血管切片的三维重建
血管的三维重建课件
m(:,:,b+1)=imread([int2str(b),'.bmp']); end
血管的三维重建
-10-
建模方法思想
需考虑的细节：
2）何谓边界点？
四邻域的概念 找边界点坐标的算法
血管的三维重建
-2-
Z=0
Z=49
Z=98
Z=1
Z=50
血管的三维重建
Z=99
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假设
1）血管的表面是由半径固定、球心沿着某一曲 线（称为中轴线）的球滚动而形成的包络面。 2）中轴线上任两点处的法截面圆不相交。 3）管道中轴线与每张切片平面有且只有一个交 点。
血管的三维重建
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图象的矩阵表示
后面的切片。
Z=57
Z=60
血管的三维重建
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误差大的原因和改进途径
误差大的原因：
1）图象误差 实际图象边界上的点是连续的，在转换成
bmp图象时，象素表示的图象边界是离散的，成 锯齿状，与实际图象有误差（舍入误差）。 2）同一张切片上的最大内切圆不唯一
解决办法：
1）方法一：取平均 求出同一张切片上的所有最大内切圆的圆心，然 后求平均值。
问题重述
断面可用于了解生物组织、器官等的形态。例如，将 样本染色后切成厚约1m m的切片，在显微镜下观察该横断 面的组织形态结构。如果用切片机连续不断地将样本切成 数十、成百的平行切片， 可依次逐片观察。根据拍照并 采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、 器官等准确的三维形态。
假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是 由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。 例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固 定的球滚动包络形成。
【 数学建模竞赛】血管的三维重建模型g精品
血管的三维重建模型摘要：本文对血管三维重建中，中轴线及球的半径确定问题进行了讨论。
首先，根据问题及图象处理提取有效数据，给出两种可行算法，利用上述数据建立了最大最小方法和二次规划方法。
搜索中心点，并给出全局和局部搜索，得到各切片中心点坐标(见表1)，并通过插值方式得到中轴线图象及其各投影。
最后对模型给出检验方式。
一 、问题的重述假设某些血管可视为一类特殊的管道,该管道的表面是由球心沿着某一曲线 (称为中轴线)的球（命名为包络球）滚动包络而成。
现有某管道的相继100张平行切片图象,记录了管道与切片的交。
假设：管道中轴线与每张图片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1.取坐标的Z 轴垂直于切片，第1张切片为平面0=Z ，第100张切片为平面99=Z . 计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图。
二、模型假设与符号说明1、 基本假设：（1） 该管道的表面为一定长半径的球沿一固定的曲线运动所得曲面族包络的光滑表面。
（2） 该管道的中轴线连续而且光滑。
（3） 该管道的中轴线与每个切面有且只有一个交点。
（4） 图象象素的尺寸为1. （5） 切片的间距尺寸为1.2、 符号说明：L 中轴线R 包络球的半径()z y x O i ,, 中轴线与第i 个切片的交点（定为此切片的中心）i S 第i 个切片切得的图形 i D 第i 个切片的图象数据矩阵三、问题分析及建模准备 问题分析：通常血管的表面可认为是连续且光滑的曲面，断面可用于了解其形态等特性。
本问题给出的是一些离散的切面，要求重建出原图中轴线和求出包络球半径。
因为每一个切面与中轴线L 有且只有一个交点i O ，如果找出所有i O ,就可以用插值或拟合的方式作出L 的近似图象，其在坐标平面上的投影就很容易画出。
问题的关健转变为求每个平面上的i O . 建模准备：1、 图象的读取由于切片图象中只有黑、白两种颜色的象素,而且所给的BMP 格式图象文 件是512×512象素的.因此,把图象读取为一个512×512的数字矩阵；用数字1表示黑色的象素，用数字0表示白色的象素。
基于广义锥理论的血管三维重建方法
Ｃ ｒ网易教育频道 ：假设某些血 管可视为一类特殊的管 ＯＮ 道． 该管道 的表面是 由球心沿着某一曲线 （ 称为 中轴线 ） 的球滚动包络而成 。 例如 圆柱就是这样一种管道 ． 其中轴 线 为直线 ，由半径固定的球 滚动包络形成 。 现有某管道 的相继 １Ｏ张平行切 片图像 ．记录 了管 Ｏ 道与切片的交。 图像文件 名依 次为Ｏｂｎ 、 ｒｐ ９ ｒｐ １ｂｎ 、 ９ ｂ ，格式均为 ＢＭ 宽 、高均 为 ５ ２ ｍｐ Ｐ． １ 个象 素 （ ｉ １。 ｐｘ ） ｅ 为简化起见 ．假设 ：管道 中轴线与每张切片 只有 一个交 点 ：球半径 固定 ：切 片间距 以及图像象素的尺寸均 为 １ 。 取坐标系的ｚ轴垂直于切片 ． １ 第 张切片 为平面 Ｚ ０ 第 ＝， １Ｏ Ｏ 张切片 为平面 Ｚ ９ 。Ｚ Ｚ 片图像 中象素 的坐标依 ＝９ ＝ 切 它们在文件 中出现 的前后次序为
Ｖｏ． Ｎｏ １ ０ ２ １ ８ ． ２ ｏ
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２ 血管的三维重 建问题
血管 的三维重建是 医学图像处理领域一个传统的公
开问题 。 该问题如下形式 的描 述及图像来源于Ｗ Ｗ １ ３ Ｗ ６ ．
３ １ 广义锥理论 表示三维物体有一 种通用 的方法： 广义锥 。 它有 三 维空间的曲线 （ 表示三 维物体的轴线 ）和一组正交于轴 的物体截 口的轮廓组成 。 广义锥有队下 三个 要素来表示：
