信号与系统2

f (t ) e jw0t
复指数信号的周期：
f (t ) f (t + T )
e
jw0t
e
jw0 ( t +T )
w0T 2n, n 1, 2
复指数信号的基波周期： Euler公式：
T 0 2 / w0
1 j wt - jwt cos( wt ) (e + e ) 2
r (t ) u( )d
- t
t
u(t ) r ( )d
-
t
(t ) ' ( )d
-
[例题] 计算下列各式的值
+
(1) sin( t ) (t - )dt - 4
(2) e-5t (t - 1)dt
(3) e-2t (t + 8)dt
1 jwt - jwt sin(wt ) (e - e ) 2j
2 指数信号——复指数信号
f (t ) Aest s + jw0
f (t ) Aet e jw0t Aet cosw0t + jAet sin w0t
et sin w0t et sin w0t
<0
-1 0 1 2 3
k
序列的列表表示
f[k]=[0, 2, 0, 1, 3, 1, 0]
表示k=0的位置
二、基本离散时间序列
1．实指数序列
r >1
f [k ] Ark , k Z
0< r <1
k
r <-1
k
-1< r <0
k
k
2. 虚指数序列和正弦序列
f [k ] e j0k f [k ] A cos(0k + )
t
t
3.抽样函数
Sa (t ) sin t / t
抽样函数具有以下性质： Sa (0) 1
Sa (k ) 0, k 1,2

1
Sa (t )
-

Sa (t )dt
-

2 3
t
与Sa(t)函数类似的是sinc(t) 函数，其定义为
sinc(t ) sin(t ) /(t )
f (t )
t
T 2T T 2T
t
(b )
(a)
阶跃信号的作用：
2．利用阶跃信号的单边性表示信号的时间范围
sin w0t u(t )
sin w0 (t - t0 ) u(t )
t
0 0
t0
t
sin w0t u(t - t0 )
sin w0 (t - t0 ) u(t - t0 )
t
y'(t) (1) 1 2 (-1) t
7. 信号的积分
y(t ) f ( ) d f -1 (t )
- t
y (t )
f (t) 1
t
-
f ( )d
2 1
t
-1
0
1
-1
0
1
t
[例题] 已知f(t)的波形如图所示，试画出f(6-2t)的波形。
f ( t)
1 -2
或r (t ) t u (t )
与阶跃信号之间的关系：
r (t )
r (t ) u ( ) d
-
t
1 1
t
dr(t ) u(t ) dt
4.冲激偶信号
定义： 性质：
' (t )dt 0
d (t ) ' (t ) dt
-
t
'(t)
(1)
-
(4) e -t (2 - 2t )dt
-

+3
t (5) (t + 3t ) ( - 1)dt -2 3
+2 2
-2 +6
(6)(t + 2t + 3) (t - 2)
3 2
-4 +
(7)e-4t (2 + 2t )
(8)e-2t u(t ) (t + 1)
利用Euler 公式可以将正弦序列和虚指数序列联系起来，即
e j0k cos0k + jsin 0k
1 j 0 k cos 0 k (e + e - j 0 k ) 2
+ -t + -t
注意：
1.在冲激信号的取样特性中，其积分区间不一定都是 (-，+)，但只要积分区间不包括冲激信号(t-t0) 的t=t0时刻，则积分结果必为零。
2.对于(at+b)形式的冲激信号，要先利用冲激信号的 展缩特性将其化为1/|a| (t+b/a)形式后，方可利用 冲激信号的取样特性与筛选特性。
一、典型普通信号
1 正弦信号
f (t ) A sin(w0t + j )
A: 振幅 w0:角频率弧度/秒 j:初始相位
sin(w 0 t + j ) A
t
j w0
-A
2 指数信号——实指数信号
f (t ) Ae
f (t ) Aeat
at
a <0
a >0
A
t
2 指数信号——虚指数信号
' ( )d (t )
f (t ) ' (t ) f (0) ' (t ) - f ' (0) (t )

0
t
-

f (t ) ' (t )dt - f ' (0)
冲激偶信号图形表示
•四种奇异信号具有微积分关系
d (t ) ' (t ) dt du (t ) (t ) dt dr (t ) u (t ) dt
例：尺度变换变换后语音信号的变化
f(t)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 0
f(2t) f (1.5t)
f(t/2) f (0.5t)
f (t)
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
一段语音信号(“对了”) 。抽样频率 =22050Hz
2. 信号的翻转 f (t) f (-t)
将f (t)以纵轴为中心作180翻转
f (t) 1 t
f (-t) 1 t
0
2
4
-4
-2
0
3. 时移（平移） f(t) f(t-t0)
f (t) 1 t
0
2
4
f (t-2) 1 t 1
f (t+2)
0
4
6
0
2
t
f(t-t0)，则表示信号右移t0单位； f(t+t0)，则表示信号左移t0单位。
(1)
f (t ) (t - t 0 )
( f (t 0 ) )
t0
t
t0
t
f (t ) (t - t0 ) f (t0 ) (t - t0 )
(2)取样特性


-

f (t ) (t - t0 )dt f (t0 )

