高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》复习1 精品导学案 苏教版选修1-1
江苏省响水中学高中数学苏教版选修1-1导学案：第2章《圆锥曲线与方程》圆锥曲线(2)
学习目标： 1、娴熟掌握圆锥曲线的定义
2、运用圆锥曲线的定义求圆锥曲线的方程
课前预习：
1、设动点P( x, y) 知足条件错误 ! 未找到引用源。
+错误 !未找到引用源。
=a( a>2), 证明 :动点 P 的轨迹是椭圆.
2、若点 A 是定直线l 外的必定点 , 则过点 A 且与直线l 相切的圆的圆心 C 的
轨迹是.
3、已知动圆M 与圆 C:( x+2) 2+y2 =2 相内切 , 且过点 A( 2, 0), 求动圆圆心M 的轨迹 .
1、已知ABC中，B( 3,0), C (3,0), AB, BC , AC成等差数列
（1）求证：点 A 在一个椭圆上运动
（2）写出这个椭圆的焦点坐标
3、曲线上的点到两个定点F1(-5,0)、 F2(5,0)的距离之差的绝对值分别等于
① 6 ②10 ③ 12 是什么样曲线？若不存在，请说明原因
4、已知定点F 和定直线 l， F 不在直线 l 上，动圆 M 过 F 且与直线 l 相切，求证：
圆心 M 的轨迹是一条抛物线。
变题：已知定点 F 和定圆 C， F在圆 C外，动圆M 过 F且与圆 C 相切，
研究动圆的圆心M 的轨迹是何曲线。
高中数学 2.5圆锥曲线与方程教案 苏教版选修1-1
圆锥曲线方程及性质一．课标要求：1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。
二．命题走向本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。
圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。
对于本讲内容来讲，预测07年：（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。
三．要点精讲1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。
椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222c a b =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b+=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》圆锥曲线的共同性质导学案1 苏教版选修1-1
江苏省响水中学高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》圆锥曲线的共同性质导学案1 苏教版选修1-1学习目标：1. 掌握椭圆、双曲线的第二定义以及准线的概念2. 类比抛物线的定义引出椭圆和双曲线的第二定义，借助几何画板 等多媒体手段探究出轨迹的形成，进一步推导出椭圆和双曲线的 方程。
3.培养学生类比推理的能力,探究能力，激发学习兴趣。
教学重点：圆锥曲线的统一定义的形成教学难点：圆锥曲线方程的推导课前预习：1.抛物线的定义：2.思考:1≠d PF 呢3.圆锥曲线的统一定义:平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是 (2)当 e >1 时, 点的轨迹是(3)当 e = 1 时, 点的轨迹是其中常数e 叫做圆锥曲线的离心率,定点F 叫做圆锥曲线的焦点,定直线l 就是该圆锥曲线的准线. 4. (1) 上述定义中只给出了一个焦点，一条准线，还有另一焦点，是否还有另一准线？ (2) 另一焦点的坐标和准线的方程是什么？课堂探究：1.已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2:=的距离的比是常数 c a (a>c>0),求P 的轨迹.变题:已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2:= 的距离的比是常数 c a (c>a>0),求P 点的轨迹.２.求下列曲线的焦点坐标与准线方程:22(1) 1259x y += 22(2) 416x y += 22(3) 1259x y -=22(4) 416y x-=2(5) 16y x=2(6) 16x y=-课堂检测：1.椭圆22|348|(2)(2)25x yx y++-+-=的离心率为2、椭圆长轴长为10,短轴长为8,则椭圆上点到椭圆中心距离的取值范围是3、P是椭圆22143x y+=上点,F1、F2是两焦点,则PF1·PF2的最大值是。
高中数学 圆锥曲线与方程期末复习(第2课时)教案 苏教版选修1-1
江苏省射阳县盘湾中学高中数学圆锥曲线与方程期末复习（第2课时）教案苏教版选修1-1教学目标：会求曲线的轨迹方程；能根据方程求曲线的交点，能判断直线与曲线的位置关系，会求弦长；能处理相关综合问题。
教学重点：曲线方程、曲线的交点教学过程：一、基础训练：1、已知B、C是两个定点，BC=4，且△ABC的周长为10，则顶点A的轨迹方程为______________________________2、P是双曲线2x4-y2=1 上任意一点，O为原点，则OP线段中点Q的轨迹方程是________________________________3、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为__________4、已知定点Q（7，2），抛物线y2=2x上的动点P到焦点的距离为d，则d+PQ的最小值为__________________________5、若抛物线xy82=被过焦点，且倾斜角为135的直线所截，则截得的线段的中点坐标为________________________6、过点P（1，1）且与双曲线22yx14-=只有一个交点的直线有__________条。
7、抛物线2y x=-上的点到直线4380x y+-=距离的最小值是_______________8、若抛物线y2=2px (p<0)上横坐标为－6的点到焦点的距离是10, 则焦点到准线的是__________________________9、已知F1、F2是椭圆C：22x y84+=1的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为_______________10、椭圆13422=+yx上有n个不同的点: P1, P2, …,Pn, 椭圆的右焦点为F. 数列｛|PnF|｝是公差大于1001的等差数列, 则n 的最大值是______________________二、例题讲解：例1、设过点P(x,y)的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2=，且1=⋅，求P 点的轨迹方程。
苏教版数学高二-高中数学苏教版选修1-1教学案 第二章《圆锥曲线与方程》复习
第13课时本章复习教学过程一、知识网络圆锥曲线二、数学运用【例1】如图,已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其右准线l与x轴的交点为T,过椭圆的上顶点A作椭圆的右准线l的垂线,垂足为D,四边形AF1F2D为平行四边形.(例1)(1)求椭圆的离心率;(2)若B是直线l上一动点,且△ABF2外接圆面积的最小值是4π,求椭圆的方程.[1](见学生用书P40)[处理建议](1)首先让学生独立思考,若学生解决有困难,可通过问题“‘四边形AF1F2D为平行四边形’的等价条件是什么”,引导学生得到基本量的关系式,从而将问题解决;(2)通过分析“圆的面积最小就是外接圆的半径最小,即外接圆的圆心到A或F2的距离最小”,引导学生确定外接圆的圆心的位置,再引导学生思考“B在直线l上如何使用”,从而将问题解决.[规范板书]解(1)依题意有AD=F1F2,即=2c,所以离心率e=.(2)由题可知圆心M在直线y=x上,设圆心M的坐标为(n,n).因为圆过准线上一点B,则圆与准线l有公共点,设圆心M(n,n)到准线的距离为d,则MF2≥d,即≥|n-2c|,解得n≤-3c或n≥c.又r2=(n-c)2+n2=2+∈[c2,+∞),由题可知(πr2)min=c2π=4π,则c2=4,解得c=2,所以b=2,a2=b2+c2=8,所以所求椭圆的方程为+=1.[题后反思]本题要求椭圆的标准方程,本质就是根据条件求出基本量a,b,c.而由(1)可知椭圆的离心率,即的值,且有a 2=b2+c2,这样三个未知数两个方程,就可用c表示出a,b,再根据最值确定c的值.变式已知F 1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点.若椭圆C上的点A到F1,F2两点的距离之和等于4,求椭圆C的方程和焦点坐标.(2)设K是(1)中所得椭圆上一动点,求线段F2K的中点所在曲线的方程.(见学生用书P40)[规范板书]解由题意可知a=2,且+=1,解得b2=3,所以c==1,所以椭圆C的方程为+=1,焦点坐标为(±1,0).(2)由(1)可知F2(1,0),设线段F2K的中点的坐标为(x,y),则K(2x-1,2y).因为K(2x-1,2y)在+=1上,所以+=1,即+=1,这就是所求线段F2K的中点的轨迹方程.【例2】(教材第60页复习题第6题改编)已知曲线C的方程为x2sinα+y2cosα=1,若α∈[0,π),试判断曲线C的形状.[2](见学生用书P40) [处理建议]以问题“根据方程如何判断曲线的形状”为导引,让学生思考,再通过师生共同讨论,进行点评或纠正.[规范板书]解①当α=0时,方程为y=±1,所以曲线C表示两条互相平行的直线;②当0<α<时,>>0,所以曲线C为焦点在x轴上的椭圆;③当α=时,==,所以曲线C为圆;④当<α<时,0<<,所以曲线C为焦点在y轴上的椭圆;⑤当α=时,方程为x=±1,所以曲线C表示两条互相平行的直线;⑥当<α<π时,>0,<0,所以曲线C为焦点在x轴上的双曲线.[题后反思](1)本题是利用方程判断对称中心在坐标原点的曲线的形状,一般方法是什么?(2)分类讨论是高中数学重要的思想方法,也是我们必须掌握的,高考肯定考查的.变式若曲线+=1表示离心率为的椭圆,则k的值是或36.(见学生用书P40)提示由离心率e=可知,=,所以=,因此,当k<9时,a2=9,b2=k,所以=,解得k=;当k>9时,a2=k,b2=9,所以=,解得k=36.【例3】已知椭圆+=1,直线l过点M(2,2)与椭圆相交于A,B两点,且线段AB以M为中点,求直线l的方程.(见学生用书P40)[规范板书]解法一设A(x,y),则由题意可知B(4-x,4-y),所以两式相减得9x+16y-50=0.由A,B关于点M(2,2)对称可知点B的坐标也满足此方程,所以直线l的方程为9x+16y-50=0.解法二设A(x1,y1),B(x2,y2).依题意知直线l的斜率一定存在,所以可设直线l的方程为y-2=k(x-2),即y=kx+(2-2k).由消去y并整理得(9+16k2)x2+64k(1-k)x+16[4(1-k)2-9]=0,所以由根与系数的关系可知x1+x2==4,解得k=-,所以直线l的方程为y-2=-(x-2),即9x+16y-50=0.解法三设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得9(x1+x2)(x1-x2)=-16(y1+y2)(y1-y2).由条件可知x1+x2=y1+y2=4,所以直线l的斜率k==-,所以直线l的方程为y-2=-(x-2),即9x+16y-50=0.[题后反思]以上的三种解法中解法一、解法二仅能用来解决圆锥曲线被直线所截得的弦的中点问题,解法三是解决直线和圆锥曲线交点问题的一般方法.变式已知中心在坐标原点,一个焦点为F(0,5)的椭圆被直线l:y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为,求该椭圆的方程.(见学生用书P40) [规范板书]解法一由题意可知c=5,且椭圆的焦点在y轴上,所以可设椭圆的方程为+=1.把直线y=3x-2代入方程整理得10(b2+5)x2-12b2x-b2(b2+46)=0,所以x1+x2==1,解得b2=25,所以所求椭圆的方程为+=1.解法二设直线l与椭圆的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意可知,椭圆被直线截得的弦的中点的坐标为,并可设椭圆的方程为+=1(a>b>0).由两式相减得a2(x1+x2)(x1-x2)=-b2(y1+y2)(y1-y2).由条件可知x1+x2=1,y1+y2=-1,直线l的斜率k==3,所以a2=3b2.又a2-b2=c2=50,解得a2=75,b2=25,所以所求椭圆的方程为+=1.解法三由题意可知,椭圆被直线截得的弦的中点的坐标为,并可设椭圆的方程为+=1(a>b>0).因此可设直线l与椭圆的两个交点为(x,y),(1-x,-1-y),则两式相减得-b2(2y+1)+a2(2x-1)=0,即2a2x-2b2y-(a2+b2)=0,与直线3x-y-2=0是同一直线,所以==,所以a2=3b2.又a2-b2=c2=50,解得a2=75,b2=25,所以所求椭圆的方程为+=1.(例4)*【例4】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1),N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2>0.(1)设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹方程;(2)设x1=2,x2=,求点T的坐标;(3)设t=9,求证:直线MN必过定点D(1,0).[3][处理建议]问题(1)和(2)由学生自主完成;问题(3),引导学生理解直线MN必过定点D(1,0)的本质是M,N,D三点共线,从而引导学生通过联立方程组求出M,N的坐标,进而将问题解决.[规范板书]解(1)设P(x,y),由条件知A(-3,0),B(3,0),F(2,0).由PF2-PB2=4,得[(x-2)2+y2]-[(x-3)2+y2]=4,即2x-9=0,这就是点P的轨迹方程.(2)在+=1中,令x=2得y=±,因为y1>0,所以M;令x=得y=±,因为y2>0,所以N,所以直线AT的方程为y=(x+3),即y=x+1,直线BT的方程为y=-(x-3),即y=-x+.由解得所以点T的坐标为.(3)由题设知直线AT的方程为y=(x+3),直线BT的方程为y=(x-3).由得x1=-,y1=,所以M.由得x2=,y2=-,所以N.若x 1=x2,即-=,由m>0得m=2,且-==1,即M,N都在x=1上,此时直线MN经过定点(1,0).若x1≠x2,则直线MD的斜率k MD==,直线ND的斜率k ND==,得k MD=k ND,所以直线MN过D(1,0).[题后反思]本题通过曲线的方程求曲线的交点坐标,进而解决与点的坐标有关的问题.(变式)变式如图,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的直线交椭圆+=1于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连结AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.(1)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;(2)对任意k>0,求证:PA⊥PB.[规范板书]解(1)当k=2时,直线AP的方程是y=2x.由消去y整理得x=±,因此P,A,于是C,故直线AB的方程为y=x-,即x-y-=0,所以点P到直线AB的距离d==.(2)直线AP的方程为y=kx,由得P,A,故C,所以直线AB的方程为y=.由消去y整理得(k2+2)x2--=0,即x+=0,所以B+,,k PB===-,所以k PA·k PB=-1,所以PA⊥PB.三、补充练习1.椭圆+=1的焦距为4.提示c==2.2.与圆(x-2)2+y2=4和圆(x+2)2+y2=1都外切的动圆的圆心P的轨迹方程为4x2-=1(x<0).提示设动圆的半径为r,则PC1=2+r,PC2=1+r,所以PC1-PC2=1.由双曲线的定义可知点P的轨迹是以C1,C2为两个焦点,实轴长为1的双曲线的左支.3.若方程+=1表示的曲线为双曲线,则实数k的取值范围是(-4,0).提示k(k+4)<0⇒k∈(-4,0).4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,不与x轴垂直的直线与抛物线有两个不同的交点A,B.若线段AB的垂直平分线恒过点(6,0),且AF+BF=8,则此抛物线的方程为y2=8x.提示设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1++x2+=8,即x1+x2=8-p.又因为QA=QB,则(x1-6)2+=(x2-6)2+,即(x1-6)2+2px1=(x2-6)2+2px2,所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.因为x1≠x2,所以x1+x2=12-2p.由12-2p=8-p,得p=4,故抛物线的方程为y2=8x.四、课堂小结1.对本章的知识要有系统的、全面的认识.2.巩固圆锥曲线的标准方程及其特点,圆锥曲线的性质.。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程章末复习学案 苏教版选修1-1-苏教版高二选修1-1数学学案
