余角和补角ppt人教版2
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6.3.3 余角和补角 课件 人教版七年级数学上册
所以∠DOE= ∠BOD=75°.
所以∠COE=∠COD+∠DOE=90°+75°=165°.
②如图②所示,因为∠AOB=90°,∠COD=90°,
∠AOC=30°,
所以∠BOD=30°.
因为OE平分∠BOD,
所以∠DOE=15°.
所以∠COE=∠COD+∠DOE=90°+15°=105°.
故答案为165°或105°.
解:(1)因为∠BOC=40°,所以∠AOC=140°.
因为 OE 是∠AOC 的平分线,
所以∠AOE= ∠AOC=70°.
(2)题图中与∠COE互余的角有∠COD,∠BOD.
(3)∠COE有补角吗?若有,请把它找出来,并说明理由.
解:(3)∠COE有补角.理由如下:
因为∠AOE=∠COE,∠AOE+∠BOE=180°,
A.互余
B.互补
C.相等D.∠α=90°+∠γ
5.一副三角板按如图所示的方式摆放,则∠1补角的度数为( D )
A.45° B.135°
C.75° D.165°
6.如图所示,已知点O是直线AB上的一点,∠BOC=40°,OD,OE分别是
∠BOC,∠AOC的平分线.
(1)求∠AOE的度数.
(2)写出图中与∠COE互余的角.
B.59°50′
C.149°10′
D.60°10′
2.如果一个角的补角是120°,则这个角的余角是( D )
A.150°
B.90° C.60° D.30°
3.若一个角比它的余角大30°,则这个角等于( B)
A.30° B.60° C.105°
D.120°
人教版数学七年级上册4.余角和补角课件
16 ． (8 分 ) 如 图 ， 已 知 直 线 AB 和 CD 相 交 于 点 O ， OM 平 分 ∠ BOD ， ON⊥OM，∠AOC＝50°. (1)求∠AON的度数； (2)写出∠DON的余角．
解：(1)65° (2)∠DOM，∠MOB
17．(10分)如图，AB是一条直线，OC是一条射线，∠AOC＝2∠AOF， ∠BOC＝2∠BOE. (1)∠1与∠2互余吗？
解：如图：
19．(12分)如图甲所示，∠AOB，∠COD都是直角． (1)试猜想∠AOD与∠COB在数量上是相等、互余、还是互补的关 系，你能用推理的方法说明你的猜想是否成立吗？ (2)当∠COD绕点O旋转到图乙的位置时，你本来的猜想还成立吗？
方位的表示方法
在表示方向时，要先在观测点画出方位图，然后测量出角度并在图 上表示出来，注意表示时要先写北还是南，再写偏东或偏西，偏多
少度，如图4－3－28，OA是表示北偏东30°的 一条射线，OB是表示南偏西50°的一条射线； 特别地，射线OC表示北偏西45°可写成西北 方向，OD表示东南方向.
例题
小结
1. 余角和补角的定义：
如果两个角的和等于
，就说这两个角互为余角；如果两个
角的和为
，就说这两个角互为补角.
2. 余角和补角的性质： 同角(等角)的补角________，同角(等角)的余角_________．
3. 如图，O是直线AB上的点，OC是∠AOB的平分线． (1)∠AOD的补角是__∠__B_O__D___，余角是__∠__C_O__D__； (2)∠DOB的补角是__∠__A__O_D_____． 4. 已 知 ∠ α ＝ 20° ， 则 ∠ α 的 余 角 为 _______70，° ∠ α 的 补 角 为 ______1_6_0．° 5. ∠A的补角为130°，则∠A的余角为________4．0°
余角和补角 课件(共16张PPT)
课堂小结
余角和补角的定义 定义：两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余
角，简称互余．如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个 角互为补角，简称互补．
余角和补角都是相互的,不能说哪一个角是余角或补角.
请同学们比较互余与互补的概念，说说它们的区别和共同之处.
区别 互余是两个角的和是90°（直角）， 互补是两个角的和是180°（平角）.
3 1
获取新知
2 1
两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角,简称互余. 如图，∠1+∠2=90°，那么∠1是∠2的余角,∠2也是∠1的余角.
4 3
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，简称互补. 如图，∠3+∠4=180°，那么∠3是∠4的补角，∠4也是∠3的补角.
【分析】因为∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°， 所以∠3＝∠1＝50°.故选A.
同角的补 角相等.
随堂演练
1. 已知∠A=55°,则它的余角是( B )
A.25°
B.35° C.45°
D.55°
2.如果两个角互补,那么这两个角( D为钝角 D.均为直角,或一个为锐角,另一个为钝角
3.若一个锐角和它的余角相等,则它的补角为( C )
A.75°
B.120°
C.135°
D.150°
4. 如图，在三角形ABC中，∠C=90°，点D,E 分别在边AC、AB上，若∠B=∠ADE，则下列 结论正确的是（ C ） A.∠A和∠B互为补角. B.∠B和∠ADE互为补角. C.∠A和∠ADE互为余角. D.∠AED和∠DEB互为余角.
1
3
2
同角的余角相等.
探究： 已知∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3， 那么∠2与∠4相等吗？为什么？
6.3.3 余角和补角 课件 人教版数学七年级上册
∴∠BOC+∠AOE=90°.
∵∠BOC∶∠AOE=3∶1,
∴∠BOC= ×90°=67.5°.
又∵∠BOD=90°,
∴∠COD=90°-67.5°=22.5°.
(2)图中有哪几对角互为余角?
(2)∠COB与∠COD,∠COB与∠AOE,
∠DOE与∠COD,∠DOE与∠AOE.
(3)图中有哪几对角互为补角?