（ ５ ， ５ ．） 一５ ． ５ ， ． （ ５ ．５ ） 一 ６－ ６ｚ ， ２ ６－ ５ｚ ２ ２ （ ２ ） － ６２ ５ｚ， ２ （ ５ ２ ６ｚ ， ２ ５一５ ，） （ ５ ．５ ．） － ５－５ ．） －５ ． ５ ．．２ ５２ ５ｚ， ２ （ ２ ｚ － （ ５ ． ５ ，）（ ５ ， ５ ： … （ ５ ，５ ，） 一 ５－ ６ｚ ． ２ ５－ ５ｚ ２ ２ 一 ２ ） 一 ５２ ５ｚ． ２
数学建模血管的三维重建问题
A题血管的三维重建问题摘要：本论文讨论基于切片的血管三维重建问题。
其背景是：采取存储二维切片信息，使用时再利用切片信息重建原物体三维形态的方法，可以有效地保存和利用三维信息。
此技术在实际中有很大的用途，在医学和其他领域有广泛的应用。
如要将人体全部三维信息，包含内部错综复杂的结构，完整地存储在计算机中，以现在的技术也是有一定难度的，但若改用存储人体切片信息，使用时重建再现的方法，则是利用现有技术可以解决的。
本论文基于题中对血管形态的假设，建立管道中轴线参数方程，并综合考虑实际情况中由于切片厚度及数字图像离散化带来的偏差，通过在每张切片图像中搜索其中阴影区域所能包含的最大圆面，确定管半径为R=29，在此基础上，将每张切片图像中阴影区域所能包含的半径大于等于R的圆面圆心作为中轴线与各切片交点（即中心点）的候选点集合。
本模型使用了三种改进算法对该候选点集进行筛选以确定实际交点。
最终迭代算法简述如下：1．对每个切片，建立中心点的候选点集，并取点集的中位点为中心点初值2．利用得到的中心点建立中轴线方程3．利用中轴线方程推导导数信息，根据导数信息比例选取中心点的候选点集的某点作为中心点的新值4．重复步骤2、3，直至结果达到较稳定状态为止5．输出中心点及中轴线方程在模型建立中，对选取侯选点集、求中位点、利用导数信息进行比例选取均给出完整的算法，并且对半径确定、候选点选取、采用导数作为比例选取依据等问题给出详尽的证明。
考虑到实际血管的中轴线应充分光滑，计算最终中轴线参数表达式时采取了六阶多项式拟合。
最后用还原的血管形态模拟切片过程可以得到一系列数字图像，与原切片图像进行比较，可以检验模型的合理性及精度。
该模型最终计算结果如下。
血管中轴线示意图从模型结果中看出，中心点分布均匀稳定，模拟检验的切片数字图像与原切片的数字图像吻合较好，模型结果精度及稳定性符合要求。
本模型算法简明，理论严密，比例选取算法使结果中心点尽可能收敛于真实中心点，迭代算法保证了结果的精度和稳定性，符合题目要求。
三维血管的重建
血管的三维重建摘要对于血管的三维重建，本文研究了血管这一类特殊管道的中轴线及其半径的算法，绘制中轴线在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图这些问题，问题分为三部分。
针对第一部分，先将100张切片图片在MATLAB 中导出生成0-1矩阵数据，在计算100张切片的最大内切圆半径及对应圆心坐标，为减小误差求100张切片最大内切圆的平均半径41666.29 d 。
中轴线的曲线方程可在MATLAB 中拟合得到。
针对第二部分，得到中轴线曲线方程在MATLAB 中绘制出中轴线方程的空间曲线，之后将其投影在XY 、YZ 、ZX 平面上。
针对第三部分，对100张切片进行叠加重合，得到血管的三维立体图，再通过MATLAB 对血管的三维立体图进行优化完成血管的三维重建。
关键词：MATLAB 软件管道半径中轴线曲线方程一、问题重述1.1基本情况断面可用于了解生物组织、器官等的形态。
如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察。
根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。
1.2相关信息假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。
现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。
图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素（pixel）。
取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。
Z=z切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为（-256，-256，z），（-256，-255，z），…（-256，255，z），（-255，-256，z），（-255，-255，z），…（-255，255，z），……（255，-256，z），（255，-255，z），…（255，255，z）。
1.3提出的问题问题一：计算出管道的中轴线与半径，给出具体的算法。
对血管切片做三维重建的一种方法
可 知 ， 存 在 一 点 ∈ ： ， ： 使 得 ｒ（） ｏ 即 半径 存 在 最 大 必 ∈ ｆ ， ＝ ’ 一 ． ｛ 值 ， 于 球 心 在 截 面 上时 对 应 相 交 所 得 圆 最 太 ， 以 ． 时 所 由 所 此
０ 引言
在 医学 、 文 观 测 、 业 非 破 坏 性 试 验 等 一 些 工 业 天 工
对 血 管 切 片做 三 维 重建 的 一种 方 法
王 斯 刚 ， 有 前 ：赵 学 军： 王 锦 江 （第 四军 医大学 冯 ， ，
生 物 医 学 工 程 系 物 理 学 教 研 室 西 西 安 ７ ９ ３ ， 空 军 工 陕 １ ０ ３ 程 大 学 导 弹学 院 ． 西 三 原 ７ ３ ０ ） 陕 １８ ０
由 单个截 面所 给 的信息 ． 我们便 可确定 每个切片 与管道
中 轴 线 的 交 点 ， 通 过 求 解 其 最 大 内 切 圆 的 平 均 半 径 得 出球 并 体 半 径 ．形 成 管 道 的 平 移 球 体 穿 过 截 面 时 ， 形 成 的 相 交 图 所 形 是 一 系 列 半径 可 变 的 圆 ． 设 其 半 径 函 数 为 ｒ ｒ ， ＜ 可 （１ ￡ ＜ ｆ 由其 穿 越 过 程 可 知 一 最 衬 接 触 截 面 及 最 后 离 开 截 面 ｒ ． 在
