第七章 线性变换 综合练习

第七章 线性变换综合练习一．判断题1.数域F 上的向量空间的线性变换的集合对线性变换的加法与数乘运算构成一个向量空间（ ）2．在向量空间3R 中, 1231223(,,)(2,,)x x x x x x x σ=-, 则σ是3R 的一个线性变换. ( )). 3．在向量空间[]n R x 中, 2(())()f x f x σ=, 则σ是[]n R x 的一个线性变换. ( )4．两个向量空间之间的同构映射σ的逆映射1-σ还是同构映射. ( )5．取定n n A F ⨯∈, 对任意的n 阶矩阵n n X F ⨯∈, 定义()X AX XA σ=-, 则σ是n n F ⨯的一个线性变换.6．向量空间V 的可逆线性变换σ的核)(σKer 是空集.( )7．在向量空间3R 中, 已知线性变换 1231223312313(,,)(,,),(,,)(,0,).x x x x x x x x x x x x x στ=++= 则12321233(2)(,,)(,,)x x x x x x x x στ-=-+-. ( )8．设σ为n 维向量空间V 上的线性变换，则Im()ker()V σσ+=．（ ）9．向量空间2R 的两个线性变换σ,τ为12121(,)(,)x x x x x σ=-；12122(,)(,)x x x x x τ=- 则212212()(,)(,).x x x x x στσ-=-+（ ）10．在取定基后, V 的每个可逆线性变换对应于可逆矩阵, 但逆变换未必对应于逆矩阵. （ ）11．数域F 上的向量空间V 及其零子空间, 对V 的每个线性变换来说, 都是不变子空间. （ ）12．若21,αα都是数域F 上的方阵A 的属于特征根0λ的特征向量，那么任取 221121,,ααk k F k k +∈也是A 的属于0λ的特征向量．（ ）13． 线性变换σ的本征向量之和, 仍为σ的本征向量. （ ）14．属于线性变换σ同一本征值0λ的本征向量的线性组合仍是σ的本征向量. （ ） 15．线性变换σ在一个基下可以对角化, 则σ在任何基下可以对角化. （ ）.16．复数域看作实数域上的向量空间是1维的. ( )17．σ是向量空间V 的线性变换, 向量组12,,,m ααα线性无关, 那么12(),(),,()m σασασα也线性无关． ( )18．向量空间V 的线性变换σ的值域Im()σ与σ的核ker()σ都是σ的不变子空间． ( )19．若矩阵A 与B 具有相同的特征多项式，则A 与B 相似． ( )20．向量空间n P 中子集(){}P a a a a ∈,,, 构成n P 的一维子空间. ( )21．若向量ξ是线性变换σ的属于本征值λ的本征向量，则由ξ生成的子空间为σ的不变子空间.（ ）22. σ是向量空间V 的线性变换, 向量组m ααα,,,21 线性相关, 那么)(,),(),(21m ασασασ 也线性相关. （ ）23. σ为V 上线性变换，n ααα,,,21 为V 的基，则)(,),(),(21n ασασασ 线性无关．24. 在][x P 中，定义变换σ：)1())((+=x f x f σ，则σ是][x P 的线性变换．（ ）25. 向量空间V 中任意两个子空间的并集一定不是V 的子空间. （ ）26. 向量空间的每一个线性变换都有本征值. （ ）27. σ是向量空间V 的一个变换，V ∈α,若V ∈∀ξ ，有a +=ξσξ，则σ是V 的线性变换. （ ）28. 如果n 阶矩阵A 可逆，则矩阵AB 与BA 一定相似．（ ）．29. n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ．30. α为V 上的非零向量，σ为V 上的线性变换，则})(|{)(1αησηασ==-是V 的子空间．二、单选题1．n 维向量空间V 的线性变换σ有n 个不同的特征值，是σ与对角矩阵相似的（ ）． A ．充分而非必要条件； B ．必要而非充分条件；C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．2．矩阵B A 与相似，则下列描述中不正确的是（ ）A ．B A =； B ． )(x f 是数域P 上的多项式，则()()B f A f ~；C ．()()R A R B =；D ．B A 与一定相似于对角形矩阵.3. n 阶矩阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角矩阵相似的 ( ).A ．充分而非必要条件；B 必要而非充分条件；C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．4. 令),,(321x x x =ξ是R 3的任意向量，则映射（ ）是R 3的线性变换。

