高等数学解题步骤
高等数学证明题的解题技巧
高等数学证明题的解题技巧高等数学证明题的解题技巧在高等数学的学习过程中,常常要求学生会做证明题目，来加深对公式和概念的理解，下面为大家带来了高等数学证明题的解题技巧，希望能够帮助到大家。
第一步：结合几何意义记住零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理，包括条件及结论。
知道基本原理是证明的基础，知道的程度(即就是对定理理解的深化程度)不同会导致不同的推理能力。
如20xx年数学一真题第16题(1)是证明极限的存在性并求极限。
只要证明了极限存在，求值是很容易的，但是如果没有证明第一步，即使求出了极限值也是不能得分的。
因为数学推理是环环相扣的，如果第一步未得到结论，那么第二步就是空中楼阁。
这个题目非常简单，只用了极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。
只要知道这个准则，该问题就能轻松解决，因为对于该题中的数列来说，“单调性”与“有界性”都是很好验证的。
像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多，更多的是要用到第二步。
第二步：借助几何意义寻求证明思路。
一个证明题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。
如20xx年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，那就是两个函数分别取最大值的点(正确审题：两个函数取得最大值的点不一定是同一个点)之间的一个点。
这样很容易想到辅助函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点，两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。
再如20xx年数学一第18题(1)是关于零点存在定理的证明题，只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的.图形就立即能看到两个函数图形有交点，这就是所证结论，重要的是写出推理过程。
从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反，也就是差函数在两个端点的值是异号的，零点存在定理保证了区间内有零点，这就证得所需结果。
高等数学解题格式
对于高等数学的解题格式，通常需要遵循一定的规范和步骤，以确保解题的准确性和完整性。
下面我将以800字的篇幅，详细介绍高等数学解题的基本格式和要点。
首先，高等数学解题的一般步骤包括：1. 认真审题，理解题目中的问题、条件和要求；2. 选择适当的数学方法或公式；3. 建立数学模型或符号运算；4. 求解得出结果；5. 检验和回答附加问题。
接下来，针对具体的解题格式，我们以一元微积分为例进行说明。
一、求导公式及法则的应用1. 书写格式：在解答过程中，应清晰地写出每一步的推导过程和依据。
例如，首先列出已知条件，然后写出求导公式，接着根据公式进行变形和运算，最后得出结果。
2. 公式和法则：需要熟练掌握求导的基本公式和法则，如极限、基本导数运算、复合函数求导法则等。
3. 验证：求导结果应与题目所给条件进行验证，确保结果的正确性。
二、积分计算1. 书写格式：在解答过程中，应按照积分公式和法则，逐步写出积分的过程，包括被积函数、积分上下限、积分号下的函数等。
2. 积分方法选择：根据题目所给条件和要求，选择合适的积分方法，如不定积分、定积分等。
3. 验证：积分结果应与题目所给条件进行验证，确保结果的正确性。
除了以上两点，高等数学解题还需要注意以下几点：1. 避免出现笔误和错别字，确保解题结果的准确性。
2. 符号运算要准确，避免因符号输入错误导致结果错误。
3. 解题过程要完整，包括已知条件、推导过程、求解过程和结果验证等。
4. 对于复杂的问题，可以采用分步解答的方法，逐步解决问题。
5. 对于涉及多个变量的微分方程问题，应按照微分方程的求解步骤进行解答。
总之，高等数学解题格式需要严谨、规范、完整，同时注意细节和特殊情况的处理。
只有这样才能保证解题的准确性和完整性，提高学习效果和成绩。
专转本——高等数学 各章节题型重点总复习 (上)
重点题型第一章 函数1．求函数的定义域：◆ 一般类型：考虑五个要素，即“分母、根式、对数式、反三角式、复合式（取交集）” ◆ 已知函数定义域，求其它函数的定义域：（注意：实质上就是不等式取范围的问题，另外要深刻理解对应法则f 和定义域D ）2．求函数解析式： ◆ 已知f （x ），求f[g （x ）]◆ 已知f[g （x ）]，求f （x ）（同样要深刻理解对应法则f 和定义域D ）3．判断函数是否相同：两个要素，即“对应法则f （化简），定义域”4．判断函数的奇偶性：◆ 定义域的对称性以及f （x ）与f （-x ）之间的关系◆ 奇偶函数的运算性质（奇偶，奇奇，偶偶——加减乘除）第二章 极限与连续1．求极限：∞/∞ 总的思想：分母无穷大、指数0<a<1使值趋于0 而约去 (1.一般式 2.根号下的一般式 3.利用指数特性进行变换，是趋于0值)0/0 总的思想：清零 （1.因式分解 2.根式有理化 3.无穷小替换 4.洛必达法则，如：211lim ()tan x x xx→-）∞-∞ 总的思想：结合以上两种方法，先同分，再有理化0-0 总的思想：结合以上两种方法，先同分，再有理化1∞ 总的思想：利用两个重要极限中的e 值无穷小与有界量 （以“x →0、x →∞，x*sin （1/x ）、（1/x ）*sinx 为例拓展思考）初等变换◆分子分母同除以，利用指数特性◆和差化积，利用无穷小的等效替换◆对含有e量的思考与变形（“e x-1”）洛必达法则（有待进一步学习，非常重要）注意其使用条件，只使用于：∞/∞、0/0两种类型，有拓展类型注意：要学会综合利用各种方法处理，其中典型题：Page442．给出分段函数式，求分段点处的极限/或者说成是该点处是否存在极限值（考虑带参数的情况）利用“左极限=右极限”；3．函数的连续性◆给出函数式（带参），在x0处连续，求参数与以上2相比，只多了一个连续的条件◆给出函数式的极限值，求参数（难点在于“∞/∞、0/0“型）解决方法：◆判断间断点的类型第一要考虑到间断点有哪几个点（对函数式来说是无意义的点），第二要考虑到分子为0的情况，此情况可能会产生可去间断点附：【无意义的点一定是间断点】◆求函数的连续区间（初等函数在定义域内都是连续的，因此只需对间断点进行分析）通常是针对于分段函数（要知道为什么会这么说），结合左右极限与分断点处的值进行分析4．“零值定理”的应用，证明方程在某一范围内至少存在一个根（有时候避讳说范围，而改成说至少存在一个正根）1.令F（x）（这一步是关键，有时候涉及到变形，比如：f（x）=g（x）、f（x）-g（x）=0有解） 2.