二次函数与方程(不等式) 课件
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高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式精品课件
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 8．给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是___③_____．
解析 ①当 c>0 时，由 ac>bc 可得 a>b，当 c<0 时，由 ac>bc 可得 a<b，故 ①错；
4．已知 a，b，c 为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，
那么 P 与 Q 的大小关系是( A )
A．P>Q
B．P≥Q
C．P<Q
D．P≤Q
解析 ∵P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c)＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2，且 a，b，c 不全相等，∴P－Q>0，∴P>Q.
12．(10
分)已知
a，b
为正实数，试比较
a＋ b
b与 a
a＋
b的大小． a
)
－
(
a＋
b)＝(
a－ b
b)＋(
b－ a
a
)
＝
a－b b
＋
b－a a
＝
（a－b）（ a－ ab
b）＝（
a－
b）2（ ab
a＋
b） .
∵a，b 为正实数，
∴ a＋ b>0， ab>0，( a－ b)2≥0，
A类
1 2
7.5
B类
1 3
6
今制定计划欲使总产值最高，则 A 类产品应开发___2_0____件，最高产值为
二次函数与方程不等式的关系ppt课件
△=0 x1=x2=1
x2-2x+2=0
△＜0 无实数根
y=x2-2x+1 y=x2-2x+2
1个
（1，0） 0个
与x轴交点 个数 交点坐标
2个
（0，0） （-2，0）
无
归 纳 总 结
1、函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点个数 与方程ax2+bx+c=0(a≠0)解的个数一致。 △＞0 △＝0 △＜0 有两个交点 有一个交点 没有交点
-1 0
3
x
归 纳 总 结
不等式ax2+bx+c＞0 的解集就是函数 y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分 所对应的x的取值范围； 不等式ax2+bx+c＜0 的解集就是函数 y=ax2+bx+c的图象在x轴下方的部分 所对应的x的取值范围；
拓 展 延 伸
如图: 二次函数y1=ax2+bx+c 与一次函数y2=kx+b的图象相 交于点A (-1,3) 和 B (5,2),
不等式ax2+bx+c＜0 的解集就是函数y=ax2+bx+c的图 象在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 4. 数学方法：类比、转化；数学思想：数形结 合的思想.
作
业
活页练习18.19.20.21.
谢谢合作
2、你能做出它的大致图象吗？
Байду номын сангаас
问 题 探 究 一
议一议
y
你能说出方程x2-2x-3=0 的根吗？ 你能猜出函数y=x2-2x-3 的图像与x轴的交点个数 及交点的坐标吗？你是怎 样思考的？
x2-2x+2=0
△＜0 无实数根
y=x2-2x+1 y=x2-2x+2
1个
（1，0） 0个
与x轴交点 个数 交点坐标
2个
（0，0） （-2，0）
无
归 纳 总 结
1、函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点个数 与方程ax2+bx+c=0(a≠0)解的个数一致。 △＞0 △＝0 △＜0 有两个交点 有一个交点 没有交点
-1 0
3
x
归 纳 总 结
不等式ax2+bx+c＞0 的解集就是函数 y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分 所对应的x的取值范围； 不等式ax2+bx+c＜0 的解集就是函数 y=ax2+bx+c的图象在x轴下方的部分 所对应的x的取值范围；
拓 展 延 伸
如图: 二次函数y1=ax2+bx+c 与一次函数y2=kx+b的图象相 交于点A (-1,3) 和 B (5,2),
不等式ax2+bx+c＜0 的解集就是函数y=ax2+bx+c的图 象在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 4. 数学方法：类比、转化；数学思想：数形结 合的思想.
作
业
活页练习18.19.20.21.
谢谢合作
2、你能做出它的大致图象吗？
Байду номын сангаас
问 题 探 究 一
议一议
y
你能说出方程x2-2x-3=0 的根吗？ 你能猜出函数y=x2-2x-3 的图像与x轴的交点个数 及交点的坐标吗？你是怎 样思考的？
第04课二次函数与一元二次方程不等式(课件)
| 综上，当 a>2 或 a<－2 时，原不等式的解集为 x
a－ a2－4≤x≤a＋ a2－4
2
2
；当 a＝2 时，原不等式的解集为{1}；当
a＝－2 时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a<2 时，原不等式的解集为∅. 【反思】对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与 0 的关系判断根的个数．
＝－1－t2. 4
③当 t ≤－1，即 2
t≤－2
时，f(x)在[－1，2]上单调递增，所以
f(x)min＝f(－1)＝t.
t，t≤－2，
综上，g(t)＝ －1－t2，－2＜t＜4， 4 3－2t，t≥4.
