矩估计和极大似然估计的求解步骤

所谓区间估计就是将待估参数估计在一个区间内， 并以一定的概率保证待估参数在该区间内。
区间估计的关键是求置信区间，下面先给出置信区 间的定义。
一、置信区间的定义
定义:设为总体X的一个未知参数，若对事先给定 的（0< <1）, 存在由样本(X1,X2,…Xn )确定的 两个统计量
ˆ1 ˆ1( X1, X2 ,..., Xn )与ˆ2 ˆ2( X1, X2 ,..., Xn )


P t (n 1) T t (n 1) 1
2
2


2
t (n 1)
2
1

2
t (n 1)
2
代入T,解不等式就得到μ的置信度
为1－的置信区间为:
S
S
( X t (n 1)
2
n
,
X

t
2
(n
1)
) n
例2、课本P124例2
分析：这其实是当 2未知时, 求µ的置信度为95%的置信区间问题。
小节：推导置信区间的步骤
（1）寻求一个含有待估参数θ（而不含其他任 何未知参数）的统计量U ，且其分布已知.
（2）对事先给定的置信度1-α，确定分位点. （3）解不等式，求得待估参数θ的置信区间.
例1: 设总体X~N(µ，52)，随机抽取容量为16的样
__
本，求得 x 65 , 试 求µ的置信度为95%的置信
复习:1、矩估计与极大似然估计的求解步骤
2、估计量的无偏性与有效性的含义
3、几个有用的统计量
设X～N(,2),(X1,X2…Xn)是它的一个样本,则
__
__
(1) X
~
N(, 2 ) U

(X )
n ~ N (0,1)
n

(2) T ( X ) n ~ t(n 1)
P(Z U Z ) 1
2
2
将U代入，解不等式
(X ) n
Z
2

Z
2
Z
2
Z
2
由上式可得μ的置信度为1－α的置信区间为：


(X Z , X Z )
2n
2n
说明:(由上可知求置信区间的方法思路)
寻求一个含有待估参数θ（而不含其他任何未 知参数）的统计量U ，且其分布已知，再根据U的 分位数，求出θ的置信区间。
被包含的概率仅为5%。
2、α的大小决定了 参数θ包含在 ˆ1,内ˆ2 概率的大
小。即α越小，则θ落在区间
ˆ1内,ˆ2的 概率越大。
由于 α 通常取得很小，因而θ落在区间
内 ˆ1 ,ˆ2
的概率很大。
下面通过例子说明置信区间的求法：
二、单个正态总体置信区间的求法
设总体 X ~ N (, 2 ), ( X1 , X 2 X n )是其样本。
区间。
解： µ的置信度为1-α 的置信区间为：


(X Z
, X Z
)
2n
2n
对给定的α=1-0.95=0.05，查表知
Z Z0.025 1.96 2
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代入数据
__
x 65, Z 1.96, 5, n 16 4
2
由于

5
X Z
2
65 1.96 62.55
n
4

5
X Z
2
65 1.96 67.45
n
4
故µ的置信度为95% 的置信区间为：
(62.55,67.45)
小节： 求具体置信区间的步骤：
（1）写出置信区间 （2）查表求分位点 （3）代样本值计算置信区间上、下 限的数值 （4）作结论
练习: 设总体X~N(µ，0.42)，随机抽取容量为10 的样本，试 求µ的置信度为95%的置信区间。 解： µ的置信度为1-α 的置信区间为：
使得 P ˆ1 ˆ2 1 (1)
成立，则称随机区间 ˆ1,ˆ2 为参数的置信度
为1－ 的置信区间。 1－ 称为置信度。
说明:
1、（1）式的含义是指总体参数θ 以1- 的概率
包含在 ˆ1,ˆ2 内，而不被包含的概率仅为。若取 =0.05, (1)式是指θ 以95的概率包含在 ˆ1,ˆ2 内,不
解： µ的置信度为1-α 的置信区间为：
( X t (n 1)
2
S) n
对事先给定的α=1-0.95=0.05，查表知 t (n 1) t0.025(4) 2.778 2
__
由样本得： x 12.59, S 0.119, 代入数据计算区间上、下限
由于
S
0.119
X t (n 1)
1、 σ2 已知 ，求μ的置信度为1-α的置信区间
解：考虑到样本均值X 是 μ的一个无偏估计量，且
X ~ N(, 2 )
n
___
即U

(X
)
n ~ N (0,1)
由于U中含有µ而不含其他任何未知参数,且其
分布已知.故对事先给定的置信度1-α，由标准
正态分布上α分位点的定义可知：
(x)
2
12.59 2.776 n
12.44 5
X t (n 1)
2
S 12.59 2.776 0.119 12.74
n
5
故平均直径的置信度为95% 的置信区间为：(12.44,12.74)
3、求方差σ2 的置信区间
无论已知或未知,考虑到§4.1定理3
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Y
( X Z , X Z ) 即：( X 0.248, X 0.248)
2n
2n
2、σ2 未知时，求μ的置信区间
当 2未知时,就不能再用例1中的统计量了 考虑到§4.1定理5
T (X ) n ~ t(n 1)
S
对事先给定的置信度1－,由t分布 上α分位点的定义可知

n 1S 2
2
~ 2 n 1
P122
n
1

Y

2
2
n
1

1
S
(3) Y

(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
§3 区间估计
一、置信区间的定义 二、置信区间的求法
1、σ2 已知时 ，求μ的置信区间 2、σ2 未知 时，求μ的置信区间 3、求σ2 的置信区间 三、第四章小结
引言
由点估计,我们可以利用样本信息求得待估参数θ的 一个估计值θ*，但θ*与θ有没有误差，误差多大我们并 不清楚。 而区间估计不仅给出了待估参数的 一个取值范围，而且还给出了参数真值包含在该区间 内的概率。