牛顿-柯特斯求积公式

b
a
f ( x )dx Ai f ( xi )
i 0
n
从数值逼近的观点看,所谓数值积分，就是用一个 具有一定精度的简单函数 (x )代替被积函数f ( x )，而求 出定积分的近似值，即
取 （x）=pn ( x )得插值型求积公式， 即：用插值多项式pn ( x ) f ( x ),
y
梯形公式的几何意义 是用四边梯形x0 ABx1的 面积代替曲边梯形的面积。
y=P1(x)
B
y=f(x)
A
f0 0 x0=a f1
x1=b
x
图1
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（2）辛卜生公式 (n=2) x0 =a, x1=a+h, x2=b, h= (b-a)/2
C0(2) =1/6
b
,
C1(2) =4/6
,
b
j 0
n
其中
( n1) 1 R( f ) ( n f ( )n1 ( x )dx 1)! a
这里系数Aj只依赖于求积节点与积分区间,与f(x)无关。 显然当f(x)是任何一个不超过n次的多项式时,余项
R( f )
b
1 ( n1)!
其中 n+1(x)= (x-x0) (x-x1)... (x-xn-1) (x-xn)
n
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b
a
b 1 ( n 1) f ( x )dx Ai f ( xi ) f ( ( x ))wn1 ( x )dx ( n 1)! a i 0
n
插值型求积公式

其中
b
a
f ( x )dx Ai f ( xi ) R( f ) Ai f ( xi ) (1)
i 0 n
f ( n1) ( ( x )) f ( x ) pn ( x ) wn 1 ( x ) ( n 1)! wn1 ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn ), a ( x ) b
b b a a

b
a
f ( x )dx pn ( x )dx
例2：设有 1 f ( x )dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
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1
成立，确定 A0、 A1 、 A2，使上述数值求积公式的代数 精度尽可能高，并求代数精度。 解：分别取(x)=1，x，x2，则有 A0 +A1 + A2=2 -A0 + A2=0
A0 + A2=2/3 解得 A0 =1/3，A1 =4/3， A2=1/3； 1 1 则 f ( x )dx ( f ( 1) 4 f (0) f (1)) 1 3 取 (x)=x3，左=右=0；
C2(2) =1/6
ba ab I= f(x)dx (f (a ) 4 f ( ) f (b ) ) S a 6 2 b h ab 或 I f(x)dx (f (a ) 4 f ( ) f (b ) ) S a 3 2
辛卜生公式又称为抛物线公式。
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b n a
f ( n1) ( ( x )) wn1 ( x )dx ( n 1)!


i 0
b 1 ( n 1) f ( xi )li ( x )dx f ( ( x ))wn1 ( x )dx a ( n 1)!
b 1 ( n 1) Ai f ( xi ) f ( ( x ))wn1 ( x )dx a ( n 1)! i 0
例如，对概率积分
2


t
0
e
x2
dx
t [0, )
由于被积函数的原函数F(x)不可能找到，牛顿莱布尼兹公式也就无能为力了。
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所谓数值积分，从近似计算的角度看，就是在区 间[a , b]上适当地选取若干个点xi，然后用这些节点上的 函数值f ( xi )的加权平均方法获得定积分的近似值，即
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三、牛顿—柯特斯系数
n 1 2 3 4 5 6 7 8 c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8
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例
n=3 为3/8 辛卜生公式
x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=b , h= (b-a)/3

x3 x0
ba f ( x )dx ( f 0 3 f 1 3 f 2 f 3) 8
Ci(n) 称为柯特斯系数。 于是牛顿—柯特斯求积公式为
i 0,1,
,n

b
a
f ( x )dx Ai f ( xi ) (b a ) C i( n ) f ( xi ) (6)
i 0 i 0
n
n
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二、两种特殊的数值求积公式:
（1）梯形公式(n=1) x0 =a, x1=b, h= b- a, c0(1)=c1(1) =1/2 b ba I= f(x)dx ( f (a ) f (b)) T a 2
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辛卜生公式的几何意义是用抛物线y=P2(x)围成 的曲边梯形面积代替由y=f(x)围成的曲边梯形面积图 2。 y y=P2(x)
y=f(x)
0
x0
x1
图2

b
a
ba ab f ( x)dx ( f (a) 4 f ( ) f (b)) 6 2
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x2
x
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例 ： 用梯形公式与辛卜生公式
1 1 1 1 左= f ( x )dx ( f (0) f (1)) 右 2 0 2 2 取f ( x ) x 2， 1 1 1 1 左= f ( x )dx ( f (0) f (1)) 右 3 0 2 2 所以求积公式具有1次代数精度。
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n=4为 Cotes 公式
x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=a+3h, x4=b , h= (b-a)/4

