 1, 2, L) ， 其中 0 < q < 1 ， 试证数列{a n } 收敛． 7.下列哪些命题与柯西准则等价，证明你的结论或举出反例。 （1）对于任意的 p ∈ ¥* ，均有 lim( an + p − an ) = 0 。
清华大学微积分B2课程基础习题课讲义及习题答案
8p
)
@z @x
=
>>>>>><不2p|存yx| ,在,
>>>>>>:0,
p |y| p 2x
,
x > 0, x = 0且y 6= 0 x = 0, y = 0 x < 0.
y 6= 0 ，
y=0
3. 求下列偏导数：
(1)z
=
x+y xy
，求
@z @x
,
@z @y
；
(2)f (x,
y)
=
arctan
x2+y2 sin(x2+y2)
<
1 cos(x2+y2)
，即cos(x2
+ y2)
<
sin(x2+y2) x2+y2
<
1
* lim cos(x2 + y2) = 1 x!0 y!0
) lim f (x, y) = 1. x!0 y!0
(4)方法1：lim f (x, y) x!0
=
lim
x!0
1
cos(xy) x2+y2
y)
=
p x
ln(x
+
y)；
(2)f (x, y) = ln(y
x2)；
x
(3)f (x, y)
=
ey ；
xy
(4)f
(x,
y)
=
arcsin
x y
.
解：(1)由x 0, x + y > 0得该函数的定义域为{(x, y) | x
0且x + y > 0}.
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在z轴 上 的 分 量 微 元 为
y
o
dFz
dF cos
k
1
dV
r2
z r
x
其中k为引力常数, r x2 y2 z2
2020/5/11
19
于是
Fz k
(x2
z y2
z2 )32 dV
k
2
d
0
d
0
h
cos
0
cos
3
2
s
ind
2kh0 sind
2kh(1 cos )
2020/5/11
*
a cos
a2 r2
2 d
rdr
dz
0
0
0
2 d
a cos
a2 r2 rdr 1 a3
2 (1 sin3 )d
0
0
30
1 ( 2)a3
32 3
2020/5/11
所 以V
4V1
4 (
32
2 )a3 315
[例2]设 球 体x2 y2 z2 2Rz上 任 一 点 ( x, y, z)处 的 密 度 等 于 该 点 到 坐标 原 点 距 离 的 平 方, 求 该 球 体 的 质 心.
( ex2 dx)2
即 ex2 dx
因为上述广义积分收敛，且被积函数为偶函 数，所以有
ex2 dx 2 e x2 dx
0
2020/5/11
7
于是，有
ex2 dx
0
2
令 u ax, 则 dx 1 du, 得 a
e a2x2 dx 1 e u2 du
作业 P125 习题4
10. 13.
P134 习题5
1. 2.
2020/5/11
1
微积分(3)第一次机考
考试地点: 开放实验室(主楼后厅)
进场时间: 2003年4月5日(六) 15:00
考试时间: 15:30—16:30
注意事项:
1.按时进场.
2.进场只许带文具，不得带书包.
3.统一发草稿纸.
2020/5/11
2020/5/11
13
[例1] 求 球 体x2 y2 z 2 a2被 圆
柱 面x2 y2 ax所 截 出 的 那 一
部 分 体 积V .
[解]
由对称性
z z a2 r2
只需计算
第一挂限 的 体 积V1
o
y
r acos
2020/5/11
x
14
V1 dV
利用柱坐标计算
V1 dV rddrdz
2
y
2ddxy
aaa xaa
aa
a ya
先考虑以原点为中心，对称于坐标轴，边长
为2a的正方形域 D
2020/5/11
4
e d x2 y2
a
dx
a ex2 e y2 dy
a a
y
D
a ex2 dx a e y2 dy
a
a
oa
x
因为定积分的数值与变量记号无关，得
a ex2 dx a e y2 dy
a
a
所以，有
ex2 y2 d ( a ex2 dx)2 a D
只要求当a 时的极限
2020/5/11
5
再 考 虑以 原 点 为中 心,半 径 为R的 圆 域DR
利用极坐标
e d x2 y2
er2 rdrd
2
d
R er2 r dr
0
0
D
DR
1
e 2 r 2
R
d
(1 eR2 )
0
0
0
2
2
cos
sin
64
R6
cos6 d
0
6
64 R6
2 cos7
sind
8 R6
3
0
3
2020/5/11
17
( x, y, z)dV ( x2 y2 z2)dV
2
d
2 d
2Rcos 2 2 sind
0
0
0
2
2
sin
32
R5 cos5 d
0
5
64 R5
2
cos5
2
第十三讲
三重积分的应用
2020/5/11
3
[例] 泊松（Poisson）积分的计算
e a2x2 dx ,
0
2a
a0
泊松积分在概率论与数学物理方法中有重要应用
可以利用二重积分的方法算出泊松积分
e dx 首先证明
x2
aeae(xx22eadedxxxx2 22
yd2axdea)e2x
sind
32 R5
5
0
15
故
z5R 4
球体的质心坐标为(0,0, 5 R)
2020/5/11
4
18
[例3] 求高为h,半顶角为 ,密度为的均匀
正 圆 锥 体 对 位 于 其 顶 点的 一 单 位 质 点
的 引 力.