-

f (t ) (t - t0 )dt
-

f (t0 ) (t - t0 )dt f (t0 )
4) 冲激信号的极限模型
h (t )
f (t ) 1 2
g (t ) 1
t
2
-

-

t
-
1/

t
(t ) lim f (t ) lim g (t ) lim h (t )
0 0 0
5) 冲激信号的性质 (1)筛选特性
f (t )
0
3
t
缩2 翻转 右移3 f (t ) f (2t ) f (-2t ) f (-2(t - 3))
f(2t) 1 -1 1.5 t
-1.5
1
f(-2t)
1
f(-2t+6)
1
t
1.5
4
t
b f (-at b) f [-a(t )] a
先翻转
再展缩
后平移
取a= -1 即可得 (t)=(-t) 推论：冲激信号是偶函数。
5) 冲激信号的性质
(4) 冲激信号与阶跃信号的关系
1 t > 0 ( )d 0 t < 0 -
t
u(t )
du(t ) dt
(t )
3.斜坡信号
定义：
t r (t ) 0 t0 t<0
(1)
t
说明： (1)冲激信号可以延时至任意时刻t0，以符号(t-t0)表示， 其波形如图所示。(t-t0)的定义式为： (t - t0 ) 0 t t0

-

(t - t0 )dt
t0 +
t0 -

(t - t0 )dt 1
(2)冲激信号具有强度，其强度就是冲激信号对时间的 定积分值。在图中用括号注明，以区分信号的幅值。 (3)冲激信号的物理意义： 表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型 (4)冲激信号的作用： A. 表示其他任意信号； B. 表示信号间断点的导数。
连续时间信号的基本运算
• • • • • • • 信号的尺度变换 信号的翻转 信号的平移 信号相加 信号相乘 信号的微分 信号的积分
1. 尺度变换
f (t) 1
f(t) f(at) a>0
0
2
4
f (t/2)
t
f (2t) 1 t
1
0
1
2
0
4
8
t
若0<a<1，则f(at)是f(t)的扩展。 若a>1， 则f(at)是f(t)的压缩。

-

(t - t0 )dt f (t0 )
5) 冲激信号的性质 (3)展缩特性 证明：

1 (at) (t ) a
at x
-

g (t ) (at)dt




-
x dx g ( ) ( x) a a
g ( 0) a
-

g (t )
(t )
a
dt
g ( 0) a
4. 信号的相加
f(t)=f1(t)+ f2(t)+ ……fn(t)
f1(t) 0.5 0 t -0.5 0.5 0 t f2(t)
y(t)=f1(t)+f2(t) 1 t
0
5 . 信号的相乘
f(t)=f1(t)· f2(t) ·…… ·fn(t)
1 f1(t)
f (t ) f 1 (t ) f 1 (t )
-：右移b/a单位 +：左移b/a单位
0<a<1，扩展a倍 a>1， 压缩1/a倍
离散时间信号的时域描述
• 离散时间信号的表示 • 基本离散时间序列
• • • • • 实指数序列 虚指数序列和正弦序列 复指数序列 单位脉冲序列 单位阶跃序列
一、离散时间信号的表示
序列的图形表示
3
f [k ] 2
1 1
[解]
(1) sin( t ) (t - )dt sin( ) 2 / 2 - 4 4
+


(2) e -5t (t - 1)dt e -5 1 1 / e5
(3) e -2t (t + 8)dt 0
-4
+3
-2 +6
1 1 (4) e (2 - 2t )dt e (t - 1) dt - - 2 2e +2 +2 t 2 (5) (t + 3t ) ( - 1)dt (t 2 + 3t ) 3 (t - 3) dt 0 -2 -2 3 (6)(t 3 + 2t 2 + 3) (t - 2) (23 + 2 22 + 3) (t - 2) 19 (t - 2) 1 - 4 (-1) 1 4 - 4t - 4t 1 (7)e (2 + 2t ) e (t + 1) e (t + 1) e (t + 1) 2 2 2 (8)e-2t u(t ) (t + 1) e-2 (-1)u(-1) (t + 1) 0 (t + 1) 0
-1
1
f2(t)
t
1 t
1 -2
-1
2 t
1
6 . 信号的微分
y(t)=df(t)/dt=f '(t)
f (t) 1
-2
-1
0
1 y(t)=f'(t)
2
t
1 1 -2 -1 0 -1 2 t
注意：对不连续点的微分
y(t)=f'(t) 1源自文库1 -2 -1 0 -1 2 t
(1) -1 -2 (-1) 0
0 t0 0
t
t0
2. 冲激信号
1)冲激信号的引出 单位阶跃信号加在电容两端，流过电容的电流 i(t)=C du(t)/dt可用冲激信号表示。 2)冲激信号的定义 狄拉克定义式：
(t)=0 , t0

+
-
(t ) dt = 1
3) 冲激信号的图形表示
(t )
(1)
t
t0
(t - t 0 )
信号的时域分析
• • • • •
连续时间信号的时域描述 连续时间信号的基本运算 离散时间信号时域描述 离散时间信号的基本运算 确定信号的时域分解
连续时间信号的时域描述
• 典型普通信号
• • • • • 正弦信号 实指数信号 虚指数信号 复指数信号 抽样函数
• 奇异信号
• • • • 单位阶跃信号 冲激信号 斜坡信号 冲激偶信号
二、奇异信号
1 单位阶跃信号
定义:
1 u (t ) 0 t >0 t<0
u (t )
1
0
t
1 u (t - t 0 ) 0
t > t0 t < t0
u (t - t0 )
1
0
t0
t
阶跃信号的作用：
1．表示任意的方波脉冲信号
f (t )
1 1
f(t)=u(t-T)-u(t-2T)