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研 究 腱报 ・ 文 章 编 号 ：０ ０２９ （０ ８ １ ０ ８０ １ ０ ７ ０ ２ ０ ）１１ ４ ２
迹 是 一 个 工 程 上 可 接 受 其 精 度 的 近 似 值 ） 由于 问题 中 假 设 ． 管 道 中 轴 线 与 每 张 切 片 有 且 只 有 一 个 交 点 ． 切 片 图 像 在 则
血管的三维重建数学建模
血管的三维重建数学建模
首先，血管的三维重建通常是通过医学影像学来实现的。
医学
影像学包括CT、MRI等技术，这些技术可以提供血管的断层扫描图像。
在这些图像的基础上，可以利用图像处理的方法，如边缘检测、分割等技术，来提取血管的形状和结构信息。
其次，几何建模是血管三维重建的关键环节。
在图像处理的基
础上，需要进行几何建模，将提取到的血管形状转化为数学模型。
这涉及到曲面重建、体素网格生成等技术，以及对血管内部结构的
建模。
另外，数学算法在血管三维重建中也起着重要作用。
例如，曲
面重建可以利用曲面拟合算法，体素网格生成可以利用体细胞自动
机等算法。
此外，对血管的分支、扭曲等特征的识别和建模也需要
借助数学算法来实现。
除此之外，血管的三维重建数学建模还涉及到计算机图形学、
计算几何学等领域的知识。
这些知识和技术的综合运用，可以实现
对血管形状、结构和特征的全面建模和重建。
总的来说，血管的三维重建数学建模是一个复杂而多样化的过程，涉及到多个学科和领域的知识。
通过综合运用图像处理、几何建模、数学算法等技术，可以实现对血管的全面、准确的三维重建和建模。
血管三维重建01年A题 数学建模
A 题 血管的三维重建摘要对于血管的三维重建问题，关键是找出理论假设下血管的中轴线和血管的直径。
通过这两个参数的确定就可以基本上绘制出血管图来。
首先，对给出的100张血管断面的二进制图像进行取反操作，应用软件获得图片中血管图像内部点和边缘点的坐标，根据程序求得最大内切圆的半径及其圆心坐标。
具体是（1）求出内部任意一点与边缘点的距离，取距离最小的值作为以该点为圆心的内切圆半径；（2）在这些半径中找到数值最大的值即为该图像的最大内切圆半径，对应的点坐标即为最大内切圆的圆心坐标。
对所有求得的半径取平均值得到29.185=R 。
然后，根据100个圆心坐标进行多项式曲线拟合，得到中轴线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-+⨯-⨯+⨯-=-+⨯-⨯+⨯-⨯=-------t z t t t t t y t t t t t x 9625.348124.0022526.0107491.4102666.4103623.158958.0045879.0102546.1100385.4108532.8105539.4234465824354759 剩余标准差为1.5518，说明此回归模型的显著性好。
绘制出曲线图，并投影到X-Y ，X-Z ，Y-Z 坐标面上。
关键词：边界提取最大内切圆法多项式拟合1 问题重述断面可用于了解生物组织、器官等的形态。
例如，将样本染色后切成厚约um 1的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。
如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片， 可依次逐片观察。
根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。
现有某管道的相继100张平行切片图像，记录了管道与切片的交。
图像文件名依次为0.bmp 、1.bmp 、…、 99.bmp ，格式均为BMP ，宽、高均为512个象素（pixel ）。
试计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在X-Z 、Y-Z 、X-Y 平面的投影图。
血管三维图像重建的数学方法
α文章编号:100127445(2003)0320206203血管三维图像重建的数学方法黄新民(广西大学数学与信息科学学院,广西南宁530004)摘要:使用M A TLAB 读出血管切片图的数据,算出其半径及中轴线方程,建立了血管曲面的参数方程,实现了图形的三维重建.关键词:血管;参数方程;三维重建中图分类号:O 24211 文献标识码:A2001年全国大学生数学建模竞赛中的A 题:血管的三维重建,要求学生从给定的100张平行切片图中,编程读出图像中的数据,并以此计算管道的中轴线与半径,给出具体算法,并绘制中轴线在X Y ,Y Z ,ZX 平面的投影图.该题的具体计算已经在文[1～6]中有许多详细而细致的讨论.但是所有这些文章都没有说明使用的计算机语言及相应的程序.按题目所附参考材料看,出题人建议的是使用C ++程序.事实上许多软件都可以处理图形图像,而且还比使用C ++编程更容易.本文使用M A TLAB 比较简单地完成题目所要求的计算.原竞赛题目中只要求给出图像的中轴线及其在三个坐标平面上的投影,实际上并没有真正实现血管的三维图像重建,本文将讨论实现图形三维重建的一个方法.要将图形数据读入,在M A TLAB 中只要使用命令i m read 即可实现.程序虽然简单,但数据量较大,因此要通过几次计算才能将所有数据读完,再用命令save 存储到硬盘上,以便下一步计算时使用.对于读出的每一张图,我们需要读出血管截面数据及其边界数据,以便下一步从中读出每张内切圆的圆心坐标与内切圆半径.M A TLAB 记录的图形数据是这样的:如果记录图形数据的是一个二维数组A (i ,j ),则第i 行第j 列上的数值为一个0到255的整数(占用一个字节的存储空间),这个值对应于一个有三列元素的长为256的颜色向量表中的一行,该行的三分量就分别对应于红、绿、兰颜色的颜色值.本题中由于只有黑白两色,所以数组中每个元素只有值为零及为1两个.