第2章 深度学习的数学基础
小学数学深度学习心得体会
小学数学深度学习心得体会小学数学深度学习心得体会一、前言随着科学技术的不断发展，深度学习已逐渐成为人工智能领域的热门话题。
深度学习通过建立多层的神经网络模型，让计算机可以像人类一样进行自主学习和解决问题。
数学作为深度学习的基石，给予了深度学习强大的力量。
本文将结合小学数学的学习经验，探讨数学与深度学习的关系，并总结深度学习对我的影响和启示。
二、数学是深度学习的基础1. 数学的基本概念和方法在学习数学的过程中，我们学习了很多基本概念和方法，如数字、加减乘除、分数、小数等。
这些基本概念和方法为我们理解和运用深度学习提供了坚实的基础。
比如，在深度学习中，我们经常需要对数据进行计算和运算，而加减乘除等数学方法则可以帮助我们准确和快速地完成这些操作。
2. 数学的逻辑思维和推理能力数学的学习过程，培养了我们的逻辑思维和推理能力。
深度学习同样需要我们具备良好的逻辑思维和推理能力，只有这样才能高效地分析和处理大量的数据。
举个例子，当我们在深度学习中遇到问题时，需要根据现有的数据和信息进行推理和分析，找出解决问题的方法和路径。
这就需要我们基于数学的推理能力，解决问题并取得最优结果。
3. 数学的抽象思维和模型构建能力数学的学习过程，也提高了我们的抽象思维和模型构建能力。
在数学中，我们经常遇到需要抽象和建立模型的问题，比如在解决应用题时，我们需要将实际问题抽象为数学模型进行求解。
同样，在深度学习中，我们需要将现实生活中的问题抽象为数学模型，并通过建立神经网络模型进行求解。
数学的抽象思维和模型构建能力对于深度学习的学习和应用都非常重要。
三、深度学习对我的影响和启示1. 提高解决问题的能力深度学习的学习过程中，我们需要根据现实问题进行建模和求解。
这一过程提高了我解决问题的能力，使我能够更加灵活地运用数学知识和方法，快速找到解决问题的路径和方法。
深度学习的思维方式也让我从多角度去思考和解决问题，培养了我的创新思维和解决问题的能力。
新版深度学习.pdf
第一章深度学习概念1.1 机器学习的定义（machine Learning ML ）：机器学习是涉及多门复杂理论的学科，包括了概率统计、数值分析、算法复杂理论等多门学科。
是专门研究计算机怎样模拟人类行为，以人类行为研究来赋予机器独自拥有自主学习和思考的技术方法，使机器拥有自己组织已有的知识架构，使自身性能不断完善的技术理论。
1.2 深度学习：源于人工神经网络的研究，含多隐层的多层感知就是一种深度学习的结构，深度学习通过组合底层特征形成的更加抽象的高层属性类别或特征，一发现数据分布式特征表示。
1.4 深度学习、机器学习、AI 之间的关系如右图示1-1所示。
1.5 一个事实和一个道理：事实：这几年深度学习的发展并不完全得益于机器学习理论研究的新突破，主要是因为支撑理论的外部条件有了很大的提升。
道理：机器学习理论十年没有本质的变化，从某种意义上来说是一种好事，说明这个思维框架经得住时间的考验，也就是说他有被学习的价值。
1.6 描述意见事物可以多角度，是一对多的映射过程，机器学习得懂如何去观察一个对机器深度学习AI图示1-1象的特征，懂得不同角度对同一事物做不同的描述（看事物的方法千千万，就看你是从那个角度去看待这个问题）。
1.7 被计算机使用的描述信息，这个信息在机器学习中一般被称作特征（Feature）。
1.8 特征描述举例中文词语的编码（One Hot编码）One Hot Endcoding：假设有N个词语待编码方法：1、建立N维空间；2、确定词语之间的距离；（有排列组合相关知识知道，N个不同的词语间有N N种组合方式，即可以映射到N维空间中去，在N维空间中的每个单元存放1和0两种状态，和真假对应）1.9 同一件事物可以从不同的细致程度被描述。
1.10 机器模型雏形：获得特征模型期望结果【注：其中模型相当于数学中的函数；】绝大多数的机器学习都遵循这个模式，拥有输入和输出，剩下的工作就是确定这个中间的映射，也就是这个模型。
第2章 深度学习的数学基础
2.3多元微积分
2.3.3最速下降法
第二章 深度学习的数学基础
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2.3多元微积分
2.3.3最速下降法
最速下降算法的流程图
初始化参数
计算梯度▽f(x)
判断算法 是否结束
是
否 计算步长dk
计算下一个迭代点xk+1
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第二章 深度学习的数学基础
判断▽f(x) 是否等0
是
输出解
2 f x x2x1
2 f x xnx1
2 f x
x1x2
2 f x
x22
2 f x
xnx2
2 f x x1xn 2 f x x2xn
2 f x xn2
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2.1线性代数
2.1.1向量空间
第二章 深度学习的数学基础
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2.1线性代数
2.1.1向量空间
第二章 深度学习的数学基础
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2.1线性代数
2.1.1向量空间
第二章 深度学习的数学基础
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2.1线性代数
2.1.2矩阵分析
第二章 深度学习的数学基础