说明F（x）在[a，b]内连续 3.F（a）F（b）异号5．难点概念分析附：几个等价无穷小夹逼准则sinx~x arcsinx~x tanx~x arctanx~x单调有界数列e x-1~x a x-1~x ln(1+x)~x (1+x)n-1~nx（是难点，用到的要注意）第三章导数和微分1．用导数定义求函数的导数a)已知某点的导数，利用对导数定义中的△x进行变化（包括n△x、+-△x），以求形式的一致b)改变形式，即“+ f(x0)-f(x0)”，得到两个导数c)对f(0)=0的函数要注意，当x→0时，有f(x)/x=f’(0)2.在某x0连续，求该点处的导数利用求导的定义求，因为有一个关糸（极限/连续/导数/微分），解题方法是利用定义求导结合求极限得出结果典型：“f(x)=(x502-1)*g(x),其中g(x)在x=1处连续，g(1)=4, 求f’(1)”3.已知分段函数f(x)，讨论分断点x0处的可导性，并且求导a)在大题目中，必须使用求导的定义求b)在小题目中，可以求分断点两端函数在该点处的导数（快、简洁）4．复合函数的求导方法与微分方法a)由外到内，逐层求导b)由外到内，逐层微分5．隐函数所确定函数的导数和微分a)隐函数所确定函数的导数和微分总的思想是，分别对方程两边的x和y求导或微分（记住y是x的函数），然后再进行整理求一阶导数和一阶微分求二阶导数和二阶微分（第一次会产生x、y、y’，第二次会产生x、y、y’、y’’，因此第一次要总结出y’的结果；其次是要注意每一步的化简）b)乘积式、幂指数的求导与微分（要知道这么做的好处以及为什么放在这个地方叙述？）总的思想是，利用“对数求导法”6．由参数方程所确定的函数的求导方法利用一阶微分形式的不变性，即“dy=y’*dt dx=x’dt”利用“dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) ”即“dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)”7．求函数的高阶导数（要多多练习——从“化简与找规律”的方面入手）总的思想是，先求出开始的几阶导数，然后观察总结规律，必要时用数学规纳法证明几个常见的高阶导数：1)(ex)(n)=e x(xex)(n)=(x+n)*e x2)(sinx)(n)=sin(x+n*π/2) (cosx)(n)=cos(x+n*π/2)3)对(xu)(n)的形式要分情况（如果有时候想不通，就以（x3）(n)次方为例）：n∈/N,(x u)(n)=u*(u-1)*(u-2)*(u-n+1)*x u-nn∈N, 若n≦u,则有(x u)(n)= u*(u-1)*(u-2)*(u-n+1)*x u-n若n>u,则有（xu）(n)=0拓展：[ln(1+x)](n)=(-1)n-1*(n-1)!*(1+x)-n[1/(1+x)](n)=(-1)n*n!*(1+x)-n-1[(1+x) u] (n)= u*(u-1)*(u-2)*(u-n+1)*(1+x)u-n8．涉及到切线的问题(关键是求切点(x0、y0))a)已知曲线方程，并给出可以求出切点与斜率的提示【该曲线与x、y轴（或者是某条线）交点处的切线】，求该点处的切线方程（关键是求切点(x0y0)与斜率k）、b)已知曲线方程，并给出某点处的切线方程（1.含有参数，通常是斜率k；2.但如果不是斜率，则比较简单），求参数值解题步骤：1.令点为(x0y0) 2.将切线表示成y_x_x0之间的关糸（如何表示：1.借助曲线可得x0与y0之间的关糸，统一为x0 2.与此切线进行形式对比，以确定x0，进而确定参数k对b)有典型：设曲线y=x2+3x+1上某点处的切线方程为y=mx，求m的值解：y0=x20+3x0+1 y’0=2x0+3代入切线方程得y=(2x0+3)x+1-x20 与y=mx进行对比因此可得x0=+-1,即可得m值9．微分的应用涉及到的问题包括：1.近似计算 2.求未知函数的变化率1．近似计算（首先要明白这种计算的依据） a) 一般计算b) 公式套用：nx x n +≈+11 sinx ≈x tanx ≈x e x≈1+x ln(1+x)≈x2．未知函数的变化率容易出错的题目：1) y=(x-1)(x-2)2(x-3)3，求y’(1)2) y=110110+-x x ，求dy/dx,dy|x=0;注意，对于这两道题要有心得，即看到无穷小与某个不确定的数进行乘积时，不可轻易将 值定义为零第四章 中值定理与导数的应用1．求“单调区间和极值点”，“最值”，“凹凸区间和拐点”求“单调区间和极值点”的解题步骤： 1) 求f(x)的定义域2) 求驻点（即导数存在的点）及导数不存在的点 求f’’(x)=0的点和f’’(x )不存在的点 3) 列表讨论（这个是必须的）附：①对于导数f ’(x 0)不存在的点有三种情况，1.函数本身在该点处没有定义 2.该点处的导数趋于无穷大（对于一般函数来说，导数不存在都是这种情况） 3.该点处的左右导数不一样②对于以上3）为什么说是必须的要明白，需要理解“极值点的存在与驻点及导数不存在的点之间的关糸”和“拐点的存在与y ’’=0的点及y ’’不存在的点之间的关糸”，以“x 3 x 4x 1/3为代表进行分析2．证明题● 证明根的存在性问题主要是针对等式中含有导数式，利用罗尔定理构造辅助函数● 利用导数证明不等式 拉格朗日中值定理函数的单调性（求导 最值） 函数的凹凸性 典型：①证明不等式ba b -<ln ab <aa b -(0<a<b)解析：隐含两个条件，即“a<Ɛ<b (lnx)’=1/x,单调递减”（拓展：有时候题中会出现f ’(x)单调性，实则和这个问题是一样的）②证明当0<x<π/2,tanx>x+x 3/3解析：1.令f(x)= tanx_(x+x 3/3) 2.求f ’(x)单调性得f ’(x)=(tanx-x)(tanx+x)>0 3.f(0)=0,则有f(x)>f(0)=0 故问题成立③证明当x>0 y>0时，有不等式xlnx+yln y ≥(x+y)ln 2y x + 等号仅当x=y 时成立 解析：1两边同除以2变形为2ln ln yy x x +≥2y x +ln2y x + 2.分析为中值与平均值的比较（lnx ） 3.证明lnx 的凹凸性 ●应用中值定理的证明（主要是验证定理对函数的正确性）1）确定条件2）根据定理结论，求f ’(ε)值 3）确认ε∈定义区间3．关于方程根的问题主要的解决方案是：结合端点值、求导确定单调性、极值（零值定理） 题型：1.在某个区间有几个根 2.证明方程有且仅有一个根4.作图题1) 确定义域2) 令y’=0 y’’=0确定极值点和拐点 3) 列表4) 确定渐近线5) 找出五个重要的点，作草图5．应用题【包含边际分析（主要是征对“经济”中的“利润”问题分析）】附：对f’(x) f’’(x)结合的各种情况作出分析图（选择题中常出现）。
高等数学教材部分积分法
高等数学教材部分积分法在高等数学教材中，积分法是求解定积分的重要方法之一。