在程序中我们用值为1记血管截面上的点,因此就用周围四个点的值和为4(因此每一个点的值都是1)来找出血管截面的内点,去掉内点后我们就得到了血管截面的边界点.不过我们得到的还不能算是真正的血管截面的边界.因为图形扫描成数据点时,血管截面中的每一个点实际代表了一小片面积的中心.我们不妨称这个边界为血管截面的内边界.而元素值为0的点(也就是血管截面外的点)的边界称为外边界.将内外边界求平均表示真正的边界才更准确.读出边界及所围的区域数据后,我们从区域中每取出一个点,计算其与边界的最小距离(这就是在这个点所作的与边界相切的圆半径),再从所有内切圆的半径中找出最大时的圆心坐标与半径,就得到小球在这个血管截面处时的球心坐标与球半径.求出所有各张图的球心坐标与球半径,就得到了中轴线坐标及球半径(严格地说球半径应该是一个常数,但是由于扫描与计算误差,因此只能取所有半径的平均值为球心半径).此程序的编写也不复杂.但实际使用时不难发现由于数据量大,需要计算很长时间(当然我们将程序运行后就可以静候结果),为加快计算速度可以使用各种办法.在本文中我们发现圆半径不小于29,第28卷第3期2003年9月广西大学学报(自然科学版)Journal of Guangxi U niversity (N at Sci Ed )V o l .28,N o.3 Sep t .,2003 α收稿日期:20021208;修订日期:20030810作者简介:黄新民(1945),男,广西贺州人,广西大学教授.因此将内点与边界点相同x 坐标的边界点比较其y 坐标,当两个点的坐标之差小于29时就将这个点从内点中排除.对坐标y 相同的点亦作同样处理.由于减法比计算距离的平方运算要快,因此这样做可以加快计算过程.算出中轴线坐标及球半径后,只要使用简单的二维作图命令p lo t 就可以画出中轴线向三个坐标平面的投影图,完成建模题的要求.但是这样做出的图形并没有实现图形的真正三维重建.血管的三维图像重建有多种方法,最简单的是将每张图的轮廓线按其高度在三维空间中复原.本文将介绍实现图像三维重建的另外一种方法.这种方法与学生在大学中所学的高等数学及线性代数的知识密切相关,而且重建的图像可以使用光照、颜色等加工,使图形显得十分美丽,值得介绍.设已求出中轴线方程:x =x (z ),y =y (z ),0≤z ≤99,下面我们求半径为r 的球沿此中轴线运动而得的包络面方程.设(X ,Y ,Z )是包络面上任意一点,则存在z 使得(X -x (z ))2+(Y -y (z ))2+(Z -z )2=r 2.(1)上式的z 为一个参数,当它从0运动到99时其轨迹就形成了管道.将(1)式两边对参数z 求导,则得第二个方程x ′(z )(X -x (z ))+y ′(z )(Y -y (z ))+(Z -z )=0.(2)将(2)式代入(1),化简后得(1+x ′(z )2)(X -x (z ))2+2x ′(z )y ′(z )(X -x (z ))(Y -y (z ))+(1+y ′(z )2)(Y -y (z ))2=r 2,(3)(3)式左方是一个二次型,容易求出其特征值分别是Κ1=1,Κ2=1+x ′(z )2+y ′(z )2,其相应的特征向量是p 1=-y ′(z )x ′(z ), p 2=x ′(z )y ′(z ).因此作变换X -x (z )=-y ′(z )u +x ′(z )v , Y -y (z )=x ′(z )u +y ′(z )v ,(4)之后,(3)式将化简为(x ′(z )2+y ′(z )2)(u 2+(1+x ′(z )2+y ′(z )2)v 2)=r 2,(5)因此,(u ,v )可建立参数式u =r co s (t )x ′(z )2+y ′(z )2, v =r sin (t )(x ′(z )2+y ′(z )2)(1+x ′(z )2+y ′(z )2).将上式代入(4)式,立即得到管道曲面的参数方程X =x (z )+-ry ′(z )co s (t )x ′(z )2+y ′(z )2+rx ′(z )sin (t )(x ′(z )2+y ′(z )2)(1+x ′(z )2+y ′(z )2),Y =y (z )+rx ′(z )co s (t )x ′(z )2+y ′(z )2+ry ′(z )sin (t )(x ′(z )2+y ′(z )2)(1+x ′(z )2+y ′(z )2),Z =z -x ′(z )2+y ′(z )21+x ′(z )2+y ′(z )2r sin (t ).其中0≤z ≤99,0≤t ≤2Π,在中轴线坐标及球半径r 求出来后,可以通过数据拟合得到中轴线的参数方程(由于数据是近似的,因此作数据拟合是合适的)x =x (z ), y =y (z ), 0≤z ≤99.然后就可以画出血管的三维图形了.通过选择观察点及颜色、光照等可以作出十分精致的三维图像.下面的程序即为作图程序(其中x (z ),y (z )是分别拟合成六次多项式).图1是此程序运行后得到的M A TLAB 作出的血管三维图.load cendata %调入中轴线坐标数据,假设存储在变量B 中,共100行,分别表示x ,y ,r 坐标x =B (:,1);%中轴线的x 坐标向量y =B (:,2);%中轴线的y 坐标向量r =sum (B (:,3)) 100;%内切圆半径平均值702第3期黄新民:血管三维图像重建的数学方法z =[0:99]’;%z 坐标向量p 1=po lyfit (z ,x ,6);%以z 为自变量将x 拟合成六次多项式p 2=po lyfit (z ,y ,6);%以z 为自变量将y 拟合成六次多项式zz =[0:0.4:99]’;%重新定义步长更小的高度坐标向量zz xx =po lyval (p 1,zz );%用拟合多项求对应于zz 的坐标xx yy =po lyval (p 2,zz );%用拟合多项求对应于zz 的坐标yy dx 1=po lyder (p 1);%对x 的多项式微分多项式dy 1=po lyder (p 2);%对y 的多项式微分多项式dx 2=po lydval (dx 1,zz );%求x’(z )dy 2=po lydval (dy 1,zz );%求y’(z)图1 用M A TLAB 作出 的血管三维图R 2=dx 2,^2+dy 2.