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x x0 , y0
深度学习基础及数学原理
6.3
参数更新
目录 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 数据初始化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 参数初始化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 随机裁剪 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
损失函数
优化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
随机梯度下降 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
深度学习基础及数学原理
Hao Zhang haomoodzhang@
2016 年 9 月 26 日
2
目录
1 引言 2 图像识别问题的挑战及数据驱动过程 2.1 2.2 图像分类问题的挑战 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 数据驱动过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 3 4 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 7 7 7 8 9 9
《机器学习基础》课件
第六章：机器学习工具
Python
掌握Python编程语言，成为机器学习的有力工具。
Scikit-learn
了解Scikit-learn开源库，提供了丰富的机器学习算 法和工具。
TensorFlow
学习使用TensorFlow框架，构建和训练深度学习模 型。
Keras
掌握Keras库，简化深度学习模型的构建和训练过 程。
第七章：机器学习实战
1
模型评估
2
了解如何评估机器学习模型的性能，并
选择合适的评性能，并处理数据 缺失、噪声等问题。
项目实践
从理论到实践，通过完成实际项目来应 用和巩固机器学习的知识。
过拟合和欠拟合问题
第五章：深度学习基础
1 深度学习的概念
介绍深度学习的基本原理和框架，了解神经 网络的基本结构和训练过程。
2 卷积神经网络
学习卷积神经网络的原理和应用，在计算机 视觉和自然语言处理等领域取得了重大突破。
3 循环神经网络
探索循环神经网络的原理和应用，适用于处 理序列数据和时序数据的任务。
4 递归神经网络
机器学习的应用场景
发现机器学习在各行各业的应用，从医疗保健 到金融、交通等行业的实例。
机器学习的误区
探讨常见的机器学习误区，例如过拟合、不合 理的预期和错误的特征选择。
第二章：数学基础
1 线性代数
学习线性代数的基本概念和矩阵运算，为后续机器学习算法打下坚实的数学基础。
2 概率论
理解概率的基本概念和常见分布，探索如何利用概率在机器学习中进行推理和决策。
第四章：无监督学习
1
聚类问题
Python深度学习02：神经网络的数学基础
Python深度学习02：神经网络的数学基础2.1 初始神经网络MNIST数据集：手写数字的灰度图像（28 像素×28 像素），包含 60 000 张训练图像和 10 000 张测试图像。
类：分类问题中的某个类别叫作类（class）样本：数据点叫作样本（sample）标签：某个样本对应的类叫作标签（label）损失函数（loss function）：网络如何衡量在训练数据上的性能，即网络如何朝着正确的方向前进。
优化器（optimizer）：基于训练数据和损失函数来更新网络的机制。
在训练和测试过程中需要监控的指标（metric）：本例只关心精度，即正确分类的图像所占的比例使用 Keras 库，加载数据集，代码如下：1 from keras.datasets import mnist2 from keras import models3 from keras import layers4 from keras.utils import to_categorical56 # 加载 Keras 中的 MNIST 数据集7 (train_images, train_labels), (test_images, test_labels) = mnist.load_data()89 #标签10 train_labels = to_categorical(train_labels)11 test_labels = to_categorical(test_labels)1213 #准备图像数据14 train_images = train_images.reshape((60000, 28 * 28))15 train_images = train_images.astype('float32') / 25516 test_images = test_images.reshape((10000, 28 * 28))17 test_images = test_images.astype('float32') / 2551819 #构建网络模型20 network = models.Sequential()21 network.add(layers.Dense(512, activation='relu', input_shape=(28 * 28,)))22 network.add(layers.Dense(10, activation='softmax'))2324 #编译的三个参数25 pile(optimizer='rmsprop',26 loss='categorical_crossentropy',27 metrics=['accuracy'])2829 #拟合模型30 network.fit(train_images, train_labels, epochs=5, batch_size=128)3132 #查看测试集性能33 test_loss, test_acc = network.evaluate(test_images, test_labels)2.2 神经网络的数据表示张量：当前所有机器学习系统都使用张量作为基本数据结构，张量的维度（dimension）通常叫作轴（axis）。