【反思】闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指
解得－2<a<2.综上可得，a 的取值范围为(－2,2]．
【反思】恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在 R 上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分 离参数求最值或分类讨论．
一、【考点逐点突破】
故选 C.
【反思】注意二次项的系数是正还是负.
一、【考点逐点突破】
【考点 7】含参数的一元二次不等式解法
【典例】解关于 x 的不等式 x2－ax＋1≤0.
一、【考点逐点突破】
【考点 7】含参数的一元二次不等式解法 【解析】由题意知，Δ＝a2－4，①当 a2－4>0，即 a>2 或 a<－2 时，方程 x2－ax＋1＝0 的两根为 x＝a± a2－4，
二次函数与一元二次方程、不等式课件(第一课时)-2024-2025学年高一上学期数学必修第一册
y=x2-12x+20
P(x,y)
P(x,y)
x
一元二次不等式的解法
问题2: 基于三个“一次”的思想方法．类似地，要解一元二次不等式，首先要了解这三个
“二次”的关系.
方时, P点纵坐标y的符号是怎样的？
P在x轴上方时: 纵坐标y>0
纵坐标y=0
P在x轴上时:
P在x轴下方时: 纵坐标y<0
y
O
我们在平面直角坐标系中画出二次函数 y=x2-12x+20的图象(右图)
方程x2-12x+20=0的根2和10就是二次函数y=x2-12x+20上纵坐标为0点的横坐标
一元二次不等式的解法
问题2: 基于三个“一次”的思想方法．类似地，要解一元二次不等式，首先要了解这三个
“二次”的关系.
我们在平面直角坐标系中画出二次函数 y=x2-12x+20的图象(右图)
y=x2-12x+20
y
思考4: 一元二次方程x²-12x+20=0的实数根就是二次函数y=x²-12x+20图象
二次函数零点的定义：
对于二次函数y=ax²+bx+c，我们把使ax²+bx十c=0的实数x叫做二次函数
y=ax²+bx十c 的零点，二次函数y=x2-12x+20 的两个零点是2和10.
注意：零点是实数不是点，是函数对应方程的根！
2
10
x
一元二次不等式的解法
问题3: 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式ax²+bx+c>0(a>0) 和ax2+ bx+c<0 (a>0) 的
二次函数与一元二次方程、不等式_课件
对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次 不等式或一元一.次不等式组求解，但要注意分母不 为零.
对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先 移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为 零，然后再用上述方法求解.
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
∴原不等式的解集 为
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
(3){x|x≠2}
2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0?大于0?小于 0? （1）y=3x²-6x+2;（2）y=25-x²; （3）y=x²＋6x+10;（4）y=-3x²＋12x-12.
(2) 令25-x²=0，则z=±5，又由y=25-x²图象的开口方向朝下，故z=±5 时 ，函数的值等于0，当-5 (3)令x²＋6z＋10=0，则方程无解，又由y=x²＋6x＋10 图象的开口方向上， 故无论x须何值，函数值均大于0; (4)x=2时，函数的值等于0；当x≠2时，函数值小于 0.
∴原不等式的解集 为
知识拓展
简单高次不等式的解 法
知识拓展 [解析]原不等式等价于x(x+2)(x3)<0. 结合数轴穿针法（如图）可知
[答案]A
拓展练习 变式训练3：解不等式：x(x-1)²(x+1)³(x-2)>0.
∴原不等式的解集 为
1.求下列不等式的解集∶ (1)(x+2)(x-3)>0;(2)3x²-7x≤10; (3)-x²+4x-4<0;(4)x²-x+<0; (5)-2x²+x≤-3;(6)x²-3x+4>0; 答案（1）{x|x<-2,或x>3} (4)不等式的解集为
程
对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先 移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为 零，然后再用上述方法求解.