其中，部分积分法是一种常用而且灵活的积分法。
本文将介绍部分积分法的基本原理、步骤以及一些典型的应用。
一、部分积分法的基本原理部分积分法是基于积分运算中的乘法法则。
根据积分的定义，定积分可以理解为曲线与坐标轴之间所夹的面积。
而部分积分法能够将一个较复杂的积分转化成一个相对简单的积分，从而更容易求解。
二、部分积分法的步骤部分积分法的求解步骤如下：1. 根据乘法法则，将要求解的积分中的函数分为两部分：一部分为求导容易，另一部分为求积容易。
2. 对分部后的两部分进行求导和求积。
3. 利用部分积分公式进行积分化简。
4. 若未达到最终的简化形式，可考虑再次应用部分积分法，直至达到求解目标为止。
三、部分积分法的应用举例举例一：计算积分∫ xe^x dx。
解：设 u = x，dv = e^x dx，则 du = dx，v = ∫e^x dx = e^x。
根据部分积分法公式∫u dv = uv - ∫ v du，代入相应的值：∫xe^x dx = x * e^x - ∫e^x dx = x * e^x - e^x + C。
所以，积分∫ xe^x dx = x * e^x - e^x + C。
举例二：计算积分∫ ln x dx。
解：设 u = ln x，dv = dx，则 du = 1/x dx，v = x。
根据部分积分法公式∫u dv = uv - ∫v du，代入相应的值：∫ln x dx = x * ln x - ∫x * (1/x) dx = x * ln x - ∫ dx = x * ln x - x + C。
所以，积分∫ ln x dx = x * ln x - x + C。
综上所述，部分积分法是高等数学教材中重要的积分方法之一。
通过将复杂的积分转化为相对简单的积分，部分积分法能够简化求解过程。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择合适的函数进行分部积分，从而提高解题效率。
高等数学数列极限收敛60道典型例题分步骤详解
高等数学数列极限收敛60道典型例题分步骤详解数列收敛，换言之就是数列极限存在，此类问题历来都是高数考试的重点和难点，也是倍受命题老师青睐的“宠儿”。
数列收敛题型大致可分为两大类：第一类，数列的一般项（也称“通项”）已知；第二类，数列的一般项（通项）未知，尤其是由递推公式60道数列收敛典型例题，每道题都给出了详细的解题步骤。
网友们请注意，本文60个例题中如果用方括号标明年份的，均为当年考研真题。
第一类数列的一般项（通项）已知1.【2008真题】设解：原式. 具体求解过程如下（运用“两边夹”定理）：2.✧解法（一）原式✧解法（二）原式=3.✧解法（一）分子有理化（分母视为“1”）原式✧解法（二）利用等价无穷小替换原式【注：】4.✧解法（一）✧解法（二）原式【注：, 】5.解：本题求极限，推荐“两边夹定理”。
解题过程如下：令显然可知，当因此，根据“两边夹定理”得到6.解：本题求极限推荐“两边夹定理”.令7.解原式=8.解原式=】9.解法（一）利用公式原式】==１✧．原式=】==１10.解：原式。
正确的解法如下：原式==【注：】==11.✧解法（一）利用等价无穷小替换原式=】==✧解法（二）利用中值定理，注意求导公式原式【注：】=12.【2002真题】，✧解法（一）利用等无穷小替换✧原式===✧解法（二）利用“两边夹定理”，【注意：】原式=13.✧原式=【注：】=✧解法（二）利用等价无穷小替换原式=】14.解：此数列求极限推荐等价无穷小替换。
解法如下：原式==】=】15.✧解法（一）利用等价无穷小替换原式【注：】=【注：归结原则】✧【注：】16.解：本题求极限，“两边夹”定理、单调有界准则、定积分定义等方法似乎均不太“给力”，需将变量连续化，也就是将离散变量n替换为连续变量x，再运用包括洛必达法则在内的求解函数极限的方法.详细过程如下：17.✧解法（一）利用导数定义原式===【注：的指数部分，正是按定义所求的函数在处的导数.】【】=✧解法（二）拉格郎日中值定理，注意求导公式原式=====【注：=【注：本题推荐中值定理。
高等数学第十二章微分方程
dy 1 dy y 2 y 2 。这是贝努利方程， 解出 ? ，得 dx x dx
对于这些类型的方程，它们各自都有固定的解法。如
果所给的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这 时常用的方法和技巧如下： A.熟悉常用的微分公式； B.选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程； C．变换自变量和因变量（即有时把 y看成自变量，而 考虑
dx 的方程类型）。 dy
一阶微分方程的解题方法流程图如下。
解题方法流程图
求Pdx Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 No Yes
P Q y x
dy 解出 dx = f ( x, y )
No
可分离变 量方程
全微分 方程
齐次方程
dy y ( ) dx x
dy P ( x ) y Q( x ) dx
一阶线性方程
dy P ( x ) y Q( x ) y n dx
dy y （2）齐次方程： dx x
dy P ( x ) y Q( x ) （3）一阶线性微分方程： dx
dy n （4）伯努利方程： P ( x ) y Q( x ) y ( n 0,1) dx
（5）全微分方程：P ( x , y )dx Q( x , y )dy 满足 ,0
y dy du u x 解：令 u ,于是 y ux , ,上式可化为 x dx dx
du 1 u cos u u x sec u u dx cos u
du sec u , 为可分离变量的方程 即x dx
分离变量 积分得 所以 故原方程的通解为
dx cos udu x sin u ln x ln C
高数一答题技巧
高数一答题技巧
高等数学一答题技巧如下：
1. 仔细审题，理解题意。
拿到试卷后，通读一遍，了解题目的概貌，对解题做到心中有数。
2. 按照先易后难的顺序做题。
在试卷的布局上，编者也是用心良苦的，把比较难做的题放在前面，把较易做的题放在后面。
因此，解题时应按题目排列顺序进行，不要跳跃式地进行解答，以免浪费时间。
3. 解题要清晰、条理分明。
解题时一定要写出必要的文字说明，比如设、根据、因为、所以等，要字迹清楚，条理分明。
4. 注意解题要完整。
在答题时，一定要注意答题的完整性，不要因为步骤不完整而丢分。
在检查时，也一定要注意全面检查，以免遗漏。
5. 确保答题符合规范。
在解题时，一定要按照规定的格式进行，以免因为格式问题被扣分。
6. 遇到难题时不要紧张。
遇到难题时，要冷静思考，寻找解题思路。
如果实在解不出来，也不要过于紧张，可以暂时放下这道题，先做其他题目。
7. 考前做好复习准备。