3.若一个角的余角是它的补角的 ,则这个角的补角是
( D )
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.(1)已知∠α=24°30',则它的余角等于
65°30' ;
(2)一个角的余角比这个角的补角的 还小10°,求这个
Байду номын сангаас
角的余角及这个角的补角.
解:设这个角为x°,则这个角的余角为(90-x)°,这
∴∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126°.
因为∠1+∠2=90°,
∠3+∠2=90°,
所以∠1=∠3.
等角的补角相等:
因为∠1+∠2=180°,
∠3+∠4=180°,
∠1=∠3,
所以∠2=∠4.
注意:①互余、互补指的是两个角的数量关系,互余、
互补的两个角只与它们的和有关,而与它们的位置无
关.
②一般地,锐角α的余角可以表示为(90°-α),一个
(3)∠AOC与∠BOC,∠AOC与∠DOE,
∠AOE与∠BOE,∠DOC与∠BOE,
∠AOD与∠BOD,∠AOD与∠EOC,
∠BOD与∠EOC.
∵∠BOC∶∠AOE=3∶1,
∴∠BOC= ×90°=67.5°.
又∵∠BOD=90°,
∴∠COD=90°-67.5°=22.5°.
(2)图中有哪几对角互为余角?
(2)∠COB与∠COD,∠COB与∠AOE,
∠DOE与∠COD,∠DOE与∠AOE.
(3)图中有哪几对角互为补角?
3.若一个角的余角是它的补角的 ,则这个角的补角是
( D )
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.(1)已知∠α=24°30',则它的余角等于
65°30' ;
(2)一个角的余角比这个角的补角的 还小10°,求这个
Байду номын сангаас
角的余角及这个角的补角.
解:设这个角为x°,则这个角的余角为(90-x)°,这
∴∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126°.
因为∠1+∠2=90°,
∠3+∠2=90°,
所以∠1=∠3.
等角的补角相等:
因为∠1+∠2=180°,
∠3+∠4=180°,
∠1=∠3,
所以∠2=∠4.
注意:①互余、互补指的是两个角的数量关系,互余、
互补的两个角只与它们的和有关,而与它们的位置无
关.
②一般地,锐角α的余角可以表示为(90°-α),一个
(3)∠AOC与∠BOC,∠AOC与∠DOE,
∠AOE与∠BOE,∠DOC与∠BOE,
∠AOD与∠BOD,∠AOD与∠EOC,
∠BOD与∠EOC.
6.3.3 余角和补角-课件 -人教版数学七年级上册
2.连一连：图中给出的各角，哪些互为补角？
10o 30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
练一练
1.∠A=25°37′，则它的余角为__1_5_4_°__2_3_′ _，它的补角为__6_4_°__2_3_′__. 2.已知∠A=50°，则∠A的余角是_____4_0_°___，补角是____1_3_0_°___， 补角与余角的差是_____9_0_°___. 3.一个锐角为x度，它的余角为 __(_9_0_-_x_) _度，它的补角为_(_1_8_0_-_x_)_度， 则它的补角比余角大___9_0___度.
新知导入
认识方位角： 在航行、测绘等日常生活中，我们经常会碰到如何描述一个物体的 方位的问题．描述一个物体的方位，通常要用到表示方位的角—方 位角．方位角的表示习惯上以正北、正南方向为基准来描述物体的 方向．即用“北偏东多少度”、“北偏西多少度”或者“南偏东多少度”、 “南偏西多少度”来表示方向．
谢谢观看
合作探究
1 2
3 4
1.如图∠1 与∠2互余，∠3 与∠4互余 ，如果∠1＝∠3，那么∠2与 ∠4相等吗？为什么？
解：∠2与∠4相等.
理由如下：∵∠1与∠2互余，
∴ ∠2=90°-∠1，
1
∵∠3与∠4互余，
2
∴∠4=90°-∠3，
∵∠1 =∠3，
∴∠2 =∠4(等量减等量，差相等)
余角的性质：同角(等角)的余角相等.
北
如图，射线表示的方位为：
射线OA：____南__偏__西__2_5_°_____；
B 西
70° O
射线OB：____北__偏__西__7_0_°_____； 东
人教版七年级数学上 4.3.3《余角和补角》课件(共18张PPT)课件
理由：由（1）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180° 由（2）可知 ∠1+∠3=∠2+∠4=∠1+∠4=∠2+∠3=90°
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
第3关：合作展示 求知、求真、求健，求美
2.若一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角. 解：设这个角是x°， 则 180－x= 4 ( 90－x) 解得x = 60 答：这个角是60°.
第3关：合作展示 求知、求真、求健，求美
1.如下图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平
分∠AOC和∠BOC，
（1）∠AOC与∠BOC的关系是什么？
互补 （2）图中有哪几对相等的角？
因为OD平分∠AOC，所以∠1=∠2，
23
1
4
同理，∠3=∠4
（3）图中有哪几对互余的角？
∠2和∠3， ∠1和∠4， ∠1和∠3， ∠2和∠4.
的角？ ∠1=∠A ，∠2=∠B
因为∠1与∠2互余
因为∠1与∠2互余
∠A与∠2互余恭喜大家∠1！与∠B互余
所以∠1=∠A 闯关所成以功∠2！=∠B
（同角的余角相等） （同角的余角相等）
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
课堂小结
求知、求真、求健，求美
思考：直角和平角中，被分成的两个角的度数分别有什 么关系呢？
1 2
3
4
∠1+∠2=__9_0_°，
∠3+∠4=__1_8_0.°
结论：两个角的数量关系与角的位置无关.
