对气体的性能分析沿程阻力其中

K3 H ( s) 2 U ( s) ms K5 ( s)
⒀
引入校正装置后，得被控对象的传递函数为：
G( s)
75.97407 0.2267 s 2 0.6204 s 0.6096
模型的改进及校正
物理建模过程中我们所建立的是一个闭环系统（如图1所示）
图1 物理建模的闭环系统
乒乓球受力分析
牛顿第二定律：
d h F (U , h) mg m 2 dt
2
⑴
其中风力F与风速v(h)的关系为
F
SCv 2
2
⑵
当小球平衡静止时，由力的平衡可知：
F (U0 , h0 ) mg 0 ⑶
3、对气体的性能分析
（1）沿程阻力 1，流动方向不变 2，壁面的粗糙度不变 3，过流面的粗糙程度不变 （2）局部损失
， K5
其中，
2 K3 2U0 K1 ，K4 2U0 K1 K2h0
K2
由①③联立得：
将⑩式代入上式得：
d 2h F (U , h) F (U 0 , h0 ) m 2 dt
d 2h F (U , h) F (U , h) K3U K5h K 4 m 2 dt d 2h K3U K5 h K 4 m 2 ⑾ dt
模型的改进及校正
得到的根轨迹如图2 所示，系统的闭环极点均落在复平面的左侧，系统可 以稳定
图2 根轨迹
模型的改进及校正
由此得到的系统仿真 图如图3 所示可以看出 系统的响应稍慢，但几 乎没有超调，也没有稳 态误差。
图3 系统仿真
模型的改进及校正
Root Locus
我们要把被控对象的部分单独列出 来测试模型，这样我们之前的闭环 就失去优势了，所以现在必须重新 考虑模型中的附加项，由于它是有 关s的项，所以令其为ms，用试凑 法及根轨迹法相结合得到理想的根 轨迹如图4所示，轨迹均在s轴左半 平面，系统可以稳定。
对⑾式进行拉普拉斯变换，得：
K3U (s) K5 H (s) K4 / s ms H (s)
2
(12)
K3 s K4 H ( s) 3 U (s) ms K5 s U ( s)(ms3 K5 s)
3 m s K 4 K 4 K 5 s ，得： 引入误差参量 ( s) sK 3U K 4
Airball Demo 建模
有限元分析法
东北大学speed
• 小球的物理模型 • 管道空气的性能分析 • 被控对象的传递函数 • 模型的矫正与分析 • 被控对象的传递函数 • 模型的校正与分析 • 发展与展望
被控对象主要由风 扇、乒乓球、管道三部 分组成。 我们可以抽象成两 个物理量的合成体，即 乒乓球和风。
U i IR 2 ) Ce gh) S C 2 d h 2 mg m 2 dt 1 l D
其中，
F (U , h) K1U 2 K2U K3h
K1 K0 2 ( ) ) S C Ce 2(1
，
(8)

D
l)
g S C K2
2
p、ρ、v分别为流体的压强、密 度和速度；h为铅垂高度；g为 重力加速度。
管道中气体的能量守恒公式
无粘不可压缩流体的能量方程，密度均匀不变的流体—— 动量守恒
无粘性可压缩的流体，也就是密度变化的流体——能量守 恒定律
p0 v / 2 ph v / 2 gh pm (6)
2 0 2
Ui Ce n IR
电机转速和扇叶产生的风的风速可近似 为正比关系，即可表示为：
v0 K0 n
则电机电压与出风口风速的关系为：
Ui Ce v0 / K0 IR
(7)
将公式(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)联立得：
( p0 ph
( K0
F (U 0 , h0 ) F (U , h) 2U 0 K1 (U U 0 ) K 2 (h h0 ) F (U , h) 2U 0 K1U 2U 02 K1 K 2 h K 2 h0 F (U , h) K 3U K 5 h K 4
(10)
1 D l
联立(1)(2)式得该模型的公式表达：
d h K1U K 2 h m g m 2 (9) dt
2
2
对公式⑧进行泰勒级数展开，并忽略二次以上高阶项，得到：
F (U , h) F (U0 , h0 ) 2U0 K1 (U U0 ) K2 (h h0 )
则
沿程阻力
pm



D

v
2
2
l
(4)
其中， pm ——空气在管内流动的沿程阻力；（Pa）
——摩擦阻力系数； 3 ——空气密度； （kg / m ）
v
——管内空气平均流速； （m / s） l ——计算管段长度；（ m ） （ m） D ——风管直径。
p v / 2 gh 恒量 (5)
5 4 3 2
Imaginary Axis
1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0wenku.baidu.com1
0.2
0.3
Real Axis
在模型方面，我们的考虑的因素有主要是力学性 能，包括重力和沿程阻力，但是我们没有考虑到 时间与电机转速的关系，同时虽然局部损失对小 球的整体运动趋势没有太大的影响，但是在小球 附近的激流区还是存在的。同时物理建模的最大 问题是，模型的数值，不能准确测量，同时不可 预知的问题比较多，比如电机启动的延时问题， 气流的不确定因素等问题。