深度学习的数学基础1.线性代数：标量、向量、矩阵和张量
深度学习的数学基础1.线性代数：标量、向量、矩阵和张量一、标量、向量、矩阵与张量1. 标量（scalar）•一个标量就是一个单独的数。
标量用斜体表示。
•标量通常使用小写变量名称。
在介绍标量时，会明确它是哪种类型的数，如：•定义实数标量时，可能会说：“令s ∈ R 表示一条线的斜率”；•在定义自然数标量时，可能会说“令n ∈ N ”表示元素的数目。
2. 向量（vector）•一个向量是一列数，这些数是有序排列的。
向量中的元素可以用x1这样来表示。
3. 行列式行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。
无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中(比如说换元积分法中)，行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
或者说，在n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对'体积'所造成的影响。
4. 矩阵（matrix）5. 张量（tensor）二、一些运算1. 转置（transpose）转置是以对角线为轴的矩阵的镜像，从左上到右下称为主对角线（main diagonal）。
公式定义为：向量可以看作只有一列的矩阵，对应地，向量的转置可以看作只有一行的矩阵。
标量的转置等于自身。
2. 矩阵运算矩阵可以进行加法、乘法计算。
深度学习中，允许矩阵和向量相加：3. 矩阵乘法两个矩阵的标准乘积不是两个矩阵中对应元素的乘积。
两个矩阵 A A A 和 B B B 的矩阵乘积（matrix product）是第三个矩阵 C C C 。
为了使乘法可被定义，矩阵 A A A的列数和矩阵 B B B的行数相等。
如果矩阵 A A A的形状是 m ∗ n m*n m∗n，矩阵 B B B 的形状是 m ∗ p m*p m∗p ，我们可以通过将两个或多个矩阵并列放置以书写矩阵乘法。
例如：具体地，该乘法操作定义为示例：元素对应乘积（Hadamard乘积）如果是元素对应乘积（element-wise product）或者Hadamard 乘积，记为 : [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-6oVQitIc-1607997146629)(/api/rest_v1/media/math/render/svg/c341d3106d2763836b 32f992b74e73f4cef0d24d)]点积矩阵乘法分配律矩阵乘积结合律矩阵乘积并不满足交换律，然而两个向量的点积满足交换律：矩阵乘积的转置有着简单的形式：4. 单位矩阵（identity matrix）从形式上看，单位矩阵所有沿对角线的元素都是1，而其它位置的所有元素都是0.如：5. 逆矩阵6. 求解 A x = b三、使用Python Numpy进行一些矩阵定义1. 矩阵定义与矩阵形状import numpy as np# 创建一维的narray对象 a = np.array([1,2,3,4,5])# 创建二维的narray对象a2 = np.array([[1,2,3,4,5],[6,7,8,9,10]])print(a)print(a2)# 打印a2的形状print(a2.shape)# 行数print(a2.shape[0])# 列数print(a2.shape[1]) 输出结果：2. 矩阵的截取import numpy as npa = np.array([[1,2,3,4,5],[6,7,8,9,10]])# 截取第一行,返回 [[1 2 3 4 5]]print(a[0:1]) # 截取第二行，第三到六列，返回[8 9 10]print(a[1,2:5]) # 截取第二行,返回[ 6 7 8 9 10]print(a[1,:])3. 按条件截取import numpy as npa = np.array([[1,2,3,4,5],[6,7,8,9,10]])# 截取矩阵a中大于6的元素，范围的是一维数组返回[ 7 8 9 10]b = a[a>6] print(b) # 通过布尔语句生成一个布尔矩阵（其次将布尔矩阵传入[]（方括号）实现上面截取运算）print(a>6)4. 条件截取后赋值import numpy as npa = np.array([[1,2,3,4,5],[6,7,8,9,10]])print(a)a[a>6] = 0print(a)5. 