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
∴原不等式的解集 为
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
(3){x|x≠2}
2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0?大于0?小于 0? （1）y=3x²-6x+2;（2）y=25-x²; （3）y=x²＋6x+10;（4）y=-3x²＋12x-12.
(2) 令25-x²=0，则z=±5，又由y=25-x²图象的开口方向朝下，故z=±5 时 ，函数的值等于0，当-5 (3)令x²＋6z＋10=0，则方程无解，又由y=x²＋6x＋10 图象的开口方向上， 故无论x须何值，函数值均大于0; (4)x=2时，函数的值等于0；当x≠2时，函数值小于 0.
∴原不等式的解集 为
知识拓展
简单高次不等式的解 法
知识拓展 [解析]原不等式等价于x(x+2)(x3)<0. 结合数轴穿针法（如图）可知
[答案]A
拓展练习 变式训练3：解不等式：x(x-1)²(x+1)³(x-2)>0.
∴原不等式的解集 为
1.求下列不等式的解集∶ (1)(x+2)(x-3)>0;(2)3x²-7x≤10; (3)-x²+4x-4<0;(4)x²-x+<0; (5)-2x²+x≤-3;(6)x²-3x+4>0; 答案（1）{x|x<-2,或x>3} (4)不等式的解集为
程
第二章 一元二次函数、方程和不等式课件(人教版)
a＞0，
需
Δ＝22－4×2a＜0，
1
，＋∞.
2
1
解得 a＞ .综上，所求实数 a 的取值范围为
2
类型四 不等式恒成立问题
【例 4】 (1)若不等式 x2＋mx－1＜0 对于任意 x∈{x|m≤x≤m＋1}
都成立，则实数 m 的取值范围是________．
(2)对任意－1≤m≤1，函数 y＝x2＋(m－4)x＋4－2m 的值恒大于零，
人教A版高中数学必修第一册
第二章 一元二次函数、方程和不等式
章节复习与小结
体系构建
用不等式表示不等关系
证明不等式
相等关系与不等关系
不等式的基本性质
不等式
基本不等式
≤
+
2
比较大小
求最值
证明不等式
一元二次不等式的概念
二次函数、一元二次
方程、不等式
一元二次不等式解法
三个二次间的关系
知识梳理
1.不等式的性质
①若 ac>bc，则 a>b；
②若 a<b，则 ac2<bc2；
1 1
③若a<b<0，则 a>b；
④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d；
⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd.
③
其中正确结论的序号是______.
类型二 基本不等式的应用
x＋5x＋2
【例 2】 设 x<－1，求 y＝
的最大值．
1
2
x x x x
2
x1=x2
x
x
O
x1=x2= b
没有实根
需
Δ＝22－4×2a＜0，
1
，＋∞.
2
1
解得 a＞ .综上，所求实数 a 的取值范围为
2
类型四 不等式恒成立问题
【例 4】 (1)若不等式 x2＋mx－1＜0 对于任意 x∈{x|m≤x≤m＋1}
都成立，则实数 m 的取值范围是________．
(2)对任意－1≤m≤1，函数 y＝x2＋(m－4)x＋4－2m 的值恒大于零，
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
章节复习与小结
体系构建
用不等式表示不等关系
证明不等式
相等关系与不等关系
不等式的基本性质
不等式
基本不等式
≤
+
2
比较大小
求最值
证明不等式
一元二次不等式的概念
二次函数、一元二次
方程、不等式
一元二次不等式解法
三个二次间的关系
知识梳理
1.不等式的性质
①若 ac>bc，则 a>b；
②若 a<b，则 ac2<bc2；
1 1
③若a<b<0，则 a>b；
④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d；
⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd.
③
其中正确结论的序号是______.
