高阶微分方程
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km
e , te , t e ,, t
1t
1t
2 1t
k1 1 1t
e
e2t , te2t , t 2e2t ,, t k2 1e2t emt , temt , t 2emt ,, t km 1emt
ki 1
m
复解实值转化
i
(k重)
基 本 解 组
yx
特征方程
ye
t
( 1) [ (n 1)] a1 ( 1) [ (n 2)] a n 2 ( 1) a n 1 a n 0
F () n a1n1 an1 an 0
欧拉方程的基本解组---变换
x e t 或t ln x
xn dny dx n a1 x n 1 d n 1 y dx n 1 dy a n 1 x a n y 0 dx
dny dt n b1 d n 1 y dt n 1 bn 1 dy bn y 0 dt
基本解组
非齐次常系数线性方程的特解----比较系数法
待定特解中的系数，将特解代入方程，比较方程两端 求出系数，从而得到特解（待定系数法！）
L[ x] : dnx dt
n
a1
d n 1 x dt
n 1
a n 1
dx a n x f (t ), dt
a i R, f (t )连续
高阶线性方程与方程组的基本概念与理论（与对比）
d nx d n 1 x dx a ( t ) a ( t ) an (t ) x f (t ) 1 n 1 dt n dt n 1 dt (4.1)
基本概念：线性、齐次与非齐次、解（特解与通解）、 初值问题、二者关系、存在唯一性 向量表示： 向量（矩阵）函数及微积分、范数、向量序 列与级数
-1 t0
t
矩阵指数与基解矩阵 矩阵指数exp A 的定义与性质 基解矩阵表示
基解矩阵的计算方法 基解矩阵与特征值（向量）关系 特征值（向量）方法 若当块方法 递推公式方法
高阶(线性)微分方程的求解
常系数齐次线性方程（欧拉方程）的特征根法 常系数非齐次线性方程的比较系数法 一般非齐次线性方程的常数变易法 一般高阶（线性）方程的降解法 *(了解) 二阶方程的幂级数法 （Bessel方程）
类型Ⅰ
f (t ) (b0 t m b1t m1 bm1t bm ) e t , , bi R
特解 ~ x t k ( B0 t m B1t m1 Bm1t Bm ) e t 类型II
f (t ) [ A(t ) cos t B(t ) sin t ]e t
k1 k2 km n,
2k个
e ( i )t , te( i )t , t 2 e ( i )t , , t k 1e ( i )t
实部：e t cos t , te t cos t , , t k 1e t cos t ,
虚部：e t sin t , te t sin t , , t k 1e t sin t ,
特征根： 1 , 2 ,..., l， 重数：m1 m2 ml n
x i , x i ln | x |, x i ln 2 | x |, , x i ln mi 1 | x |
e i t , tei t , t 2 e i t , , t mi 1e t
d 2x dt 2 dy y dx
x d nx d n 1 x z y ( ) a ( t ) a ( t ) x 0 1 n n-1阶方程 xk dt n dt n 1 并反复k次，
x1 , x 2 , , x k 线性无关
x x k zdt
得n-k阶方程
特解
k t ~ x t [ P(t ) cos t Q(t ) sin t ]e
一般高阶方程---降阶法
方程
变换
结果
n-k阶方程 n-1阶方程
F (t , x (k ) , x (k 1) , , x (n) ) 0
F ( x, x,, x( n) ) 0
x (k ) y x y
dx A(t ) x f (t ), (5.14) dt
齐次/非齐次 线性方程组解的性质和通解结构
解的性质（叠加原理）； 解的线性相关/无关性及判别 （Wronsky行列式） 齐次与非齐次 通解结构（基本解组） 基解矩阵及其性质、常数变易公式
(t ) (t ) (t0 ) (t ) 1 ( s) f ( s)ds, (5.27)
常系数齐次线性微分方程的通解---特征根法
F ( ) a1
n n1
a n1 an 0
x e t
L[ x]
dnx dt n
a1
d n 1 x dt n 1
wk.baidu.com
a n 1
dx an x 0 dt
1
2
k1 k2
二阶线性方程（已知非零解求另一非线性无关解）
x x1 0
x 2 x1
x
1
1
p ( t ) dt e dt 2
求一般非齐次线性方程的特解---常数变易法
dnx dt n a1 (t ) d n 1 x dt n 1 dx a n 1 (t ) a n (t ) x 0 dt
教学要求（基本理论与方法） 一阶线性方程组的基本理论与解的性质 线性方程组的向量表示和存在唯一性 齐次与非齐次 线性方程组解的性质和结构 基解矩阵及常数变易公式 常系数线性方程组微分方程的求解 exp(At) 的定义与性质 exp(At)的三种计算方法和两种特例 常系数非齐次线性方程组的求解