矩阵合并import numpy as npa1 = np.array([[1,2],[3,4]])a2 = np.array([[5,6],[7,8]])#参数传入时要以列表list或元组tuple的形式传入# 横向合并print(np.hstack([a1,a2])) # 或np.concatenate( (a1,a2), axis=1 )# 纵向合并print(np.vstack((a1,a2))) # 或 np.concatenate( (a1,a2), axis=0 ) 6. 通过函数创建矩阵arange 递增矩阵import numpy as npa = np.arange(10) # 默认从0开始到10（不包括10），步长为1print(a) # 返回 [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]a1 = np.arange(5,10) # 从5开始到10（不包括10），步长为1print(a1) # 返回 [5 6 7 8 9]a2 = np.arange(5,20,2) # 从5开始到20（不包括20），步长为2print(a2) # 返回 [ 5 7 9 11 13 15 17 19]linspace 等差数列import numpy as npa = np.linspace(0,10,7) # 生成首位是0，末位是10，含7个数的等差数列print(a)logspace 等比数列import numpy as npa = np.logspace(0,2,5) # 生成首位是10^0，末位是10^2，含5个数的等比数列print(a)其它特殊矩阵•ones 全1矩阵•zeros 全0矩阵•eye 单位矩阵•empty 全空矩阵（未初始化值状态，值不可预测）•fromstring 从字符串转ndarray对象•fromfunction 通过函数生成矩阵元素，可指定每个元素的生成算法四、Python Numpy里一些矩阵运算1. 基础运算运算符说明+矩阵对应元素相加-矩阵对应元素相减*矩阵对应元素相乘/矩阵对应元素相除，如果都是整数则取商%矩阵对应元素相除后取余数**矩阵每个元素都取n次方，如**2：每个元素都取平方示例：import numpy as npa1 = np.array([[4,5,6],[1,2,3]])a2 = np.array([[6,5,4],[3,2,1]])print(a1+a2) # 相加print(a1/a2) # 整数相除取商print(a1%a2) # 相除取余数2. 一些运算函数•np.sin(a) 每个元素取正弦•np.cos(a) 每个元素取余弦•np.tan(a) 每个元素取正切•np.arcsin(a) 每个元素取反正弦•np.arccos(a) 每个元素取反余弦•np.arctan(a) 每个元素取反正切•np.exp(a) 每个元素取指数函数, e x e^x ex•np.sqrt(a) 每个元素开根号√x3. 矩阵乘法（点乘） dotimport numpy as npa1 = np.array([[1,2,3],[4,5,6]]) # a1为2*3矩阵a2 = np.array([[1,2],[3,4],[5,6]]) # a2为3*2矩阵print(a1.shape[1]==a2.shape[0]) # True, 满足矩阵乘法条件,即第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数print(a1.dot(a2)) print(a2.dot(a1))可以看到点乘不满足乘法交换率。
深度学习入门数学基础之线性代数篇
深度学习入门数学基础之线性代数篇线性代数的概念对理解机器学习背后的理论至关重要，特别是对于深度学习。
它让你更直观地了解算法如何在真正的工作环境下工作，从而使你能够做出更好的决策。
所以如果你真的想成为这个领域的专业人士，你就不会掌握它的一些概念。
本文将介绍线性代数最重要的概念，这些概念用于机器学习。
线性代数是一种连续的数学形式，它在整个科学和工程中得到应用，因为它允许你对自然现象建模并有效计算它们。
因为它是一种连续的而不是离散的数学形式，很多计算机科学家并没有太多的经验。
线性代数也是数学几乎所有领域的核心，如几何和功能分析。
它的概念是理解机器学习背后的理论的一个重要先决条件，尤其是在你使用深度学习算法的情况下。
在开始使用机器学习之前，你不需要了解线性代数，但是在某些时候，希望更好地理解不同的机器学习算法如何真正在底层工作。
这将有助于你在机器学习系统的开发过程中做出更好的决策。
所以如果你真的想成为这个领域的专业人士，那么你不会掌握对机器学习很重要的零件线性代数。
在线性代数中，数据由线性方程表示，以矩阵和向量的形式表示。
因此，你主要处理的是矩阵和向量，而不是标量（我们将在下一节介绍这些术语）。
如果你的建议中有像Numpy这样的正确库，则只需几行代码即可轻松计算复杂的矩阵乘法。
这篇文章会忽略对机器学习不重要的线性代数的概念。
数学对象标量标量只是一个单一的数字。
例如24。
向量向量是一个有序的数字数组，可以在一行或一列中。
它只有一个索引，可以指向矢量中的特定值。
例如，V2代表向量的第二个值，在上面的黄色图片中为“-8”。
矩阵矩阵是一个有序的二维数组，它有两个索引。
第一个指向该行，第二个指向该列。
例如，M23表示第二行和第三列的值，在上面的黄色图片中为“8”。
矩阵可以有多个行和列。
请注意，向量也是一个矩阵，但只有一行或一列。
在黄色图片的例子中的矩阵也是2×3维的矩阵（行*列）。
下面你可以看到矩阵的另一个例子及其符号：张量张量是一组数字，排列在一个规则的网格上，具有不同数量的轴。
深度学习：数学基础、算法模型与实战
深度学习的核心是神经网络，包括前馈神经网络、卷积神经网络、循环神经 网络等。在《深度学习：数学基础、算法模型与实战》中，作者详细介绍了这些 神经网络的原理、结构和训练方法，让读者能够深入了解深度学习的核心算法。
