小学奥数 5-5-6 中国剩余定理及余数性质拓展.教师版

1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理

2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用

一、中国剩余定理——中国古代趣题

（1）趣题一 中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”

此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

（2）趣题二

我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩

二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：

“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”

这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：

三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．

五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．

七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．

除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．

此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的

余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233⨯+⨯+⨯=，233105128-=，12810523-=

为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？

先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a 是一个被3除余a 而被5

与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b 是被5除余b ，被3与7整除的数；同理15c 是被7除余c ，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115a b c ++是知识点拨

教学目标

5-5-4.中国剩余定理

及余数性质拓展

被3除余a ，被5除余b ，被7除余c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．

了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．

二、核心思想和方法

对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:

今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？

题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

先由5735⨯=，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数35270⨯=是否可以，很显然70除以3余1

类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。

最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算： 270321245[3,5,7]233[3,5,7]k k ⨯+⨯+⨯±=-，其中k 是自然数。

也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。

例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，

那么我们可以计算2703212452[3,5,7]23⨯+⨯+⨯-⨯=得到所求

如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,

我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。

模块一、余数性质综合

【例 1】 一个数除以3的余数是2，除以5的余数是1，则这个数除以15的余数是 。

【考点】余数性质综合 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】希望杯，4年级，初赛，8题

【解析】 除以3余2的数有：2、5、8、11、14

除以5余1的数有：1、6、11、16、21观察得到符合条件的答案是11

【答案】11

【例 2】 有一群猴子正要分56个桃子．每只猴子可以分到同样个数的桃子。这时．又窜来4只猴子。只好

重新分配，但要使每只猴子分到同样个数的桃子，必须扔掉一个桃子．则最后每只猴子分到桃子___

个。

【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】希望杯，六年级，初赛，第19题，6分

【解析】 56的约数有：1、2、4、7、8、14、28、56,

55的约数有：1、5、11、55，

其中只有11=7+4，所以原来有7只猴，后来有11只猴，每只猴子分到55÷11=5个.

【答案】5

【巩固】 一群猴子分桃，桃子共有56个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它们正要分桃时，又来了4只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最后每只猴子分到 个桃子。

【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】填空

例题精讲