第2章 圆锥曲线与方程章末复习学习目标 1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹标准方程 x 2a 2＋y 2b2＝1或y 2a 2＋x2b 2＝1(a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x2b2＝1(a >0，b >0)y 2＝2px 或y 2＝－2px 或x 2＝2py 或x 2＝－2py (p >0)关系式a 2－b 2＝c 2 a 2＋b 2＝c 2图形 封闭图形无限延展，但有渐近线y＝±b a x 或y ＝±a bx无限延展，没有渐近线变量范围|x |≤a ，|y |≤b 或|y |≤a ，|x |≤b|x |≥a 或|y |≥ax ≥0或x ≤0或y ≥0或y ≤0对称性对称中心为原点无对称中心 两条对称轴一条对称轴 顶点 四个两个一个离心率 e ＝ca ，且0<e <1 e ＝ca ，且e >1 e ＝1决定形状的因素e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小2.求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n ).(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. 3.离心率(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法.(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法.(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观. 4.焦点三角形 (1)椭圆的焦点三角形设P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点(不在x 轴上)，F 1，F 2为焦点且∠F 1PF 2＝α，则△PF 1F 2为焦点三角形(如图).①焦点三角形的面积为S ＝b 2tan α2.②焦点三角形的周长为L ＝2a ＋2c . (2)双曲线的焦点三角形焦点三角形的面积为S ＝b 2tanα2.5.直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，主要是直线与椭圆的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求定值、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，利用“设而不求法”以及“点差法”等.1.椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为32.( √ ) 2.抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( × ) 3.若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则它的长半轴长为2.( × ) 4.双曲线x 210－t －y 22＋t ＝1(－2<t <10)的焦距为4 3.( √ )类型一 圆锥曲线的定义及应用例1 设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的左、右两个焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________. 考点 圆锥曲线的定义 题点 圆锥曲线定义的运用 答案2解析 由椭圆C 1与双曲线C 2的标准方程可知， 两曲线的焦点相同.不妨设P 点在双曲线C 2的右支上. 由椭圆和双曲线的定义，可得⎩⎨⎧PF 1＋PF 2＝26，PF 1－PF 2＝23，解得⎩⎨⎧PF 1＝6＋3，PF 2＝6－3，又F 1F 2＝26－2＝4，由余弦定理得cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222·PF 1·PF 2＝(6＋3)2＋(6－3)2－162(6＋3)(6－3)＝13，∴sin∠F 1PF 2＝1－cos 2∠F 1PF 2＝223，∴12PF F S ∆＝12PF 1·PF 2·sin∠F 1PF 2＝ 2.反思与感悟 涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决.跟踪训练1 已知椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n－y 2＝1(n >0)有相同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，则△F 1PF 2的形状是____________. 考点 圆锥曲线的定义 题点 圆锥曲线定义的运用 答案 直角三角形解析 设P 为双曲线右支上的一点.对椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)，c 2＝m －1，PF 1＋PF 2＝2m ；对双曲线x 2n －y 2＝1，c 2＝n ＋1，PF 1－PF 2＝2n .∴PF 1＝m ＋n ，PF 2＝m －n ，F 1F 22＝(2c )2＝2(m ＋n ).而PF 21＋PF 22＝2(m ＋n )＝(2c )2＝F 1F 22， ∴△F 1PF 2是直角三角形.类型二 圆锥曲线的性质及其应用例2 (1)已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线的斜率为______________.(2)已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则该双曲线的离心率为________. 考点 圆锥曲线的几何性质 题点 圆锥曲线的离心率问题 答案 (1)±22(2) 6 解析 (1)∵a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，∴C 1的离心率为a 2－b 2a .∵双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，∴C 2的离心率为a 2＋b 2a.∵C 1与C 2的离心率之积为32， ∴a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝12，ba＝±22，∴C 2的渐近线的斜率为±22. (2)抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1.又△FAB 为直角三角形，则只有∠AFB ＝90°，如图，则A (－1,2)在双曲线上，代入双曲线方程可得a 2＝15，于是c ＝a 2＋1＝65. 故e ＝c a＝ 6.反思与感悟 有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解.跟踪训练2 已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围为________.考点 圆锥曲线的几何性质 题点 圆锥曲线的离心率问题 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①将y 2＝b 2－b 2a2x 2代入①式，解得x 2＝(2c 2－b 2)a 2c 2＝(3c 2－a 2)a 2c2， 又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.类型三 直线与圆锥曲线的位置关系 命题角度1 有关基本量的计算问题例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的点P 到左、右两焦点F 1，F 2的距离之和为22，离心率为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若y 轴上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，37满足MA ＝MB ，求直线l 的斜率k 的值.考点 直线与椭圆题点 利用直线和椭圆的位置关系求解相关问题 解 (1)由题意知，PF 1＋PF 2＝2a ＝22， 所以a ＝ 2. 又因为e ＝c a ＝22，所以c ＝22×2＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝2－1＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)已知椭圆的右焦点为F 2(1,0)，直线斜率显然存在， 设直线的方程为y ＝k (x －1)，两交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).联立直线与椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1，化简得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝8k 2＋8>0. 所以x 1＋x 2＝4k21＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k2. 所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2.①当k ≠0时，AB 的中垂线方程为 y －－k 1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 因为MA ＝MB ，所以点M 在AB 的中垂线上， 将点M 的坐标代入直线方程，得37＋k 1＋2k 2＝2k1＋2k2， 即23k 2－7k ＋3＝0，解得k ＝3或k ＝36； ②当k ＝0时，AB 的中垂线方程为x ＝0，满足题意. 所以斜率k 的取值为0，3或36. 反思与感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法： (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解. (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围.跟踪训练3 如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B ，且AB →与n ＝(2，－1)共线.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围.考点 直线与椭圆题点 利用直线和椭圆的位置关系求解相关问题 解 (1)因为2c ＝2，所以c ＝1.又AB →＝(－a ，b )，且AB →∥n ，所以2b ＝a ， 所以2b 2＝b 2＋1，所以b 2＝1，a 2＝2. 所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线方程y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1.Δ＝16k 2－8m 2＋8>0，即m 2<2k 2＋1.(*)因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部， 所以OP →·OQ →<0，即x 1x 2＋y 1y 2<0. 又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1.由2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1<0，得m 2<23k 2＋23. 依题意且满足(*)得，m 2<23，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，63. 命题角度2 有关最值问题例4 已知椭圆x 24＋y 23＝1，动直线l 与椭圆交于B ，C 两点.若点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，求△OBC面积的最大值.考点 圆锥曲线的几何性质 题点 圆锥曲线中的最值问题解 直线OB 的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0，设经过点C 且平行于直线OB 的直线l ′的方程为y ＝32x ＋b ，则当l ′与椭圆只有一个公共点时，△OBC 的面积最大.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝32x ＋b ，化为3x 2＋3bx ＋b 2－3＝0，由Δ＝9b 2－12(b 2－3)＝0，解得b ＝±2 3. 当b ＝23时，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32； 当b ＝－23时，C ⎝⎛⎭⎪⎫3，－32. 所以△OBC 面积的最大值为 12×1＋94×||±4313＝ 3. 反思与感悟 圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解.跟踪训练4 设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32.已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆方程. 考点 圆锥曲线的几何性质 题点 圆锥曲线中的最值问题解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M (x ，y )为椭圆上的点，由c a ＝32，得a ＝2b .PM 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝－3⎝⎛⎭⎪⎫y ＋122＋4b 2＋3(－b ≤y ≤b )， 若b <12，则当y ＝－b 时PM 2最大，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－b －322＝7，∴b ＝7－32>12，故矛盾.若b ≥12，当y ＝－12时，4b 2＋3＝7，b 2＝1，a 2＝4，所求方程为x 24＋y 2＝1.1.已知F 1，F 2是椭圆x 2k ＋2＋y 2k ＋1＝1的左、右焦点，弦AB 过F 1，若△ABF 2的周长为8，则椭圆的离心率为________. 考点 圆锥曲线的定义 题点 圆锥曲线定义的运用 答案 12解析 因为△ABF 2的周长为4a ，所以a ＝2，得k ＝2， 所以e ＝c a ＝4－32＝12. 2.设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为________.考点 圆锥曲线的几何性质 题点 圆锥曲线几何性质的运用 答案x 216＋y 212＝1 解析 ∵y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴x 2m 2＋y 2n2＝1的右焦点为(2,0)，∴c ＝2. 又e ＝12＝2m ，∴m ＝4.∵c 2＝m 2－n 2＝4，∴n 2＝12. ∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.3.以抛物线y 2＝4x 的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的标准方程为____________.考点 圆锥曲线的几何性质 题点 圆锥曲线几何性质的运用 答案 x 2－y 23＝1解析 易得抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以双曲线的一个顶点坐标为(1,0).设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则a ＝1.又离心率e ＝c a ＝2，所以c ＝2，从而b 2＝c 2－a 2＝3.所以所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 4.若抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离的和是5，则线段AB 的中点P 到y 轴的距离是________.考点 圆锥曲线的定义题点 圆锥曲线定义的运用答案 2解析 设l 是抛物线的准线，F 为抛物线的焦点，A ，B ，P 在l 上的投影分别为A 1，B 1，P 1. 则由抛物线的定义可知，AA 1＋BB 1＝AF ＋BF ＝5，所以PP 1＝12(AA 1＋BB 1)＝52， 所以点P 到y 轴的距离为d ＝52－12＝2. 5.过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________. 考点 直线与椭圆题点 利用直线和椭圆的位置关系求解相关问题答案 3x ＋4y －13＝0解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0. 又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34. ∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3). 