பைடு நூலகம்
深度学习的应用范围非常广泛，包括计算机视觉、自然语言处理、语音识别、 推荐系统等。在《深度学习：数学基础、算法模型与实战》中，作者通过多个实 战案例，展示了深度学习的应用效果和潜力。
这本书的数学基础部分非常详细，对于想要深入了解深度学习算法原理的人 来说，这是一本非常不错的入门教材。作者通过对各种数学概念和理论的讲解， 帮助读者建立起坚实的数学基础，为后续的算法学习打下良好的基础。
这本书的算法模型部分非常全面，涵盖了深度学习中常用的各种算法和模型。 从基本的神经网络到复杂的深度学习模型，从监督学习到无监督学习，这本书都 有详细的介绍。通过阅读这本书，读者可以了解到深度学习的各种算法和模型， 并了解它们的应用场景和优缺点。
目录分析
深度学习是当前领域最热门的话题之一，而《深度学习：数学基础、算法模 型与实战》这本书则是深度学习领域的一本经典著作。这本书的内容涵盖了深度 学习的各个方面，包括数学基础、算法模型以及实战应用，对于想要深入了解深 度学习的人来说是一本非常值得阅读的书籍。
这本书的目录结构非常清晰，每一章都有明确的主题和内容。从目录中可以 看出，这本书的内容是按照深度学习的层次结构来组织的，从最基础的数学原理 到算法模型的实现，再到实战应用，逐步深入。这样的目录结构使得读者可以按 照自己的兴趣和需求选择阅读的内容，同时也方便了读者对深度学习的整体把握。
内容摘要
本书还介绍了如何使用深度学习技术解决实际问题，如图像分类、文本生成等。 《深度学习：数学基础、算法模型与实战》是一本全面而深入的深度学习书籍。它不仅介绍了深 度学习的数学基础和算法模型，还提供了丰富的实战应用案例。对于想要深入了解深度学习领域 的读者来说，这本书是一本非常有价值的参考书籍。
deepsort+yolov5 涉及的数学公式
文章主题：探究深度学习中的deepsort与yolov5涉及的数学公式1. 深度学习算法的数学基础深度学习在计算机视觉领域扮演着越来越重要的角色，其中deepsort 和yolov5作为两种经典的算法，在目标跟踪和目标检测领域具有广泛的应用。
要详细探究deepsort和yolov5，首先需要了解它们涉及的数学公式和原理。
2. 目标跟踪算法deepsort在深度学习算法中，目标跟踪是一个重要的课题，而deepsort算法作为一种端到端的目标跟踪算法，在多目标跟踪方面表现出色。
其核心思想是结合深度学习网络和卡尔曼滤波器，以实现对目标的持续跟踪。
在深入探讨deepsort算法之前，首先需要了解其涉及的数学公式，如深度学习网络的损失函数、卡尔曼滤波器的状态转移方程和观测方程等。
3. 目标检测算法yolov5yolov5作为一个快速高效的目标检测算法，其性能出色，并在实时目标检测领域有着广泛的应用。
要深入理解yolov5算法，需要深入研究其中涉及的数学公式和原理。
yolov5的目标检测损失函数、边界框回归的计算方法等，都是需要重点关注的数学细节。
4. 个人观点和总结了解深度学习算法中涉及的数学公式对于理解算法原理和优化算法性能至关重要。
在学习和应用deepsort和yolov5算法时，不仅需要熟悉其代码实现，更需要深入理解其中的数学原理。
只有通过深入的数学探索，才能真正掌握并灵活运用这些算法。
总结而言，通过全面评估deepsort和yolov5涉及的数学公式和原理，可以更好地理解这两种算法的优势和局限性，从而更好地应用于实际项目中。
写手：(在普通文本中进行以上内容的撰写)（文章总字数大于3000字）文章的完成内容将以非Markdown格式的普通文本呈现。
文章将详细解释关于深度学习算法的数学公式，帮助读者更深入地理解deepsort 和yolov5算法的原理和性能。
文章将以从简到繁的方式探讨主题，包含有关deepsort和yolov5算法的数学公式，以及个人观点和总结性内容。
第2章数学基础
哈尔滨工业大学（威海） 23
齐次坐标 例： V 3i 4 j 5k
可以表示为：
V=[3 4 5 1]T 或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T
哈尔滨工业大学（威海） 24
齐次坐标
齐次坐标与三维直角坐标的区别 V 点在 ΣOXYZ 坐标系（直 角坐标）中表示是唯一 的（x、y、z）
pn sin po cos pa 0
y
l2
pxyz Rot ( x, ) pnoa
l1
1 0 R ( x, ) 0 c 0 s
0 s c
相对于参考坐标系的点的坐标和从x轴上观察旋转坐标系
哈尔滨工业大学（威海） 16
绕轴的旋转
1 0 R ( x, ) 0 c 0 s 0 s c
(2.6)
c R( y , ) 0 s c R( z , ) s 0
0 s 1 0 0 c s c 0 0 0 1
2.1 位置和姿态的表示
方位描述
推导过程见《Niku》，P36~38
r11 A R r B 21 r31
r12 r22 r32
r13 r23 r33
1 0 R( x , ) 0 c 0 s
0 s (2.6) c
2.3.2 平移齐次坐标变换 空间中的某点用矢量 ai+bj+ck 描述，该点也可表示为：
1 0 Trans(a , b, c ) 0 0 0 0 a 1 0 b 0 1 c 0 0 1
(2.20)
深度学习课件-第2讲：深度学习基础
=
1
exp
2 2
1
− 2
2
−
2
由精度参数化（Parametrized by precision）:
; , −1
=
exp
2
1
−
2
−
2
高斯分布
多元高斯分布