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
6.3.3 余角和补角 课件 2024—-2025学年人教版数学七年级上册
A
B
C
D
3.若∠1是∠2的补角,∠1=35°,则∠2= ( B ) A.135° B.145° C.155° D.165°
余角和补角的概念 阅读课本本课时“思考”之前的内容,思考下列问题. 1.如果两个角的和等于 90° ,就说这两个角互为余角,即 其中一个角是另一个角的 90°.
2.如果两个角的和等于 180° ,就说这两个角互为补角, 即其中一个角是另一个角的 180° .
七年级·数学·上册·人教版
6.3.3 余角和补角
1.知道互为余角、互为补角的概念,能求一个角的余角和补 角.
2.明确余角、补角的性质定理,并能够运用其解决相关数学 问题.
3.知道方向角的定义,会画方向角,能用方向角描述物体相对 于某点的方向.
余角、补角的概念和性质.
方向角问题.
如图,将梯子斜立于墙上,由于梯子脚端没有放稳,向右滑行 一部分(梯子的顶端没有着地),∠1与∠2的关系是什么?∠1+∠3 的值是否发生变化?
1.若∠1与∠2互余,∠1与∠3互余,则∠2与∠3的大小有什么 关系?
因为∠1与∠2互余,∠1与∠3互余, 所以∠2=∠3.
2.与同一个角互补的两个角的大小有什么关系? 相等.
1.若∠A=40°,则∠A的余角的大小是 ( A )
AБайду номын сангаас50° B.60° C.140° D.160°
2.下列图形中,∠1和∠2互为余角的是 ( D )
(2)因为∠AOC与∠BOC互为补角, 所以∠AOC+∠BOC=180°, 所以∠AOC=180°-∠BOC=180°-72°=108°. 因为OE平分∠AOC,
所以∠COE=12∠AOC=12×108°=54°, 所以∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126°.
6.3.3 余角和补角 课件 人教版七年级数学上册
角描述一个物体的方位。
方位角是表示方向的角.
E
以正北、正南方向为基准
来描述物体所处的方向.
正东：射线 OA
八大 方位
正南：射线 OB 正西：射线 OC
正北：射线 OD
西 西北方向：射线 OE C
西南方向：射线 OF
东北方向：射线 OH 东南方向：射线 OG
F
北 D
45° 45°
O
45°45°
B 南
H A东 G
100o
120o
150o
170o
课堂练习
练习4 填空
（1）若∠1与∠2互补，则∠1＋∠2=__1_8_0_°_. （2）∠1=90º－∠2，则∠1与∠2的关系为_互__为__余__角____.
二 余角、补角的性质
思考1：∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3有什 么大小关系
解：∵∠1与∠2， ∠3都互为补角，
30o
50o
60o
40o
80o
一 余角、补角的定义
思考：∠3 与∠4 有什么数量关系？
2
∠3+∠4 = 180°
1
补角
4 3
如果两个角的和是180°(平角)，就说这
两个角互为补角(简称两角互补)，即其中一个
角是另一个角的补角。
课堂练习
练习3 图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o
60o
80o
等角的补角相等
二 余角、补角的性质
补角的性质：同角(等角)的补角相等
符号语言： ∵∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠C＝180° ∴∠B＝∠C(同角的补角相等) 符号语言： ∵∠A＋∠B＝180°，∠D＋∠C＝180°，∠A＝∠D ∴∠B＝∠C(等角的补角相等)
6.3.3 余角和补角(2)——方位角 课件 人教版(2024)数学七年级上册
东北方向
；
；
.
；
6.3.3
余角和补角(2)——方位角
课堂学练
知识点1：方位角的表示
1. 【例】如图，写出下列方位角.
(1)射线 OA 表示的方向是 北偏西30°方向 ；源自(2)射线 OB 表示的方向是
西南方向
；
(3)射线 OC 表示的方向是 南偏东15°方向 .
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B. OB 的方向是北偏西60°
C. OC 的方向是南偏西60°
D. OD 的方向是南偏东60°
1
2
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14
6.3.3
余角和补角(2)——方位角
分层检测
8. 如图，写出下列方位角.
(1)射线 OA 表示的方向是
北偏东60° ；
(2)射线 OB 表示的方向是 东南方向
(3)射线 OD 表示的方向是
A ， B ， C 处时，经测量得，甲船位于港口的北偏东44°方向，乙船位
于港口的北偏东76°方向，丙船位于港口的北偏西45°方向.
(1)求∠ BOC 的度数；
解：由题意得∠ EOB ＝76°，
∠ EOC ＝45°.
∴∠ BOC ＝∠ EOB ＋∠ EOC ＝121°；
1
2
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6
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是
西北方向
北偏东30°方向 ，射线 OB 表示的方向
6.3.3 余角和补角 课件-人教版(2024)数学七年级上册
如图，点A，O，E在同一条直线上，OB，OC，OD都是射线， ∠1＝∠2，∠1与∠4互为余角．
(2)∠3与∠4的大小有何关系？请说明理由； (3)试说明∠3是∠AOD的补角．
(2)∠3＝∠4.理由：因为∠1＝∠2，∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝ 90°，所以∠3＝∠4.