即3x ＋4y －13＝0.在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，“设而不求”思想，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的解决了计算的繁杂、琐碎问题.一、填空题1.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B .若BF 2＝F 1F 2＝2，则该椭圆的方程为____________.考点 圆锥曲线的几何性质题点 圆锥曲线几何性质的运用答案 x 24＋y 23＝1 解析 ∵BF 2＝F 1F 2＝2，∴a ＝2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，∴b ＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 2.已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是____________.考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质答案 y ＝±33x 解析 ∵y 2＝8x 的焦点是(2,0)，∴双曲线x 2a2－y 2＝1的半焦距c ＝2，又虚半轴长b ＝1且a >0，∴a ＝22－12＝3， ∴双曲线的渐近线方程是y ＝±33x . 3.若曲线x 2m ＋4＋y 29＝1的一条准线方程为x ＝10，则m 的值为________. 考点 圆锥曲线的准线题点 准线方程的运用答案 6或86解析 ∵此曲线为焦点在x 轴上的椭圆，∴a 2＝m ＋4，c ＝m ＋4－9＝m －5.而一条准线方程为x ＝10， ∴m ＋4m －5＝10，解得m ＝6或86. 4.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为________.考点 圆锥曲线的几何性质题点 圆锥曲线的离心率问题答案 22解析 不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧2b 2a ＝2，a 2c －c ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2b 2a ＝2， ①b 2c ＝1，② ①÷②得e ＝22. 5.设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的任意一点，又点Q 的坐标为(0，－4)，则PQ 的最大值为________. 考点 圆锥曲线的几何性质题点 圆锥曲线中的最值问题答案 8解析 设P 的坐标为(x ，y )， 则PQ 2＝x 2＋(y ＋4)2＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 216＋(y ＋4)2 ＝－916⎝ ⎛⎭⎪⎫y －6492＋6259(－4≤y ≤4)， 当y ＝4时，PQ 2最大，此时PQ 最大，且PQ 的最大值为 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4216＋(4＋4)2＝8. 6.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为__________.考点 圆锥曲线的几何性质题点 圆锥曲线的离心率问题答案 1＋52解析 不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， 则可令F (c,0)，B (0，b ).直线FB ：bx ＋cy －bc ＝0与渐近线y ＝b a x 垂直，所以－b c ·b a ＝－1，即b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，即e 2－e －1＝0，所以e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去). 7.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，其上一点P (1，m )到焦点的距离为5，则m 的值为________.考点 圆锥曲线的定义题点 圆锥曲线定义的运用答案 ±4解析 由抛物线的定义知，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，所以1＋p2＝5，p ＝8，故抛物线的方程为y 2＝16x .将点P (1，m )代入方程，得m ＝±4. 8.设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若PF 1＝3，则PF 2＝________.考点 圆锥曲线的定义题点 圆锥曲线定义的运用答案 7 解析 双曲线的一条渐近线方程为y ＝32x ， 即b a ＝32，又b 2＝9，∴a ＝2. 由双曲线定义知，|PF 1－PF 2|＝2a ＝4，∴PF 2＝7.9.点P 在椭圆x 2＋y 2m ＝1上，点Q 在直线y ＝x ＋4上，若PQ 的最小值为2，则m ＝________. 考点 圆锥曲线的几何性质题点 圆锥曲线中的最值问题答案 3解析 根据题意，与直线y ＝x ＋4平行且距离为2的直线方程为y ＝x ＋2或y ＝x ＋6(舍去)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x 2＋y 2m ＝1，消去y ，得(m ＋1)x 2＋4x ＋4－m ＝0， 令Δ＝16－4(m ＋1)(4－m )＝0，解得m ＝0或m ＝3，∵m >0，∴m ＝3.10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e .直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设AM →＝eAB →，则该椭圆的离心率e ＝________.考点 圆锥曲线的几何性质题点 圆锥曲线的离心率问题答案 5－12 解析 因为点A ，B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴，y 轴的交点，所以点A ，B 的坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a e ，0，(0，a ). 设点M 的坐标是(x 0，y 0)，由AM →＝eAB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a e (e －1)，y 0＝ea .(*) 因为点M 在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1， 将(*)式代入，得(e －1)2e 2＋e 2a 2b2＝1， 整理得e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍去). 二、解答题11.在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，另一边CD 在x 轴上方，且AB ＝8，BC ＝6，其中A (－4,0)，B (4,0).(1)若A ，B 为椭圆的焦点，且椭圆经过C ，D 两点，求该椭圆的方程；(2)若A ，B 为双曲线的焦点，且双曲线经过C ，D 两点，求双曲线的方程.考点 圆锥曲线的几何性质题点 圆锥曲线几何性质的运用解 (1)∵A ，B 为椭圆的焦点，且椭圆经过C ，D 两点，根据椭圆的定义知，CA ＋CB ＝16＝2a ，∴a ＝8.在椭圆中，b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48，∴椭圆方程为x 264＋y 248＝1. (2)∵A ，B 是双曲线的焦点，且双曲线经过C ，D 两点，根据双曲线的定义知，CA －CB ＝4＝2a ′，∴a ′＝2.在双曲线中，b ′2＝c ′2－a ′2＝16－4＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1. 12.已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点N (－2，1)在椭圆上，线段NF 2与y 轴的交点M 满足NM →＋F 2M →＝0.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆C 上一点，且∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积. 考点 圆锥曲线的定义题点 圆锥曲线定义的运用，焦点三角形解 (1)由已知，点N (－2，1)在椭圆上，∴有2a 2＋1b 2＝1，① 又∵NM →＋F 2M →＝0，M 在y 轴上，∴M 为NF 2的中点， ∴－2＋c ＝0，c ＝ 2.∴a 2－b 2＝2，②由①②解得b 2＝2(b 2＝－1舍去)，∴a 2＝4，故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)设PF 1＝m ，PF 2＝n ，则S △F 1PF 2＝12mn sin π3＝34mn . 由椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝2a ，即m ＋n ＝4.③又由余弦定理得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos π3＝F 1F 22， 即m 2＋n 2－mn ＝(22)2.④由③2－④，得mn ＝83，∴S △F 1PF 2＝233. 13.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点坐标为A (0，3)，离心率e ＝12. (1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相切于点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ，求证：以PQ 为直径的圆过定点N (1，0).考点 直线与椭圆题点 利用直线和椭圆的位置关系求解相关问题(1)解 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝4， ∴所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 联立方程x 24＋y 23＝1与y ＝kx ＋m ，消元得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.∵曲线E 与直线只有一个公共点，∴Δ＝0，化简可得m 2＝4k 2＋3，故m ≠0.设P (x P ，y P )，故x P ＝－8km 2(3＋4k 2)＝－4k m ， y P ＝kx P ＋m ＝3m ，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m . 又由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x ＝4，得Q (4,4k ＋m ).∵N (1,0)，PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4k m ，－3m ，NQ →＝(3,4k ＋m )， ∴PN →·NQ →＝3＋12k m －12k m－3＝0，∴PN →⊥NQ →， ∴以PQ 为直径的圆过定点N (1,0).三、探究与拓展14.已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于A ，B 两点.若AB ∶BF 2∶AF 2＝3∶4∶5，则椭圆C 的离心率为________.考点 圆锥曲线的几何性质题点 圆锥曲线的离心率问题答案 53解析 设AB ＝3t (t ＞0)，则BF 2＝4t ，AF 2＝5t ，则AB ＋BF 2＋AF 2＝12t .因为AB ＋BF 2＋AF 2＝4a ，所以12t ＝4a ，即t ＝13a . 又F 1A ＋AF 2＝2a ，所以F 1A ＝2a －53a ＝13a ，F 1B ＝23a ，BF 2＝43a . 由AB ∶BF 2∶AF 2＝3∶4∶5，知AB ⊥BF 2，故F 1B 2＋BF 22＝4c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2＝4c 2，得59a 2＝c 2. 所以e 2＝c 2a 2＝59，即e ＝53.15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为23，C 为椭圆上位于第一象限内的一点.(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，求a ，b 的值； (2)设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且AB →＝12OC →，求直线AB 的斜率. 考点 直线与椭圆题点 利用直线和椭圆的位置关系求解相关问题解 (1)因为椭圆的离心率为23，所以a 2－b 2a ＝23， 即b 2a 2＝59.① 又因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53在椭圆上，所以4a 2＋259b 2＝1.② 由①②解得a 2＝9，b 2＝5.因为a >b >0，所以a ＝3，b ＝ 5. (2)由①知，b 2a 2＝59， 所以椭圆方程为x 2a 2＋9y 25a2＝1，即5x 2＋9y 2＝5a 2. 设直线OC 的方程为x ＝my (m >0)，B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ，5x 2＋9y 2＝5a 2，得5m 2y 2＋9y 2＝5a 2， 所以y 2＝5a 25m 2＋9. 因为y 2>0，所以y 2＝5a5m 2＋9. 因为AB →＝12OC →，所以AB ∥OC . 可设直线AB 的方程为x ＝my －a .由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my －a ，5x 2＋9y 2＝5a 2，得(5m 2＋9)y 2－10amy ＝0， 所以y ＝0或y ＝10am 5m 2＋9，得y 1＝10am 5m 2＋9. 因为AB →＝12OC →， 所以(x 1＋a ，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，12y 2，于是y 2＝2y 1， 即5a5m 2＋9＝20am 5m 2＋9(m >0)，所以m ＝35. 所以直线AB 的斜率为1m ＝533.。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程疑难规律方法学案 苏教版选修1-1-苏教版高二选修1-1数学学案