由协方差矩阵参数化（Parametrized by covariance
matrix）:
1
exp
(2) det(σ)
摩尔-彭若斯广义逆
+
=
• 方程组解的情况包括:
― 仅有一个解：此时摩尔-彭若斯广义逆矩阵与逆矩阵相
同
― 无解：此时会给出解的最小误差 −
― 多个解：此时会给出范数最小的解
2
迹（Trace）
= ,
矩阵的迹的性质：
+ = +
自信息:
= −log ()
信息熵:
H = ~
= ~ log ()
KL散度:
∥ = ~
= ~ − ()
KL散度是不对称的
∗ = ∥
∗ = ∥
1979 – deep neocognitron, convolution, Fukushima
1987 – autoencoder, Ballard
1989 – convolutional neural networks (CNN), Lecun
1991 – deep recurrent neural networks (RNN), Schmidhuber
小学数学深度学习的有效策略
小学数学深度学习的有效策略一、培养学生的数学兴趣二、建立扎实的数学基础深度学习数学的第一步是建立扎实的数学基础。
小学数学是学生数学学习的基础阶段，学生需要建立起对数学基本概念和基本运算的掌握能力。
家长和老师应该注重帮助学生夯实数学基础，包括加减乘除、数学逻辑、几何图形等方面的基本知识。
只有建立起扎实的数学基础，学生才能有能力进行深度学习。
三、启发学生的数学思维在建立扎实的数学基础之后，家长和老师应该注重启发学生的数学思维能力。
数学思维是指学生在解决数学问题时所采用的思维方式和方法。
培养学生的数学思维能力，有助于他们更好地理解数学概念，能够灵活应用数学知识解决问题。
家长和老师可以通过引导学生进行数学探究和解决实际问题的方式，启发他们的数学思维，培养他们的数学逻辑和推理能力。
四、注重巩固和拓展在学生建立了扎实的数学基础，培养了良好的数学思维能力之后，家长和老师也要注重巩固和拓展学生的数学知识。
巩固是指帮助学生不断地复习和巩固已学过的数学知识，确保其不会遗忘。
拓展是指在学生掌握了基本数学知识的基础上，引导他们进一步拓展数学知识，培养他们的数学兴趣。
通过不断的巩固和拓展，学生的数学学习能力将得到有效地提升。
五、注重实际问题的应用在小学数学深度学习的过程中，家长和老师应该注重培养学生的数学兴趣，建立扎实的数学基础，启发学生的数学思维能力，注重巩固和拓展学生的数学知识，以及注重数学知识在实际问题中的应用。
只有全面地考虑这些方面，才能帮助学生更好地深度学习数学，掌握扎实的数学知识，提升数学学习能力。
希望家长和教育工作者能够根据上述策略，积极引导学生进行深度数学学习，让他们在数学学习中取得更好的成绩。
深度学习的数学基础
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2.1线性代数
第二章 深度学习的数学基础
2.1.1向量空间
给定一个非空集合是������和数域集合������，在������中定义了加法运算 +，在������与������之间定义了数乘运算∙，������, ������, ������ ∈ ������, ������, ������ ∈ ������ ，如 果该加法运算+和数乘运算∙同时满足下面所有规则，则称������ 是������ 上的向量空间或线性空间。 （1）规则1：若������, ������ ∈ ������ ，则������ + ������ ∈ ������ （2）规则2：若������, ������ ∈ ������ ，则������ + ������ = ������ + ������ （3）规则3：若������, ������, ������ ∈ ������ ，则(������ + ������) + ������ = ������ + (������ + ������) （4）规则4：存在零元素0 ∈ ������对 都有0 + ������ = ������ （5）规则5：对任意向量������ ∈ ������都存在负元素−������ ∈ ������使得 ������ + (−������) = 0
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2.1线性代数
第二章 深度学习的数学基础
2.1.1向量空间
（6）规则6：若������ ∈ ������, ������ ∈ ������ ，则������ ∙ ������ ∈ ������, （7）规则7：若������, ������ ∈ ������, ������ ∈ ������ ，则 ������ ∙ ������ + ������ = ������ ∙ ������ + ������ ∙ ������ （8）规则8：若������ ∈ ������, ������, ������ ∈ ������ ，则 ������ + ������ ∙ ������ = ������ ∙ ������ + ������ ∙ ������ （9）规则9：若������ ∈ ������, ������, ������ ∈ ������ ，则������ ∙ ������ ∙ ������ = (������������) ∙ ������ （10）规则10：若������ ∈ ������ ，则存在一个单位元素1 ∈ ������使得 1 ∙ ������ = ������
深度学习的数学基础
L1 范数：
∑n |x|1 = |xi|.
i=1
(2.4)
L2 范数：
∥x∥2 =
∑n
√
x2i = xT x.