^2;r 1=sqrt (R 2);r 2=r 1.3sqrt (1+R 2);t =linspace (0,23p i ,251);%定义角度s =size (t );X =xx 3ones (s )+r 3((-dy 2. r 1)3co s (t )+(dx 2. r 2)3sin (t ));Y =yy 3ones (s )+r 3((dx 2. r 1)3co s (t )+(dy 2. r 2)3sin (t ));Z =zz 3ones (s )-r 3(r 1. r 2)3sin (t );m esh (X ,Y ,Z ) %三维网线作图surface (X ,Y ,Z )%三维表面作图axis equal%按实际比例值作图axis off%不画坐标轴,使图形更逼真h idden off%消隐,去掉曲面上的网线,使图形更逼真view ([35,88])%选择观察角shading interp%使作图时片与片之平滑过渡co lo r m ap ho t%色彩处理(不一定恰当,请读者自己尝试)caxis ([-70,450])%重设颜色,使颜色接近红色cam ligh t (200,180)%指定光源位置,这些值为尝试值,不一定合适ligh ting gouraud %设置照明方式参考文献:[1] 廖武斌,邓俊晔,王 丹.管道切片的三维重建[J ].工程数学学报,2002,19(5):22228..[2] 胡亦斌,向 杰,程 翔.利用切片的二维空间相关操作实现血管的三维重建[J ].工程数学学报,2002,19(5):29234.[3] 徐 晋,刘雪峰,柏容刚.血管的三维重建[J ].工程数学学报,2002,19(5):35240.[4] 柳海东,陈 璐,江 浩.管道切片的三维重建[J ].工程数学学报,2002,19(5):41246.[5] 丁峰平,周立丰,李孝朋.血管管道的三维重建[J ].工程数学学报,2002,19(5):47253.[6] 汪国昭,陈凌钧.血管三维重建的问题[J ].工程数学学报,2002,19(5):54258.3D recon struction of blood vesselHU AN G X in 2m in(Co llege of M athem atics and Info r m ati on Science ,Guangxi U niversity ,N anning 530004,Ch ina )Abstract :M A TLAB is u sed to ob tain data of b lood vessel slices .T he radiu s of the b lood vessel is deter m ined and the axes cu rve has calcu lated .T he p aram etric equati on is ob tained and the 3D i m age of b lood vessel su rface is recon structed .Key words :b lood vessel ;param etric equati on ;3D recon structi on(责任编辑 刘海涛)802广西大学学报(自然科学版)第28卷 。
三维重建技术在医学上的应用
三维重建技术在医学上的应用随着科技的不断进步，三维重建技术已经成为医学领域中不可或缺的一部分。
它可以通过数字化的方法将二维图像转化为三维图像，极大地方便了医生们的诊断和治疗工作。
本文将介绍三维重建技术在医学上的应用，包括它的定义、特点和优势，以及在多个领域中的应用实例。
一、三维重建技术的定义和特点三维重建技术是一种将二维图像处理为三维图像的数字化技术。
它通过计算机算法对一系列二维图像进行透视投影变换、图像配准、体素数据重构等复杂的运算，最终得到一个立体的体绘制图像。
三维重建技术的特点在于它可以使人们以更直观、更形象的方式将医学图像的信息展现出来，从而更好地辅助医生进行诊断、治疗和手术。
二、三维重建技术在医学上的优势相比传统的二维图像，三维图像可以提供更丰富、更直观的信息，有助于医生更准确地了解人体内部的状况。
此外，三维重建技术还有以下优势：1. 精度高：三维重建技术采用数字化处理的方式，可以在极高的准确性下还原出真实的三维空间形态。
2. 可操作性强：通过三维重建技术，医生可以对三维模型进行放大、旋转、平移等操作，从而更加细致地观察病变部位的形态，为后续的治疗提供准确的参考。
3. 安全性高：三维重建技术可以帮助医生在手术之前进行模拟练习，降低手术风险，提高手术成功率。
三、三维重建技术在医学中的应用实例1. 三维重建技术在心血管领域的应用在心血管领域，三维重建技术可以对心脏、血管等内脏器官进行三维重建。
通过三维重建技术，医生可以更加清晰地观察心脏、血管等器官的形态，从而判断疾病的类型、位置和程度。
此外，三维重建技术还可以为心血管手术提供辅助，提高手术成功率。
2. 三维重建技术在肿瘤诊断领域的应用在肿瘤诊断方面，三维重建技术可以将多个二维图像合成为三维模型，清晰地展示肿瘤的类型、大小、位置和与周围组织的关系。
通过三维重建技术，医生可以更准确地确定肿瘤的位置和范围，为后续的治疗提供更精确的方案。
3. 三维重建技术在骨科手术中的应用在骨科手术中，三维重建技术可以帮助医生更准确地测量骨骼的长度、角度和体积，预测手术后的形态，并为手术提供准确的参考。
肝和肝血管三维重建的临床应用
肝和肝血管三维重建的临床应用目的对肝脏和肝血管进行三维重建可视化并进行肝分段，探讨其意义及临床应用。
方法利用Mimics软件对24例晚期弥漫性肝癌患者CT扫描数据进行图像分割并进行三维重建，根据每个患者肝血管的分支和Couinaud分段法对肝脏进行个体化分段，计算肝和各肝段的平均体积。
结果重建后获得形态逼真的肝脏和肝血管的三维模型，测得患者全肝平均体积达（2683.26±671.53）cm3。
对肝脏进行了分段，通过三维模型能准确计算出各肝段的平均体积。
