高等数学 第七章
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OM OM M M
因为 OM OM1 OM2 ，M M OM3 ，所以
OM OM1 OM2 OM3
图7-4
再由数乘向量的定义，知
பைடு நூலகம்于是有
OM1 a1i, OM2 a2 j, OM3 a3k
OM a1i a2 j a3k
可以看出上式中三个系数(a1，a2，a3)正好是点M的坐标， 点M的坐标叫做向量a的坐标，记作a={a1，a2， a3}.
向量a的坐标表示式有两种写法： a=a1i+a2j+a3k={a1，a2，a3}
三、 向量的模与方向余弦 向量已由它的坐标表示出来了，怎样用向量的坐标来表 示它的长度和方向呢？任给一个向量a={a1，a2，a3}，从图 7-4可以看出它的长度是
于是
a OM OM1 2 OM2 2 OM3 2 a OM a12 a22 a32
(7-1)
即向量的模等于其坐标平方和的算术平方根. 例1 设a=2i－2j+k， 求|a|. 解 a 22 (2)2 12 9 3
下面讨论如何用坐标表示向量的方向. 设向量a与x轴、y 轴、z轴正向的夹角称为向量a的方向角，分别记为为α，β，γ， 显然0≤α，β， γ≤π. 当三个方向角确定后，向量的方向也就确 定了(图7-5).
图 7-1
图7-2
可见，在空间直角坐标系中，空间中的点与三个有序实 数是一一对应的. 显然，坐标原点的坐标为(0，0，0)，x轴上 点的坐标为(x，0，0)，yOz平面上的点为(0，y，z)等. 对于一 般的点，如(2，3，－1)，可如图7-3确定其位置.
图7-3
二、 向量的坐标 我们在中学学习了平面向量的坐标表示与运算. 如果将平 面向量推广到空间中，即得空间向量的坐标表示与运算. 在空间直角坐标系中，以原点为始点，而终点分别为点 (1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)的三个单位向量，相应地记 作i，j，k，称为该坐标系的基本单位向量. 对于任一向量a，把a的始点置于原点，设此时a的终点为 M(a1，a2，a3)，即a=O→M， 如图7-4所示，根据向量加法
a
a
a
由此得
cos2α+cos2β+cos2γ=1
(7-2)
图7-5
因此，向量a0={cosα，cosβ，cosγ}是与a同方向的单位向量. 例2 设向量a={1，2，－3}，求a的方向余弦及a0. 解 a的模为
所以
a 12 22 (3)2 14
cos 1 ， cos 2 ， cos 3
3a 9i 3j 12k a b 22 (3)2 (2)2 17
与平面上两点间的距离公式类似，同样可得空间中两点 间的距离公式.
已知两点M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)，M1和M2间的距 离|M1M2|就是向量 M1M 2 的模，所以
M1M 2 (x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
第七章 向量代数与空间解析几何
7.1 空间直角坐标系与向量 7.2 向量的数量积与向量积 7.3 平面方程 7.4 空间直线方程 7.5 曲面与空间曲线
7.1 空间直角坐标系与向量
一、 空间直角坐标系 将平面直角坐标系所在的平面置于空间中，并过点O作 一垂直于此平面的数轴Oz(图7-1)，这样Ox，Oy，Oz就构成一 空间直角坐标系. 点O仍称为坐标原点，Ox，Oy，Oz分别称 为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，统称为坐标轴. 它们的 指向符合右手法则，即用右手握住z轴，四指由x轴正向转到y 轴正向时，大拇指的指向规定为z轴的正向. 三个坐标轴两两决定的三个平面xOy，yOz，zOx，称为 坐标平面. 三个坐标平面将空间分成八个部分，称为八个卦限.
向量a的方向角α，β，γ的余弦cosα，cosβ，cosγ称为a的 方向余弦. 由0≤α，β，γ≤π知，当方向余弦确定时，方向角也 被惟一确定，所以可以用方向余弦来表示向量的方向.