i=1
(2.5)
常见的向量
全 1 向量指所有值为 1 的向量。用 1¯n 表示，n 表示向量的维数。1¯K = [1, · · · , 1]⊤K×1 是 K 维的全 1 向量。
one-hot 向量表示一个 n 维向量，其中只有一维为 1，其余元素都为 0。在 数字电路中，one-hot 是一种状态编码，指对任意给定的状态，状态寄存器中只 有 l 位为 1，其余位都为 0。
邱锡鹏：《神经网络与深度学习》
7
https://nndl.github.io/
8
第二章 数学基础
约束优化问题（Constrained Optimization）中变量 x 需要满足一些等式或 不等式的约束，可写为
min
f (x)
x
subject to
ci(x) = 0, i = 1, . . . , m cj(x) ≤ 0, j = 1, . . . , n
离散优化问题的求解一般都是比较困难，优化算法的复杂度都比较高。
连续优化问题 连续优化（Continuous Optimization）问题是目标函数的输入 变量为连续变量 x ∈ Rd，即目标函数为实函数。
本节后面的内容主要以连续优化为主。
无约束优化和约束优化
在连续优化问题中，根据是否有变量的约束条件，可以将优化问题分为无 约束优化问题和约束优化问题。
2.1.2 矩阵
一个大小为 m × n 的矩阵（Matrix）是一个由 m 行 n 列元素排列成的矩形 阵列。矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。这里，矩阵我们一般默认指 数字矩阵。
深度学习之数学基础（数值计算）
深度学习之数学基础（数值计算）信息论是应⽤数学的⼀个分⽀，主要研究的是对⼀个信号能够提供信息的多少进⾏量化。
如果说概率使我们能够做出不确定性的陈述以及在不确定性存在的情况下进⾏推理，那信息论就是使我们能够量化概率分布中不确定性的总量。
1948年，⾹农引⼊信息熵，将其定义为离散随机事件的出现概率。
⼀个系统越是有序，信息熵就越低；反之，⼀个系统越是混乱，信息熵就越⾼。
所以说，信息熵可以被认为是系统有序化程度的⼀个度量。
4-1、熵如果⼀个随机变量X的可能取值为，其概率分布为，则随机变量X的熵定义为H(X)：4-2、联合熵两个随机变量X和Y的联合分布可以形成联合熵，定义为联合⾃信息的数学期望，它是⼆维随机变量XY的不确定性的度量，⽤H(X,Y)表⽰：4-3、条件熵在随机变量X发⽣的前提下，随机变量Y发⽣新带来的熵，定义为Y的条件熵，⽤H(Y|X)表⽰：条件熵⽤来衡量在已知随机变量X的条件下，随机变量Y的不确定性。
实际上，熵、联合熵和条件熵之间存在以下关系：推导过程如下：其中：第⼆⾏推到第三⾏的依据是边缘分布P(x)等于联合分布P(x,y)的和；第三⾏推到第四⾏的依据是把公因⼦logP(x)乘进去，然后把x,y写在⼀起；第四⾏推到第五⾏的依据是：因为两个sigma都有P(x,y)，故提取公因⼦P(x,y)放到外边，然后把⾥边的-（log P(x,y) - log P(x)）写成- log (P(x,y) / P(x) ) ；第五⾏推到第六⾏的依据是：P(x,y) = P(x) * P(y|x)，故P(x,y) / P(x) = P(y|x)。
4-4、相对熵相对熵⼜称互熵、交叉熵、KL散度、信息增益，是描述两个概率分布P和Q差异的⼀种⽅法，记为D(P||Q)。
在信息论中，D(P||Q)表⽰当⽤概率分布Q来拟合真实分布P时，产⽣的信息损耗，其中P表⽰真实分布，Q表⽰P的拟合分布。
对于⼀个离散随机变量的两个概率分布P和Q来说，它们的相对熵定义为：注意：D(P||Q) ≠ D(Q||P)4-5、互信息两个随机变量X，Y的互信息定义为X，Y的联合分布和各⾃独⽴分布乘积的相对熵称为互信息，⽤I(X,Y)表⽰。
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2.1.1向量空间
点空间中的每一个点与向量就建立了一一映射。因为向量与
点之间的这种一一映射关系，可以把向量转化成几何空间中
实在的点，利用点空间的方法来处理向量，这样处理就更加
直观；或者把点空间的概念和方法推P 广 到p1,向p2量T 中，例如：借
助几何中点空间的思路，我们把点空间的概念推广到向量中，
s
r
p bj p ai bj log p ai bj
j1
i1
sr
p ai bj log p ai bj j1 i1
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全国高校标准教材《云计算》姊妹篇，剖析大数据核心技术和实战应用
第二章 深度学习的数学基础
2.1 线性代数 2.2 概率与统计 2.3 多元微积分
n
Px
i
Pi
i1 i1
i1
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2.2概率统计
2.2.2贝叶斯理论
第二章 深度学习的数学基础
P
P X x,i P X x i Pi
P X x i Pi
Px i Pi
X x i
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第二章 深度学习的数学基础
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2.1线性代数
2.1.1向量空间
第二章 深度学习的数学基础
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2.1线性代数
2.1.1向量空间
第二章 深度学习的数学基础
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2.1线性代数
2.1.2矩阵分析
第二章 深度学习的数学基础
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11 of 44
2.2概率统计
2.2.1概率与条件概率
第二章 深度学习的数学基础
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2.2概率统计
2.2.1概率与条件概率
第二章 深度学习的数学基础
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2.2概率统计
2.2.2贝叶斯理论
第二章 深度学习的数学基础
P
X
x
P
n
xi
n
P xi
x x0 , y0
xz x0 x
f x0 x, y0 f x0 , y0
x0
x
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2.3多元微积分
2.3.2梯度和海森矩阵
第二章 深度学习的数学基础
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2.3多元微积分
2.3.2梯度和海森矩阵
第二章 深度学习的数学基础
2 f x x12 2 f x
2.3多元微积分
2.3.3最速下降法
第二章 深度学习的数学基础
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2.3多元微积分
2.3.3最速下降法
最速下降算法的流程图
初始化参数
计算梯度▽f(x)