A ．0,)(≠+=ααξξσ ；B ．)0,,2()(32321x x x x x +++=ξτ；C ．),,()(32221x x x p =ξ ；D ．)0,cos ,(cos )(21x x w =ξ．5．设σ是数域P 上向量空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果对于W 中任意向量ξ有W ∈σξ，则称W 是σ的（ ）子空间．A ．非平凡；B ．不变；C ．核；D ．零．6. 设321,,ξξξ是向量空间V 的一组基，线性变换σ在此基下矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110101011，则σ在2312,,ξξξ下的矩阵为( )A ． ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-210011201 B ． ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-02121210201C ． ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-21002121201D ． ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-211001121017．设3阶矩阵A 的特征值为1，3，5，则A 的行列式|A |等于（ ）A ．3;B ．4;C ．9;D ．158．设B A ,均为n 阶矩阵,且B A ,相似，则下列结论正确的是（ ）A ．B A ,有相同的特征值和特征向量; B ．I A I B λλ-=-;C ．B A ,都相似于一个的对角矩阵;D ．对任意常数t 都有，tI A tI B --与相似.9． A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随矩阵*A 的特征根之一是（）A ．n A 1-λ;B ．A 1-λ;C ．A λ;D ．n A λ10．2=λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵12)31(-A 有一个特征值是（ ）A ．34; B ．43; C ．21; D ．4111．n 阶矩阵A 相似于某对角矩阵，则（ D ）A ．r(A)=n ;B ．A 有不同的特征值;C ．A 是实对称矩阵;D ．A 有n 个线性无关的特征向量12. n 维向量空间V 的零变换θ的象及核的维数分别是（ ）..A 0,n ; .B ,0n ; .C 0,0; D. n, n13. n 维向量空间V 的单位变换t 的象及核的维数分别是（ ）.A 1,1n -； .B 1,1n - ； .C ,0n ； D. 0, n ．14. 对于域F 上向量空间V 的数乘变换来说，（ ）不变子空间．.A ．只有一个； .B 每个子空间都是； .C 不存在 ； D. 存在且有限个15. 若线性变换σ与τ是（ ），则τ的象与核都是σ的不变子空间。

.A 互逆的 ； .B 可交换的 ； .C 不等的； D. 不可换的．16. 若矩阵A 的特征值只能是1和1-，则=2A （ ）．A ． A ；B ．0；C ．A -；D ．I .17. σ是数域P 上向量空间V 的线性变换， 则下列关于σ是可逆变换的描述错误的是（ ）．A ．σ在某组基下的矩阵为可逆矩阵；B ．σ的特征值非负；C ．σ的特征值不为0；D ．2σ是可逆变换．18. 下列结论正确的是（D ）Ａ．0)(==X A E λ的解向量都是A 的属于λ的特征向量；Ｂ．如果α是A 的属于λ的特征向量，则α的倍向量αk 也是A 的属于λ的特征向量； Ｃ．如果βα,都是A 的属于λ的特征向量，则其线性组合βα21k k +也是A 的属于λ的特征向量；Ｄ．如果βα,都是A 的属于两个互异特征值的特征向量，则βα,线性无关．19．已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=53342111a A ，且A 的特征值为2,6321===λλλ，若A 有三个线性无关的特征向量，则=a （ ）．Ａ．2； Ｂ．2-； Ｃ．4； Ｄ．4-．20．设n 阶矩阵A 有一个特征根是2，对应的特征值是ξ，下列等式中错误的是（ ）． Ａ．ξξ2=A ；Ｂ． ξξ211=-A ；Ｃ． ξξ21=-A ； Ｄ．ξξ42=A ． 21．设321321,,,,βββααα与都是三维向量空间V 的基，且321321211,,αααβααββ++=+==a ，则矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111001011P 是由基321,,ααα到（ ）的过渡矩阵．Ａ．312,,βββ； Ｂ．3,21,βββ； Ｃ．132,,βββ； Ｄ.123,,βββ ． 22．设σ是n 维向量空间V 的线性变换,那么下列说法错误的是（ ）．Ａ．σ是单射ker(){0}σ⇔=； Ｂ．σ是满射V V =⇔σ；Ｃ．σ是双射ker(){0}σ⇔=； Ｄ．σ是双射⇔σ是单位映射 ． 23．设n n F ⨯是R 上全体n 阶矩阵的集合，定义()det ,n n A A A F σ⨯=∈，则σ是n n F ⨯到R 的（ ）．