在考试前，一定要做好复习准备，把学过的知识进行系统复习，以免遗忘。
以上是高等数学一答题技巧的一些建议，希望能对你有所帮助。
祝你考试顺利！。
高等数学中的级数及解题方法
高等数学中的级数及解题方法在数学学科中，级数是一个综合性较强的概念，是指由无穷多项组成的无穷级数。
其可以说是数学研究中最重要的一类问题之一，其中又分为数列级数和函数级数两种。
在解题时，我们通常采用求和的方法，将求和问题转化为极限问题，再通过已知的数列或函数列求其极限值，从而求出级数的和。
下面，本文将就高等数学中的级数及解题方法进行详细的介绍。
一、数列级数的概念数列级数是指由数列的无穷项组成的和。
当数列的项在无限增加时，其和也就趋向于无限大或无限小。
例如，以下为一个数列级数的示例：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$其中，$\frac{1}{n}$ 为数列的通项公式，$\sum$ 符号表示求和，$n$ 为变量，表示从 $1$ 到无穷大的所有自然数。
针对此类数列级数的求和问题，我们通常采用以下两种方法：1.求极限法当数列级数的通项公式为一个有界数列时，可以采用直接求和的方法，例如：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$在此类情况下，我们可以通过变换数列项得到一个几何级数形式：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$其中，$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$ 为几何级数的求和公式。
2.比较法当数列级数的通项公式无法直接求出其和的时候，我们可以采用比较法进行求解。
具体来讲，我们需要构造一个同类比较数列或级数，从而比较其大小关系，进而得到数列级数的极限值。
例如：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$其中，$p\geq 1$，$n$ 为变量，表示从 $1$ 到无穷大的所有自然数。
针对此类数列级数的求和问题，我们可以采用以下的比较系列：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \leq\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$其中，两个级数在极限时均为无穷大。
陈文灯高等数学解题方法高清
陈文灯高等数学解题方法高清1.引言1.1 介绍陈文灯高等数学解题方法的重要性和普遍性陈文灯高等数学解题方法在学习高等数学过程中具有重要性和普遍性。
高等数学是大学阶段数学教育的重要组成部分，而解题方法是学习高等数学的基础和核心。
陈文灯高等数学解题方法的重要性体现在其能够帮助学生建立正确的数学思维方式，提高数学问题的解决能力，培养学生对数学问题的分析能力和解决能力等方面。
陈文灯高等数学解题方法的普遍性也体现在其适用于不同类型的数学问题和不同层次的学生，从基础知识到复杂难题，都能够发挥重要作用。
了解和掌握陈文灯高等数学解题方法对于学习者来说是至关重要的。
通过学习陈文灯高等数学解题方法，学生可以建立起对高等数学知识体系的清晰认识，提高解题效率和准确性。
陈文灯高等数学解题方法也能够帮助学生养成良好的数学思维和习惯，为将来的学习和工作打下坚实的数学基础。
本文将对陈文灯高等数学解题方法进行深入剖析和讨论，希望能够引起更多人的关注和重视。
【字数：211】1.2 强调了解高等数学解题方法的重要性了解高等数学解题方法的重要性，是每位学习高等数学的学生都应该重视的问题。
解题方法是我们学习数学的工具，是我们应对数学问题的利器。
高等数学解题方法的掌握与否直接影响着我们在解题过程中的效率和准确度。
一个同样的数学问题，对于掌握了解题方法的人可能只需要几步就可以迎刃而解，而对于不了解解题方法的人可能要花费很多时间和精力，还不能保证解题的正确性。
了解高等数学解题方法的重要性不言自明。
只有深刻理解和掌握了解题方法，才能在考试中游刃有余、得心应手地解决各种数学问题。
解题方法的掌握也是培养数学思维和逻辑推理能力的重要途径。
我们应该引起重视，认真学习陈文灯高等数学解题方法，努力提高自己的解题能力，以应对各种数学问题的挑战。
1.3 提出文章的目的和结构文章的目的是为了介绍陈文灯高等数学解题方法的重要性和普遍性，帮助读者更好地了解高等数学解题方法，掌握解题技巧，提高解题能力。
高等数学数列极限题型及解题方法
高等数学数列极限题型及解题方法摘要：1.数列极限的定义和性质2.常见数列极限题型分类3.解题方法及技巧4.典型例题解析5.总结与建议正文：高等数学中的数列极限是极限理论的重要部分，它在数学分析、工程数学、应用数学等课程中有着广泛的应用。
本文将对数列极限的题型进行分类，并介绍相应的解题方法和技巧。
一、数列极限的定义和性质1.定义：设{an}为无穷数列，若存在常数L，使得当n趋向于无穷时，|an - L|趋向于0，则称L为数列{an}的极限。
2.性质：具有有限项的数列必有极限；单调有界数列必有极限；无穷递增（或递减）数列必有极限；无穷乘积数列必有极限。
二、常见数列极限题型分类1.求和型：如求级数∑an的收敛值。
2.比较型：如比较级数∑an与级数∑bn的收敛性。
3.求极限型：如求极限lim(n→∞) an。
4.无穷乘积型：如求极限(a1 × a2 × a3 × ...× an)∞。
5.无穷递推型：如求递推数列{an}的极限。
三、解题方法及技巧1.判断收敛性：根据数列极限的定义，通过计算或性质判断数列是否收敛。
2.利用极限性质：如无穷乘积收敛的判定条件、无穷递推收敛的判定条件等。
3.化简变形：将复杂数列极限问题转化为简单的问题，如利用泰勒公式、洛必达法则等。
4.典型例题解析例1：判断级数∑(1/n)^2是否收敛。
解析：利用数列极限的定义，计算极限lim(n→∞) (1/n)^2 = 0，判断级数收敛。
例2：求极限lim(n→∞) (2^n - n^2)。
解析：利用化简变形，将原式变为lim(n→∞) (2^n / n^2)，再利用极限性质判断收敛。
四、总结与建议数列极限是高等数学中的重要内容，掌握常见的题型和解题方法对学习极限理论有很大帮助。
在学习过程中，要注意理论知识与实际应用的结合，多做练习，提高解题能力。
高数经典解题方法
高数经典解题方法在学习高等数学的过程中，解题是一个不可或缺的环节。
为了能够更好地掌握高数知识，我们需要熟练掌握一些经典解题方法。
本文将介绍几种常见的高数解题方法，帮助大家在学习高数过程中能够更加得心应手地解题。
I. 代入法代入法是一种常见的解题方法，它的主要思想是将未知量用已知量代入，通过计算得出方程的解。
这种方法适用于一元一次方程、一元二次方程等等问题。
下面我们通过一个例子来说明代入法的具体步骤。
例题：已知方程2x - 3 = 7，求解x的值。