判断算法 是否结束
是
否 计算步长dk
计算下一个迭代点xk+1
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第二章 深度学习的数学基础
判断▽f(x) 是否等0
是
输出解
高级大数据人才培养丛书之一，大数据挖掘技术与应用
深度学习 BIG DATA
刘 鹏 张 燕 总主编 刘鹏 主编
赵海峰 副主编
全国高校标准教材《云计算》姊妹篇，剖析大数据核心技术和实战应用
第二章 深度学习的数学基础
2.1 线性代数 2.2 概率与统计 2.3 多元微积分
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2.1线性代数
第二章 深度学习的数学基础
P X x
PX x
n
P X x i Pi
n
Px i Pi
i1
i1
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2.2概率统计
2.2.2贝叶斯理论
第二章 深度学习的数学基础
x
h x, m x
f x
f x d
否
结束
2.3多元微积分
2.3.3最速下降法
第二章 深度学习的数学基础
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2.3多元微积分
2.3.4随机梯度下降算法
第二章 深度学习的数学基础
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2.3多元微积分
2.3.4随机梯度下降算法
随机梯度下降算法的的流程图
初始化
第二章 深度学习的数学基础
判断算法 是否结束
是
否 生成随机数r
2.2概率统计
2.2.2信息论基础
第二章 深度学习的数学基础
rs
H XY p ai,bj log p ai,bj i1 j1
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2.2概率统计
2.2.2信息论基础
第二章 深度学习的数学基础
s
H X Y p bj H X Y bj j1
y x
lim
x0
y f x0x f x0
x
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2.3多元微积分
2.3.1导数和偏导数
常见函数的导数 序号
1
0
2
3
4
序号 5 6 7 8
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第二章 深度学习的数学基础
2.3多元微积分
2.3.1导数和偏导数
第二章 深度学习的数学基础
lim lim z
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2.3多元微积分
2.3.1导数和偏导数
第二章 深度学习的数学基础
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2.3多元微积分
2.3.1导数和偏导数
第二章 深度学习的数学基础
P
P
P
Px00
x0+x
x0+x
x0+x
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2.3多元微积分
2.3.1导数和偏导数
第二章 深度学习的数学基础
lim
x0
判断▽f(wk) 是否等0
是 否
输出解
计算梯度▽fr(wk) 计算步长dk
结束
计算下一个迭代点wk+1 34 of 44
2.3多元微积分
2.3.4随机梯度下降算法
第二章 深度学习的数学基础
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习题：
1．请验证V = {0}和V = Rn是向量空间。 2．请证明V ={ λ =( 1, x2, x3,.., xi ,.., xn ) , xi ∈R} 是向量空间。 3．证明：定义域在D上的所有实函数在通常的函数加法和数乘运算下对实数域形成 向量空间。 4．请验证实数域中m × n阶矩阵的集合关于矩阵加法形成线性空间。 5．根据经验，某型机械设备能用10 年的概率是0.85，正常工作能超过15 年事件的 概率是0.6。现今有一该型设备已经用了10 年，请问其能再工作5 年的概率是多少？ 6．从一副新扑克牌中随意抽取一张，若已知某次抽取的牌是红心，求这张牌是红 心4 的概率是多少？ 7．假设一信源只发送26 个英文字母，并且每个字母都是等概率地发送，则求每个 发送符号包含的信息量和信源的信息熵。 8．大数据、云计算、人工智能之间有什么关系？ 9．现有一黑箱，其中有红球10 个，绿球20，蓝球40 个。每一次取出一个球，若 取出是红球，则通过电报发送字母R；若取出是绿球，则用电报发送字母G；若取出 的球是蓝球，则用电报发送字母B；请计算发送R、G、B 的信息量和该电文的熵。
2.1线性代数
2.1.2矩阵分析
第二章 深度学习的数学基础
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全国高校标准教材《云计算》姊妹篇，剖析大数据核心技术和实战应用
第二章 深度学习的数学基础
2.1 线性代数 2.2 概率与统计 2.3 多元微积分
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2.2概率统计
2.2.1概率与条件概率
第二章 深度学习的数学基础
就形成向量空间。
OP
Y轴
O 0, 0 X 轴
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2.1线性代数
第二章 深度学习的数学基础
2.1.1向量空间
直观上，空间是一个几何的概念，但本质上，空间是由数据 的运算规则确定的。数学上，空间不仅意味着定义了集合、 集合成员、集合元素的运算及其运算规律；并且所有集合元 素（即运算对象）按照这些运算规律运算后，运算结果仍然 属于这个集合，即运算具有封闭性。空间就是由某些运算规 则规定下形成的封闭集合，集合中的元素无论如何运算，结 果仍然在该集合中。直观地看，就像密闭箱中的气体分子， 无论如何运动都超不出箱体的范围。
m x h x, d f x d
h x, f x
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2.2概率统计
2.2.2贝叶斯理论
第二章 深度学习的数学基础
ˆ E
x
x
h x, d f x d
深度学习世界
微信号：dl-world
云创大数据订阅号
微信号：cStor_cn
云创大数据服务号
微信号：cstorfw
高校大数据与人工智能
微信号：data_AI
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d mx
f x d
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2.2概率统计
2.2.2信息论基础
第二章 深度学习的数学基础
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2.2概率统计
2.2.2信息论基础
第二章 深度学习的数学基础
r
H X p ai log2 p ai i1 19 of 44