(3)因为∠AOE＝180°，所以∠4是∠AOD的补角，因为∠3＝∠4， 所以∠3是∠AOD的补角．
1.请同学们阅读课本176页思考前内容，并回答问题： (1)余角的定义是什么？120°的角有余角吗？
如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个 角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角 是另一个角的余角.120°的角没有余角 (2)补角的定义是什么？若∠1＋∠2＋∠3＝180°，能说∠1， ∠2，∠3互为补角吗？
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角， 简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角．不能， 只能是两个角互为补角
(3)如图，∠1＋∠2＝90°，如果将∠1和∠2变换位置，它们 还互为余角吗？你能得出什么结论？
互为余角．是否互为余角与角的位置无关，只与 角的和有关 2．完成课本177页练习1题．
活动导入
请同学们准备一张长方形纸片，沿一个角折叠后，找出折痕 与长方形的边形成的角。 例：如图长方形纸片的折痕与长方形的边形成了4个角， 思考： （1）∠1与∠2有什么数量关系？ （2）∠3与∠4有什么数量关系？
视频导入 同学们，你们打过台球吗？请同学们观看一段视频：
如图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球， 反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2. 这个问题可以简单地表示为右图，其中∠EDC=90°，那 么图中各个角与∠1有什么数量关系呢？
人教版七年级数学上册《余角和补角》课件(共21张PPT)
=27°28′
∠ 的补角=180o -∠ ∠ 的补角=180o - 62°32′
=117°28′ 答：这个角的余角为27°28′，补角117°28′。
2、余角和补角的性质。
（1）余角的基本性质：
∠ 的余角=90°- ∠
∠ 的余角=90°- ∠
若∠ = ∠
则90°- ∠ =90°- ∠
AC
解:∠BOC=∠AOB -∠AOC =90°- ∠AOC
D
∠AOD= ∠AOB -∠BOD
B
=90°- ∠AOC
O
例4、如图∠AOC= ∠BOC=∠DOE=90°，则 图中与∠3互余的角是__∠__2_, _∠__4_, 图中与∠4互余的角是_∠__3_, __∠__1_, 图中有与∠3互补的角吗?_∠__B_O__D___.
答：这个角是60°.
练习2、（1）如果∠的余角是∠的2
倍，求 ∠的度数。
（2）如果∠1的补角是∠1的3 倍，求∠1的度数。
练习2、（1）如果∠的余角是∠的2 倍， 求 ∠的度数。
解：设∠的度数为x度，则 ∠的余
角为（90-x）度。 由题意，得： 90-x=2 x -3x=-90
x=30（度）
答：∠ 的度数为30度。
即∠ 的余角= ∠ 的余角
同角或等角的余角相等。
图形一
（2）补角的基本性质：
∠ 的补角= 180o -∠
∠ 的补角= 180o -∠
若∠=∠
则 180o -∠=180o -∠
即∠ 的补角= ∠的补角
同角或等角的补角相等。
图形2
例1、如图，∠AOC=∠BOD=Rt∠， 问有哪两个锐角相等？
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
∠ 的补角=180o -∠ ∠ 的补角=180o - 62°32′
=117°28′ 答：这个角的余角为27°28′，补角117°28′。
2、余角和补角的性质。
（1）余角的基本性质：
∠ 的余角=90°- ∠
∠ 的余角=90°- ∠
若∠ = ∠
则90°- ∠ =90°- ∠
AC
解:∠BOC=∠AOB -∠AOC =90°- ∠AOC
D
∠AOD= ∠AOB -∠BOD
B
=90°- ∠AOC
O
例4、如图∠AOC= ∠BOC=∠DOE=90°，则 图中与∠3互余的角是__∠__2_, _∠__4_, 图中与∠4互余的角是_∠__3_, __∠__1_, 图中有与∠3互补的角吗?_∠__B_O__D___.
答：这个角是60°.
练习2、（1）如果∠的余角是∠的2
倍，求 ∠的度数。
（2）如果∠1的补角是∠1的3 倍，求∠1的度数。
练习2、（1）如果∠的余角是∠的2 倍， 求 ∠的度数。
解：设∠的度数为x度，则 ∠的余
角为（90-x）度。 由题意，得： 90-x=2 x -3x=-90
x=30（度）
答：∠ 的度数为30度。
即∠ 的余角= ∠ 的余角
同角或等角的余角相等。
图形一
（2）补角的基本性质：
∠ 的补角= 180o -∠
∠ 的补角= 180o -∠
若∠=∠
则 180o -∠=180o -∠
即∠ 的补角= ∠的补角
同角或等角的补角相等。
图形2
例1、如图，∠AOC=∠BOD=Rt∠， 问有哪两个锐角相等？
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
余角和补角(57张PPT)数学
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9.一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，则比这个角小15°32′的角的度数是________.
24°28′
解析 设这个角为x°，则它的余角为90°－x°，补角为180°－x°，根据题意，得180°－x°＋10°＝3×(90°－x°)，解得x＝40，40°－15°32′＝24°28′.
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解析 ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
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∴∠MOC与∠NOC互余，∠MOA与∠NOC互余，∠MOC与∠NOB互余，∠MOA与∠NOB互余，故选A.
14.如图，∠AOB与∠COD都是直角，∠AOD＝140°21′，则∠COB＝________°.若∠AOD＝α，则∠COB＝__________.
解 如图所示，∠BOC与∠BOC′即为所求；
(2)在(1)的条件下，若OP是∠AOC的角平分线，直接写出∠AOP的度数(不需要计算过程).
解 ∵∠AON＝45°，∠BON＝30°，∴∠AOB＝75°，∵∠BOC与∠AOB互余，∴∠BOC＝15°，∴∠AOC＝90°或60°，∵OP是∠AOC的角平分线，∴∠AOP＝45°或30°.
解 当∠AOD＝α时，∠DOE＝90°.
解
归纳总结 本题考查了余角和补角以及角平分线的定义；熟练掌握两个角的互余和互补关系是解决问题的关键.
例2 (教材例2变式训练)一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少120°，则这个角的度数为________.
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9.一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，则比这个角小15°32′的角的度数是________.
24°28′
解析 设这个角为x°，则它的余角为90°－x°，补角为180°－x°，根据题意，得180°－x°＋10°＝3×(90°－x°)，解得x＝40，40°－15°32′＝24°28′.