由图7-5可知，对于向量a=a1i+a2j+a3k，其方向余弦为
cos a1 ， cos a2 ， cos a3
设M是空间的任意一点，如图7-2所示. 从点M作xOy平面 的垂线与xOy平面交于点M′，M′称为点M在xOy面上的投影. 设M′在平面直角坐标系xOy中的坐标为(x，y)， 再过点M作z 轴的垂直平面与z轴相交，设此交点在Oz轴上的坐标为z，这 样，点M惟一确定了三个有序实数(x，y，z). 反之，任给三个 有序实数(x，y，z)，先以(x，y)为坐标在xOy平面上确定一点 M′，再过M′作xOy平面的垂直线段M′M，其长度为|z|，当z>0 时， M在xOy平面的上方；当z<0时，M在xOy平面的下方； 当z=0时，M即为M′. 这样，三个有序实数(x，y，z)惟一确定 了空间的一个点M，(x，y，z)称为点M的空间直角坐标.
14
14
14
a0 { 1 , 2 , 3 } 14 14 14
四、 向量的代数运算 与平面的向量代数运算类似，将平面的向量运算推广到 空间向量中，有如下结论. 设a=a1i+a2j+a3k，b=b1i+b2j+b3k， 则
a±b=(a1±b1)i+(a2±b2)j+(a3±b3)k λa=(λa1)i+(λa2)j+(λa3)k 由向量的数乘运算可知，向量a={a1，a2，a3}与向量b={b1， b2，b3}平行的充要条件是
a1 a2 a3 (当分母为零时，分子也是零) b1 b2 b2
例3 设a=3i+j－4k，b=－i－4j+2k，求a+b，a－b，－3a, |a+b|.
解 a b (3 1)i (1 4) j (4 2)k 2i 3j 2k
a b (3 1)i (1 4) j (4 2)k 4i 5j 6k
例4 设点A(1，－1，0)，B(5，1，4)，求|AB|. 解
AB (5 1)2 (11)2 (4 0)2 6
7.2 向量的数量积与向量积
一、 向量的数量积
在物理中，我们已经知道， 若力F作用在物体上，使其
因为 OM OM1 OM2 ，M M OM3 ，所以
OM OM1 OM2 OM3
图7-4
再由数乘向量的定义，知
பைடு நூலகம்于是有
OM1 a1i, OM2 a2 j, OM3 a3k
OM a1i a2 j a3k
可以看出上式中三个系数(a1，a2，a3)正好是点M的坐标， 点M的坐标叫做向量a的坐标，记作a={a1，a2， a3}.
向量a的坐标表示式有两种写法： a=a1i+a2j+a3k={a1，a2，a3}
三、 向量的模与方向余弦 向量已由它的坐标表示出来了，怎样用向量的坐标来表 示它的长度和方向呢？任给一个向量a={a1，a2，a3}，从图 7-4可以看出它的长度是
于是
a OM OM1 2 OM2 2 OM3 2 a OM a12 a22 a32
(7-1)
即向量的模等于其坐标平方和的算术平方根. 例1 设a=2i－2j+k， 求|a|. 解 a 22 (2)2 12 9 3
下面讨论如何用坐标表示向量的方向. 设向量a与x轴、y 轴、z轴正向的夹角称为向量a的方向角，分别记为为α，β，γ， 显然0≤α，β， γ≤π. 当三个方向角确定后，向量的方向也就确 定了(图7-5).
图 7-1
图7-2
可见，在空间直角坐标系中，空间中的点与三个有序实 数是一一对应的. 显然，坐标原点的坐标为(0，0，0)，x轴上 点的坐标为(x，0，0)，yOz平面上的点为(0，y，z)等. 对于一 般的点，如(2，3，－1)，可如图7-3确定其位置.