类型二 基本不等式的应用
x＋5x＋2
【例 2】 设 x<－1，求 y＝
的最大值．
1
2
x x x x
2
x1=x2
x
x
O
x1=x2= b
没有实根
二次函数与一元二次方程、不等式(第2课时)(教学课件)
x1=0，x2=2
∴ 原不等式的解集为 {x|x<0, 或x>2}
当a<0时，由ax(x-2) > 0得 (-a)x(x-2) < 0
方程(-a)x(x-2)=0的根为 x1=0，x2=2
∴ 原不等式的解集为 {x|0<x<2}
2.含参一元二次不等式的解法
解关于x的不等式: (1)x2-(a+1)x+a≤0
例4.一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数
量(单位：辆)与创造的价值(单位：元)之间有如下的关系： = −20 2 + 2200.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大
约应生产多少辆摩托车？
画出二次函数 = 2 − 110 + 3000的图象，结合图象得不等式 2 −
因为车速 > 0，所以 > 2 .而79.9 < 2 < 80，所以这辆汽车刹车前的车速至少
为80/ℎ.
2.含参一元二次不等式的解法
解关于x的不等式：
(1) x2 - a2x≤ a2 -x; (2) ax(x-2) > 0
解：(1) 由x2 - a2x≤ -x得 x2 + (1-a2)x-a2 ≤ 0
距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之
间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01，s乙＝0.05x＋0.005.
【探究1】
判断甲、乙两车是否超速，各需用怎样的不等式？
【提示】
对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12；对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10.
∴ 原不等式的解集为 {x|x<0, 或x>2}
当a<0时，由ax(x-2) > 0得 (-a)x(x-2) < 0
方程(-a)x(x-2)=0的根为 x1=0，x2=2
∴ 原不等式的解集为 {x|0<x<2}
2.含参一元二次不等式的解法
解关于x的不等式: (1)x2-(a+1)x+a≤0
例4.一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数
量(单位：辆)与创造的价值(单位：元)之间有如下的关系： = −20 2 + 2200.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大
约应生产多少辆摩托车？
画出二次函数 = 2 − 110 + 3000的图象，结合图象得不等式 2 −
因为车速 > 0，所以 > 2 .而79.9 < 2 < 80，所以这辆汽车刹车前的车速至少
为80/ℎ.
2.含参一元二次不等式的解法
解关于x的不等式：
(1) x2 - a2x≤ a2 -x; (2) ax(x-2) > 0
解：(1) 由x2 - a2x≤ -x得 x2 + (1-a2)x-a2 ≤ 0
距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之
间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01，s乙＝0.05x＋0.005.
【探究1】
判断甲、乙两车是否超速，各需用怎样的不等式？
【提示】
对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12；对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10.
人教版高中数学必修第一册 2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第2课时)【课件】
③当a<0时，原不等式可化为(x－2)x－2a<0.
∵2a<2，∴2a<x<2.
综上，当a＝0时，原不等式解集为{x|x<2}；
当0<a<1时，原不等式解集为x|
x<2或x>2a；
当a≥1时，原不等式解集为x|
x<2a或x>2；
当a<0时，原不等式解集为x|
2 a<x<2.
(2)Δ＝m2＋12m＝m(m＋12)．
②若a≠±1，则当
Δ＝（a－1）2＋4（a2－1）<0，
a2－1<0
时，不等式的解集为
R，解得－35<a<1.
综上，实数a的取值范围是a|
－35<a≤1.
题型三 实际应用题 例3 某摩托车生产企业，上年度生产车的投入成本为1万元/辆，出厂价为 1.2万元/辆，年销售量为1 000辆，本年度为适应市场需要，计划提高产品档次， 适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提 高的比例为0.75x，同时预计年销量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－ 投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与每辆车投入成本增加的比例x之间的关系 式； (2)为使本年度的利润比上年度有所增加，则每辆车投入成本增加的比例x应 在什么范围内？
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(第2课时)
题型一 解含参数的一元二次不等式
例1 (1)解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0. (2)解关于x的不等式3x2－mx－m>0. 【解析】 (1)原不等式可化为(x－2)(ax－2)>0， ①当a＝0时，原不等式可化为x－2<0，∴x<2. ②当a>0时，原不等式可化为(x－2)x－2a>0. 若0<a<1，则2<2a，∴x<2或x>2a. 若a≥1，则2≥2a，∴x<2a或x>2.