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解析 ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
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∴∠MOC与∠NOC互余，∠MOA与∠NOC互余，∠MOC与∠NOB互余，∠MOA与∠NOB互余，故选A.
14.如图，∠AOB与∠COD都是直角，∠AOD＝140°21′，则∠COB＝________°.若∠AOD＝α，则∠COB＝__________.
解 如图所示，∠BOC与∠BOC′即为所求；
(2)在(1)的条件下，若OP是∠AOC的角平分线，直接写出∠AOP的度数(不需要计算过程).
解 ∵∠AON＝45°，∠BON＝30°，∴∠AOB＝75°，∵∠BOC与∠AOB互余，∴∠BOC＝15°，∴∠AOC＝90°或60°，∵OP是∠AOC的角平分线，∴∠AOP＝45°或30°.
解 当∠AOD＝α时，∠DOE＝90°.
解
归纳总结 本题考查了余角和补角以及角平分线的定义；熟练掌握两个角的互余和互补关系是解决问题的关键.
例2 (教材例2变式训练)一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少120°，则这个角的度数为________.
6.3.3 余角和补角 课件人教版(2024)数学七年级上册
证明：因为 OC ⊥ AB ，所以∠ COA ＝∠ COB ＝90°.
因为 OC 平分∠ DOE ，所以∠ COD ＝∠ COE .
因为∠ AOC ＋∠ COD ＝90°，∠ BOE ＋∠ COE ＝90°，
所以∠ AOD ＝∠ BOE .
4． 如图，∠ AOC ＝∠ COB ＝90°，∠ DOE ＝90°， A ， O ， B 三
∠ BOC ，则图中互余的角共有(
A． 1对
B． 2对
C． 3对
D． 4对
D
)
7． 几何直观【人教七上P188复习题T11改编】按如图所示的方法折
纸，然后回答问题：
(1)∠1与∠ AEC ，∠3和∠ BEF 分别有何关系？
解：(1)因为∠1＋∠ AEC ＝180°，所以∠1与∠ AEC 互补．
因为∠3＋∠ BEF ＝180°，所以∠3与∠ BEF 互补．
因为 OD 平分∠ BOC ，所以∠ COD ＝∠ DOB .
因为∠ COE ＋∠ COD ＝∠ DOE ＝90°，
所以∠ AOE ＝∠ COE .
所以 OE 平分∠ AOC .
2. 如图，点 O 在直线 AB 上，∠ AOC 与∠ COD 互补， OE 平分
∠ AOC ，∠ DOE ＝48°，求∠ BOD 的度数．
(2)∠1与∠3有何关系？
(2)由翻折的性质，得∠1＋∠3＝ ×180°
6． (2023·北京)如图，∠ AOC ＝∠ BOD ＝90°，∠ AOD ＝126°，
则∠ BOC 的大小为(
A． 36°
B． 44°
C． 54°
D． 63°
C
)
7． 如图，若将一副三角尺折叠放在一起，使直角的顶点重合于点
余角和补角ppt课件
综合素养训练
(2)若∠ AOE 与∠ DOB 互补，求∠ DOE的度数.
解：因为∠AOE＋∠AOC＝180°，
∠AOE＋∠DOB＝180°，所以∠AOC＝∠BOD.
因为∠BOC＋∠AOC＝90°，
所以∠BOC＋∠BOD＝90°.
所以∠EOD＝180°－(∠BOC＋∠BOD)＝90°.
④，∠α ＋ ∠β =180 °，则∠α和∠β 互补．答案：A
综合素养训练
1.[中考·武威] 若∠α =70 °，则∠α的补角的度数是( B )
A.13 0 °
B.110 °
C.30 °
D. 20 °
综合素养训练
2. 如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α
与∠β 一定相等的图形个数共有( B )
∠2＋
(∠1 － ∠2)=
∠1＋
∠2 的余角.D 选项是∠2 的余角.
∠2 =9 0 °，故C 选项不是
答案：D
综合应用创新
方法点拨
识别两个角是否互余，只需要计算两个
角的和是否等于90°即可.
综合应用创新
题型
2 利用角平分线的定义探究互余、互补
例 6 [新视角 操作探究题]如图6.3－26，把一张长方形纸片
FG 是∠CFC′的平分线，
所以∠EFB′=
∠BFB′，∠GFC′= ∠CFC′.
因为∠BFC=180°，所以∠GFC′＋∠EFB′=
(∠CFC′＋
∠BFB′)= ∠CFB= ×180°=90°.
所以∠GFC′与∠EFB′互为余角.
数学人教版(2024)七年级上册6.3.3 余角和补角 课件(共18张PPT)
问题4：如何用几何语言描述这两条性质？ （1）因为∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
所以∠2=∠3. （2）因为∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，且∠1=∠3，
所以∠2=∠4.
获取新知
探究点4 互补的性质 问题1：∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3的大小有什么关系? ∠2=∠3. 问题2：∠1与∠2，∠3与∠4都互为补角，且∠1=∠3，∠2与∠4的大小 有什么关系? ∠2=∠4. 问题3：由此可以得到补角的什么性质? 同角(等角)的补角相等.
可得∠AOB=180°-∠BOD.
拓展探究
角的推理计算
例2.如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为
∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．
解：设∠AOB=x， 因为∠AOC与∠AOB互补，
B
M
C
N
则∠AOC=180°-x．
因为OM，ON分别为∠AOC，
2 ∴∠COP=∠MOP-∠CO你的收获是什么？
两角间的 数量关系
互余
1 2 90
(1 90 2)
互补
1 2 180 (1 180 2)
对应图形
性质 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等
获取新知
探究点1 互余的概念
1.互余：如图所示，一般地，如果两个角的和等于90°(直
角)，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一
个角是另一个角的余角.