x4 x0
ba f (x)dx ( 7 f 0 32 f 1 12 f 2 32 f 3 7 f 4 ) 90
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例：用Newton-Cotes公式计算
Ai
l ( x )dx x
i a a n j0 ji n 0 j0 ji
b
b
n
x xj
i
xj=a+jh,
dx ,
j=0,1,2,…,n
xj
h
C i (n)
t j dt (b a )C i( n ) i j
i 0,1,
,n
(5)
n n 1 n n t j ( 1 )n i dt (t j)dt n 0 j0 i j i!(n i)!n 0 j 0 ji ji

b
a
f ( x )dx ( x )dx
a
b

b
a
f ( x )dx pn ( x )dx
aBaidu Nhomakorabea
b
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下面推导插值型求积公式 设 x0 ,x1 ,…,xn∈[a,b], pn(x)是f(x)的n次Lagrange
插值多项式 则有
pn ( x ) f ( xi )li ( x )
(x)=x4，左=∫-11x4dx=2/5 右=2/3
所以具有3次代数精度。
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Newton-Cotes公式的代数精度
证明： 因为
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定理1： 由n+1个互异节点x0 、x1 、…x n构造的插值 型求积公式的代数精度至少为n。

b
a
f(x)dx Aj f ( x j ) R( f )
求
I
e
1
3

x 2
dx
的近似值。
解： I=0.7668010
梯形公式
2 I e dx (e 2 1

3
x 2

1 2
e ) 0.829660819
2 2 3 2

3 2
辛卜生公式
2 I e dx (e 6 1

3
x 2

1 2
4e
e ) 0.766575505
即求积公式 f ( x )dx Ai f ( x j ) 至少具有n次代 a j 0 数精度。
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n

b
a
f ( n1) ( )n1 ( x )dx 0
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由于Newton-Cotes公式是其特殊情形(等距节点), 它的代数精度至少是n,还可以证明当n 为偶数时 Newton-Cotes公式的代数精度至少是n+1. 定理2：当n为偶数时，由n+1个等距节点x0 、x1 、…
一、 牛顿—柯特斯求积公式的导出
将积分区间[a,b] n等分，节点xi为 xi=a+ih, i=0,1,2,…,n 其中h=(ba)/n。有

其中
b
a
f ( x )dx Ai f ( xi )
b
n
(4)
i 0
Ai li ( x )dx
a
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引进变换 x=a+th , 0≤t≤n
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第七章 数值积分与数值微分
第一节 等距节点的Newton-Cotes求积公式
第二节 复化求积公式
第三节（*） 外推算法
第四节 Gauss型求积公式
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引
言
Newton Leibnitz公式(其中F ( x )为f ( x )的原函数)

b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
a a
b
b
定理3：设f ( x )在[a , b]上有二阶连续导数，则梯形求积 公式的截断误差为 b ba RT ( f ) f ( x )dx ( f (a ) f (b)) a 2 ( b a )3 f ''( ) 12
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n 1,由截断误差公式(3)有 b f ''( ) RT ( f ) ( x a )( x b)dx , [a , b] a 2 由于f ''( )是依赖于x的函数且在[a , b]上连续，又 证明:

b
a
f ( x )dx Ai f ( xi )
i 0
n
Ai (i=0,1,…,n)称为求积系数， xi (i=0,1,…,n)称为求积节点。
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第一节 等距节点的牛顿—柯特斯求积公式
当求积节点等距分布时，插值型求积公式称为
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes) 求积公式。
x n构造的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度至少为
n+1。
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五、Newton-Cotes公式的截断误差
引理：（第二积分中值定理） 如果函数f ( x )在[a , b]上连续，函数g( x )在[a, b]上 可积且不变号，则存在 (a , b)使
f ( x ) g( x )dx f ( ) g( x )dx
a i 0
定义1：若求积公式
b
f ( x )dx Ai f ( xi )
n
代数精度求法 从ƒ(x)=1,x,x2,x3…依次验证求积公 式是否成立，若第一个不成立的等式是xm,则其代数 精度是m-1. 代数精度越高，数值求积公式越精确
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例1：证明下面数值求积公式具有1次代数精度. 1 1 0 f ( x )dx 2 ( f (0) f (1)) 解：取f ( x ) 1， 1 1 左=1 f ( x )dx ( f (0) f (1)) 1 右 0 2 取f ( x ) x，
x I dx sin x 0
解：当n取不同值时，计算结果如下所示。 I准=0.9460831 n 近似结果
1 2 3 4 5 0.9270354 0.9461359 0.9461109 0.9460830 0.9460830
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1
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四、代数精度
对一 切不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p (x))=0; 而对于某个m+1次多项式等号不成立，则称此公式的 代数精度为m. n b 定义2：若求积公式 a f ( x )dx Ai f ( xi ) 对 i 0 2 3 m ƒ(x)=1,x,x ,x …x , 都等号成立，即R(xi)=0;而对于 xm+1 等号不成立，则称此公式 的代数精度为m.
i 0 i 0
n
n
Ai li ( x )dx i 0,1, , n
a
b
(2)
li(x)为Lagrange插值基函数。 截断误差或余项为
b 1 ( n 1) R( f ) f ( ( x ))wn1 ( x )dx (3) (n 1)! a
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数值求积公式的一般形式