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抛物线y=ax²+bx+c与直线y=0的交点 转化 转化
一元二次方程ax²+bx+c=0的解
抛物线y=ax²+bx+c与直线y=k的交点 转化 转化
一元二次方程ax²+bx+c=k的解
抛物线y=ax²+bx+c与直线y=kx+n的交点 转化 转化
一元二次方ax²+bx+c=kx+n
结合
数
y
(X1,0)
x
继续探究：
y
不等式ax²+bx+c＞0的解 转化
二次函数y=ax²+bx+c的
值y＞0的x的取值范围 数形结合
变式1 ：
(X1,0)
OA
y (x1,k)
Ck) D 直线y=
x
不等式ax²+bx+c＞k的解
y 直线y=kx+n
变式2 ： 不等式ax²+bx+c＞kx+n的解
(2)如图，设P是线段AB上的一个动点(不与A、B重 合)，过点P作直线PK⊥x轴交抛物线于点K， ①求线段PK长度的最大值及此时点K的坐标；
y
B(4,5)
P
A -1 o
3x
-3
y=x+1
K
y=x2-2x-3
②.当线段PK取得最大值时，抛物线上是否存在点Q(不与 点K重合)，使S△ABQ =S△ABK？若存在，请求出点Q的横坐 标；若不存在，请说明理由.
抛物线y＝ ax2 ＋bx＋c
与x轴的交
点个数
图像
y
2个
oA B x
y
1个
oA x
判别式Δ
＝b2－4ac
方程ax2＋bx＋c＝ 0有实根的个数
的符号
Δ>0
两个__不_相__等___实根
Δ＝0 两个___相_等____实根
y
没有
o
x Δ<0
_____没_有__实根
共同探究：
y
练习2.求二次函数图 直线y=6 (-1,6)
方程x2-3x+2=0 的解
发现：抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标
就是方程x2-3x+2=0的解。 y
(X1,0) (X2,0)
OA
B
x
结论1：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是 A（ x1，0 ）， B（ x2，0 ）
与直线y=x-1两个交点的横坐标。
y
直线y=kx+n
F(x2,kx2+n)
E
O (x1,kx1+n)
x
结论3：若一元二次方程ax2+bx+c=kx+n的两个根是x1、 x标2。分则别抛是物A（线x1y，=axk2x+1b+xn+c）与，直B线（yx=2k，x+knx2的+n两）个；交点坐
归纳小结：
象y=x2-3x+2与直线
C
y=6的交点C、D坐标。
O
解:令y=6，则x2-3x-4=0
解得：x1=4，x2=-1； ∴C（-1，6），D（4，6）
(4,6)
D
抛物线y=x2-3x+2与直线 转化 y=6的两个交点横坐标
方程x2-3x+2=6 的解
抛物线y=x2-3x+2与直线y=6两个交点的横坐标 就是方程x2-3x+2=6的解 。
③可以看做是抛物线y=x2 与直线y=-x+1交点坐标的横坐标；
④可以看做是抛物线y=x2-1 与直线y=x交点坐标的横坐标；
上述说法正确的是（ C ）
A.①②④ C. ① ③
B. ② ④ D. ① ④
y
6 5 4
3
2 1
-2 -1 0
1
2x
理解应用：
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如y 图所示, 根据图像回答下列问题：
课前热身：
练习1. 求二次函数 图象y=x2-3x+2与x轴 的交点A、B的坐标。
解：∵A、B在x轴上， ∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2-3x+2=0 解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0)，B（2，0）
抛物线y=x2-3x+2 与 转化
x轴的两个交点横坐标
y
(1,0) (2,0) OA B x
解：令y=x-1,则x2-3x+2=x-1 解得：x1=1，x2=3；
∴E（1，0） ， F（3，2）
y
(1,0) OE
直线y=x-1
F(3,2)
抛物线y=x2-3x+2与直线 转化 y=x-1的两个交点横坐标
方程x2-3x+2=x-1 的解
结论: 方程x2-3x+2=x-1的解是抛物线y=x2-3x+2
OA
(X2,0)
Bx
y (x1,k)
C
(x2,k) D 直线y=
O
x
y 直线y=kx+n
(x1,kx1+n)E O
形
F(x2,kx2+n) x
理解应用：
1.利用二次函数的图象求方程 x2+x-1=0的近似解.