第2章 圆锥曲线与方程1 圆锥曲线定义的妙用1.求动点轨迹例 1 一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6x ＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为________________.解析 x 2＋y 2＝1是圆心为原点，半径为1的圆，x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，是圆心为A (3,0)，半径为2的圆.设所求动圆圆心为P ，动圆半径为r ，如图，则 ⎭⎪⎬⎪⎫PO ＝r ＋1，PA ＝r ＋2⇒PA －PO ＝1<AO ＝3，符合双曲线的定义.结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.答案 双曲线的一支2.解三角形例2 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin B sin C＝________. 解析 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝CB ＋CA AB，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知CA ＋CB ＝2a ，而AB ＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e＝3. 答案 33.求离心率例3 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是椭圆C 1，双曲线C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形，则双曲线C 2的离心率是________.解析 由椭圆可知AF 1＋AF 2＝4，F 1F 2＝2 3.因为四边形AF 1BF 2为矩形，所以AF 21＋AF 22＝F 1F 22＝12，所以2AF 1·AF 2＝(AF 1＋AF 2)2－(AF 21＋AF 22)＝16－12＝4，所以(AF 2－AF 1)2＝AF 21＋AF 22－2AF 1·AF 2＝12－4＝8，所以AF 2－AF 1＝2 2.因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3，所以C 2的离心率e ＝c a ＝62. 答案62 例4 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________.解析 由双曲线的定义有PF 1－PF 2＝2a .又∵PF 1＝4PF 2，∴PF 1＝83a ，PF 2＝23a . ∵点P 在双曲线的右支上，∴PF 2≥c －a ，∴2a 3≥c －a ，∴e ＝c a ≤53， 又e >1，∴离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53 4.求最值例5 线段AB ＝4，PA ＋PB ＝6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是________.解析 由于PA ＋PB ＝6>4＝AB ，故由椭圆定义知P 点的轨迹是以M 为中心，A ，B 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝ 5.于是PM 的长度的最小值是b ＝ 5. 答案 5例6 已知F 是双曲线x 23－y 2＝1的右焦点，P 是双曲线右支上一动点，定点M (4,2)，求PM ＋PF 的最小值.解 设双曲线的左焦点为F ′，如图所示，则F ′(－2,0).由双曲线的定义知，PF ′－PF ＝2a ＝23，所以PF ＝PF ′－23， 所以PM ＋PF ＝PM ＋PF ′－23，要使PM ＋PF 取得最小值，只需PM ＋PF ′取得最小值，由图可知，当P ，F ′，M 三点共线时，PM ＋PF ′最小，此时MF ′＝210，故PM ＋PF 的最小值为210－2 3.2 圆锥曲线的离心率问题求与离心率有关的问题的三大模板：模板一：利用公式直接求解，对于椭圆三个基本量a ，b ，c ，它们之间具有关系a 2＝b 2＋c 2；双曲线的三个基本量a ，b ，c ，它们之间具有关系a 2＋b 2＝c 2，知二求一，可求得离心率.此种方法适用于已知椭圆、双曲线方程或相关性质的离心率的求解.模板二：通过构造整体求解，将提供的椭圆、双曲线的几何关系转化为关于基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用a ，b ，c 的关系和e ＝c a构造为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.模板三：利用数形结合求解，利用椭圆、双曲线的性质特征与图形的直观性，发现图形中的相关几何关系，建立关于基本量a ，b ，c 的等量关系或不等量关系，求解离心率的值或范围.例1 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为________.解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点坐标(c,0)到相应准线x ＝a 2c的距离等于实轴长2a ，可得c －a 2c＝2a ，即c 2－2ac －a 2＝0，解得c ＝(1＋2)a 或c ＝(1－2)a (舍去)，即离心率e ＝c a＝1＋ 2.答案 1＋ 2 例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点.若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________.解析 由题意得，A (a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )，F (c,0)，所以B 2F →＝(c ，－b )，AB 1→＝(－a ，－b )，因为B 2F ⊥AB 1，所以B 2F →·AB 1→＝0，即b 2＝ac ，所以c 2＋ac －a 2＝0，e 2＋e －1＝0，又椭圆的离心率e ∈(0,1)，所以e ＝5－12. 答案5－12 例3 已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0).若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为双曲线E 的两个焦点，且2AB ＝3BC ，则双曲线E 的离心率是________.解析 假设点A 在第一象限，点B 在第四象限，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ， 所以AB ＝2b 2a，BC ＝2c . 由2AB ＝3BC ，c 2＝a 2＋b 2，得离心率e ＝2或e ＝－12(舍去)，所以双曲线E 的离心率为2.答案 23巧解直线和椭圆位置关系问题——“设而不求”法的应用在直线和椭圆位置关系问题中，设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用. 当直线和椭圆相交时要切记Δ>0是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分.例 已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，过点A (－a,0)，B (0，b )的直线的倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1,0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程；(3)对于D (－1,0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且DP ＝DQ ，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由.思路点拨解 (1)由ba ＝33，12ab ＝12×32×a 2＋b 2， 得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程是x 23＋y 2＝1. (2)设EF ：x ＝my －1(m >0)，代入x 23＋y 2＝1，得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2).由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2，由y 1＋y 2＝－y 2＝2m m 2＋3， y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m m 2＋32＝1m 2＋3， ∴m ＝1，m ＝－1(舍去)，直线EF 的方程为x ＝y －1，即x －y ＋1＝0.(3)记P (x 1′，y 1′)，Q (x 2′，y 2′).将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2＝1， 得(3k 2＋1)x 2＋12kx ＋9＝0，(*) x 1′，x 2′是此方程的两个相异实根.Δ＝36k 2－36>0，即k 2>1，设PQ 的中点为M ，则x M ＝x 1′＋x 2′2＝－6k 3k 2＋1， y M ＝kx M ＋2＝23k 2＋1. 由DP ＝DQ ，得DM ⊥PQ ，∴k DM ＝y M x M ＋1＝23k 2＋1－6k 3k 2＋1＋1＝－1k ， ∴3k 2－4k ＋1＝0，得k ＝1或k ＝13. 但k ＝1，k ＝13均不能使方程(*)有两相异实根， ∴满足条件的k 不存在.4 解析几何中的定点、定值与最值问题1.定点问题圆锥曲线中定点问题的两种解法：(1)引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.例1 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的顶点A 1，A 2，B 1，B 2，S 四边形A 1B 2A 2B 1＝4，直线y ＝x ＋2与圆O ：x 2＋y 2＝b 2相切.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线A 1P 交y 轴于点F ，直线A 1B 1交B 2P 于点E .若设B 2P 的斜率为k ，探究EF 是否过定点？如果有，求出其定点，如果没有，说明理由.解 (1)因为直线y ＝x ＋2与圆O 相切，所以22＝b ，即b ＝1，又因为S 四边形A 1B 2A 2B 1＝4，所以12×2a ×2b ＝4， 所以a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1， 所以离心率e ＝ca ＝32. (2)由(1)可知A 1(－2,0)，B 1(0，－1)，B 2(0,1)，因为B 2P 的斜率为k ，所以直线B 2P 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0， 其中xB 2＝0，所以x P ＝－8k 1＋4k 2， 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋4k 2，1－4k 21＋4k 2， 则直线A 1P 的斜率kA 1P ＝1－4k21＋4k 2－8k 1＋4k 2＋2＝－2k ＋12(2k －1)， 直线A 1P 的方程为y ＝－2k ＋12(2k －1)(x ＋2)， 令x ＝0，则y ＝－2k ＋12k －1， 即F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2k ＋12k －1， 因为直线A 1B 1的方程为x ＋2y ＋2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋2＝0，y ＝kx ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－42k ＋1，y ＝－2k －12k ＋1，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－42k ＋1，－2k －12k ＋1， 所以EF 的斜率k 0＝－2k ＋12k －1＋2k －12k ＋142k ＋1＝－2k 2k －1， 所以直线EF 的方程为y ＝－2k 2k －1x －2k ＋12k －1， 所以2k (x ＋y ＋1)－(y －1)＝0，所以可求定点为(－2,1)，即直线EF 过定点(－2,1).2.定值问题定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解方法是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题.例2 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A .(1)求该椭圆的标准方程；(2)过点D (2，－2)作直线PQ 交椭圆于两个不同点P ，Q ，求证：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值.(1)解 由题意可知，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦点在x 轴上，2c ＝2，c ＝1， 椭圆的离心率e ＝c a ＝22， 则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，则椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，A (2，0)，由题意得PQ 的方程为y ＝k (x －2)－2， 则⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －2)－2，x 22＋y 2＝1，整理得 (2k 2＋1)x 2－(42k 2＋42k )x ＋4k 2＋8k ＋2＝0，由根与系数的关系可知，x 1＋x 2＝42k 2＋42k 2k 2＋1，x 1x 2＝4k 2＋8k ＋22k 2＋1， 则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－22k －22＝－22－22k 2k 2＋1， 则k AP ＋k AQ ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝y 1x 2＋y 2x 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2， 由y 1x 2＋y 2x 1＝[k (x 1－2)－2]x 2＋[k (x 2－2)－2]x 1＝2kx 1x 2－(2k ＋2)(x 1＋x 2)＝－4k 2k 2＋1， k AP ＋k AQ ＝y 1x 2＋y 2x 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2＝－4k 2k 2＋1－2×－22－22k 2k 2＋14k 2＋8k ＋22k 2＋1－2×42k 2＋42k 2k 2＋1＋2＝1， ∴直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1.3.最值问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值.例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎪⎫－3，12在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为H ，O 为坐标原点，且OH ＝1，求△POQ 面积的最大值.解 (1)由已知得c a ＝32，3a 2＋14b 2＝1， 解得a 2＝4，b 2＝1， 椭圆C 的标准方程是x 24＋y 2＝1. (2)设l 与x 轴的交点为D (n,0)，直线l ：x ＝my ＋n ， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋n ，x 24＋y 2＝1，消去x ，得(4＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－4＝0，y 1,2＝－2mn ±(2mn )2－4(4＋m 2)(n 2－4)2(4＋m 2)， ∴y 1＋y 22＝－mn 4＋m 2，y 1y 2＝n 2－44＋m 2，∴x 1＋x 22＝m (y 1＋y 2)＋2n2＝4n4＋m2， 即H ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n 4＋m 2，－mn 4＋m 2， 由OH ＝1，得n 2＝(4＋m 2)216＋m2，则S △POQ ＝12OD |y 1－y 2|＝12|n ||y 1－y 2|，令n 2(y 1－y 2)2＝n 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] ＝12·16·4＋m2(16＋m 2)2.设t ＝4＋m 2(t ≥4)， 则4＋m 2(16＋m 2)2＝t t 2＋24t ＋144＝1t ＋144t＋24≤148，当且仅当t ＝144t，即t ＝12时，S △POQ ＝1，所以△POQ 面积的最大值为1.5 圆锥曲线中的存在探索型问题探索型问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.反证法与验证法也是求解探索型问题常用的方法. 题型一 给出结论，探索条件例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方).(1)若QF ＝2FP ，求直线l 的方程；(2)设直线AP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2.是否存在常数λ，使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)因为a 2＝4，b 2＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝1， 所以F 的坐标为(1,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋1， 代入椭圆方程，得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0， 则y 1＝－3m ＋61＋m 24＋3m 2，y 2＝－3m －61＋m 24＋3m2. 若QF ＝2PF ，则－3m －61＋m 24＋3m 2＋2×－3m ＋61＋m24＋3m 2＝0， 解得m ＝255，故直线l 的方程为5x －2y －5＝0. (2)由(1)知，y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2，所以my 1y 2＝－9m 4＋3m 2＝32(y 1＋y 2)，所以k 1k 2＝y 1x 1＋2·x 2－2y 2＝y 1(my 2－1)y 2(my 1＋3)＝32(y 1＋y 2)－y 132(y 1＋y 2)＋3y 2＝13， 故存在常数λ＝13，使得k 1＝13k 2.