解题步骤：1. 将方程中的未知量x替换为一个已知量（通常选择较简单的数），如令x = 2。
2. 将已知量代入原方程中进行计算，判断是否满足等式关系。
代入方程得到 2(2) - 3 = 7，即 4 - 3 = 7。
计算结果为 1 = 7，显然不成立。
3. 若计算结果不成立，则继续选择其他已知量代入，直至找到满足等式的解或无解。
通过代入法，我们可以得出方程2x - 3 = 7的解为x = 5。
代入法在解简单方程时非常方便，但对于复杂方程则需要其他解法。
II. 分类讨论法分类讨论法是一种常见的解题方法，它的主要思想是将问题分解为不同的情况进行讨论，然后针对不同情况给出相应的解答。
这种方法适用于多个未知量的方程、极限、导数等问题。
下面我们以求解一元二次方程为例，介绍分类讨论法的具体步骤。
例题：已知方程x^2 - 5x + 6 = 0，求解x的值。
解题步骤：1. 根据一元二次方程的一般形式ax^2 + bx + c = 0，将给定方程与一般形式进行对比，得到a = 1，b = -5，c = 6。
2. 根据一元二次方程的求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，我们可以得到两个解。
a) 当判别式b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实数解。
b) 当判别式b^2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数解。
c) 当判别式b^2 - 4ac < 0时，方程无实数解。
(完整版)高等数学中值定理的题型与解题方法
高等数学中值定理的题型与解题方法高数中值定理包含：1.罗尔中值定理(rolle); 2.拉格朗日中值定理(lagrange); 3.柯西中值定理(cauchy); 还有经常用到的泰勒展开式(taylor), 其中(,)a b ξ∈，一定是开区间.全国考研的学生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂，但是自己不会做，这里往往是在构造函数不会处理，这里给总结一下中值定理所涵盖的题型，保证拿到题目就会做。
题型一：证明：()0nf ξ=基本思路，首先考虑的就是罗尔定理(rolle)，还要考虑极值的问题。
例1. ()[,]f x C a b ∈在(,)a b 可导，()()0f a f b >>，()()02a bf a f +<， 证明：存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=.分析：由()()0f a f b >>，()()02a bf a f +<，容易想到零点定理。
证明：()()02a b f a f +<，∴存在1(,)2a bx a +∈，使得1()0f x =，又()()0f a f b >>，∴(),()f a f b 同号，∴()()02a bf b f +<，∴存在2(,)2a bx b +∈，使得2()0f x =，∴12()()0f x f x ==，所以根据罗尔中值定理：存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=.例2. ()[0,3]f x C ∈在(0,3)内可导，(0)(1)(2)3f f f ++=，(3)1f =， 证明：存在(0,3)ξ∈，使得'()0f ξ= 证明：（1）()[0,3]f x C ∈，∴()f x 在[0,3]使得上有最大值和最小值,M m ，∴根据介值性定理(0)(1)(2)3f f f m M ++≤≤，即1m M ≤≤∴存在[0,3]c ∈，使得()1f c =，（2）()(3)1f c f ==，所以根据罗尔中值定理：存在(,3)(0,3)c ξ∈⊂，使得'()0f ξ=.例3. ()f x 在(0,3)三阶可导，[0,1]x ∈，(1)0f =，3()()F x x f x = 证明：存在(0,1)ξ∈，使得'''()0F ξ= 证明：（1）(0)(1)0F F ==，∴存在1(0,1)ξ∈，使得1'()0F ξ=，（2）23'()3()'()F x x f x x f x =+，所以1'(0)'()0F F ξ==，∴存在21(0,)ξξ∈，使得2''()0F ξ=，（3）223''()6()3'()3'()''()F x xf x x f x x f x x f x =+++，所以2''(0)''()0F F ξ==，∴存在2(0,)(0,1)ξξ∈⊂，使得'''()0F ξ=，例3. ()[0,1]f x C ∈在(0,1)内可导，[0,1]x ∈，(0)1f =，11()22f =，(1)2f = 证明：存在(0,1)ξ∈，使得'()0f ξ= 证明：(0)1f =，11()22f =，(1)2f =∴存在(0,1)ξ∈，使得()f m ξ=，又()f x 在(0,1)内可导，∴存在(0,1)ξ∈，使得'()0f ξ=题型二：证明：含ξ，无其它字母 基本思路，有三种方法： （1）还原法。
罗尔定理解题步骤
罗尔定理解题步骤
罗尔定理是高等数学中的一个重要定理，它在实变函数论中占有重要地位。
该定理的内容是：如果一个函数f(x)满足以下条件：
在闭区间[a, b]上连续；
在开区间(a, b)内可导；
函数f(x)在a点和b点的函数值相等，即f(a) = f(b)；
那么，至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = 0。
应用罗尔定理解题的基本步骤如下：
确认前提条件：
确认所给函数f(x)在闭区间[a, b]上连续。
确认f(x)在开区间(a, b)内可导。
确认f(a) = f(b)。
构造或验证辅助函数：
如果题目中没有直接给出满足上述条件的函数f(x)，则可能需要通过变形或者证明找到一个这样的函数。
证明满足定理条件：
根据已知条件和定义，证明所研究的函数确实满足罗尔定理的所有要求。
得出结论：
结合罗尔定理，断言至少存在一个ξ∈(a, b)，使f'(ξ) = 0，并且可以根据问题的具体情况尝试找到这个点（虽然通常并不需要具体找出这个点）。
总结起来，解题时首先确保函数符合罗尔定理的前提条件，然后结合定理本身进行逻辑推理和论证。
高中数学阿氏圆解题方法
高中数学阿氏圆解题方法
《高中数学阿氏圆解题方法》
一、解题步骤
1、获取题目信息：确定已知条件，包括圆的方程或描述，已知点坐标，圆上一点的坐标，与圆的关系或它们的关系；
2、建立模型：根据上一步的信息建立出本题中的数学模型，也就是圆的方程；
3、运用经典方法：运用阿氏圆解题方法，也就是经典的高等数学方法，也就是利用当时的数据和技术手段，找出圆的方程，求解题目的答案；
4、检查：根据最后的结果进行检查，检查是否正确，如果有误再重新计算。
二、基本原理
1、利用余弦定理求解：余弦定理是一个经典的三角形研究的实用定理，它允许用户在知道三角形的三条边以及两个角的余弦值的情况下求出其他边、角的大小；