有下列说法
①可以看做是抛物线y=x2+x-1与直线x轴交点坐标的横坐标； x
②可以看做是抛物线y=x2 与直线y=x-1交点坐标的横坐标；
③当__-1_＜__x__＜__3_时，x2-2x-3 ＜ 0;
34 x y=x2-2x-3
当_x_＜__-_1_或__x_＞_ 3 时,x2-2x-3 ＞ 0;
④当___-_1_<_x_<_4__时，二次函数y=x2-2x-3 的函数值小于一次函数y=x+1的函数值;
⑤不等式x2-2x-3≥x+1的解集是_x_≤_-_1_或__x_≥__4_.
y
y=x2-2x-3
1 A -1 o
y=x+1 -3
B(4,5)
3x
分析
直线l1: y=x-
21 4
解方程组
y=x-
21 4
解得x1=x2=
y=x2-2x-3
23（舍去）y
直线l2:
（（11）不方等程式axa2+xb2+xb+xc+=c0＞的0解的为解为 x11＜=1x或＜x32=3；x （2） 方程ax2+bx+c-2=0的解为 x1=x2=2
（3） 方程ax2+bx+c+1=0的解的情况.
（4） 若方程ax2+bx+c =k有两 个不相等的实数根，求k的取 值范围.
y
2
1
o 123 -1
(x1,kx1+n)E O
F(x2,kx2+n) x
综合应用：
已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
y
(4,5)
的图象如图, (1)根据图象回答：
①当x__=__-_1__或___3 时，y = 0;
-1 o
②方程x2-2x-3=0的解是 __x_1=_-_1_,_x_2_=__3
y=x+1 -3
y
(x1,k)
C
O
(x2,k)
D
直线y=k
x
结论2：若一元二次方程ax2+bx+c=k的两个根是x1、x2; 则抛物线y=ax2+bx+c与直线y=k的两个交点坐标分别是 A（ x1，k ）,B（ x2，k ）
共同探究：
练习3. 求二次函数 图象y=x2-3x+2与直 线y=x-1的交点E、F 的坐标。
一元二次方程ax²+bx+c=0的解
抛物线y=ax²+bx+c与直线y=k的交点 转化 转化
一元二次方程ax²+bx+c=k的解
抛物线y=ax²+bx+c与直线y=kx+n的交点 转化 转化
一元二次方ax²+bx+c=kx+n
结合
数
y
(X1,0)
x
继续探究：
y
不等式ax²+bx+c＞0的解 转化
二次函数y=ax²+bx+c的
值y＞0的x的取值范围 数形结合
变式1 ：
(X1,0)
OA
y (x1,k)
Ck) D 直线y=
x
不等式ax²+bx+c＞k的解
y 直线y=kx+n
变式2 ： 不等式ax²+bx+c＞kx+n的解
(2)如图，设P是线段AB上的一个动点(不与A、B重 合)，过点P作直线PK⊥x轴交抛物线于点K， ①求线段PK长度的最大值及此时点K的坐标；
y
B(4,5)
P
A -1 o
3x
-3
y=x+1
K
y=x2-2x-3
②.当线段PK取得最大值时，抛物线上是否存在点Q(不与 点K重合)，使S△ABQ =S△ABK？若存在，请求出点Q的横坐 标；若不存在，请说明理由.