题型二 特殊入手，论证一般例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)内一点A (0,1)的动直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，当l 平行于x 轴和垂直于x 轴时，l 被椭圆C 所截得的线段长均为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在与点A 不同的定点B ，使得对任意过点A 的动直线l 都满足AM AN ＝BMBN？若存在，求出定点B 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)当l 垂直于x 轴时，2b ＝22，从而b ＝ 2. 当l 平行于x 轴时，点(2，1)在椭圆C 上， 所以2a 2＋12＝1，解得a ＝2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设存在与点A 不同的定点B 满足AM AN ＝BMBN.当l 平行于x 轴时，AM ＝AN ， 所以BM ＝BN ，从而点B 在y 轴上，设B (0，t )；当l 垂直于x 轴时，不妨设M (0，2)，N (0，－2).由AM AN ＝BM BN ，可得|2－1||2＋1|＝|t －2||t ＋2|， 解得t ＝1(舍去)或t ＝2，即B (0,2).下面证明对任意斜率存在且不为0的动直线l 都满足AM AN ＝BM BN. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y22＝1，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx －2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－21＋2k2.因为AM AN ＝1＋k 2|x 1|1＋k 2|x 2|＝|x 1||x 2|， BM BN ＝x 21＋(y 1－2)2x 22＋(y 2－2)2＝x 21＋(kx 1－1)2x 22＋(kx 2－1)2＝(1＋k 2)x 21－2kx 1＋1(1＋k 2)x 22－2kx 2＋1， 要证AM AN ＝BMBN，只要证|x 1||x 2|＝(1＋k 2)x 21－2kx 1＋1(1＋k 2)x 22－2kx 2＋1， 只要证x 21[(1＋k 2)x 22－2kx 2＋1]＝x 22[(1＋k 2)x 21－2kx 1＋1]， 即证2kx 21x 2－2kx 22x 1＋x 22－x 21＝0， 即证(x 1－x 2)[2kx 1x 2－(x 1＋x 2)]＝0. 因为2kx 1x 2－(x 1＋x 2)＝2k ·－21＋2k 2－－4k1＋2k2＝0， 所以AM AN ＝BMBN.所以存在与点A 不同的定点B (0,2)，使得对任意过点A 的动直线l 都满足AM AN ＝BMBN. 题型三 同时探索条件和结论，分类讨论例3 如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD→＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.解 (1)由已知，得点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )， 又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，由⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0， 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1， 从而OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝(－2λ－4)k 2＋(－2λ－1)2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3，此时OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－3为定值.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ， 此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD → ＝－2－1＝－3.故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值－3.6 圆锥曲线中的易错点剖析1.忽视定义中的条件而致误例1 平面内一点M 到两定点F 1(0，－4)，F 2(0,4)的距离之和为8，则点M 的轨迹为________. 错解 根据椭圆的定义知，点M 的轨迹为椭圆.正解 因为点M 到两定点F 1，F 2的距离之和为F 1F 2，所以点M 的轨迹是线段F 1F 2. 答案 线段2.忽视标准方程的特征而致误例2 设抛物线y ＝mx 2(m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程. 错解 抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线方程为y ＝－m4.又与直线y ＝1的距离为3的直线为y ＝－2或y ＝4. 故－m 4＝－2或－m4＝4.所以m ＝8或m ＝－16.所以抛物线的标准方程为y ＝8x 2或y ＝－16x 2.正解 方程y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1my ，其准线方程为y ＝－14m .由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－116.则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y . 3.求解抛物线标准方程时，忽略对焦点位置讨论致误例3 抛物线的焦点F 在x 轴上，点A (m ，－3)在抛物线上，且AF ＝5，求抛物线的标准方程. 错解一 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上， 所以抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0). 设点A 到准线的距离为d ，则d ＝AF ＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝2pm ，p2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12.所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .错解二 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上， 所以当m >0时，点A 在第四象限，抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0).设点A 到准线的距离为d ，则d ＝AF ＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝2pm ，p2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12.所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x . 当m <0时，点A 在第三象限， 抛物线方程可设为y 2＝－2px (p >0)，设点A 到准线的距离为d ，则d ＝AF ＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝－2pm ，p2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5＋34，m ＝5－342或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5－34，m ＝5＋342(舍去).所以抛物线方程为y 2＝－2(5＋34)x .综上所述，抛物线方程为y 2＝－2(5＋34)x 或y 2＝2x 或y 2＝18x . 错因分析 当抛物线的焦点位置无法确定时，需分类讨论. 正解 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上，所以当m >0时，点A 在第四象限，抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0)，设点A 到准线的距离为d ， 则d ＝AF ＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝2pm ，p2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12，所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .当m <0时，点A 在第三象限，抛物线的方程可设为y 2＝－2px (p >0)， 设A 到准线的距离为d ，则d ＝AF ＝p2－m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝－2pm ，p2－m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，m ＝－92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝－12.所以抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x .综上所述，抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x 或y 2＝2x 或y 2＝18x .7 圆锥曲线中的数学思想方法1.方程思想方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决.在本章中，方程思想的应用最为广泛.例1 已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1 (a >b >0)相交于A ，B 两点，且a ＝2b ，若AB ＝25，求椭圆的方程. 解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋2，x 24b 2＋y2b 2＝1，消去y 并整理，得x 2－4x ＋8－2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝8－2b 2. ∵AB ＝25，∴1＋14·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25， 即52·16－4(8－2b 2)＝25， 解得b 2＝4，故a 2＝4b 2＝16. ∴所求椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.2.函数思想很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系.这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果.一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法.例2 若点(x ，y )在x 24＋y 2b2＝1 (b >0)上运动，求x 2＋2y 的最大值.解 ∵x 24＋y 2b2＝1(b >0)，∴x 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 2b 2≥0，即－b ≤y ≤b . ∴x 2＋2y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 2b 2＋2y ＝－4y 2b 2＋2y ＋4 ＝－4b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b 242＋4＋b 24.当b 24≤b ，即0<b ≤4时，若y ＝b 24，则x 2＋2y 取得最大值，其最大值为4＋b 24；当b 24>b ，即b >4时，若y ＝b ， 则x 2＋2y 取得最大值，其最大值为2b .综上所述，x 2＋2y 的最大值为⎩⎪⎨⎪⎧4＋b 24，0<b ≤4，2b ，b >4.3.分类讨论思想在本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以必须要注意分类讨论.例3 求与双曲线x 24－y 2＝1有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程.解 由题意可设所求双曲线的方程为x 24－y 2＝λ (λ≠0)，即x 24λ－y 2λ＝1 (λ≠0). 当λ>0时，c 2＝4λ＋λ＝5λ＝25，即λ＝5， ∴所求双曲线的方程为x 220－y 25＝1.当λ<0时，c 2＝(－4λ)＋(－λ)＝－5λ＝25， 即λ＝－5，∴所求双曲线的方程为y 25－x 220＝1.综上所述，所求双曲线的方程为x2 20－y25＝1或y25－x220＝1.。
苏教版数学高二-选修1-1名师导学 第二章 圆锥曲线与方程
第2章圆锥曲线与方程第1课时圆锥曲线教学过程一、问题情境2011年9月29日,中国成功发射了“天宫一号”飞行器,你知道“天宫一号”绕地球运行的轨迹是什么吗?二、数学建构椭圆是物体运动的一种轨迹,物体运动的轨迹有很多,常见的还有直线、圆、抛物线等.一个平面截一个圆锥面,当平面经过圆锥面的顶点时,可得到两条相交直线;当平面与圆锥面的轴垂直时,截得的图形是一个圆.当我们改变平面的位置时,截得的图形也在发生变化.请观察图1.(图1)对于第一种情形,可在截面的两侧分别放置一个球,使它们都与截面相切(切点分别为F1,F2),且与圆锥面相切,两球与圆锥面的公共点分别构成圆O1和圆O2(如图2).(图2)设M是平面与圆锥面的截线上任一点,过点M作圆锥面的一条母线分别交圆O1和圆O2于P,Q 两点,则MP和MF1,MQ和MF2分别是上、下两球的切线.因为过球外一点所作球的切线的长都相等,所以MF1=MP,MF2=MQ,故MF1+MF2=MP+MQ=PQ.因为PQ=VP-VQ,而VP,VQ是常数(分别为两个圆锥的母线的长),所以PQ是一个常数.也就是说,截线上任意一点到两个定点F1,F2的距离的和等于常数.通过分析,给出椭圆的概念:一般地,平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.问题1为什么常数要大于F1F2?解因为动点与F1,F2构成三角形,三角形的两边之和大于第三边,所以MF1+MF2>F1F2.问题2若MF1+MF2=F1F2,动点M的轨迹是什么?解线段F1F2.问题3若MF1+MF2<F1F2,动点M的轨迹是什么?解不存在.双曲线的概念:一般地,平面内到两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线,两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两个焦点的距离叫做双曲线的焦距.说明:(1)常数要小于F1F2.(2)若|MF1-MF2|=F1F2,动点M的轨迹是以F1,F2为端点向外侧的两条射线.(3)若|MF1-MF2|>F1F2,动点M的轨迹不存在.抛物线的概念:一般地,平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.说明:定点F不能在定直线l上,否则所得轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线.椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.三、数学运用【例1】已知定点P(0,3)和定直线l:y+3=0,动圆M过点P且与直线l相切,求证:圆心M的轨迹是一条抛物线.(见学生用书P15) [处理建议]让学生仔细审题,作出图形,再引导学生对照抛物线的定义寻找相等关系,使问题得以解决.[规范板书]证明设圆M的半径为r,点M到直线l的距离为d.∵动圆M过点P且与l相切,∴MP=r,d=r,∴MP=d.而点P不在l上,∴由抛物线的定义知圆心M的轨迹是一条抛物线.(例2)[题后反思]本题要紧扣抛物线的定义,主要注意两点:①到定点的距离等于到定直线的距离;②定点不在定直线上.【例2】(教材第27页习题2.1第3题)如图,圆F1在圆F2的内部,且点F1,F2不重合,求证:与圆F1外切且与圆F2内切的圆的圆心C的轨迹为椭圆.(见学生用书P16) [处理建议]让学生仔细审题,明确需要解决什么问题,再引导学生根据椭圆的定义寻找“到两定点的距离之和为定值”的关系,使问题得以解决.[规范板书]证明设圆F1,F2的半径分别为r1,r2,动圆C的半径为t.依题意有CF1=r1+t,CF2=r2-t,消去t得CF1+CF2=r1+r2(一个大于F1F2的常数),所以动圆圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.[题后反思]要证明某点的运动轨迹,可以先考虑动点是否满足圆锥曲线的定义.本题要紧紧抓住到两定点的距离之和为定值的动点的轨迹是椭圆这一定义.变式1如图,已知动圆C与圆F1,F2均外切(圆F1与圆F2相离),试问:动点C的轨迹是什么曲线?