A ．一一映射；B ．满射；C ．一一对应；D ．既不是满射又不是一一对应．24．n 阶矩阵A 相似于B ，则（ ）．A ．A 与B 有相同的特征向量； B ．A 与B 有不同的特征向量；C ．A 与B 有相同的特征值；D ．A 与B 有不同的特征值．三．填空题1. 设V 和W 是数域F 上的向量空间, 而:V W σ→是一个线性映射, 那么σ是单射的充要条件是____________ ．2. 向量空间[]2F x 上的线性变换()()'f x f x σ= 关于它的基2{1,,}x x 的矩阵是 ．3. 设线性变换σ在基12,εε下的矩阵是1221⎛⎫ ⎪-⎝⎭，则σ在基112, εεε+下的矩阵是 ． 4. 在由函数 1,,x x e 生成的子空间V=(1,,)x L x e 中，微商变换((x))(x)f f σ'=关于基1,,x x e 下的矩阵是 ．5．σ：22R R →，)0,2(),(y x y x +-=σ； τ：22R R →，),3(),(y x y y x +-=τ 则 =+),)((y x τσ ．=),)((y x τσ ．=-),)(2(y x σ ．6.)(,V L ∈τσ ，n εεε,,,21 是V 的一组基，τσ与在该基下的矩阵分别为B A 和，则τσ32+和3στ在该基下的矩阵分别为 和 ．7.向量空间3P 中的线性变换12312231(,,)(2,,)x x x x x x x x σ=-+, 那么σ关于基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===的矩阵是 ． 8. 向量空间V 的任意线性变换σ, 都有=)0(σ ；=-)(ασ ．9. σ是22⨯F 上的线性变换，若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10071)(A σ，则=-)3(A σ ． 10. 2,()L F στ∈ ，2(,)()x y L F α∀=∈，),(),(x y y x -=σ，),(),(y x y x -=τ，则 =)(αστ ，=+))((ατσ ．11. 若线性变换σ关于基 21,αα的矩阵是⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，则σ关于基12,3αα的矩阵是 ．12. 设σ是3F 的线性变换，(,,)(2,4,3)a b c b c a b a σ=+-，,,a b c P ∀∈， 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===是3F 的一组基，则σ在基123,,εεε下 的矩阵为_______________，又3123,P αεεε=-+∈则()σα=_________.13. 设数域P 上三维向量空间V 的线性变换σ在基123,,ξξξ下的矩阵是112201121-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,则σ在基123,2,ξξξ下的矩阵是____________.14. 在3V 的基123{,,}εεε下σ的矩阵是111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，那么σ关于基3121{,,2}εεεε+的矩阵是_____________. 15. 在22P ⨯中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________ _______ ．16. 设},,2,1,),,,{(21n i F x x x x F i n n =∈=是数域F 上n 元行空间，对任意n n F x x x ∈),,,(21 ，定义),,,,0,0()),,,((22121-=n n x x x x x x σ，则σ是一个线性变换，且σ的核)(σKer 的维数等于______.17. 设σ是数域F 上向量空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，则W 是σ的不变子空间的充分必要条件是 ．18. σ的特征子空间λV 是指_______________ ．19.σ是空间3R 的线性变换：σ(,,)(0,0,)x y z z =， σ特征值是 ， σ的值域Im()σV = ，σ的核ker()σ = . 20. V 是数域P 上n 维向量空间，V 的所有线性变换做成的集合)(V L 也是P 上的向量空间，则)(V L 的维数=)(dim V L ．21. 若矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x A 123122与⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321B 相似，则x ＝ ． 22. 