2.几何语言： 因为∠1+∠2=90°， 所以∠1与∠2互为余角， 或∠1是∠2的余角， 或∠2是∠1的余角.
反之也成立： 因为∠1与∠2互为余角， 或∠1是∠2的余角， 或∠2是∠1的余角， 所以∠1+∠2=90°.
6.3.3余角和补角 课件-人教版数学七年级上册
感悟新知
解题秘方：从图中找互余或互补的角，可从两个方 面进行：一个方面是从角的度数入手，和为9 0 °的 两个角互余，和为180 °的两个角互补；另一个方面 是从整体入手，将直角分成两个角，则这两个角互 余，将平角分成两个角，则这两个角互补.
感悟新知
知1－练
(1)图中互余的角有几对？分别是哪些？
所以∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－72°＝108°.
因为 OE 平分∠AOC，所以∠COE＝12∠AOC＝12×108°＝54°. 所以∠BOE＝∠COE＋∠BOC＝54°＋72°＝126°.
感悟新知
知1－练
例 2 如图6.3－23，O 为直线AB 上一点， ∠AOC= ∠DOE=90°.
感悟新知
知识点 2 余角、补角的性质
知2－讲
内容
几何语言
余角的
同角的余角相等
因为∠1＋ ∠2=90°，∠1＋ ∠3=90°， 所以∠2= ∠3
性质
等角的余角相等
因为∠1＋ ∠2=90°，∠3＋ ∠4=90°， 且∠1= ∠3，所以∠2= ∠4
补角的
同角的补角相等
因为∠1＋ ∠2=180°，∠1＋ ∠3=180°，所以∠2= ∠3
感悟新知
(3)写出∠COD 的补角. 解：∠COD的补角为∠AOE.
知2－练
感悟新知
知2－练
例 4 如图6.3－25，已知O 是直线AB 上的一点，OC是一 条射线，OD平分∠AOC，∠DOE=90 °，OE 平分 ∠BOC 吗？为什么？
解题秘方：先紧扣角平分线的定 义，利用余角的性质说明两个角 相等.
感悟新知
(1)求∠BOC 的度数； 解：因为∠BOC 与∠BOD 互为余角， 所以∠BOC＋∠BOD＝90°. 因为∠BOC＝4∠BOD， 所以∠BOC＝45×90°＝72°.
人教版七年级数学上册 6.3.3 余角和补角 PPT
合作探究
(1) 若∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3的大小有什么关系？ (2) 若∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，那么∠2与∠4的大小有 什么关系？
我们得到关于补角的一个性质： 同角(等角)的补角相等.
对于余角也有类似的性质： 同角(等角)的余角相等.
迁移应用
重点
迁移应用
1.若∠ α =29°45′，则∠ α的余角等于( B )
迁移应用
难点
例4.如图，已知∠AOB和∠COD都是∠BOC的余角,OE,OF分别为∠AOB和∠COD 的平分线,且∠AOD=130°. (1)求∠BOC的度数;(2)求∠EOF的度数.
迁移应用 1.如图，∠AOB和∠AOD分别是∠AOC的余角和补角，且OC是∠BOD的平分线， 求∠COD的度数.
故这个锐角的度数为45°.
迁移应用
重点
例2： 如图6.3-15，点A，O，B在同一条直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC.图中哪些角互为余角?
迁移应用
1.已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，那么( C )
A.∠2＞∠4 B.∠2＜∠4 C.∠2=∠4 D.∠2与∠4的大小不确定
解:如图②所示，点A为少年宫的位置.
迁移应用
如图,点O是学校所在位置,A村位于学校南偏东42°方向上,B村位于学校北 偏东25°方向上,C村位于学校北偏西65°方向上,在B村和C村之间有一条公 路OE(射线)平分∠BOC. (1)求∠AOE的度数. (2)公路OE上的车站D相对于学校0的方位是什么? (以正北、正南方向为基准)
3.如图，已知射线OA与射线OB的夹角为90°， 射线0A表示北偏西25°的方
向，则射线OB表示的方向为___北__偏__东__6_5_°___.
6.3.3 余角和补角课件人教版数学七年级上册
由题意得,90°-x=14(180°-x). 所以x=60°.
所以这个角的度数是60°.
知识点 余角、补角的性质及计算
1.如果∠1和∠2互为补角,且∠1>∠2,那么∠2的余角为 ( D )
A.12(180°-∠1)
B.12∠1
C.12(∠1+∠2)
D.12(∠1-∠2)
【解析】因为12(∠1-∠2)+∠2=12(∠1+∠2)=90°,所以∠2的余角为12(∠1-∠2).
【解析】180°-46°35'
=179°60'-46°35'
=133°25'.
4.如果∠α和2∠β互补,且∠α<2∠β,给出下列四个式子:①90°-∠α;②2∠β-90°;
③∠β-12∠α;④∠β+12∠α.其中可以表示∠α余角的式子有( ) B
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【解析】因为∠α与2∠β互补,
5.如图,点A,O,B在同一条直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,则 ∠COE的余角是_____∠_C__O_D__,∠__A_O_D___. 【解析】因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC, 所以∠AOD=∠COD=12∠AOC,∠COE=∠BOE=12∠BOC. 因为∠AOC+∠BOC=180°, 所以∠COD+∠COE=12∠AOC+12∠BOC=12(∠AOC+∠BOC)=12×180°=90°, 所以∠COE+∠AOD=90°, 所以∠COE的余角是∠COD,∠AOD.