(变式1)[处理建议]从例2的解法中联想思考,寻找动点满足的几何性质是什么.[规范板书]解双曲线的一支.证明如下:设圆F1,F2的半径分别为r1,r2(r1>r2),动圆C的半径为t.依题意有CF1=r1+t,CF2=r2+t,消去t 得CF1-CF2=r1-r2(一个小于F1F2的正数),所以动圆圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的一支.[题后反思]应引导学生学会利用圆锥曲线的定义直接得出轨迹.本题还有其他方式的变式:当两圆相离时,动圆与两圆均内切或与一圆内切与另一圆外切,其动圆圆心的轨迹均为双曲线的一支.变式2(1)动圆与圆C1:x 2+y 2=1和C2:(x-4) 2+y 2=4都外切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.(2)动圆与圆C1:x 2+y 2=1和C2:(x-4) 2+y 2=4都内切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.(3)动圆与圆C1:x 2+y 2=1内切,与圆C2:(x-4) 2+y 2=4外切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.(4)动圆与圆C1:x 2+y 2=1外切,与圆C2:(x-4) 2+y 2=4内切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.*【例3】已知圆F的方程为(x-2) 2+y 2=1,动圆P与圆F外切且和y轴相切.求证:动圆的圆心P 在一条抛物线上运动,并请写出这条抛物线的焦点坐标及准线方程.[处理建议]因为要证明圆心P的轨迹是抛物线,所以可引导学生通过画图找到定点和定直线.[规范板书]证明设圆P的半径为r,它与y轴相切于T,则PF=r+1,PT=r,所以PF=PT+1,作直线l:x=-1,PT的延长线交直线l于A,则PF=PA,故点P到定点F的距离等于它到直线l的距离,所以点P在以F(2,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线上运动.[题后反思]三种圆锥曲线的概念都与距离有关:椭圆和双曲线的概念描述的都是点到点的距离;抛物线的概念描述的是点到点的距离,同时还有点到线的距离.圆与直线相切,能够联想到抛物线的条件.变式点P到定点F(2,0)的距离比它到y轴的距离大1,求点P的轨迹.[处理建议]引导学生考虑本题条件与哪种圆锥曲线的定义一致.[规范板书]解过点P作PT⊥y轴,垂足为T,所以PF=PT+1,作直线l:x=-1,PT的延长线交直线l于A,则PF=PA,故点P到定点F的距离等于它到直线l的距离,所以点P在以F(2,0)为焦点、直线l:x=-1为准线的抛物线上运动.[题后反思]本题依然是属于动点到定点和到定直线的距离,但不相等的问题,关键是将不等关系转化为相等关系,可以培养学生类比推理、归纳猜想、转化等数学思维能力.[2]四、课堂练习1.已知双曲线的两个焦点分别为F1(-3,0)和F2(3,0),则此双曲线的焦距为6.2.已知点A(0,-2),B(2,0),动点M满足|MA-MB|=2a(a为正常数).若点M的轨迹是以A,B为焦点的双曲线,则常数a的取值范围为(0,).提示因为AB=2,由双曲线的定义知0<2a<2,即0<a<.3.若动圆M过点(3,2),且与直线3x-2y-1=0相切,则点M的轨迹是抛物线.4.已知椭圆的两个焦点分别为F1,F2,O为F1F2的中点,P为椭圆上任一动点,取线段PF1的中点Q,求证:动点Q的轨迹也是一个椭圆.证明设PF1+PF2=m(定值),且m>F1F2,则QF1+QO=PF1+PF2=m>F1F2=F1O,所以点Q的轨迹是一个椭圆.五、课堂小结1.圆锥曲线可通过平面截圆锥面得到.当平面经过圆锥面的顶点时,可得到两条相交直线;当平面与圆锥面的轴垂直时,截得的图形是一个圆;当平面平行于圆锥面的轴时,截得的图形是双曲线;当平面平行于圆锥面的母线时,截得的图形是抛物线;当平面既不平行、不垂直于圆锥面的轴也不平行于圆锥面的母线时,截得的图形是椭圆.2.掌握三种圆锥曲线的定义,并注意:椭圆中常数大于两个定点间距离,双曲线中常数小于两个定点间距离.3.会用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹.第2课时椭圆的标准方程(1)教学过程一、问题情境汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆,把一个圆压扁了,也像椭圆,它们究竟是不是椭圆呢?是否是椭圆应该看其是否符合椭圆的基本特征(性质),那么又该如何研究椭圆的性质呢?回忆解析几何研究问题的基本方法,研究椭圆,先建立椭圆的方程.二、数学建构回顾椭圆的概念:一般地,平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.特别地:当MF1+MF2=F1F2时,动点M的轨迹是线段F1F2;当MF1+MF2<F1F2时,动点M的轨迹不存在.构建椭圆方程:设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,它们之间的距离为2c,椭圆上任意一点到F1,F2的距离的和为2a(2a>2c).以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy(如图1),则F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0).(图1)设P(x,y)为椭圆上任意一点,根据椭圆的定义知PF1+PF2=2a,即+=2a.[2]将这个方程移项后两边平方,得(x+c)2+y2=4a2-4a+(x-c)2+y2,即a2-cx=a.两边再平方,得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).因为a2-c2>0,所以可设a2-c2=b2(b>0),于是得b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2,得+=1(a>b>0).由上述过程可知,椭圆上的点的坐标(x,y)都满足上面这个方程,并且满足上面这个方程的点(x,y)都在已知的椭圆上.这样,上面这个方程就是所求椭圆的方程,它的焦点为F1(-c,0),F2(c,0).(图2)问题1如果将椭圆的焦点建立在y轴上,即焦点为F1(0,-c),F2(0,c)(如图2),你能快速得出椭圆的方程吗?解法一两个椭圆关于直线y=x对称,故只需要将方程+=1(a>b>0)中的x,y互换即可得到方程+=1(a>b>0).解法二从定义出发,将+=2a变换为+=2a.可化简得到a2x2+(a2-c2)y2=a2(a2-c2).设a2-c2=b2(b>0),于是得a2x2+b2y2=a2b2,两边同时除以a2b2,得+=1(a>b>0).所以,当焦点在y轴上时,我们可以得到焦点为F1(0,-c),F2(0,c)的椭圆的方程为+=1(a>b>0).以上两种方程都叫做椭圆的标准方程(其中b2=a2-c2).问题2如何判断椭圆标准方程中焦点的位置?解看标准方程形式下x2与y2下方(即分母)哪个大,焦点即在对应的坐标轴上.巩固练习求下列椭圆的焦点坐标:(1)+=1;(2) 16x2+7y2=112.[规范板书]解(1)c2=25-16=9,所以c=3,故焦点坐标为(-3,0)和(3,0).(2)方程可化为+=1,所以c2=16-7=9,所以c=3,故焦点坐标为(0,-3)和(0,3).[题后反思]求椭圆的焦点坐标需将椭圆的方程化为标准形式.三、数学运用【例1】已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,求k的取值范围. (见学生用书P17) [处理建议]引导学生思考焦点在x轴上的椭圆的标准方程满足的条件.[规范板书]解因为椭圆焦点在x轴上,故所以7<k<10.[题后反思]学生可能会忽视前两个条件(不等式),题目解答完毕注意总结此时应需要3个条件(不等式).变式若上述方程表示一个椭圆,求k的取值范围.[处理建议]让学生思考条件改变时,解题过程中哪个环节会发生变化.[规范板书]解由题意可得所以4<k<10且k≠7.[题后反思]学生可能会进行分类直接得到结果,亦可能用上述方法解答,但会忽视第三个条件,此时不妨反问:若k-4>0,10-k>0,k-4=10-k,则方程表示的曲线是什么?答:圆.[3]【例2】(根据教材第30页练习第2题改编)求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)a=4,b=3,焦点在x轴上;(2)b=1,c=;(3)两个焦点分别是F1(-2,0),F2(2,0),且过点P(2,-3).(见学生用书P18)[处理建议]引导学生首先分析焦点的位置,然后再找出标准方程中a,b的值.[规范板书]解(1)因为焦点在x轴上,故椭圆的标准方程为+=1.(2)因为b=1,c=,所以a2=b2+c2=16,①当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为+y2=1;②当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为+x2=1.(3)由题意知椭圆的焦点在x轴上,故可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),所以解得所以椭圆的标准方程为+=1.[题后反思]椭圆的标准方程中只有两个参量,因此只需要两个条件就可以求出椭圆的标准方程,而a,b,c三个量之间的关系是知二求一.[4]【例3】(教材第29页例2)将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,求所得曲线的方程,并说明它是什么曲线.(见学生用书P18)[处理建议]先让学生直观感受变换后的曲线形状,再探究如何解决问题.[规范板书]解设所得曲线上任一点的坐标为(x,y),圆x2+y2=4上的对应点的坐标为(x',y'),由题意可得因为x'2+y'2=4,所以x2+4y2=4,即+y2=1.这就是变换后所得曲线的方程,它表示一个椭圆.[题后反思]学生很容易得到变换后的曲线是椭圆,但无法从定义给出证明,引导学生从方程的角度考虑问题,从而进一步说明解析几何研究问题的方法是从方程的角度来研究的.本例求变换后所得曲线方程采用的方法是“坐标转移法”,即利用中间变量求曲线方程.*【例4】(教材第31页例1)已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m,求这个椭圆的标准方程.[处理建议]引导学生先建立合适的直角坐标系,设出椭圆的标准方程,根据题意得到椭圆方程中的基本量.[规范板书]解以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy(如图).(例4)设这个椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).根据题意知2a=3,2c=2.4,即a=1.5,c=1.2,所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81.因此,这个椭圆的标准方程为+=1.[题后反思]本题是为了巩固对椭圆的标准方程的理解.在没有已知坐标系的情况下,需要建立合适的坐标系.四、课堂练习1.求下列椭圆的焦点坐标:(1)+=1;(2) 3x2+4y2=12.解(1)焦点坐标分别为(0,-3)和(0,3).(2)焦点坐标分别为(-1,0)和(1,0).2.若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是(4,5).提示因为椭圆的焦点在y轴上,所以解得4<k<5.3.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)a=,c=1;(2)两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),且b=1;(3)焦点在y轴上,焦距为4,且经过点M(3,-2).解(1)因为a=,c=1,所以b2=a2-c2=4.①当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为+=1;②当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为+=1.(2)由题意知椭圆的焦点在x轴上,且c=2,b=1,所以a2=5.所以椭圆的标准方程为+y2=1.(3)因为椭圆的焦点在y轴上,故可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),且c=2.所以解得所以椭圆的标准方程为+=1.五、课堂小结1.椭圆的标准方程有两种形式:①焦点在x轴上:+=1(a>b>0);②焦点在y轴上:+=1(a>b>0).2.注意椭圆的标准方程中“标准”的含义:①椭圆的中心在坐标原点;②椭圆的焦点在坐标轴上(两个焦点均在x轴上或均在y轴上);③椭圆的标准方程有两种形式,即焦点在x轴上的方程以及焦点在y轴上的方程.第3课时椭圆的标准方程(2)教学过程一、数学运用【例1】求经过点(-,1),(-,-)的椭圆的标准方程.(见学生用书P19) [处理建议]可分两种情况分别设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程和焦点在y轴上的椭圆的标准方程,代入点坐标求出a,b的值;在不明确焦点位置的情况下,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B).[规范板书]解法一①当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),则解得所以所求椭圆的标准方程是+=1.②当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),则解得不满足a>b>0,故舍去.所以所求椭圆的标准方程是+=1.解法二设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B),则解得所以所求椭圆的标准方程是+=1.[题后反思]解决此类问题最基本的方法是分类讨论.实际上解法二是对解法一中x2及y2的系数进行换元得到的.[1]【例2】已知椭圆+=1的左、右焦点分别是F1,F2,PQ是过F1的一条弦,求△PQF2的周长.(见学生用书P20) [处理建议]请学生思考△PQF2的周长中包含哪些线段,这些线段与椭圆定义中的几何条件有哪些联系.[规范板书]解由题意知a=5,c=3.P,Q是椭圆上的点,则PF1+PF2=2a=10,QF1+QF2=2a=10.因此,△PQF2的周长为PQ+PF2+QF2=PF1+PF2+QF1+QF2=4a=20.[题后反思]抓住椭圆的定义,因为定义中的几何条件就是椭圆上的点到两个焦点的距离之和为2a.若PQ是椭圆上不过焦点F1的一条弦,试问:△PQF2的周长是定值吗?变式1若P是椭圆+=1上一点,F1,F2是它的两个焦点,Q(5,2),求△PQF2的周长l的取值范围.[处理建议]将△PQF2的周长的最值转化为PQ+PF2的最值.[规范板书]解因为△PQF 2的周长l=PQ+PF2+QF2,又F2(3,0),所以QF2=2,所以△PQF2的周长取最小值时PQ+PF2也取最小值,易得PQ+PF2>QF2=2,所以l>4.因为在椭圆中PF1+PF2=2a,所以PF2=2a-PF1,所以PQ+PF2=PQ+2a-PF1=PQ-PF1+2a,所以PQ+PF2取最大值时PQ-PF1也取最大值,易得PQ+PF2=PQ-PF1+2a<QF1+2a=2+10.所以l<2+2+10.综上,4<l<2+2+10.变式2已知M(2,2),N(3,0)是椭圆+=1内两点,P是椭圆上一点,求PM+PN的最大值与最小值.[规范板书]解设椭圆的左焦点为F1.因为在椭圆中PF1+PN=2a,所以PN=2a-PF1,所以PM+PN=PM+2a-PF1=PM-PF1+2a.又因为|PM-PF1|≤MF1,所以-MF1≤PM-PF1≤MF1,又MF1=,所以-≤PM-PF 1≤,所以10-≤PM+PN≤10+,所以PM+PN的最大值为10+,最小值为10-.[题后反思]进一步理解椭圆定义中的几何条件是焦半径的一种重要的转化方式,同时也是对此知识点的巩固训练.[2](例3)【例3】如图,P是椭圆+=1上一点,F1和F2是其焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积.(见学生用书P20) [处理建议]请学生思考:椭圆定义中能用到的几何条件有哪些?△F1PF2的面积又该如何表示才能与已知条件联系起来?[规范板书]解在椭圆+=1中,a=,b=2,所以c==1.又因为点P在椭圆上,所以PF1+PF2=2a=2. ①由余弦定理知P+P-2PF1·PF2·cos30°=F1=(2c)2=4. ②①式两边平方得P+P+2PF1·PF2=20.③③-②得(2+)PF1·PF2=16,所以PF1·PF2=16(2-),所以=PF 1·PF2sin30°=8-4.变式如图,已知椭圆E:+=1(a>b>0)的焦点为F1与F2,点P在椭圆上,∠F1PF2=θ.求证:△PF1F2的面积S=b2tan.(变式)[处理建议]由特殊到一般,问题的处理方式基本相同.