一次函数与一次方程一次不等式专题训练状元笔记

12.3 一次函数与二元一次方程

12.4 综合实践 一次函数模型的应用

专题一 函数图象与坐标轴围成的图形面积问题

1.如图，已知两直线y ＝－23x ＋3和y ＝2x －1，求它们与y 轴所围成的三角形的面积.

2.如图,直线13

3+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B,以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,且∠BAC=900.如果在第二象限内有一点P )2

1,(a ,且△ABP 的面积与

Rt △ABC 的面积相等,求a 的值.

3.如图,△AOB 为正三角形,点B 的坐标为(2,0),过点C(－2,0)作直线l 交AO 于D ，交AB 于E ，且使△ADE 和△DCO 的面积相等.求直线l 的解析式.

专题二 实际应用题

4.某学校要印制一批《学生手册》，甲印刷厂提出：每本收1元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每本收2元印刷费，不收制版费．

(1)分别写出甲、乙两厂的收费y 甲 (元) 、y 乙(元)与印制数量x (本)之间的关系式；

(2)问：该学校选择哪间印刷厂印制《学生手册》比较合算？请说明理由．

y

专题三 一次函数模型的应用

5.某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费y （元）与复印页数x （页）的关系

⑴若y 与x 满足初中学过的某一函数关系，求函数的解析式； ⑵现在乙复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.15元收费.则乙复印社每月收费y （元）与复印页数x （页）的函数关系为 ；

⑶在给出的坐标系内画出（1）、（2）中的函数图象，并回答每月复印页数在1200左右应选择哪个复印社？

【知识要点】

1.一次函数y=kx+b,当y=0时,得方程kx+b=0,其解是函数图象与x 轴的交点的横坐标.

2.不等式kx+b ＞0或kx+b ＜0的解集,相当于一次函数y=kx+b 的图象在x 轴上方或下方时所对应的x 的值.

【温馨提示】

1.借助一次函数与一元一次方程间的关系,可以通过解方程的方法得到一次函数图象与x 轴的交点的横坐标,也可以用一次函数的图象求一元一次方程的解,但求出的解一般是近似解.

2.利用一次函数求一元一次不等式的解集,更多的是考查对图象的理解能力,这也说明在学习一次函数时,“数形结合”思想在这一章的重要性.

3.用一次函数图象解方程或不等式未必简单,但是能发现它们之间的内在联系,能直观地看到方程的解与不等式的解在图形中的位置.

【方法技巧】

1.由于任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a 、b 为常数)的形式,所以解一元一次方程可转化为:当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值,从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x 轴的交点的横坐标.

2.由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b ＞0或

ax+b ＜0(a 、b 为常数,a ≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于0时,求自变量的相应的取值范围.

3.在用函数图象解一元一次不等式时,对较复杂的不等式应先化简为ax+b ＞0或ax+b ＜0(a 、b 为常数,a ≠0)的形式,然后作出相应的函数图象进行解决,可使解题过程相对简单.

O 200 400 600 800 1000 x (页) O 200 400 600 800 1000 x (页)

参考答案

1. 解:设直线y ＝－

23

x ＋3与y 轴的交点是A ，直线y ＝2x －1与y 轴的交点是B ，两直线的交点是C .在y ＝－23x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，即点A 的坐标为（0，3）；在y ＝2x －1中，令x ＝0，得y ＝－1，即点B 的坐标为（0，－1）；由23,321

y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ 解得3,22.x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩

所以两直线的交点坐标为C （32，2），即AB ＝4，点C 到AB 的距离为32.则两直线y ＝－23x ＋3和y ＝2x －1与y 轴所围成的△ABC 的面积＝12×4×32

＝3（平方单位）. 2. 解:由已知可得A )0,3(、B(0,1),OA=3,OB=1. 故AB=222=+OB OA . 因此,S △ABC =2

1×2×2=2.连PO,则S △ABP =S △PBO +S △ABO －S △APO =2

132********⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯a =43232-+-a . 又S △ABP =S △ABC ，

∴24

3232=-+-a ， 解得283-=

a . 3 解:由△ADE 和△DCO 的面积相等,可知△AOB 和△CBE 的面积相等, 而△AOB 的面积为3.设点E 的坐标为(00,y x ),则△CBE 的面积为20y .

由320=y ,得2

30=y . 又由直线AB 的解析式为)2(3--=x y ,而E 在AB 上,则)2(300--=x y ,有2

3=o x ,得E 的坐标为(23,23). 又因为点C 的坐标为(－2,0),

所以直线l 的解析式为)2(7

3+=x y .

4. 解:(1) y甲＝x＋500，y乙＝2x．

(2)当y甲＞ y乙时，即x＋500＞2x,则x＜500 ，

当y甲＝y乙时，即x＋500＝2x,则x＝500，

当y甲＜ y乙时，即x＋500＜2x, 则x＞500，

所以该学校印制学生手册数量小于500本时应选择乙厂合算，当印制学生手册数量大于500本时应选择甲厂合算，当印制学生手册数量等于500本时选择两厂费用都一样．

5. 解:⑴根据表中的数据可知y是x的正比例函数，设y=kx，将x=100，y=40代入y=kx，得k=0.4，所以函数的解析式为y=0.4x.

⑵y=0.15x+200(x≥0);

⑶画出函数图象,可得交点坐标为(800,320),可看出当复印页数等于800时，两家都可选，当复印页数大于800时则选择乙复印社更合算，当复印页数小于800时则选择甲复印社更合算.因此,当每月复印页数在1200左右时，应选择乙复印社更合算.