清华大学微积分全
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在z轴 上 的 分 量 微 元 为
y
o
dFz
dF cos
k
1
dV
r2
z r
x
其中k为引力常数, r x2 y2 z2
2020/5/11
19
于是
Fz k
(x2
z y2
z2 )32 dV
k
2
d
0
d
0
h
cos
0
cos
3
2
s
ind
2kh0 sind
2kh(1 cos )
2020/5/11
*
a cos
a2 r2
2 d
rdr
dz
0
0
0
2 d
a cos
a2 r2 rdr 1 a3
2 (1 sin3 )d
0
0
30
1 ( 2)a3
32 3
2020/5/11
所 以V
4V1
4 (
32
2 )a3 315
[例2]设 球 体x2 y2 z2 2Rz上 任 一 点 ( x, y, z)处 的 密 度 等 于 该 点 到 坐标 原 点 距 离 的 平 方, 求 该 球 体 的 质 心.
( ex2 dx)2
即 ex2 dx
因为上述广义积分收敛,且被积函数为偶函 数,所以有
ex2 dx 2 e x2 dx
0
2020/5/11
7
于是,有
ex2 dx
0
2
令 u ax, 则 dx 1 du, 得 a
e a2x2 dx 1 e u2 du
作业 P125 习题4
10. 13.
P134 习题5
1. 2.
2020/5/11
1
微积分(3)第一次机考
考试地点: 开放实验室(主楼后厅)
进场时间: 2003年4月5日(六) 15:00
考试时间: 15:30—16:30
注意事项:
1.按时进场.
2.进场只许带文具,不得带书包.
3.统一发草稿纸.
2020/5/11
2020/5/11
13
[例1] 求 球 体x2 y2 z 2 a2被 圆
柱 面x2 y2 ax所 截 出 的 那 一
部 分 体 积V .
[解]
由对称性
z z a2 r2
只需计算
第一挂限 的 体 积V1
o
y
r acos
2020/5/11
x
14
V1 dV
利用柱坐标计算
V1 dV rddrdz
2
y
2ddxy
aaa xaa
aa
a ya
先考虑以原点为中心,对称于坐标轴,边长
为2a的正方形域 D
2020/5/11
4
e d x2 y2
a
dx
a ex2 e y2 dy
a a
y
D
a ex2 dx a e y2 dy
a
a
oa
x
因为定积分的数值与变量记号无关,得
a ex2 dx a e y2 dy
a
a
所以,有
ex2 y2 d ( a ex2 dx)2 a D
只要求当a 时的极限
2020/5/11
5
再 考 虑以 原 点 为中 心,半 径 为R的 圆 域DR
利用极坐标
e d x2 y2
er2 rdrd
2
d
R er2 r dr
0
0
D
DR
1
e 2 r 2
R
d
(1 eR2 )
0
0
0
2
2
cos
sin
64
R6
cos6 d
0
6
64 R6
2 cos7
sind
8 R6
3
0
3
2020/5/11
17
( x, y, z)dV ( x2 y2 z2)dV
2
d
2 d
2Rcos 2 2 sind
0
0
0
2
2
sin
32
R5 cos5 d
0
5
64 R5
2
cos5
2
第十三讲
三重积分的应用
2020/5/11
3
[例] 泊松(Poisson)积分的计算
e a2x2 dx ,
0
2a
a0
泊松积分在概率论与数学物理方法中有重要应用
可以利用二重积分的方法算出泊松积分
e dx 首先证明
x2
aeae(xx22eadedxxxx2 22
yd2axdea)e2x
sind
32 R5
5
0
15
故
z5R 4
球体的质心坐标为(0,0, 5 R)
2020/5/11
4
18
[例3] 求高为h,半顶角为 ,密度为的均匀
正 圆 锥 体 对 位 于 其 顶 点的 一 单 位 质 点
的 引 力.
z
[解] 取坐标系如图所示 由对称性知,引力F在x, y轴上的
h
分量为零,即有 Fx 0, Fy 0
[解] 球体的质量分布关于z轴对称
所 以 质 心( x, y, z )位 于z轴 上,即 有
x y0
( x, y, z)zdV
z
( x, y, z)dV
2020/5/11
16
( x, y, z)zdV ( x2 y2 z2)zdV
利用球坐标系
2
d
2 d
2Rcos 2 cos 2 sind
y, z)dV
2020/5/11
10
物体的质心坐标
x(x, y, z)dV
x
(x, y, z)dV
y(x, y, z)dV
y
,
(x, y, z)dV
2020/5/11
z( x, y, z)dV
z
(x, y, z)dV 11
4.不 均 匀 物 体 的 转 动 惯 量
r
dV
u
Ju r2( x, y, z)( x, y, z)dV
0
a0
2a
2020/5/11
8
三重积分的应用
1.空 间 立 体 的 体 积
V 1dV
2.不 均 匀 物 体 的 质 量
m ( x, y, z)dV
2020/5/11
9
3.不 均 匀 物 体 的 质 心
M xy z ( x, y, z)dV
M
yz
x (
x,
y,
z)dV
M
zx
y( x,
2020/5/11
12
物 体 对x, y, z轴 的 转 动 惯 量
J x
( y2
z2 ) ( x,
y, z)dV
J
y
( z 2
x2 ) ( x,
y, z)dV
J
z
( x2 y2 ) ( x, y, z)dV
物体对原点的转动惯量
JO ( x2 y2 z2 )( x, y, z)dV
20
20
0
最
后,
将
正
方
形
域D夹
在
一
个小
y
圆Dr与
一
个
大 圆DR 之 间
o ra R x
2020 x2 y2 d e d x2 y2
Dr
D
DR
(1 er2 ) ( a ex2 dx)2 (1 eR2 ) a
再令 r , R ,则必有a , 得
y
o
dFz
dF cos
k
1
dV
r2
z r
x
其中k为引力常数, r x2 y2 z2
2020/5/11
19
于是
Fz k
(x2
z y2
z2 )32 dV
k
2
d
0
d
0
h
cos
0
cos
3
2
s
ind
2kh0 sind
2kh(1 cos )
2020/5/11
*
a cos
a2 r2
2 d
rdr
dz
0
0
0
2 d
a cos
a2 r2 rdr 1 a3
2 (1 sin3 )d
0
0
30
1 ( 2)a3
32 3
2020/5/11
所 以V
4V1
4 (
32
2 )a3 315
[例2]设 球 体x2 y2 z2 2Rz上 任 一 点 ( x, y, z)处 的 密 度 等 于 该 点 到 坐标 原 点 距 离 的 平 方, 求 该 球 体 的 质 心.