[规范板书]证明设PF 1=r1,PF2=r2,则S=r1r2sinθ,又F1F2=2c,由余弦定理有(2c)2=+-2r1r2cosθ=(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cosθ=(2a)2-2r1r2(1+cosθ),于是2r1r2(1+cosθ)=4a2-4c2=4b2,所以r1r2=.这样即有S=·sinθ=b2=b2tan.[题后反思]解与△PF1F2(P为椭圆上一点)有关的问题,常用正弦定理或余弦定理,并结合PF1+PF2=2a来解决.有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题,设PF1=r1,PF2=r2,则S=r1r2sinθ.若能消去r1r2,问题即可解决.*【例4】已知P是椭圆+y2=1上的任意一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点.(1)求PF1·PF2的最大值;(2)求PF+PF的最小值;(3)求∠F1PF2的最大值.[处理建议]让学生思考:已知的几何条件是什么?要求的是两焦半径之积的最值,两者如何建立联系?[规范板书]解由题意知a=2,b=1,所以c=,PF 1+PF2=2a=4.(1)PF1·PF2≤=4;(2)PF+P≥=8;(3)因为cos∠F1PF2====-1,由(1)知PF1·PF2≤4,所以cos∠F1PF2≥-1=-,当且仅当PF1=PF2时“=”成立,即P为椭圆短轴的一个端点.又因为∠F1PF2∈[0,π),所以∠F1PF2的最大值为120°.[题后反思]运用余弦定理处理焦点三角形也是焦半径问题中常用的方法之一,结合基本不等式可以得到关于焦半径表达式的取值范围,同时也为后面求离心率的取值范围作铺垫.强调∠F1PF2取最大值时点P的位置在椭圆短轴的端点处.变式已知椭圆+y2=1(a>1)的焦点是F1,F2,若椭圆上存在一点P,满足PF1⊥PF2,求a的取值范围.[规范板书]解设PF1=m,PF2=n,则m+n=2a,m2+n2=4c2=4(a2-1).又m2+n2≥,所以4(a2-1)≥2a2,所以a2≥2,所以a的取值范围是[,+∞).[题后反思]训练学生利用基本不等式寻求椭圆基本量的不等关系,从而得到a的取值范围.二、课堂练习1.根据下列条件求椭圆的标准方程:(1)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和,过点P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点;(2)经过点A(0,2)和B.解(1)设椭圆的标准方程是+=1或+=1(a>b>0).由题意知2a=PF1+PF2=2,所以a=.在方程+=1中令x=±c,得|y|=;在方程+=1中令y=±c,得|x|=.依题意并结合图形知=,所以b2=,即椭圆的标准方程为+=1或+=1.(2)设经过点A(0,2),B的椭圆的方程为mx2+ny2=1,则解得所以椭圆的标准方程为x2+=1.2.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边BC上,则△ABC的周长是4.提示设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定义知BA+BF=2,且CF+AC=2,所以△ABC的周长为BA+BF+CF+AC=4.3.已知P是椭圆+=1上一点,F1,F2是其焦点.若∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为.提示设PF1=m,PF2=n,则cos60°=,所以=.又m+n=2a=20,c=6,所以mn=,所以S=mn·sin60°=.三、课堂小结1.待定系数法求椭圆的标准方程,注意系数的设法.2.灵活运用椭圆的定义PF1+PF2=2a求焦点三角形的周长及面积,注意在焦点三角形中灵活使用余弦定理及基本不等式.第4课时椭圆的几何性质(1)教学过程一、问题情境问题1方程+=1表示什么样的曲线?你能利用以前学过的知识画出它的图形吗?解方案1列表、描点、连线进行作图,在取点的过程中想到了椭圆的范围问题.方案2求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点,联想椭圆曲线的形状得到图形.方案3只作第一象限内的图形,联想椭圆形状,利用对称性得到其他象限内的图形.[1]问题2与直线方程和圆的方程相对比,椭圆的标准方程+=1(a>b>0)有什么特点?[2]解①椭圆方程是关于x,y的二元二次方程;②方程的左边是平方和的形式,右边是常数1;③方程中x2和y2的系数不相等.二、数学建构1.结合椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆曲线的范围.方案1+=1变形为=1-≤1,即x2≤a2,所以-a≤x≤a.同理可得-b≤y≤b.方案2椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1,那么这两个数都不大于1,所以≤1,所以-a≤x≤a.同理可以得到y的范围是-b≤y≤b.(图1)方案3还可以用三角换元,设=cosθ,=sinθ,利用三角函数的有界性,也可以得到x,y的范围.这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内(如图1).2.继续观察椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆的对称性.[3]在椭圆的标准方程中,把x换成-x,方程并不改变,这说明当点P(x,y)在椭圆上时,它关于y轴的对称点P'(-x,y)也在椭圆上,所以椭圆关于y轴对称.同理,把y换成-y,或同时把x,y分别换成-x,-y时,方程都不变,所以椭圆关于x轴和原点都是对称的.因此,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.3.再次观察椭圆标准方程的特点,利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中,令x=0,得y=±b,这说明点B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.同理,点A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点,这四个点是对称轴与椭圆的交点,称为椭圆的顶点.线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.在椭圆的定义中,2c表示焦距,这样,椭圆方程中的a,b,c就有了明显的几何意义.问题3在椭圆标准方程的推导过程中令a2-c2=b2能使方程简单整齐,其几何意义是什么?解c表示半焦距,b表示短半轴长,因此,连结顶点B2和焦点F2,可以构造一个直角三角形OB2F2,在Rt△OB 2F2内,O+O=B2,即c2+b2=a2.△OB2F2称为椭圆的特征三角形.4.圆的形状都是相同的,而椭圆却有些比较“扁”,有些比较“圆”,椭圆的“圆扁”取决于哪些因素?用什么样的量来刻画椭圆的“圆扁”程度比较合适?方案1用几何画板演示.方案2可以用比值来刻画,当越大,椭圆越圆;当越小,椭圆越扁.方案3还可以用比值来刻画,当越大,椭圆越扁;当越小,椭圆越圆.一般地,我们用比值来刻画椭圆的“圆扁”程度.离心率:焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,记为e,即e=.因为a>c>0,所以0<e<1.问题4比值与之间的关系如何?解=,此式可变形为=1-或=1-=1-e2.再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响:(1)当e接近1时,c越接近a,从而b越接近0,因此椭圆越扁;(2)当e接近0时,c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆越圆.5.类比焦点在x轴上的情况,若椭圆的焦点在y轴上,其几何性质如何?焦点在x轴上与焦点在y轴上椭圆的几何性质对比:标准方程+=1(a>b>0)+=1(a>b>0)范围|x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a对称性关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称顶点坐标(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(b,0),(-b,0),(0,a),(0,-a)焦点坐标(c,0),(-c,0)(0,c),(0,-c)半轴长长半轴长为a,短半轴长为b,a>b长半轴长为a,短半轴长为b,a>b离心率e=e=a,b,c的关系a2=b2+c2a2=b2+c2三、数学运用【例1】(教材第33页例1)求椭圆+=1的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标,并用描点法画出这个椭圆.[4](见学生用书P21) [处理建议]由椭圆的方程确定a ,b,c的值,从而使问题得以解决.交待清楚作图的几种方法.[规范板书]解根据椭圆的方程+=1,得a=5,b=3,c==4,所以椭圆的长轴长2a=10,短轴长2b=6,离心率e==,焦点为F1(-4,0)和F2(4,0),顶点为A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-3),B2(0,3).将方程变形为y=±,根据y=算出椭圆第一象限内的几个点的坐标,如下表所示.x0 1 2 3 4 5y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0先描点画出第一象限的图形,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆(如图).(例1)[题后反思]本例是对椭圆几何性质的一般检测性训练.一般地,椭圆的画法只需要描出几个点,然后用光滑曲线连结即可,必要时将焦点位置标出.强调快速、较准确地画出椭圆图象是今后学习的一个必要的基本技能.【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过点P(-3,0),Q(0,-2);(2)焦点在x轴上,长轴长等于20,离心率等于;(3)焦点在y轴上,长轴长是短轴长的3倍,且椭圆经过点P(3,0).(见学生用书P22)[处理建议]根据条件,寻找椭圆方程中的基本量.[规范板书]解(1)由题意知a=3,b=2,长轴在x轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.(2)由题意知2a=20,e=.所以a=10,c=8,所以b=6.又因为焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.(3)由题意知焦点在y轴上,所以b=3.又因为长轴长是短轴长的3倍,所以a=9,所以椭圆的标准方程为+=1.[题后反思]运用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,要熟记离心率公式.。
高中数学第二章圆锥曲线与方程阶段复习课学案苏教版选修1_1
第二课圆锥曲线与方程[体系构建][题型探究]可以优化解题过程，圆锥曲线的定义是相对应标准方程和几何性质的“源”，“回归定义”是一种重要的解题策略．运用定义解题主要体现在以下几个方面：(1)在求动点的轨迹方程时，如果动点所满足的几何条件符合某种圆锥曲线的定义，则可直接根据圆锥曲线的方程写出所求的动点的轨迹方程；(2)涉及椭圆或双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常常运用圆锥曲线的定义并结合三角形中的正、余弦定理来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义，把抛物线上某一点到焦点的距离转化为到准线的距离，并结合图形的几何意义去解决．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，且PF 1＞PF 2，求PF 1|PF 2|的值. 【导学号：95902159】[思路探究] △PF 1F 2是直角三角形―――――→椭圆的定义求出PF 1与PF 2【规范解答】 由PF 1→·PF 2→＝0，知PF 1⊥PF 2，∴F 1F 22＝PF 21＋PF 22， 由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知a 2＝9，b 2＝4，∴c ＝9－4＝5，F 1F 2＝2 5.因此PF 21＋PF 22＝20. ① 又由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝6. ② 由题意知，PF 1＞PF 2，联立①、②得PF 1＝4，PF 2＝2.从而PF 1PF 2的值为2. [跟踪训练]1．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，PF 1·PF 2＝2，则双曲线的标准方程为________．【解析】 由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1⊥PF 2.根据勾股定理得PF 21＋PF 22＝(2c )2，即PF 21＋PF 22＝20.根据双曲线定义有PF 1－PF 2＝2a .两边平方并代入PF 1·PF 2＝2得：20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1，所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.【答案】 x 24－y 2＝11.(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点； (2)已知圆锥曲线的性质求其方程．2．对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法： (1)代入法就是代入公式e ＝c a求离心率；(2)列方程法就是根据已知条件列出关于a ，b ，c 的关系式，然后把这个关系式整体转化为关于e 的方程，解方程即可求出e 值．3．求曲线方程的基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量．”已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.[思路探究]双曲线的离心率为2→建立a ，b 的等量关系→求出A ，B 两点坐标――――→S △AOB ＝3求p【规范解答】 ∵e ＝2，∴b 2＝3a 2，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±3x ，不妨设A＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，3p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－3p 2，则AB ＝3p ，又三角形的高为p 2，则S △AOB ＝12×p 2×3p ＝3，即p 2＝4，又p >0，∴p ＝2.【答案】 2 [跟踪训练]2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.【导学号：95902160】【解析】 在△ABF 中，由余弦定理得，cos∠ABF ＝AB 2＋BF 2－AF 22AB ·BF，∴BF 2－16BF ＋64＝0，∴BF ＝8，设右焦点为F 1，因为直线过原点，∴BF 1＝AF ＝6，∴2a ＝BF ＋BF 1＝14，∴a ＝7，∵O 为Rt△ABF 斜边AB 的中点，∴OF ＝12AB ＝5，∴c ＝5，∴e ＝57.【答案】 571.消元后的一元二次方程的判别式大于零，则直线与圆锥曲线有两个交点；等于零，则只有一个交点；小于零，则没有交点．2．涉及直线与圆锥曲线的两个交点坐标问题时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立消元后的方程根的情况，使用根与系数的关系进行整体代换，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本的方法．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．[思路探究] (1)利用过点F 且与x 轴垂直的直线方程，根据线段的长度求出交点的坐标并代入椭圆方程求出a 和b ，可得椭圆方程；(2)设出直线方程，和椭圆方程联立得到二次方程，利用韦达定理把向量式用点的坐标表示得到关于k 的方程，解方程可得k 的值．【规范解答】 (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有－c2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433，解得b ＝ 2. 又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 23＋y22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k .由已知得6＋2k 2＋122＋3k ＝8，解得k ＝± 2.