结论三维重建、肝脏分段和体积测量为患者的诊断、后续治疗和手术风险评估提供了参考，来源于活人体的三维图形也可以用于科研和教学。
标签：肝；肝血管；三维重建；肝切除术近年来，随着信息技术的发展，计算机软件技术被应用于医学研究的各个领域，对医学领域产生了重大的影响，并随之诞生了一系列医学相关的计算机软件[1-2]，基于连续CT扫描数据集的三维重建也有了很大的发展。
曾经有学者对正常肝脏的三维重建进行研究[3-5]，但对于肝癌患者的个体化三维重建的研究却很少。
本研究利用Mimics软件，对24例晚期弥漫性肝癌（diffuse hepatocellular carcinoma，DHCC）患者64排螺旋CT扫描数据进行图像分割与三维重建，并对肝的三维模型进行了Couinaud分段，计算出各肝段的体积，显示三维模型有重要的临床参考价值。
1 材料与方法1.1 一般材料收集2009年3月～2011年8月由青岛大学医学院附属医院收治后被确诊为未伴有病毒性肝炎的弥漫型肝癌的24例晚期DHCC患者胸腹部64排螺旋CT 扫描数据集，男性16例，女性8例，年龄45～67岁。
图像数据分为肝动脉期、门静脉期和平衡期。
主要扫描条件为：管电压120 kV，管电流45.5 mAs，层厚1 mm。
图像参数：长512像素，宽512像素，像素大小0.699 mm。
1.2 研究平台硬件平台：个人计算机（PC），处理器Intel（R）Core i3，安装内存2G，显卡ATI Mobility Radeon HD 4500 Series。
基于造影图像的冠状动脉血管三维表面重建方法
第3期
陈晓冬等：基于造影图像的冠状动脉血管三维表面重建方法
·113·
血管直径分别为 2a 和 2b，以 O 点为原点建立图 示的笛卡尔坐标系 Oxy；两个投影轴之间的夹角
为θ （造影过程中θ 一般选择在 60o ~120o 范围 内）。两束夹角为θ 的平行 X 射线相交得到以 O
中心的平行四边形 ABCD，血管横截面就是该平 行四边形的内切椭圆，设该椭圆在 x 轴方向的轴 长为 2a，在 y 轴方向的轴长为 2n，于是椭圆方 程为
（10）
式中 “×”表示矢积，“·”表示内积。 于是在 B 样条三维骨架上选择采样点
sl (ti ) ,(i = 0,1, 2,L) ，在各点处按式（9）建立
局部坐标系，如图 5 所示。然后将对应的椭圆轮 廓经多边形简化后，用三角面片连接起来，以构
成一个封闭的曲面。
l
Sl (t0)
Sl (t1)
Sl (t2)
x2 + y2 sin2 θ = 1 a2 b2 − a2 cos2 θ
（9）
2.2 局部坐标系 为了在三维骨架点处表示椭圆横截面，需要
建立该点的局部坐标系。式（1）所示的三维 B
样条曲线 sl (t ) 上某点 sl (t0 ) 的局部正交坐标系 称为“Frenet 标架”。该坐标系的原点为 sl (t0 ) ，
（7）
(n2b2 − a 2n2 cos2 θ ) = 0
又因为 a > 0, b > 0,θ ∈ ⎡⎣60o，120o ⎤⎦ ，所以
n2 = b2 − a2 cos2 θ sin2 θ
（8）
显然当θ = 90o 时，n = b 。于是，三维骨架点 O
处垂直于骨架切线方向的血管截面就可以用式
脑血管三维重建及算法实现
脑血管三维重建及算法实现郭健;程宇航;郭书祥【摘要】针对目前脑血管的三维重建技术存在着对硬件要求高、重建结果与人体解剖学结果差距较大的问题,本文提出了一种脑血管三维重建方法.将扫描得到的CTA图像导入到Mimics17.0软件中,先进行阈值分割,然后蒙版编辑,最后通过区域增长.经过这些预处理后,结合错切变形法的三维重建算法,得到三维重建的脑血管模型.其处理所得的脑血管具有模型清晰、细节突出的优点,同时所得模型可以进行切割处理和实现任意角度的放大缩小.系统运行结果表明:此方法得到的脑血管图像更加真实,并且可以进行多种软件的导入、模拟训练及后期的研究,为脑血管介入手术的术前模拟提供了有效的方法.【期刊名称】《哈尔滨工程大学学报》【年(卷),期】2019(040)004【总页数】6页(P649-654)【关键词】医学CT;三维重建;阈值分割;蒙版编辑;Mimics软件;图像预处理;体数据;错切变形法【作者】郭健;程宇航;郭书祥【作者单位】天津理工大学电气电子工程学院,天津300384;天津理工大学电气电子工程学院,天津300384;天津理工大学电气电子工程学院,天津300384;日本香川大学工学部,日本高松761-0396【正文语种】中文【中图分类】TP371.4脑血管疾病是一种脑血管发生血液循环障碍(包括脑血管阻塞和脑血管破裂出血)而引起的脑功能障碍疾病[1]，是中老年人常见病、多发病,也是中老年人致死、致残的主要原因之一，严重危害人类的健康。
目前，医学CT是医生诊断病情的一种常用手段，它是利用人体内不同组织或器官的密度和厚度对X射线的衰减作用不一样来诊断的。
然而，对于密度接近的组织和器官，形成的灰阶影像对比分布图的显示效果就不明显了。
目前，三维重建常使用的方法主要是对面或者对体进行绘制，即面绘制和体绘制。
面绘制首先在统一的坐标系中构建三维体数据; 然后通过算法有效地提取所需显示区域的表面信息; 根据照明，明暗模型对要显示的像素进行消隐和渲染处理；最后进行回执显示图像，其中面绘制里比较经典的是1987年文献[2-3]提出的移动正方形算法(marching cube，MC)，其中还有很多改进MC算法。
ct后处理技术内容
ct后处理技术内容CT（计算机断层扫描）后处理技术是指对CT图像进行进一步处理和分析，以获得更多有用的信息和改善图像质量的技术。
本文将介绍CT后处理技术的几个主要方面。
1. 图像重建CT扫描通过对患者进行多个方向的X射线扫描，得到一系列切片图像。
图像重建是CT后处理的第一步，其目的是将这些切片图像重建成三维图像。
常用的图像重建算法有滤波反投影算法、迭代重建算法等。
2. 图像增强图像增强是指通过一系列算法和方法，改善CT图像的质量和对比度，使图像更清晰、更易于观察和分析。
常用的图像增强技术包括直方图均衡化、滤波处理、边缘增强等。