( ex2 dx)2
即 ex2 dx
因为上述广义积分收敛,且被积函数为偶函 数,所以有
ex2 dx 2 e x2 dx
0
2020/5/11
7
于是,有
ex2 dx
0
2
令 u ax, 则 dx 1 du, 得 a
e a2x2 dx 1 e u2 du
作业 P125 习题4
10. 13.
P134 习题5
1. 2.
2020/5/11
1
微积分(3)第一次机考
考试地点: 开放实验室(主楼后厅)
进场时间: 2003年4月5日(六) 15:00
考试时间: 15:30—16:30
注意事项:
1.按时进场.
2.进场只许带文具,不得带书包.
3.统一发草稿纸.
2020/5/11
2020/5/11
13
[例1] 求 球 体x2 y2 z 2 a2被 圆
柱 面x2 y2 ax所 截 出 的 那 一
部 分 体 积V .
[解]
由对称性
z z a2 r2
只需计算
第一挂限 的 体 积V1
o
y
r acos
2020/5/11
x
14
V1 dV
利用柱坐标计算
V1 dV rddrdz
2
y
2ddxy
aaa xaa
aa
a ya
先考虑以原点为中心,对称于坐标轴,边长
为2a的正方形域 D
2020/5/11
4
e d x2 y2
a
dx
a ex2 e y2 dy
a a
y
D
a ex2 dx a e y2 dy
a
a
oa
x
因为定积分的数值与变量记号无关,得
a ex2 dx a e y2 dy
a
a
所以,有
ex2 y2 d ( a ex2 dx)2 a D
只要求当a 时的极限
2020/5/11
5
再 考 虑以 原 点 为中 心,半 径 为R的 圆 域DR
利用极坐标
e d x2 y2
er2 rdrd
2
d
R er2 r dr
0
0
D
DR
1
e 2 r 2
R
d
(1 eR2 )
0
0
0
2
2
cos
sin
64
R6
cos6 d
0
6
64 R6
2 cos7
sind
8 R6
3
0
3
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( x, y, z)dV ( x2 y2 z2)dV
2
d
2 d
2Rcos 2 2 sind
0
0
0
2
2
sin
32
R5 cos5 d
0
5
64 R5
2
cos5
2
第十三讲
三重积分的应用
2020/5/11
3
[例] 泊松(Poisson)积分的计算
e a2x2 dx ,
0
2a
a0
泊松积分在概率论与数学物理方法中有重要应用
可以利用二重积分的方法算出泊松积分
e dx 首先证明
x2
aeae(xx22eadedxxxx2 22
yd2axdea)e2x
sind
32 R5
5
0
15
故
z5R 4
球体的质心坐标为(0,0, 5 R)
2020/5/11
4
18
[例3] 求高为h,半顶角为 ,密度为的均匀
正 圆 锥 体 对 位 于 其 顶 点的 一 单 位 质 点
的 引 力.
z
[解] 取坐标系如图所示 由对称性知,引力F在x, y轴上的
h
分量为零,即有 Fx 0, Fy 0
[解] 球体的质量分布关于z轴对称
所 以 质 心( x, y, z )位 于z轴 上,即 有
x y0
( x, y, z)zdV
z
( x, y, z)dV
2020/5/11
16
( x, y, z)zdV ( x2 y2 z2)zdV
利用球坐标系
2
d
2 d
2Rcos 2 cos 2 sind
y, z)dV
2020/5/11
10
物体的质心坐标
x(x, y, z)dV
x
(x, y, z)dV
y(x, y, z)dV
y
,
(x, y, z)dV
2020/5/11
z( x, y, z)dV
z
(x, y, z)dV 11
4.不 均 匀 物 体 的 转 动 惯 量
r
dV
u
Ju r2( x, y, z)( x, y, z)dV
0
a0
2a
2020/5/11
8
三重积分的应用
1.空 间 立 体 的 体 积
V 1dV
2.不 均 匀 物 体 的 质 量
m ( x, y, z)dV
2020/5/11
9
3.不 均 匀 物 体 的 质 心
M xy z ( x, y, z)dV
M
yz
x (
x,
y,
z)dV
M
zx
y( x,
2020/5/11
12
物 体 对x, y, z轴 的 转 动 惯 量
J x
( y2
z2 ) ( x,
y, z)dV
J
y
( z 2
x2 ) ( x,
y, z)dV
J
z
( x2 y2 ) ( x, y, z)dV
物体对原点的转动惯量
JO ( x2 y2 z2 )( x, y, z)dV
20
20
0
最
后,
将
正
方
形
域D夹
在
一
个小
y
圆Dr与
一
个
大 圆DR 之 间
o ra R x
2020 x2 y2 d e d x2 y2
Dr
D
DR
(1 er2 ) ( a ex2 dx)2 (1 eR2 ) a
再令 r , R ,则必有a , 得