z
[解] 取坐标系如图所示 由对称性知,引力F在x, y轴上的
h
分量为零,即有 Fx 0, Fy 0
[解] 球体的质量分布关于z轴对称
所 以 质 心( x, y, z )位 于z轴 上,即 有
x y0
( x, y, z)zdV
z
( x, y, z)dV
2020/5/11
16
( x, y, z)zdV ( x2 y2 z2)zdV
利用球坐标系
2
d
2 d
2Rcos 2 cos 2 sind
y, z)dV
2020/5/11
10
物体的质心坐标
x(x, y, z)dV
x
(x, y, z)dV
y(x, y, z)dV
y
,
(x, y, z)dV
2020/5/11
z( x, y, z)dV
z
(x, y, z)dV 11
4.不 均 匀 物 体 的 转 动 惯 量
r
dV
u
Ju r2( x, y, z)( x, y, z)dV
0
a0
2a
2020/5/11
8
三重积分的应用
1.空 间 立 体 的 体 积
V 1dV
2.不 均 匀 物 体 的 质 量
m ( x, y, z)dV
2020/5/11
9
3.不 均 匀 物 体 的 质 心
M xy z ( x, y, z)dV
M
yz
x (
x,
y,
z)dV
M
zx
y( x,
2020/5/11
12
物 体 对x, y, z轴 的 转 动 惯 量
J x
( y2
z2 ) ( x,
y, z)dV
J
y
( z 2
x2 ) ( x,
y, z)dV
J
z
( x2 y2 ) ( x, y, z)dV
物体对原点的转动惯量
JO ( x2 y2 z2 )( x, y, z)dV
20
20
0
最
后,
将
正
方
形
域D夹
在
一
个小
y
圆Dr与
一
个
大 圆DR 之 间
o ra R x
2020 x2 y2 d e d x2 y2
Dr
D
DR
(1 er2 ) ( a ex2 dx)2 (1 eR2 ) a
再令 r , R ,则必有a , 得
y
o
dFz
dF cos
k
1
dV
r2
z r
x
其中k为引力常数, r x2 y2 z2
2020/5/11
19
于是
Fz k
(x2
z y2
z2 )32 dV
k
2
d
0
d
0
h
cos
0
cos
3
2
s
ind
2kh0 sind
2kh(1 cos )
2020/5/11
*
a cos
a2 r2
2 d
rdr
dz
0
0
0
2 d
a cos
a2 r2 rdr 1 a3
2 (1 sin3 )d
0
0
30
1 ( 2)a3
32 3
2020/5/11
所 以V
4V1
4 (
32
2 )a3 315
[例2]设 球 体x2 y2 z2 2Rz上 任 一 点 ( x, y, z)处 的 密 度 等 于 该 点 到 坐标 原 点 距 离 的 平 方, 求 该 球 体 的 质 心.
( ex2 dx)2
即 ex2 dx
因为上述广义积分收敛，且被积函数为偶函 数，所以有
ex2 dx 2 e x2 dx
0
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于是，有
ex2 dx
0
2
令 u ax, 则 dx 1 du, 得 a
e a2x2 dx 1 e u2 du
作业 P125 习题4
10. 13.
P134 习题5
1. 2.
2020/5/11
1
微积分(3)第一次机考
考试地点: 开放实验室(主楼后厅)
进场时间: 2003年4月5日(六) 15:00
考试时间: 15:30—16:30
注意事项:
1.按时进场.