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100001011A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1010101k k B 相似，则k = ．23. 设矩阵A 56x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与矩阵B 1324⎛⎫= ⎪⎝⎭相似，则________,__________x y ==．24. 设矩阵A =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---400022021与B =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧40000002x 相似，则x =_______ ． 25．已知3级方阵A 的特征值为2,1321===λλλ，方阵B 与方阵A 相似，则行列式_________=+E B ． 26. 设A 是一个3×3矩阵， 如果2，－3，－1是A 的特征值，则矩阵 E A A B +-=32 的特征值为 ， 行列式=B ．27. 若４级矩阵A 与B 相似，且矩阵A 的特征值为51,41,,31,21，则行列式E B --1＝ ．28. 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A ．29. 矩阵A 为3阶矩阵,且A 的特征值为1，2，-1，则=*A ． 30. n 阶方阵A 满足A A =2，则A 的特征值为 ．31. 若3λ=是可逆线性变换σ的一个特征值，则13是 的一个特征值．32. 设A 是n 级矩阵，n λλλ,,,21 是A 的全部特征值，2)(3-=x x f ，则)(A f 的全部特征值是 ．33. σ是数域F 上3维向量空间V 的线性变换，特征值为1，2，-3，则σ的逆变换的特征值为_____．32. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2231A ，则向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11是A 的属于特征值 的特征向量． 32. 已知线性变换σ满足σσ=2，则σ的特征值为___________．33. 矩阵327024005⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的特征根是______________.34. 设V 是数域F 上的n 维向量空间, (),L V σσ∈的不同的特征根是12,,,t λλλ, 则σ可对角化的充要条件是_____________. 35. V 是数域P 上的n 维向量空间，V 的线性变换σ有n 个互不相同的特征值是σ可对角化的_______________________ 条件.四、计算题1. 3F 中，线性变换σ关于基)1,1,1(1-=α，)1,0,1(2-=α，)1,1,0(3=α的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121011101A（1）求σ关于标准基321,,εεε的矩阵；（2）设3216αααα-+=,321εεεβ+-=,求)(),(βσασ关于基},,{321ααα的坐标．2.设F 上三维向量空间的线性变换σ关于基},,{321ααα的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---6788152051115(1)求σ关于基 321332123211224332αααβαααβαααβ++=++=++= 的矩阵；(2) 设3212αααξ-+=，求123()σξβββ关于基，，的坐标．3. 设三维向量空间V 上的线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为：111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求σ在基()12,,0k k P k εε∈≠且，3ε下的矩阵B .4. 设321,,ααα是数域P 上三维向量空间V 的一组基, 设3213212311,,αααβααβααβ+--=+=+-=，(1) 说明321,,βββ也是V 的一组基；(2) 求基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵；(3) 求向量32132αααξ++=在基321,,βββ下的坐标．5. 已知321,,ααα和321,,βββ是3维向量空间V 的两组基，且321132αααβ+++=，32122αααβ++=，3213αααβ++=，V 的线性变换σ在基321,,ααα下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=382140575A（1）求σ在基321,,βββ下的矩阵。