(2)因为OE平分∠BOD,OF平分∠AOC, 所以∠DOE=∠EOB=12∠BOD, ∠COF=∠FOA=12∠AOC. 因为∠AOD=k∠BOC,∠EOF=14∠BOC, 即∠BOC=4∠EOF, 所以∠AOD=4k∠EOF. 因为∠BOC=∠BOD+∠AOC-∠AOD,∠BOD=2∠BOE,∠AOC=2∠COF, ∠BOE+∠COF-∠BOC=∠EOF, 所以4∠EOF=2(∠EOF+4∠EOF)-4k∠EOF,k=32.
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第四章 几何图形初步
4.3.3余角和补角
【学习目标】
●1.理解余角和补角的定义，掌握它们的性质. ●2 . 能 辨 认 余 角 和 补 角 ， 并 能 简 单 运 用 性 质 . ●3.理解方位图的画法，能用量角器画出简单
的方位图.
【课前预习】
● 1．下列说法：①射线AB和射线BA是同－条射线；②锐角和钝角互补；③若－ 个角是钝角，则它的一半是锐角；④一个锐角的补角比这个角的余角大90 度．其中正确的个数是（ ）
1 3
2
答：∠2与∠3相等。
理由如下：
∵ ∠1 与∠2互补， ∴ ∠2= 180 °－＿＿∠＿1 ； ∵ ∠1与∠3互补 ， ∴＿＿∠3＿=＿1＿8＿0°＿－＿∠＿1 ＿＿。 ∴＿＿∠＿2＿=∠＿3＿＿＿。
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补角的性质
等角的补角相等
如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，∠1＝∠3， 那么∠2与∠4有什么关系？为什么？
21 43
解: ∵ ∠1 与∠2互补， ∴ ＿∠＿2＿=1＿80＿－＿∠＿1 ＿＿＿＿； ∵ ∠3 与∠4互补， ∴ ＿＿∠4＿= 1＿8＿0°－＿∠＿3＿＿＿；
又 ∵ ∠1＝∠3, ∴ ＿1＿80＿°－＿∠＿1=＿1＿80＿°－＿∠＿3 ＿＿， 即＿＿∠＿2=＿∠4＿＿＿＿。
质
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试一试：
∠α
∠α的余角
∠α的补角
5° 32° 62°23′ 70°39′
X
85° 58° 27°37′ 19°21′
90°－X
175° 148° 117°37′
109°21′ 180°－X
归纳：∠ （ ∠ <90 ° ）的余角是 90°－ ∠ 。
∠ 的补角是
180°－∠ 。
则一个角的补角比它的余角大 90。°
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方位角
北 D
E 45° 45°
西
C
O
F
B南
H （1）正东，正南，正西，正北
射线OA， OB， OC， OD,
东 （2）西北方向:_________射线OE
A
西南方向:__________ 射线OF
● A．1个
B．2个 C．3个”
D．4个
2．已知 是锐角， 与 互补， 与 互余，则 与 的关系为（ ）
A． 90 B． 90 C． 90 D． 180
3．如果 和 互补，且 ，则下列表示 的余角的式子：①90 ；
② 90 ；③180 ；④ 1 ( ) 中，正确的是（
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补角性质：
同角或等角的补角相等
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数量 关系
对 应 图 形
互余
∠1+∠2=90°
2 1
互补
∠1+∠2=180°
2
1
性
同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等．
余角的性质
等角的余角相等
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如 果∠1＝∠３那么∠2与∠４相等吗？为什么？
答：∠2与∠４相等， 理由如下：
∵ ∠1 与∠2互余， ∴ ∠1 +∠2=90°，即 ∠2= 90 °－＿＿∠；1
1
2
∵ ∠3与∠4互余 ， ∴＿∠＿3 +＿∠＿4＿=9＿0＿°，＿即＿∠＿4=＿9＿0°＿－＿∠＿3 ＿；
2
● A．①②④ B．①②④
C．①②
）
D．③④
● 4．已知∠1＝42°45′，则∠1的余角等于（ ）
● A．47°55′ B．47°15′
C．48°15′
D．137°55′
● 5．下列说法中正确的是（ ）
● A．一个锐角的余角比这个锐角的补角小90°B．如果一个角有补角，那么这个 角必是钝角
C．如果 1 2 3 90 ，则 1 ， 2 ，3 互为余角
A
1
2
0
D
如图∠AOD = 90°
1 2
∠1+∠2 = 90°
2.如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余，即 其中一个角是另一个角的余角.
几何语言表示为：
∠1=90°—∠2
如果∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互为余角.
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C
1 2
O
B O
B
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1.如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为 补角，简称互补，即其中一个角是另一个角的补角.
2 11
几何语言表示为： 如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角.
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∠1=180°-∠2
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∵ ∠1 =∠3， ∴ 90°－∠1 =90°－ ∠3 即：＿∠＿2＿=＿∠4＿＿＿＿。
3
4
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余角性质：
同角或等角的余角相等
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补角的性质
同角的补角相等
如图∠1 与∠2互补，∠1 与∠3互补 ， 那么∠2与∠3相等吗？为什么？
D．如果 A 与 B 互为余角， B 与 C 互为余角，那么A 与C 也互为余角
【课前预习】答案
●1．B ●2．A ●3．B ●4．B ●5．A
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问:如图所示,这座塔的其中 两堵墙围一个角AOB,我 们如何去测量这个角的大A 小呢？
A C
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如图∠AOB = 90 ° ∠COD = 90 °
B
则∠1与∠2是什么关系？
分析： ∠AOCB = 90 °则______+∠1∠BOD = 90 °； ∠COD = 90 °则 ___∠_2_+ ∠BOD = 90 ° 答：∠1 = ∠2
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图中给出的各角，那些互为补角？
30o
60o
80o
100o
120o
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150o
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图中给出的各角，哪些互为余角？
10o
30o
50o
60o
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40o
80o
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A
D
1
O2
余角的性质 同角的余角相等
4.3.3余角和补角
【学习目标】
●1.理解余角和补角的定义，掌握它们的性质. ●2 . 能 辨 认 余 角 和 补 角 ， 并 能 简 单 运 用 性 质 . ●3.理解方位图的画法，能用量角器画出简单
的方位图.