3. 三维重建CT扫描得到的图像是二维切片图像，而在某些情况下，需要对患者的器官或病变进行三维重建，以更直观地观察和分析。
三维重建技术可以通过不同的算法和方法，将二维切片图像重建成三维模型，如体绘制、体表渲染等。
4. 血管重建CT血管重建是指通过对血管系统的图像进行重建和分析，以获得血管的几何形态和病变情况。
血管重建技术可以用于评估血管狭窄、血管壁瘤等血管疾病，并为手术规划和治疗提供参考。
5. 功能评估CT后处理技术还可以用于对患者的器官功能进行评估。
通过对器官的CT图像进行分析和处理，可以获得一些功能性信息，如肺活量、心脏功能等，对疾病的诊断和治疗具有重要意义。
6. 病变检测CT后处理技术可以通过对图像的分析和处理，帮助医生检测和识别病变。
通过对图像的分割、特征提取和分类，可以自动或半自动地检测出一些疾病和异常，如肿瘤、出血等。
7. 手术规划CT后处理技术可以为手术规划提供重要的信息和数据。
通过对患者的CT图像进行分析和处理，可以获得患者的解剖结构、病变情况等信息，为手术的选择和方案制定提供参考。
8. 辅助诊断CT后处理技术可以为医生提供辅助诊断的工具和信息。
通过对CT 图像进行分析和处理，可以获得更多的图像信息和特征，帮助医生做出更准确的诊断。
CT后处理技术在医学影像领域具有重要意义。
【 数学建模竞赛】血管的三维重建模型g资料
血管的三维重建模型摘要：本文对血管三维重建中，中轴线及球的半径确定问题进行了讨论。
首先，根据问题及图象处理提取有效数据，给出两种可行算法，利用上述数据建立了最大最小方法和二次规划方法。
搜索中心点，并给出全局和局部搜索，得到各切片中心点坐标(见表1)，并通过插值方式得到中轴线图象及其各投影。
最后对模型给出检验方式。
一 、问题的重述假设某些血管可视为一类特殊的管道,该管道的表面是由球心沿着某一曲线 (称为中轴线)的球（命名为包络球）滚动包络而成。
现有某管道的相继100张平行切片图象,记录了管道与切片的交。
假设：管道中轴线与每张图片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1.取坐标的Z 轴垂直于切片，第1张切片为平面0=Z ，第100张切片为平面99=Z . 计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图。
二、模型假设与符号说明1、 基本假设：（1） 该管道的表面为一定长半径的球沿一固定的曲线运动所得曲面族包络的光滑表面。
（2） 该管道的中轴线连续而且光滑。
（3） 该管道的中轴线与每个切面有且只有一个交点。
（4） 图象象素的尺寸为1. （5） 切片的间距尺寸为1.2、 符号说明：L 中轴线R 包络球的半径()z y x O i ,, 中轴线与第i 个切片的交点（定为此切片的中心）i S 第i 个切片切得的图形 i D 第i 个切片的图象数据矩阵三、问题分析及建模准备 问题分析：通常血管的表面可认为是连续且光滑的曲面，断面可用于了解其形态等特性。
本问题给出的是一些离散的切面，要求重建出原图中轴线和求出包络球半径。
因为每一个切面与中轴线L 有且只有一个交点i O ，如果找出所有i O ,就可以用插值或拟合的方式作出L 的近似图象，其在坐标平面上的投影就很容易画出。
问题的关健转变为求每个平面上的i O . 建模准备：1、 图象的读取由于切片图象中只有黑、白两种颜色的象素,而且所给的BMP 格式图象文 件是512×512象素的.因此,把图象读取为一个512×512的数字矩阵；用数字1表示黑色的象素，用数字0表示白色的象素。
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五、模型构成
首先我们用第一个C程序把BMP图 象文件格式转换为保存了图象点阵信 息的文本文件。每个BMP文件对应一 个文本文件（从00.txt到99.txt），每 个文本文件均为512行，512列，按图 象的视觉直观顺序，以0表示白色象素 点， 1表示黑色象素点( 如右图)，以 此方便后续程序的读写及人为地纠错。
给我们的计算带来一定的误差， 但是由于象素很小，误差就不会 很大，我们依然可以应用上述理 论，人为的进行误差分析和修改， 更准确地得到球心(x y z)及由假设 4可知半径r=29个像素单位 （29=<ri<=29.69）。
XYZXYZXYZXYZXYZ
(-161 0 0) (-161 0 1) (-161 0 2) (-161 0 3) (-161 0 4) (-161 0 5)(-161 0 6)(-161 1 7)(-161 1 8)(-161 1 9) (-161 2 10)(-161 2 11)(-161 2 12)(-161 4 13)(-161 5 14) (-161 6 15)(-161 8 16)(-161 10 17)(-161 13 18)(-161 17 19) (-161 18 20)(-161 19 21)(-161 20 22)(-161 20 23)(-161 20 24) (-161 20 25)(-161 20 26)(-160 29 27)(-160 30 28)(-159 35 29) (-159 35 30)(-159 35 31)(-158 40 32)(-157 44 33)(-156 48 34) (-155 51 35)(-156 48 36)(-156 48 37)(-152 60 38)(-150 65 39) (-150 65 40)(-138 88 41)(-136 91 42)(-136 91 43)(-136 91 44) (-136 91 45)(-136 91 46)(-119 112 47)(-118 113 48)(-117 114 49) (-116 115 50)(-115 116 51)(-114 117 52)(-113 118 53)(-112 119 54) (-104 126 55)(-96 132 56)(-71 147 57)(-71 147 58)(-60 152 59) (-60 152 60)(-46 157 61)(-20 163 