半经典

1. 半经典理论
将激光辐射场看作是经典的、由Maxwell 方程描述的电磁波场；将介质中增益粒子看作用薛定谔方程描述的量子力学系统。

场对介质粒子的作用表现为薛定谔方程中微扰哈密顿量，场的扰动会使原子的状态发生变化；介质对场的作用，归结为Maxwell 方程中极化强度项，作为源使场发生变化。

2. 薛定谔方程
介质中包含大量的增益粒子，每一个粒子都可能处于任何可能的微观状态。

粒子的状态可用波函数(,)t ψr 进行描述，满足薛定谔方程
其中(,)V t r 是粒子的势能函数。

几率密度(,)P t r 可表示为
并且有
令(,)()()t u g t ψ=r r ，代入薛定谔方程并进行分离变量可得
其中E 为分立常数，为与时间无关的波动方程的本征值。

因此，波函数可表示为
其中任意具有不同E 的()u r 具有正交的特性
3. 密度矩阵
按照量子统计学的观点，介质的宏观可观量为相应算符的微观平均值。

因此，将每一个粒子看作一个系统，大量全同系统组成一个系综，宏观量就是算符的系综平均值。

密度矩阵公式是在系统的精确波函数不确定的情况下计算算符的平均值的一种方法。

波函数(,)t ψr 可按任意一个完备的正交函数集进行展开，有
由量子力学可知，宏观量的算符为A ，其平均值为
因此有
事实上，算符为A 可以通过矩阵km A 进行表象，即
因此有
定义密度矩阵*nm m n c c ρ=且有*
nm mn
ρρ=，则算符平均可表示为 ,()nm mn m n
A A Tr A ρρ==∑
对角项nn ρ是系统处于()n u r 态的概率，非对角线与辐射偶极矩相关，表征各状态之间的相位相干。

将(,)t ψr 的展开式代入薛定谔方程，并由()u r 正交性可得到nm ρ的运动方程是
[](),i
H H t i
H ρρρρ∂=--∂=-
4. 辐射场与原子系统的相互作用
原子有很多能级，与电磁场相互作用形成跃迁的主要有两个，即激光上、下能级，其能量分别表示为1E 和2E ，为便于讨论在此利用半经典理论分析二能级系统原子与辐射场的相互作用，得出的结果同样具有普适的参考意义。

二能级系统原子的密度矩阵为
11122122ρρρρρ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
在0H 表象中，固有哈密顿量为对角矩阵
10200H ω
ω⎛⎫= ⎪⎝⎭
其中1ω 和2ω 为能级1和2的本征能量
假设原子和辐射场相互作用的哈密顿'H 是偶极型的，并且无固有偶极矩，因此有
'
12
'
21
0-()'-()
00H E t H E t H μμ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ 两能级的总哈密顿量为
'
1
12
0'21
2'H H H H H ω
ω⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭
根据密度矩阵的运动方程可得
定义共振频率021()/E E ω=- ，可得
相应地有
其中
上面密度矩阵的运动方程并没有考虑能级的衰减。

对于2112()ρρ，当外场去掉之后，随着碰撞作用的影响各状态之间的相位相干会会逐渐损失，2112()ρρ也会趋于0，因此将这种现象考虑在内对上面的21ρ的运动方程进行改写，有
其中2T 为横向弛豫时间，表示相位的损失。

若N 为原子数密度，则1122()N N ρρ-=∆为两能级间粒子数密度之差。

假设去掉外场()E t ，粒子数差N ∆弛豫到平衡值11220()N ρρ-的时间为τ，则上面的运动方程改写为
若外部电磁场()E t 是随时间谐振的情况，即
当0ωω 时定义一组新的慢变变量21σ和12σ，有
将上式代入运动方程，有
5. 极化强度
求解密度矩阵的最终目的是求解出外场作用下原子偶极矩的系综平均值，进而通过乘以原子数密度即获得宏观极化强度。

由前面的讨论可知，偶极矩的系综平均值为
12211221()()
()
i t i t tr e e ωωμρμμρρμσσ-==+=+
因为
*1221σσ=
因此
[]2121()2Re ()cos Im ()sin t t t t t μμσωσω=+
为了获得密度矩阵的稳态解，将运动方程左边等于0，将运动方程第一式取复共轭后与其相加减，并结合运动方程第二式可得
其中02E μΩ= 。

由上可得单位体积内粒子数差为
其中011220()N N ρρ∆=-。

宏观极化强度P N μ=，因此有
假如原子的电极化率为'''i χχχ=-，那么
因此有
其中虚部与吸收相关，有2
''()
()k n χνγν=-。

定义归一化线型函数()g ν为
半高全宽为12()T νπ-∆=。

6. 饱和、加宽和增益饱和
饱和：
由前面的公式可以看到，N ∆以及'χ和''χ都会随场强的增大而减小，这种现象称为饱和。

尤其是当
这种饱和现象更加明显。

此外，饱和的另一结果是洛伦兹线型函数由零场时的宽度12()T νπ-∆=加宽到
加宽：
(1) 均匀加宽：粒子是不可分的，都对加宽有贡献。

加宽机制为：非弹性碰
撞；到其它能级的自发辐射或者无辐射跃迁；破坏相位的弹性碰撞；与电磁场相互作用引起的加宽。

其中
式中求和是对破坏场与原子相干作用的所有过程(碰撞、跃迁等)进行的。

(2)非均匀加宽：粒子是可分的。

加宽机制为：粒子与晶格相互作用；气体
多普勒频移。

由于气体分子具有有限的运动速度，会使粒子的跃迁频率 按照
产生多普勒频移。

由此归一化的杜普勒加宽线型为
其中
增益饱和：
(1)均匀加宽增益饱和：
根据
以及
可得增益系数为
因此有
其中
当增益降为外场为0时增益的1/2时的强度称为饱和强度，有
(2)非均匀加宽增益饱和：
其中。