抛物线y＝ ax2 ＋bx＋c
与x轴的交
点个数
图像
y
2个
oA B x
y
1个
oA x
判别式Δ
＝b2－4ac
方程ax2＋bx＋c＝ 0有实根的个数
的符号
Δ>0
两个__不_相__等___实根
Δ＝0 两个___相_等____实根
y
没有
o
x Δ<0
_____没_有__实根
共同探究：
y
练习2.求二次函数图 直线y=6 (-1,6)
方程x2-3x+2=0 的解
发现：抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标
就是方程x2-3x+2=0的解。 y
(X1,0) (X2,0)
OA
B
x
结论1：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是 A（ x1，0 ）， B（ x2，0 ）
与直线y=x-1两个交点的横坐标。
y
直线y=kx+n
F(x2,kx2+n)
E
O (x1,kx1+n)
x
结论3：若一元二次方程ax2+bx+c=kx+n的两个根是x1、 x标2。分则别抛是物A（线x1y，=axk2x+1b+xn+c）与，直B线（yx=2k，x+knx2的+n两）个；交点坐
归纳小结：
象y=x2-3x+2与直线
C
y=6的交点C、D坐标。
O
解:令y=6，则x2-3x-4=0
解得：x1=4，x2=-1； ∴C（-1，6），D（4，6）
(4,6)
D
抛物线y=x2-3x+2与直线 转化 y=6的两个交点横坐标
方程x2-3x+2=6 的解
抛物线y=x2-3x+2与直线y=6两个交点的横坐标 就是方程x2-3x+2=6的解 。
③可以看做是抛物线y=x2 与直线y=-x+1交点坐标的横坐标；
④可以看做是抛物线y=x2-1 与直线y=x交点坐标的横坐标；
上述说法正确的是（ C ）
A.①②④ C. ① ③
B. ② ④ D. ① ④
y
6 5 4
3
2 1
-2 -1 0
1
2x
理解应用：
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如y 图所示, 根据图像回答下列问题：
课前热身：
练习1. 求二次函数 图象y=x2-3x+2与x轴 的交点A、B的坐标。
解：∵A、B在x轴上， ∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2-3x+2=0 解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0)，B（2，0）
抛物线y=x2-3x+2 与 转化
x轴的两个交点横坐标
y
(1,0) (2,0) OA B x
解：令y=x-1,则x2-3x+2=x-1 解得：x1=1，x2=3；
∴E（1，0） ， F（3，2）
y
(1,0) OE
直线y=x-1
F(3,2)
抛物线y=x2-3x+2与直线 转化 y=x-1的两个交点横坐标
方程x2-3x+2=x-1 的解
结论: 方程x2-3x+2=x-1的解是抛物线y=x2-3x+2
OA
(X2,0)
Bx
y (x1,k)
C
(x2,k) D 直线y=
O
x
y 直线y=kx+n
(x1,kx1+n)E O
形
F(x2,kx2+n) x
理解应用：
1.利用二次函数的图象求方程 x2+x-1=0的近似解.
有下列说法
①可以看做是抛物线y=x2+x-1与直线x轴交点坐标的横坐标； x
②可以看做是抛物线y=x2 与直线y=x-1交点坐标的横坐标；
③当__-1_＜__x__＜__3_时，x2-2x-3 ＜ 0;
34 x y=x2-2x-3
当_x_＜__-_1_或__x_＞_ 3 时,x2-2x-3 ＞ 0;
④当___-_1_<_x_<_4__时，二次函数y=x2-2x-3 的函数值小于一次函数y=x+1的函数值;
⑤不等式x2-2x-3≥x+1的解集是_x_≤_-_1_或__x_≥__4_.
y
y=x2-2x-3
1 A -1 o
y=x+1 -3
B(4,5)
3x
分析
直线l1: y=x-
21 4
解方程组
y=x-
21 4
解得x1=x2=
y=x2-2x-3
23（舍去）y
直线l2:
（（11）不方等程式axa2+xb2+xb+xc+=c0＞的0解的为解为 x11＜=1x或＜x32=3；x （2） 方程ax2+bx+c-2=0的解为 x1=x2=2
（3） 方程ax2+bx+c+1=0的解的情况.
（4） 若方程ax2+bx+c =k有两 个不相等的实数根，求k的取 值范围.
y
2
1
o 123 -1
(x1,kx1+n)E O
F(x2,kx2+n) x
综合应用：
已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
y
(4,5)
的图象如图, (1)根据图象回答：
①当x__=__-_1__或___3 时，y = 0;
-1 o
②方程x2-2x-3=0的解是 __x_1=_-_1_,_x_2_=__3
y=x+1 -3
y
(x1,k)
C
O
(x2,k)
D
直线y=k
x
结论2：若一元二次方程ax2+bx+c=k的两个根是x1、x2; 则抛物线y=ax2+bx+c与直线y=k的两个交点坐标分别是 A（ x1，k ）,B（ x2，k ）
共同探究：
练习3. 求二次函数 图象y=x2-3x+2与直 线y=x-1的交点E、F 的坐标。