2009年南京大学自主招生数学试题(部分)

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南京大学

1．n 为正整数，2n -1能被7整除，n 为 ．

2．有一个圆柱形杯子，底面周长为12cm ，高为8cm ，A 点在内壁距杯口2cm 处，A 对面外壁距杯底2cm 处有一只小虫，问小虫至少走 cm 长的路才能到A 处饱餐一顿．

3．z 为模大于1的复数，155cos sin 22

i z z θθ+=-，则z= ． 4．有一个1，2，…，9的排列，现将其重新排列，则1和2不在原来位置的概率是 ． 5．1,a b a == 与b 的夹角为3

π，则以3a b - 和a b + 为边的平行四边形面积为 ．

11．P 为△ABC 内一点，它到三边BC 、CA 、AB 的距离分别为123,,d d d ，S 为△ABC 的面积，求证：2

123()2a b c a b c d d d S

++++≥． 12．求所有满足tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≤++的非直角三角形．

13．在x 轴上方作与x

B （－3，0），

C （3，0）分别作圆的切线，两切线交于P ，Q 为C 在锐角BPC 角平分线上的射影．

（1）求P 的轨迹方程，及其横坐标的取值范围．

（2）求Q 的轨迹方程．

14．在四面体ABCD 中，平面π截四面体所得截面为EFGH ，AB 到平面π距离为d 1,CD 到平面π距离为d 2,且

12

d k d =．求立方体图形ABEFGH 与四面体ABCD 体积之比（用k 表示）．