[跟踪训练]3．已知抛物线C ：y 2＝4x ，F 是抛物线C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)如果l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程； (2)设FA ＝2BF ，求直线l 的方程.【导学号：95902161】【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，又∵直线l 的斜率为1，∴直线l 的方程为y ＝x －1，代入y2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝6x 1·x 2＝1，易得AB 的中点，即圆心的坐标为(3,2)，又AB ＝x 1＋x 2＋p ＝8，∴圆的半径r ＝4，∴所求的圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16. (2)∵FA ＝2BF ，∴FA →＝2BF →，而FA →＝(x 1－1，y 1)，BF →＝(1－x 2，－y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1－1＝－x 2，y 1＝－2y 2，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2x 1·x 2＝1，∵x 1－1＝2(1－x 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x 2＝12，∴k ＝±22，∴直线l 的方程为y ＝±22(x －1).圆锥曲线中的许多问题，则往往能较快地找到解题的突破口．用函数思想求解圆锥曲线中的有关定值、最值问题，最值问题可以说是高中数学中永恒的话题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器．我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题．方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解．方程思想是高中数学中的最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位．在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决．点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.【导学号：95902162】[思路探究]由PA ⊥PF 得P 点的轨迹方程→与椭圆方程联立，求P 点的坐标→由M 到直线AP 的距离等于MB 求出M 点坐标→将距离d 表示成关于椭圆上点的横坐标的函数，转化为函数最值.【规范解答】 (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)．设点P (x ，y )，则k AP ·k PF ＝－1.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，y x ＋6·yx －4＝－1.则2x 2＋9x －18＝0.解得x ＝32，或x ＝－6(舍去)．所以x ＝32，由于y ＞0，故y ＝532.所以点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，532.(2)易知直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0.设点M (m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2.于是|m ＋6|2＝|m －6|.又－6≤m ≤6，解得m ＝2.椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离的平方为：d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎪⎫x －922＋15.由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时，d 取得最小值15.[跟踪训练]4.如图21，椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆，x 轴于B ，C 两点．图21(1)若AB →＝λBC →，求实数λ的值；(2)设点P 为三角形ACF 的外接圆上的任意一点，当三角形PAB 的面积最大时，求点P 的坐标.【导学号：95902163】【解】 (1)由条件得F (－1,0)，A (0，3)，k AF ＝ 3. ∵AB ⊥AF ，∴k AB ＝－33，AB ：y ＝－33x ＋ 3. 令y ＝0，得x ＝3，∴C (3,0) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ＋3，x 24＋y 23＝1，得13x 2－24x ＝0，解得x 1＝0(舍)，x 2＝2413，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2413，5313.∵AB →＝λBC →， ∴λ＞0，且λ＝|AB →||BC →|＝24133－2413＝85.(2)∵△ACF 是直角三角形，∴△ACF 的外接圆的圆心为D (1,0)，半径为2， ∴圆D 的方程为(x －1)2＋y 2＝4. ∵AB 长为定值，∴当△PAB 的面积最大时，点P 到直线AC 的距离最大．过D 作AC 的垂线m ，则点P 为直线m 与圆D 的交点．直线m ：y ＝3(x －1)与(x －1)2＋y 2＝4联立⎩⎨⎧y ＝3x －，x －2＋y 2＝4，解得x ＝2(舍)或x ＝0，∴点P 的坐标为(0，－3)．[链接高考]1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为__________．【解析】 由双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52， ① 又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，∴a 2＋b 2＝9. ② 由①②联立可解得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.【答案】x 24－y 25＝1 2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EFA 的面积为b 22，则椭圆的离心率为__________.【导学号：95902164】【解析】 由已知可得12(c ＋a )c ＝b 22，又由b 2＝a 2－c 2，可得2e 2＋e －1＝0，又因为0＜e ＜1，解得e ＝12.【答案】 123．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P 、Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是__________．【解析】 由双曲线的方程得，双曲线的右准线为x ＝32，两条渐近线方程为y ＝±33x ，右准线与两条渐近线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±32，不妨设F 1(－2,0)，F 2(2,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32 则四边形F 1PF 2Q 的面积为S 四边形F 1PF 2Q ＝12|F 1F 2|·|PQ |＝12×4×3＝2 3.【答案】 2 34．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为__________.【导学号：95902165】【解析】 圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心为(2,0)，半径r ＝2.不妨设双曲线C 的一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0 因为该渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2所以|2b |b 2＋a 2＝4－1＝3，两边平方得3a 2＝b 2，即b 2a ＝3从而e ＝1＋b 2a2＝1＋3＝2. 【答案】 25.如图22，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8，点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.图22(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标． 【解】 (1)设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以c a ＝12，2a 2c＝8，解得a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3， 因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设P (x 0，y 0)，因为P 为第一象限内的点，故x 0>0，y 0>0. 当x 0＝1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符． 当x 0≠1时， 直线PF 1的斜率为y 0x 0＋1，直线PF 2的斜率为y 0x 0－1. 因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2， 所以直线l 1的斜率为－x 0＋1y 0，直线l 2的斜率为－x 0－1y 0，从而直线l 1的方程为y ＝－x 0＋1y 0(x ＋1)， ① 直线l 2的方程为y ＝－x 0－1y 0(x －1)． ② 由①②，解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1y 0，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0，x 20－1y 0. 因为点Q 在椭圆E 上，由对称性，得x 20－1y 0＝±y 0，即x 20－y 20＝1或x 20＋y 20＝1. 又点P 在椭圆E 上，故x 204＋y 203＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 20＝1，x 204＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝477，y 0＝377；⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝1，x 204＋y 23＝1无解．因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫477，377.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
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江苏省响水中学高中数学第2章《圆锥曲线与方程》复习一导学
案苏教版选修1-1
一、学习目标：
1、巩固椭圆的定义和标准方程；
2、能运用椭圆的标准方程以及椭圆的定义(①②)处理一些简单的实际问题
二、课前预学：
1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a=4, b=3，焦点在x轴上；(2)b=1, c=15 ，焦点在y轴上；(3)两个焦点分别是F1(-2, 0)，F2(2, 0)，并且过点P(
5
2, -
3
2) ；
2、椭圆
x2
9＋
y2
2＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为________．
三、课堂探究：
1、已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为
45
和
25
，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.
2、在椭圆
22
1
8
x y
t
+=
内有一点
(2,1)
A，过点A的直线l的斜率为1-，且与椭圆交于,B C 两点，线段BC的中点恰好是A，试求椭圆的方程.
3、（1）已知椭圆中心在原点，求经过两点A（0，2）和
1
(3)
2
B
的椭圆的标准方程.
（2）已知椭圆中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两个端点连线互相垂直，且此焦点和x轴较近端点的距离为4(21),求椭圆方程和准线方程.
4、已知椭圆C: 22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ,其上的动点M 到一个
焦点的距离最大为3,点M 对F1F2的张角最大为60︒. (1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆C 在X 轴上的两个顶点分别为A,B,点P 是椭圆C 内的动点,且2
PA PB PO =,求
PA PB ⋅的取值范围.
5、已知点,A B 分别是椭圆22
1
3620x y +=长轴的左右端点，点F 是椭圆的右焦点，P 在椭
圆上，且位于x 轴上方， PA PF ⊥. （1）求P 点的坐标；
（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ， 求椭圆上的点到M 的距离d 的最小值.
四、课堂检测：
1、点.P 在椭圆19252
2=+y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，
则点P 的横坐标是 。
4、 椭圆192522=+y x 上有三点A(x1,y1)、B(4,59)、C(x2,y2)，如果A 、B 、C 三点到焦点
F （4，0）的距离成等差数列，则x1+x2= .
5、已知21,F F 是椭圆1
122
2=+++k y k x 的左右焦点，弦AB 过1F ,若2ABF ∆的周长为8，则
椭圆的离心率为
6、椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆3 .
7、椭圆
1
3
4
2
2
=
+
y
x
内有一点
)1
,1(-
P，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使2
MP MF
+
之值最小，则点M的坐标为______ _.
教师个人研修总结
在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
所以在学习上级的精神下，本期个人的研修经历如下：
1.自主学习：我积极参加网课和网上直播课程.认真完成网课要求的各项工作.教师根据自己的专业发展阶段和自身面临的专业发展问题，自主选择和确定学习书目和学习内容，认真阅读，记好读书笔记；学校每学期要向教师推荐学习书目或文章，组织教师在自学的基础上开展交流研讨，分享提高。
2.观摩研讨：以年级组、教研组为单位，围绕一定的主题，定期组织教学观摩，开展以课例为载体的“说、做、评”系列校本研修活动。
3.师徒结对：充分挖掘本校优秀教师的示范和带动作用，发挥学校名师工作室的作用，加快新教师、年轻教师向合格教师和骨干教师转化的步伐。
4.实践反思：倡导反思性教学和教育叙事研究，引导教师定期撰写教学反思、教育叙事研究报告，并通过组织论坛、优秀案例评选等活动，分享教育智慧，提升教育境界。
5.课题研究：立足自身发展实际，学校和骨干教师积极申报和参与各级教育科研课题的研究工作，认真落实研究过程，定期总结和交流阶段性研究成果，及时把研究成果转化为教师的教育教学实践，促进教育质量的提高和教师自身的成长。
6.专题讲座：结合教育教学改革的热点问题，针对学校发展中存在的共性问题和方向性问题，进行专题理论讲座。
7.校干引领：从学校领导开始，带头出示公开课、研讨课，参与本校的教学观摩活动，进行教学指导和引领。
8.网络研修：充分发挥现代信息技术，特别是网络技术的独特优势，借助教师教育博客等平台，促进自我反思、同伴互助和专家引领活动的深入、广泛开展。
我们认识到：一个学校的发展，将取决于教师观念的更新，人才的发挥和校本培训功能的提升。
多年来，我们学校始终坚持以全体师生的共同发展为本，走“科研兴校”的道路，坚持把校本培训作为推动学校建设和发展的重要力量，进而使整个学校的教育教学全面、持续、健康发展。
反思本学期的工作，还存在不少问题。
很多工作在程序上、形式上都做到了，但是如何把工作做细、做好，使之的目的性更加明确，是继续努力的方向。
另外，我校的研修工作压力较大，各学科缺少领头羊、研修氛围有待加强、师资缺乏等各类问题摆在我们面前。
缺乏专业人员的引领，各方面的工作开展得还不够规范。
相信随着课程改革的深入开展，在市教育教学研究院的领导和专家的亲临指导下，我校校本研修工作一定能得以规范而全面地展开。
“校本研修”这种可持续的、开放式的继续教育模式，一定能使我校的教育教学工作又上一个台阶。