e , te , t e ,, t
1t
1t
2 1t
k1 1 1t
e
e2t , te2t , t 2e2t ,, t k2 1e2t emt , temt , t 2emt ,, t km 1emt
ki 1
m
复解实值转化
i
(k重)
基 本 解 组
yx
特征方程
ye
t
( 1) [ (n 1)] a1 ( 1) [ (n 2)] a n 2 ( 1) a n 1 a n 0
F () n a1n1 an1 an 0
欧拉方程的基本解组---变换
x e t 或t ln x
xn dny dx n a1 x n 1 d n 1 y dx n 1 dy a n 1 x a n y 0 dx
dny dt n b1 d n 1 y dt n 1 bn 1 dy bn y 0 dt
基本解组
非齐次常系数线性方程的特解----比较系数法
待定特解中的系数，将特解代入方程，比较方程两端 求出系数，从而得到特解（待定系数法！）
L[ x] : dnx dt
n
a1
d n 1 x dt
n 1
a n 1
dx a n x f (t ), dt
a i R, f (t )连续
高阶线性方程与方程组的基本概念与理论（与对比）
d nx d n 1 x dx a ( t ) a ( t ) an (t ) x f (t ) 1 n 1 dt n dt n 1 dt (4.1)
基本概念：线性、齐次与非齐次、解（特解与通解）、 初值问题、二者关系、存在唯一性 向量表示： 向量（矩阵）函数及微积分、范数、向量序 列与级数
-1 t0
t
矩阵指数与基解矩阵 矩阵指数exp A 的定义与性质 基解矩阵表示
基解矩阵的计算方法 基解矩阵与特征值（向量）关系 特征值（向量）方法 若当块方法 递推公式方法
高阶(线性)微分方程的求解
常系数齐次线性方程（欧拉方程）的特征根法 常系数非齐次线性方程的比较系数法 一般非齐次线性方程的常数变易法 一般高阶（线性）方程的降解法 *(了解) 二阶方程的幂级数法 （Bessel方程）
类型Ⅰ
f (t ) (b0 t m b1t m1 bm1t bm ) e t , , bi R
特解 ~ x t k ( B0 t m B1t m1 Bm1t Bm ) e t 类型II
f (t ) [ A(t ) cos t B(t ) sin t ]e t
k1 k2 km n,
2k个
e ( i )t , te( i )t , t 2 e ( i )t , , t k 1e ( i )t
实部：e t cos t , te t cos t , , t k 1e t cos t ,
虚部：e t sin t , te t sin t , , t k 1e t sin t ,
特征根： 1 , 2 ,..., l， 重数：m1 m2 ml n
x i , x i ln | x |, x i ln 2 | x |, , x i ln mi 1 | x |
e i t , tei t , t 2 e i t , , t mi 1e t
d 2x dt 2 dy y dx
x d nx d n 1 x z y ( ) a ( t ) a ( t ) x 0 1 n n-1阶方程 xk dt n dt n 1 并反复k次，
x1 , x 2 , , x k 线性无关
x x k zdt
得n-k阶方程
特解
k t ~ x t [ P(t ) cos t Q(t ) sin t ]e
一般高阶方程---降阶法
方程
变换
结果
n-k阶方程 n-1阶方程
F (t , x (k ) , x (k 1) , , x (n) ) 0
F ( x, x,, x( n) ) 0
x (k ) y x y
dx A(t ) x f (t ), (5.14) dt
齐次/非齐次 线性方程组解的性质和通解结构
解的性质（叠加原理）； 解的线性相关/无关性及判别 （Wronsky行列式） 齐次与非齐次 通解结构（基本解组） 基解矩阵及其性质、常数变易公式
(t ) (t ) (t0 ) (t ) 1 ( s) f ( s)ds, (5.27)
常系数齐次线性微分方程的通解---特征根法
F ( ) a1
n n1
a n1 an 0
x e t
L[ x]
dnx dt n
a1
d n 1 x dt n 1
wk.baidu.com
a n 1
dx an x 0 dt
1
2
k1 k2
二阶线性方程（已知非零解求另一非线性无关解）
x x1 0
x 2 x1
x
1
1
p ( t ) dt e dt 2
求一般非齐次线性方程的特解---常数变易法
dnx dt n a1 (t ) d n 1 x dt n 1 dx a n 1 (t ) a n (t ) x 0 dt
教学要求（基本理论与方法） 一阶线性方程组的基本理论与解的性质 线性方程组的向量表示和存在唯一性 齐次与非齐次 线性方程组解的性质和结构 基解矩阵及常数变易公式 常系数线性方程组微分方程的求解 exp(At) 的定义与性质 exp(At)的三种计算方法和两种特例 常系数非齐次线性方程组的求解