2、锐角三角形的两边系数：当给定锐角三角形的三条边时，把三边分别称为a、b、c，其中a为锐角处两边的系数；
3、根据圆心角求圆弧长度：两个圆心角对应的圆弧长度之间的关系式为：
C=2πr*α/360；
4、关于圆外一点与圆的关系：根据当时的数学知识，可以推
知，当一点在圆外部时，它距离圆心的距离大于圆的半径；当一点在圆内部时，它距离圆心的距离小于圆的半径；当它在圆上时，它距离圆心的距离等于圆的半径。
三、解题技巧
1、做准备：准备工作的重要性不可忽视，要熟悉已知信息，画出数学模型，把题目要求抽象化，把它变成我们可以处理的形式；
2、突破点：找出这道题目的难题，也就是突破点，掌握答题的关键要素，然后根据突出的要素找出解题的步骤；
3、借鉴方法：借鉴更多其他数学思想的处理方法，从而把想要解决的问题简化；
4、总结经验：学习一道数学题的过程，一定要将答案总结，也就是将问题中涉及到的所有的知识点进行系统的总结归纳，方便下次再次解决类似问题的时候能有一定的参考基础。
高等数学 解题步骤
解题步骤一、求极限：1）先代入判类型2）再根据类型确定方法，如用到现成结论须说明。
例1、 1lim sinx x x→∞⋅ 【解】：（1）0⋅∞型（2）原式=1sinlim11x x x →∞=（由第一个重要极限得）或原式=1lim 1x x x →∞⋅= （由等价无穷小111,0sinx x xx→∞→⇒） 例2、24321lim sin 213x x x x x x →∞⎛⎫- ⎪-++⎝⎭【解】：（1）0⋅有界函数（2）231lim 021x x x x →∞-=-+，42sin 3x x +有界由无穷小性质：原式=0例3、1lim ln x x e ex→-【解】：（1）型 （2）利用洛必达法则：原式=()()11limlim 1ln xxx x e e e e x x→→'-==' 二、求导数：1、利用定义求导数：1）先写出导数定义式 ()()()()()0000000limlim x h f x x f x f x h f x f x x h∆→→+∆-+-'==∆ ()()()()00000limlimx x x f x x f x f x f x x x x →→+--==- 导函数：()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆2）再将要求的式子凑成定义式例1：设()1f a '=，求()()1431lim1x f x f x →---【解】：（1）()()()111limh f h f f h→+-'=（2）令1x h -=， 原式=()()()()()()030131131limlim 33133h h f h f f h f f a h h→-→----'=⋅-=-=-- 例2：设()2f a '=，求()1lim 22n n f f n →∞⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【解】：（1）()()()0222limh f h f f h→+-'=（2）令1h n=， 原式=()()()022lim2h f h f f a h→+-'==例3：设有任意的,x y 有()()()f xy f x f y =+且()11f '=，证明： 当1x ≠时()1f x x'=【证明】：（1）()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆（2）()()()0lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆()01lim x x f x f x x x ∆→⎡∆⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=∆ ()()01lim x x f x f f x x x∆→∆⎛⎫++- ⎪⎝⎭=∆ （由已知） ()()011111lim 1x x f f x f x x x xx∆→∆⎛⎫+- ⎪⎝⎭'=⋅=⋅=∆ （()()()()10f xy f x f y f =+⇒=）2、求导数（复合函数、隐函数、参数方程导数、） 复合函数求导：1）分解函数成简单函数。
高等数学求极限的各种方法
⾼等数学求极限的各种⽅法求极限的各种⽅法1.约去零因⼦求极限例1:求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x ⽆限接近,但1≠x ,所以1-x 这⼀零因⼦可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分⼦分母同除求极限例2:求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分⼦分母都以多项式给出的极限,可通过分⼦分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) ⼀般分⼦分母同除x 的最⾼次⽅;(2)=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3.分⼦(母)有理化求极限例3:求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分⼦或分母有理化求极限,就是通过有理化化去⽆理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4:求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan limsin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使⽤分⼦有理化⽅法外,及时分离极限式中的⾮零因⼦．．．．．．．．．．．就是解题的关键 4.应⽤两个重要极限求极限两个重要极限就是1sin lim 0=→xxx 与e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ,第⼀个重要极限过于简单且可通过等价⽆穷⼩来实现。
专升本高等数学答题技巧和方法
专升本高等数学答题技巧和方法一、关于难题：很多学生喜欢攻克难题的那种乐趣，于是他们拿出那种不到黄河心不死的精神，有时候耗费一节课时间，攻克一道难题，并且很有成就感。
问题就在于，一节课攻克一道题，效率真的太低了。
学霸绝对不会这么做。
记住：永远不要花一节课时间去攻克一道难题，这是造成学习效率低下的重大原因。
你用一节课攻克一道题，其他题目怎么办，你时间够用吗，更重要的是，你做完这道题目，真的有很大收获吗?学霸答题的策略：如果一道题花10分钟仍然无法解决，那么就直接看答案，或者等老师讲解，或者去问同学。
因为，会做这道题，且能够举一反三，能够做充分的归纳总结才是最重要的目的。