图7-3
二、 向量的坐标 我们在中学学习了平面向量的坐标表示与运算. 如果将平 面向量推广到空间中，即得空间向量的坐标表示与运算. 在空间直角坐标系中，以原点为始点，而终点分别为点 (1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)的三个单位向量，相应地记 作i，j，k，称为该坐标系的基本单位向量. 对于任一向量a，把a的始点置于原点，设此时a的终点为 M(a1，a2，a3)，即a=O→M， 如图7-4所示，根据向量加法
a
a
a
由此得
cos2α+cos2β+cos2γ=1
(7-2)
图7-5
因此，向量a0={cosα，cosβ，cosγ}是与a同方向的单位向量. 例2 设向量a={1，2，－3}，求a的方向余弦及a0. 解 a的模为
所以
a 12 22 (3)2 14
cos 1 ， cos 2 ， cos 3
3a 9i 3j 12k a b 22 (3)2 (2)2 17
与平面上两点间的距离公式类似，同样可得空间中两点 间的距离公式.
已知两点M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)，M1和M2间的距 离|M1M2|就是向量 M1M 2 的模，所以
M1M 2 (x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
第七章 向量代数与空间解析几何
7.1 空间直角坐标系与向量 7.2 向量的数量积与向量积 7.3 平面方程 7.4 空间直线方程 7.5 曲面与空间曲线
7.1 空间直角坐标系与向量
一、 空间直角坐标系 将平面直角坐标系所在的平面置于空间中，并过点O作 一垂直于此平面的数轴Oz(图7-1)，这样Ox，Oy，Oz就构成一 空间直角坐标系. 点O仍称为坐标原点，Ox，Oy，Oz分别称 为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，统称为坐标轴. 它们的 指向符合右手法则，即用右手握住z轴，四指由x轴正向转到y 轴正向时，大拇指的指向规定为z轴的正向. 三个坐标轴两两决定的三个平面xOy，yOz，zOx，称为 坐标平面. 三个坐标平面将空间分成八个部分，称为八个卦限.
向量a的方向角α，β，γ的余弦cosα，cosβ，cosγ称为a的 方向余弦. 由0≤α，β，γ≤π知，当方向余弦确定时，方向角也 被惟一确定，所以可以用方向余弦来表示向量的方向.
由图7-5可知，对于向量a=a1i+a2j+a3k，其方向余弦为
cos a1 ， cos a2 ， cos a3
设M是空间的任意一点，如图7-2所示. 从点M作xOy平面 的垂线与xOy平面交于点M′，M′称为点M在xOy面上的投影. 设M′在平面直角坐标系xOy中的坐标为(x，y)， 再过点M作z 轴的垂直平面与z轴相交，设此交点在Oz轴上的坐标为z，这 样，点M惟一确定了三个有序实数(x，y，z). 反之，任给三个 有序实数(x，y，z)，先以(x，y)为坐标在xOy平面上确定一点 M′，再过M′作xOy平面的垂直线段M′M，其长度为|z|，当z>0 时， M在xOy平面的上方；当z<0时，M在xOy平面的下方； 当z=0时，M即为M′. 这样，三个有序实数(x，y，z)惟一确定 了空间的一个点M，(x，y，z)称为点M的空间直角坐标.
14
14
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a0 { 1 , 2 , 3 } 14 14 14
四、 向量的代数运算 与平面的向量代数运算类似，将平面的向量运算推广到 空间向量中，有如下结论. 设a=a1i+a2j+a3k，b=b1i+b2j+b3k， 则
a±b=(a1±b1)i+(a2±b2)j+(a3±b3)k λa=(λa1)i+(λa2)j+(λa3)k 由向量的数乘运算可知，向量a={a1，a2，a3}与向量b={b1， b2，b3}平行的充要条件是
a1 a2 a3 (当分母为零时，分子也是零) b1 b2 b2
例3 设a=3i+j－4k，b=－i－4j+2k，求a+b，a－b，－3a, |a+b|.
解 a b (3 1)i (1 4) j (4 2)k 2i 3j 2k
a b (3 1)i (1 4) j (4 2)k 4i 5j 6k
例4 设点A(1，－1，0)，B(5，1，4)，求|AB|. 解
AB (5 1)2 (11)2 (4 0)2 6
7.2 向量的数量积与向量积
一、 向量的数量积
在物理中，我们已经知道， 若力F作用在物体上，使其