2.进场只许带文具，不得带书包.
3.统一发草稿纸.
2020/5/11
2020/5/11
13
[例1] 求 球 体x2 y2 z 2 a2被 圆
柱 面x2 y2 ax所 截 出 的 那 一
部 分 体 积V .
[解]
由对称性
z z a2 r2
只需计算
第一挂限 的 体 积V1
o
y
r acos
2020/5/11
x
14
V1 dV
利用柱坐标计算
V1 dV rddrdz
2
y
2ddxy
aaa xaa
aa
a ya
先考虑以原点为中心，对称于坐标轴，边长
为2a的正方形域 D
2020/5/11
4
e d x2 y2
a
dx
a ex2 e y2 dy
a a
y
D
a ex2 dx a e y2 dy
a
a
oa
x
因为定积分的数值与变量记号无关，得
a ex2 dx a e y2 dy
a
a
所以，有
ex2 y2 d ( a ex2 dx)2 a D
只要求当a 时的极限
2020/5/11
5
再 考 虑以 原 点 为中 心,半 径 为R的 圆 域DR
利用极坐标
e d x2 y2
er2 rdrd
2
d
R er2 r dr
0
0
D
DR
1
e 2 r 2
R
d
(1 eR2 )
0
0
0
2
2
cos
sin
64
R6
cos6 d
0
6
64 R6
2 cos7
sind
8 R6
3
0
3
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( x, y, z)dV ( x2 y2 z2)dV
2
d
2 d
2Rcos 2 2 sind
0
0
0
2
2
sin
32
R5 cos5 d
0
5
64 R5
2
cos5
2
第十三讲
三重积分的应用
2020/5/11
3
[例] 泊松（Poisson）积分的计算
e a2x2 dx ,
0
2a
a0
泊松积分在概率论与数学物理方法中有重要应用
可以利用二重积分的方法算出泊松积分
e dx 首先证明
x2
aeae(xx22eadedxxxx2 22
yd2axdea)e2x
sind
32 R5
5
0
15
故
z5R 4
球体的质心坐标为(0,0, 5 R)
2020/5/11
4
18
[例3] 求高为h,半顶角为 ,密度为的均匀
正 圆 锥 体 对 位 于 其 顶 点的 一 单 位 质 点
的 引 力.
z
[解] 取坐标系如图所示 由对称性知,引力F在x, y轴上的
h
分量为零,即有 Fx 0, Fy 0
[解] 球体的质量分布关于z轴对称
所 以 质 心( x, y, z )位 于z轴 上,即 有
x y0
( x, y, z)zdV
z
( x, y, z)dV
2020/5/11
16
( x, y, z)zdV ( x2 y2 z2)zdV
利用球坐标系
2
d
2 d
2Rcos 2 cos 2 sind
y, z)dV
2020/5/11
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物体的质心坐标
x(x, y, z)dV
x
(x, y, z)dV
y(x, y, z)dV
y
,
(x, y, z)dV
2020/5/11
z( x, y, z)dV
z
(x, y, z)dV 11
4.不 均 匀 物 体 的 转 动 惯 量
r
dV
u
Ju r2( x, y, z)( x, y, z)dV
0
a0
2a
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三重积分的应用
1.空 间 立 体 的 体 积
V 1dV
2.不 均 匀 物 体 的 质 量
m ( x, y, z)dV
2020/5/11
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3.不 均 匀 物 体 的 质 心
M xy z ( x, y, z)dV
M
yz
x (
x,
y,
z)dV
M
zx
y( x,
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物 体 对x, y, z轴 的 转 动 惯 量
J x
( y2
z2 ) ( x,
y, z)dV
J
y
( z 2
x2 ) ( x,
y, z)dV
J
z
( x2 y2 ) ( x, y, z)dV
物体对原点的转动惯量
JO ( x2 y2 z2 )( x, y, z)dV
20
20
0
最
后,
将
正
方
形
域D夹
在
一
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y
圆Dr与
一
个
大 圆DR 之 间
o ra R x
2020 x2 y2 d e d x2 y2
Dr
D
DR
(1 er2 ) ( a ex2 dx)2 (1 eR2 ) a
再令 r , R ,则必有a , 得