看完答案，或者听完讲解之后，你必须要花更多的时间来归纳总结：我为何没有解答出这道题？突破口在哪里？我为什么没找到？是哪些关键词汇触发了解题思路？我该如何建立条件反射，以便以后再次看到这些词汇信息，迅速找到相关突破口？记住，这才是最最重要的工作。
二、重复做题要讲究策略一道题，刚开始你不熟悉，那么，你需要做十遍甚至更多遍，把整个题目做到滚瓜烂熟。
这个时候，如果你还在不断地重复做这道题，那么就是低水平重复，因为，你已经在浪费时间，不会再有进步了。
学霸们会这么做：当这道题熟悉了，他就开始放弃了，把大把时间拿来，去攻克自己不熟悉的题目，不断地把陌生转化为熟悉。
他们也在重复，但是，是高水平重复。
三、归纳总结很重要数学的归纳总结太重要了。
顶尖优秀的学生，他们做一道题花5分钟，然后会拿出10-15分钟来做归纳总结，来写解题笔记。
归纳总结，其实就是解题联想，就是书写解题笔记，就是总结“条件反射”。
要提高对关键词汇的敏感度，能够通过关键词汇，迅速建立起条件反射，找到解题突破口，这就是所谓的解题联想。
这是数学高手的必修课。
归纳总结，总结的都是条件反射，也就是，我看到什么，就要联想到什么，然后一举突破这道题目。
四、不求满分，但要求会做的要做对1、考前要有这样的心理定位：把我会做的能做对，就足够了，自己会的能拿到分数就问心无愧了。
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解题步骤一、求极限：1）先代入判类型2）再根据类型确定方法，如用到现成结论须说明。
例1、 1lim sinx x x→∞⋅ 【解】：（1）0⋅∞型（2）原式=1sinlim11x x x →∞=（由第一个重要极限得）或原式=1lim 1x x x →∞⋅= （由等价无穷小111,0sinx x xx→∞→⇒） 例2、24321lim sin 213x x x x x x →∞⎛⎫- ⎪-++⎝⎭【解】：（1）0⋅有界函数（2）231lim 021x x x x →∞-=-+，42sin 3x x +有界由无穷小性质：原式=0例3、1lim ln x x e ex→-【解】：（1）型 （2）利用洛必达法则：原式=()()11limlim 1ln xxx x e e e e x x→→'-==' 二、求导数：1、利用定义求导数：1）先写出导数定义式 ()()()()()0000000limlim x h f x x f x f x h f x f x x h∆→→+∆-+-'==∆ ()()()()00000limlimx x x f x x f x f x f x x x x →→+--==- 导函数：()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆2）再将要求的式子凑成定义式例1：设()1f a '=，求()()1431lim1x f x f x →---【解】：（1）()()()111limh f h f f h→+-'=（2）令1x h -=， 原式=()()()()()()030131131limlim 33133h h f h f f h f f a h h→-→----'=⋅-=-=-- 例2：设()2f a '=，求()1lim 22n n f f n →∞⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【解】：（1）()()()0222limh f h f f h→+-'=（2）令1h n=， 原式=()()()022lim2h f h f f a h→+-'==例3：设有任意的,x y 有()()()f xy f x f y =+且()11f '=，证明： 当1x ≠时()1f x x'=【证明】：（1）()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆（2）()()()0lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆()01lim x x f x f x x x ∆→⎡∆⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=∆ ()()01lim x x f x f f x x x∆→∆⎛⎫++- ⎪⎝⎭=∆ （由已知） ()()011111lim 1x x f f x f x x x xx∆→∆⎛⎫+- ⎪⎝⎭'=⋅=⋅=∆ （()()()()10f xy f x f y f =+⇒=）2、求导数（复合函数、隐函数、参数方程导数、） 复合函数求导：1）分解函数成简单函数。
2）写出复合函数的求导公式。
()()()()),dya y f u u x f u x dxϕϕ''==⇒=⋅ ()()()()()()),,dyb y f u u v v x f u v x dxφϕφϕ''===⇒=⋅⋅()()()()()()()()()),,dyc y f u u g x v v x f u g x v x dxφϕφϕ''''==+=⇒=⋅+⋅3）最后将中间变量回代。
例1、()2ln 1y x x =++，求dy dx【解】：（1）2ln ,1y u u x x ==++ （2）()()()22121ln 1211dy x u x x x dx u x x +''=⋅++=+=++例2、y f=，求y '【解】：（1）()2,1y f u u v x ===+ （2）()()()212y f u x f u x f ''''''=⋅⋅+==例3、(ln y x =，求y '【解】：（1）2ln ,1y u u x v x ===+（2）()()21ln 112y u x x x u ⎛⎫⎛⎫'''''=⋅+⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1⎛⎫=+= ⎝隐函数求导：1）写明等式两边同时对x 求导。
2）利用复合函数的运算法则进行求导，遇含y 的函数则先对y 求导再乘以y '。
3）解出y '表达式。
4）如求()0y x '，则无需操作第3）步，只需将00,x y 代入2）中方程解得。