62)(-20 163 63)(-20 163 64) (-13 164 65)(-13 164 66)(-13 164 67)(38 163 68)(43 162 69) (48 161 70)(53 160 71)(60 158 72)(60 158 73)(67 156 74) (75 153 75)(80 151 76)(87 148 77)(87 148 78)(116 131 79) (119 129 80)(131 119 81)(131 119 82)(132 118 83)(144 106 84) (144 106 85)(145 105 86)(145 105 87)(151 98 88)(151 98 89) (163 81 90)(166 76 91)(175 58 92)(175 58 93)(177 53 94) (180 45 95)(180 45 96)(181 42 97)(183 35 98)(184 31 99) 在此之后我们找到两种求中轴线的方案，并对其进行分析
假设某些血管可视为一类特殊的管 道，该管道的表面是由球心沿着某 一曲线（称为中轴线）的球滚动包 络而成。例如圆柱就是这样一种管 道，其中轴线为直线，由半径固定 的球滚动包络形成。 现有某管道的相继100张平行切片 图象，记录了管道与切片的交。图 象文
件名依次为0.bmp、1.bmp、…、 99.bmp，格式均为BMP，宽、高均 为512个象素（pixel）。为简化起见， 假设：管道中轴线与每张切片有且 只有一个交点；球半径固定；切片 间距以及图象象素的尺寸均为1。 取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张 切片为平面Z=0，第100张切片为平 面
接着，第二个程序实现了各个球心坐 标求取。确定每张切片与中轴线的交 点的坐标及半径：按理论来说，血管 截面边界是圆滑曲线，对一个球体过 球心切割，无论怎样切，都必得到一 个大圆，由假设5，每个切片包含且 仅包含一个这样的大圆，即它的最大 内切圆，圆心即球心，圆半径即球半 径。下面我们确定每张切片中最大内 切
圆的圆心。对第i 张切片上的第j个内 点，求到边界点 k的距离Sjk,从中选取 一个最小距离Sj,=min{Sjk}再从中选取 一个最大的,记为ri=max{Sj}.不难理解， 这就是第i张切片的最大内切圆的半径。 相应的内点即为圆心（中轴线与截面 的交点）。对100张切片搜索后就得到 100个球心点。但我们要面临的问题是 切片是由大量的象素点近似描绘出来 的，会
三、模型假设 1、假设血管管道的表面是由球 心沿着某一曲线（中轴线）的球 滚动而成的，也就是血管管道半 径（即球体半径）固定且中轴线 是连续的。 2、我们很合理的假设所有数据 均是准确的。用大量象素能够非 常近似地描绘一个图形。
3、因血管管道可以看作是一个半径 固定的球体滚动包络而成的，因此我 们认为中轴线，中轴线的一阶导数及 二阶导数都是连续的。 4、数据精确到单位像素。因切片厚 度为1uM，因此像素单位亦为１uM， 对于５１２＊５１２的信息距阵来说， 此精确程度已足以解释问题。 5、切片与血管中轴线的交点存在且 唯一。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、符号说明
r：表示血管管道半径。 ri：表示第i张切片中计算得到的管道半径。 ro：表示r的初始估计值（ro<r）。 Sjk：表示第 i张切片中第j个内点到第k个 边界点的距离。 Sj ：表示第i张切片中第j个内点到边界的 最短距离。 (xi,yi,zi)：表示第 i张切片得到的最大内切 圆的圆心坐标。
心轴线，得到血管半径为29个像 素单位，并模拟给出血管的三维 空间形态(如下图)，进而对结果 进行了广泛的分析与评价。同通 过矩阵投影到XY，YZ，ZX平面 而获得的图象进行比较，可以验 证模型的正确性，以及模型的先 进性。
血管切片的三维重建图
一、问题重述
断面可用于了解生物组织、器官等的 形态。例如，将样本染色后切成厚约 1m m的切片，在显微镜下观察该横 断面的组织形态结构。如果用切片机 连续不断地将样本切成数十、成百的 平行切片，可依次逐片观察。根据拍 照并采样得到的平行切片数字图象， 运用计算机可重建组织、器官等准确 的三维形态。
=99。Z=z切片图象中象素的坐标依它们在 文件中出现的前后次序为 （-256，-256，z），（-256，-255， z），…（-256，255，z）， （-255，-256，z），（-255，-255， z），…（-255，255，z）， ……（255，-256，z）,（ 255，-255， z），…（255，255，z）。 根据以上所给信息,如何重建血管的三维形 态,是一个重要而且实用的问题。解决方案 如下:
二、问题分析
我们主要求解的是血管管道的中轴 线与半径。管道可以近似地看作是一 个半径固定的球体滚动而成的，中轴 线是球心滑过的曲线，是连续的。我 们等距平行切割血管，中轴线与每张 切片有且仅有一个交点，也就是每张 切片上有且仅有一个球心，那么在每 张切片上总可以找到且只能找
到一个以球心为圆心，球半径为半径 的圆，而且是此切片的最大内切圆， 反过来也是成立的。因此，我们只需 找到每张切片中的球心坐标就可以用 样条插值得到中轴线，通过寻找最大 内切圆得到半径，而中轴线在XY， YZ，ZX平面的投影图只需令Z=0， X=0，Y=0就可以得到。
摘 要：为了利用血管切片图象 重建血管的三维形态，我们首先 编程对切片图象进行由BMP数据 格式向文本格式的转换，而这样 获得的数据文件将较大，共约 50M。显然在利用计算机做进一 步读写与处理前，要着重面对的 问题是对大量数据的处理，而其 中却有大量冗余信息存在，于是
我们在寻找每张血管切片中心轴 点的过程中，利用多种优化算法 以简化问题，并确定出100个中 心轴点。以此100个中心轴点为 样点，依靠样条插值，利用 Matlab 软件对分别对平面及空间 曲线进行插值，先后建立了模型 一、模型二，从而拟合得到XY， YZ，ZX平面的投影曲线以及中