函数性质综合(讲义及答案)

函数性质综合（讲义）
知识点睛
一、函数的奇偶性1.设函数y=f (x )的定义域为I ，对∀x ∈I ，
（1）若_____________，则函数y=f (x )就叫做_________；
（2）若_____________，则函数y=f (x )就叫做_________．若函数y=f (x )是奇函数或者偶函数，那么我们就说函数y=f (x )具有奇偶性．
说明：奇偶函数的定义域关于原点对称．
2.奇偶函数的性质
（1）奇函数图象关于_____对称，偶函数图象关于_____对称．
（2）若f (x )是奇函数，则f (x )在关于原点对称的区间上单调性_________；若f (x )是偶函数，则f (x )在关于原点对称的区间上单调性__________．
（3）若奇函数的定义域I 包含数0，则必有____________．3.判断函数奇偶性的方法
（1）分析函数定义域是否关于原点对称；
（2）利用函数奇偶性定义，结合题目特征，可通过赋值、变形等，找出f (-x )与f (x )满足的关系，从而判断其奇偶性．
二、复合函数
1.
定义：若函数y =()f x ，y =g (x )，则称函数(())y f g x =为复合函数，其中()f x 为外层函数，g (x )为内层函数．2.复合函数定义域的求法：
①若y =()f x 的定义域为[a ，b ]，则复合函数(())y f g x =的定义域即为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；
②若(())y f g x =的定义域为[a ，b ]，则函数y =()f x 的定义域即为x ∈[a ，b ]时，g (x )的取值范围．
3.复合函数的单调性
口诀：同增异减．
已知函数(())y f g x =，则求其单调区间的一般步骤如下：（1）确定定义域；
（2）将复合函数(())y f g x =分解成：()y f u =，()u g x =；（3）分别确定这两个函数的单调区间．
精讲精练
1.下列函数：①1()1
f x x =+；②21()x f x x +=；③()1f x x =+；④3()f x x =（-1≤x ≤2）．其中属于奇函数的是（
）A ．①③
B ．②③④
C ．②
D ．①②2.
函数x x x f +=2)(是（）A ．偶函数
B ．奇函数
C ．既奇且偶函数
D ．非奇非偶函数3.函数()||f x x x px =+，x ∈R 是（）
A ．偶函数
B ．奇函数
C ．非奇非偶函数
D ．与p 有关
4.判断下列函数的奇偶性．
①x x x f 1)(3+=；②22()44f x x x =-+-；③x x x f 2112)(-+-=；④x x x f +=4)(.
5.若函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）
A ．()()f x g x -是奇函数
B ．()()f x g x +是偶函数
C ．()()f x g x +是偶函数
D ．()()f x g x -是奇函数6.若函数f (x )（x ∈R ）是奇函数，函数g (x )（x ∈R ）是偶函数，则（）
A ．函数(())f g x 是奇函数
B ．函数(())g f x 是奇函数
C ．函数()()f x g x +是奇函数
D ．函数()()f x g x 是奇函数7.（1）定义域为2[324]a a --，
上的函数f (x )是奇函数，则a =_________．
（2）已知函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为[a -1，2a ]，则a =_________，b =________．
8.（1）若1()41
x f x a =++是奇函数，则a =_________．（2）若1()21x f x a =
+-是奇函数，则a =_________．（3）若f (x )=(m -1)x 2+2mx +3是偶函数，则m=_________．
9.若f (x )是定义在(-∞，+∞)上的奇函数，且f (x )在[0，+∞)上为
增函数，则f (-2)，f (-π)，f (3)的大小顺序是（
）A ．f (-π)<f (-2)<f (3)
B ．f (3)<f (-2)<f (-π)
C ．f (-π)<f (3)<f (-2)
D ．f (-2)<f (3)<f (-π)
10.函数y=f (x )是R 上的偶函数，且在(-∞，0]上为增函数．若
f (a )≤f (2)，则实数a 的取值范围是（
）
A ．a ≤2
B ．a ≥-2
C ．-2≤a ≤2
D ．a ≤-2或a ≥211.如果奇函数y =f (x )在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，
则在区间[-7，-3]上是（
）A ．增函数且有最小值-5
B ．增函数且有最大值-5
C ．减函数且有最小值-5
D ．减函数且有最大值-512.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()5f x x x =-，
则在R 上f (x )的表达式为（
）A ．()(5)
f x x x =--B ．()(5)f x x x =-C ．()(5)f x x x =-D ．()(5)
f x x x =-13.f (x )为R 上的奇函数，当x >0时，2()231f x x x =-++，则f (x )
的解析式为__________________．
14.（1）若函数()y f x =的定义域为[-1，1]，则函数(5)
y f x =-的定义域为____________．
（2）若函数(1)y f x =+的定义域为[0，3]，则函数()y f x =的定义域为____________．
（3）若函数(1)y f x =+的定义域为[-2，3]，则函数
(21)y f x =-的定义域为__________________．
15.（1）若函数f (x )的单调递增区间是[-2，3]，则y =f (x +5)的单
调递增区间是___________．
（2）函数f (x )是定义在[0)+∞，上的单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是_____________．
16.（1）已知f (x )=x +2，g (x )=x 2，则函数(())y f g x =的单调递增
区间是_____________，单调递减区间是_____________．（2）已知f (x )=x 2，g (x )=x +2，则函数(())y f g x =的单调递增区间是_____________，单调递减区间是_____________．（3）函数21()2542
f x x x =
--的单调递增区间是____________．【参考答案】
知识点睛
一、函数的奇偶性
1.
（1）()()f x f x -=，偶函数（2）()()f x f x -=-，奇函数2.（1）原点，y 轴
（2）相同，相反
（3）(0)0
f = 精讲精练1.
C 2.
D 3.
B 4.
（1）奇函数；（2）既奇又偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）非奇非偶函数5.
B 6.
D 7.（1）1或2；（2）13
，08.（1）12-；（2）12
；（3）0.9.
A 10.
D 11.
B 12.B
13.22231(0)0(0)231(0)x x x f x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪+-<⎩
()-14.（1）[46]，；（2）[12]，；（3）5[0]
2
，15.（1）[72]-，-；（2）(0，1)16.（1）(0)(0)+∞-∞，
，，（2）(2)(2)-+∞-∞-，
，，（3）7
75()()224
-∞--，，，。