例1、方程224yx xy y e ++=确定函数()y f x =，求y '【解】：(1)等式两边同时对x 求导：()()224yx xy ye ''++=（2）()()()()22482yyxxy y e x x y xy y y ey ''''''''++=⇒+++⋅=⋅（3）82y x yy e x y+'=--例2、方程1sin ln0x xy y+-=确定函数()y f x =，求()0y ' 【解】：（1）当0x =时1y =（2）等式两边同时对x 求导：1sin ln 0x xy y '⎛⎫+'-= ⎪⎝⎭（3）()()()()()()()sin ln 1ln 0cos ln 1ln 0xy x y xy xy x y '''''''-++=⇒⋅-++= ()()11cos 101xy x y xy x y x y''''⇒⋅+-⋅++⋅=+ ()11cos 01xy y xy y x y''⇒⋅+-+⋅=+，将0,1x y ==代入方程得 ()()()()11cos010********y y y '''⇒⋅+⋅-+⋅=⇒=+ 参数方程()()x t y t φϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩求导：1）先分别求出()(),x x φϕ'' 2）写出公式()()()t dy f t dx t ϕφ'=='， ()()22dy d f t d y dxd x dx t φ⎛⎫⎪'⎝⎭==' 3）进行整理（若要求二阶导数的话）例1、设sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩，求22,dy d y dx dx 【解】：（1）()()sin cos t t t φ''==()()()cos 2sin 222sin 2t t t t t ϕ'''==-⋅=-（2）()()2sin 24sin cos t dy tt dx t tϕφ'-===-'，令()4sin t f t -=（3） ()()()224sin 4cos 4cos cos f t t d y tdx t t tφ''--====-' 3、对数求导法：适用于求幂指函数或多个因子的乘积或商的导数 1）等式两边同时取对数。
2）等式两边同时对x 求导（利用隐函数求导方法，等式左边的导数为1y y'⋅）。
3）整理，并将y 的表达式代入。
例1、设()sin 0x y x x=，求y '【解】：（1）等式两边同时取对数：sin ln ln ln sin ln xy x y x x =⇒=⋅（2）等式两边同时对x 求导：()()ln sin ln y x x ''=⋅ ()()1sin ln sin ln y x x x x y'''⇒⋅=⋅+⋅ ()11cos ln sin y x x x y x ⎛⎫'⇒⋅=⋅+⋅ ⎪⎝⎭（3）()sin 1sin cos ln sin cos ln x x y x x x y x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=⋅+⋅=⋅+⋅⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦注：若一函数不能直接用法则或上述方法求得，则将其分成若干个函数分别求然后再用法则。
例2、设()2sin ,0xx y x e x =+，求y '【解】：不能直接用对数求导法 （1）设2sin 123123;x x y y x y e y y y y ''''===⇒=-+ （2）()()1111ln ln ln 1ln 122y y x x x =⇒=++-- ()()()111ln ln ln 1ln 122y x x x '⎛⎫'⇒=++-- ⎪⎝⎭()()()()111111112121y x x y x x x '''⇒⋅=+⋅+-⋅-+-()()11112121y x x x ⎡⎤'⇒=+-⋅⎢⎥+-⎣⎦sin 2xy x =⇒由上题知sin 2sin cos ln xx y x x x x ⎛⎫'=⋅+⋅ ⎪⎝⎭ 23x y e =⇒由复合函数求导()22232x x y e xxe ''=⋅= （3）()()2sin 111sin cos ln 22121x x x y x x x xe x x x x ⎡⎤⎛⎫'=+-⋅⋅+⋅+⎢⎥ ⎪+-⎝⎭⎣⎦ 4、分段函数导数：1）写出()f x 在分段点处函数值。
2）利用左右导数的定义式求出分段点处的左右导数 ()()()0000lim x x f x f x f x x x --→-'=-； ()()()000lim x x f x f x f x x x ++→-'=-。
3）其他点处直接用求导公式求，最后导函数写成分段函数形式。
例1、设()2,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨⎩，求()0f '及()f x '【解】：（1）()2,00,0,0x x f x x x x ⎧⎪==⎨⎪≥⎩（2）()()()000lim x x f x f x f x x x --→-'=-()()()00000lim lim 10x x f x f x f x x---→→--'⇒===- ()()()0000lim x x f x f x f x x x ++→-'=-()()()200000limlim 00x x f x f x f x x+++→→--'⇒===- ()()()000f f f -+'''≠⇒不存在（3）()()()0,1xf x x f x x ''=⇒==()()()220,2xf x x f x x x ''=⇒==（4）()1,002,0x f x x x x ⎧⎪'==⎨⎪⎩不存在，5、高阶导数：先求一阶，整理，然后逐阶求 ()()()()n n n u v uv ±=±; ()()()()0nn n k k k n k uv c u v -==⋅∑ 例1、设ln y x x =，求y '' 【解】：（1）()1ln ln ln 1y x x x x x x''==+⋅=+ （2）()1ln 1y x x'''=+= 例2、设2156y x x =-+，求()n y 【解】：（1）()()()11113232n n ny y x x x x ⎛⎫⎛⎫=-⇒=- ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭（2）()()()()()()12313131233u x u x u x x ---'''==-⇒=--⇒=---- ()()()()()()()11......12...31!3n n n n u n x n x ----⇒=----=-⋅⋅-同理()()()()11121!22n n n v x v n x x ---==-⇒=-⋅⋅-- （3）()()()()()()111!32nn n n n n yu v n x x ----⎡⎤=-=-⋅⋅---⎣⎦例3、设22xy x e =⋅，求()20y【解】：（1）()()2221,2,3...20kxk x u eu e k =⇒=⋅=()()22,2,...03,4,...k v x v x v v k n '''=⇒====（2）()()()()()0nn n n k k k n k yuv c u v -===⋅∑ ()()()2020222022192182201922022222!x x x xyx e e x e x e ⋅=⋅=⋅+⋅⋅+⋅⋅ ()202222095xe x x =⋅++6、求微分：1）用上述步骤求出()y x '。