【课前预习】
● 1．下列说法：①射线AB和射线BA是同－条射线；②锐角和钝角互补；③若－ 个角是钝角，则它的一半是锐角；④一个锐角的补角比这个角的余角大90 度．其中正确的个数是（ ）
1 3
2
答：∠2与∠3相等。
理由如下：
∵ ∠1 与∠2互补， ∴ ∠2= 180 °－＿＿∠＿1 ； ∵ ∠1与∠3互补 ， ∴＿＿∠3＿=＿1＿8＿0°＿－＿∠＿1 ＿＿。 ∴＿＿∠＿2＿=∠＿3＿＿＿。
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补角的性质
等角的补角相等
如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，∠1＝∠3， 那么∠2与∠4有什么关系？为什么？
21 43
解: ∵ ∠1 与∠2互补， ∴ ＿∠＿2＿=1＿80＿－＿∠＿1 ＿＿＿＿； ∵ ∠3 与∠4互补， ∴ ＿＿∠4＿= 1＿8＿0°－＿∠＿3＿＿＿；
又 ∵ ∠1＝∠3, ∴ ＿1＿80＿°－＿∠＿1=＿1＿80＿°－＿∠＿3 ＿＿， 即＿＿∠＿2=＿∠4＿＿＿＿。
质
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试一试：
∠α
∠α的余角
∠α的补角
5° 32° 62°23′ 70°39′
X
85° 58° 27°37′ 19°21′
90°－X
175° 148° 117°37′
109°21′ 180°－X
归纳：∠ （ ∠ <90 ° ）的余角是 90°－ ∠ 。
∠ 的补角是
180°－∠ 。
则一个角的补角比它的余角大 90。°
余角和补角ppt人教版2（精品课件）
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方位角
北 D
E 45° 45°
西
C
O
F
B南
H （1）正东，正南，正西，正北
射线OA， OB， OC， OD,
东 （2）西北方向:_________射线OE
A
西南方向:__________ 射线OF
● A．1个
B．2个 C．3个”
D．4个
2．已知 是锐角， 与 互补， 与 互余，则 与 的关系为（ ）
A． 90 B． 90 C． 90 D． 180
3．如果 和 互补，且 ，则下列表示 的余角的式子：①90 ；
② 90 ；③180 ；④ 1 ( ) 中，正确的是（
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补角性质：
同角或等角的补角相等
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数量 关系
对 应 图 形
互余
∠1+∠2=90°
2 1
互补
∠1+∠2=180°
2
1
性
同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等．
余角的性质
等角的余角相等
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如 果∠1＝∠３那么∠2与∠４相等吗？为什么？
答：∠2与∠４相等， 理由如下：
∵ ∠1 与∠2互余， ∴ ∠1 +∠2=90°，即 ∠2= 90 °－＿＿∠；1
1
2
∵ ∠3与∠4互余 ， ∴＿∠＿3 +＿∠＿4＿=9＿0＿°，＿即＿∠＿4=＿9＿0°＿－＿∠＿3 ＿；
2
● A．①②④ B．①②④
C．①②
）
D．③④
● 4．已知∠1＝42°45′，则∠1的余角等于（ ）
● A．47°55′ B．47°15′
C．48°15′
D．137°55′
● 5．下列说法中正确的是（ ）
● A．一个锐角的余角比这个锐角的补角小90°B．如果一个角有补角，那么这个 角必是钝角
C．如果 1 2 3 90 ，则 1 ， 2 ，3 互为余角
A
1
2
0
D
如图∠AOD = 90°
1 2
∠1+∠2 = 90°
2.如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余，即 其中一个角是另一个角的余角.
几何语言表示为：
∠1=90°—∠2
如果∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互为余角.
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C
1 2
O
B O
B
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1.如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为 补角，简称互补，即其中一个角是另一个角的补角.
2 11
几何语言表示为： 如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角.
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∠1=180°-∠2
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∵ ∠1 =∠3， ∴ 90°－∠1 =90°－ ∠3 即：＿∠＿2＿=＿∠4＿＿＿＿。
3
4
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余角性质：
同角或等角的余角相等
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补角的性质
同角的补角相等
如图∠1 与∠2互补，∠1 与∠3互补 ， 那么∠2与∠3相等吗？为什么？
D．如果 A 与 B 互为余角， B 与 C 互为余角，那么A 与C 也互为余角
【课前预习】答案
●1．B ●2．A ●3．B ●4．B ●5．A
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问:如图所示,这座塔的其中 两堵墙围一个角AOB,我 们如何去测量这个角的大A 小呢？
A C
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如图∠AOB = 90 ° ∠COD = 90 °
B
则∠1与∠2是什么关系？
分析： ∠AOCB = 90 °则______+∠1∠BOD = 90 °； ∠COD = 90 °则 ___∠_2_+ ∠BOD = 90 ° 答：∠1 = ∠2
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图中给出的各角，那些互为补角？
30o
60o
80o
100o
120o
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150o
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图中给出的各角，哪些互为余角？
10o
30o
50o
60o
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40o
80o
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A
D
1
O2
余角的性质 同角的余角相等