求极限的方法总结

求极限的几种常用方法

一、 约去零因子求极限

例如求极限lim

x→1x 4−1x−1

，本例中当x →1时，x −1→0，表明x 与1无限接近，但x ≠1,

所以x −1这一因子可以约去。

二、 分子分母同除求极限

求极限lim x→∞

x 3−x 2

3x 3+1

∞∞

型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

lim x→∞x 3−x 23x 3+1=lim x→∞

1−1

x 3+1x

3=1

3

三、 分子(母)有理化求极限

例:求极限lim x→∞

(√x 3+3−√x 2+1)

分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

()()()

()

1

31

31

3lim

13lim

22

22

22

2

2

+++++++-+=+-++∞

→+∞

→x x

x x

x x

x

x

x x

1

32

lim

2

2

=+++=+∞

→x x x

例：求极限lim

x→0

√1+tanx−√1+sinx

x 3

30sin 1tan 1lim x x x x +-+→=

()

x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim

30+++-→ =

300

sin tan lim sin 1tan 11lim

x x x x x x x -+++→→=41sin tan lim 2

130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。

四、 应用两个重要极限求极限

两个重要的极限(1)lim

x→0sinx x

=1

(2)lim x→∞

(1+

1x

)x

=lim x→0

(1+x)1x

=e

在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利

用公式。

例：求极限lim x→∞

(x+1

x−1)x

第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑1+1

x ，最后凑指数部分。 lim x→∞(x +1x −1)x =lim x→∞(1+2x −1

)x =lim x→∞[(1+1x −12

)

2x−1

(1+2x −1

)12]2

=e 2

五、 利用无穷小量的性质求极限

无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。 例：求lim

x→∞sinx x

因为|sinx |≤1, lim x→∞

1

x =0,所以lim

x→∞sinx

x

=0

六、 用等价无穷小量代换求极限

常见等价无穷小有：

当x →0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln (1+x )~e x 1， 1−cosx~1

2x 2，(1+ax)b −1~abx

等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 例：lim

x→0xln(1+x)1−cosx

=lim x→0xx

1

2x 2

=2

例：求极限lim x→0sinx−x

tan 3x

lim

x→0sinx−x tan 3x

=lim

x→0

sinx−x x 3

=lim

x→0

cosx−13x 2

=lim

x→0−12

x 2

3x 2

=−1

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七、 利用函数的连续性求极限

这种方法适合求复合函数的极限。如果u =g(x)在点x 0处连续g (x 0)=u 0，而f(u)在点x 0处连续，那么复合函数y =f(g (x ))在点x 0处连续。lim x→x 0

f(g (x ))=f(g (x 0))=

f(lim x→x 0

g(x))

也就说，极限号lim x→x 0与f 可以互换顺序。

例：求lim x→∞

ln (1+1

x )x

令y =lnu,u =(1+1

x )x

因为lnu 在点u 0=lim x→∞

(1+1

x )x =e 处连续

所以lim x→∞

ln(1+1x )x =ln lim x→∞

(1+1

x )x =lne =1

八、用洛必达法则求极限

洛必达法则只能对0

0或∞

∞型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当也存在lim f ′(x)

g ′(x)等于A 时，那么lim f(x)

g(x)存在且等于A 。如果lim f ′(x)

g ′(x)不存在时，并不能断定lim f(x)g(x)也不存在，这是不能用洛必达法则的，而须用其他方法讨论lim f(x)

g(x)。 例：求极限lim

x→0

lncos2x−in(1+sin 2x)

x 2

lim x→0lncos2x −in(1+sin 2x)x 2

=lim x→0−2sin2x cos2x −sin2x

1+sin 2x 2x =lim sin2x 2x (x→0

−2cos2x −11+sin 2x

)=3

九、用对数恒等式求lim f(x)g(x)极限

lim x→0

[1+ln (1+

x )]2

x

=

lim x→0

e 2

x ln [1+ln (1+x )]

=

e lim

x→02ln (1+x )x =e 2

对于1∞型未定义式，也可以用公式 lim f(x)g(x)1∞=e lim [f (x )−1]g(x)

因为

lim f(x)g(x)=e

lim g (x )ln (1+f (x )−1)

=e

lim [f (x )−1]g(x)

十、利用两个准则求极限

夹逼准则：若一正数N 。当n >N 时，有x n

x n =,lim x→∞

z n =a ，则

有lim x→∞

y n =a .

利用夹逼准则求极限关键在于从y n 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{x n}和{z n }，使得x n

n 2+1

+√

n 2+2

+⋯+√

n 2+n

求x n 的极限。

因为x n 单调递减，所以存在最大项和最小项