矩阵论3-1矩阵的可对角化教学内容

设 P (1 ,2 , ,a i,a i 1 , ,n )，则：
AP A(1,2, ,ai ,ai1, ,n)
(i1,i2, ,iai , Aai 1, , An)
i
i
(1,2, ,ai ,ai 1, ,n)
PB
i
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0
其中
i
i
C , (nai )(nai ) B
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p 1 1 ,p 1 2 , ,p 1 a 1 ,p 1 2 ,p 2 2 , ,p a 2 2 , ,p 1 ,p 2 , ,p a
ຫໍສະໝຸດ Baidu
其中：p1i,
p2i ,,
pi ai
为
i
对应的特征向量。(i1,2,)
设：
P ( p 1 1 ,p 1 2 , ,p 1 a 1 ,p 1 2 ,p 2 2 , ,p a 2 2 , ,p 1 ,p 2 , ,p a )
IA
a21A的不同a2特2 征值对应a的2n特 an1征向量是an线2 性 无关的 ann
A的特征值的全体称为 A的谱
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代数重复度与几何重复度 设 ACnn , i 为 A的特征值,称 A的特征多项式
中 i 重根数 m i 为 i 的代数重复度,对应的特征子空
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例1： 求矩阵
A
2
2
2 1
2
4
的谱
2 4 1
及相异特征值的代数重复度与几何重复度
解答：
2 2 2
I A 2 1 4
2 4 1
( 3)2( 6)
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所以 A的特征值是 1， 3 m；1 2 2，6 m 2 1
特征值与特征向量的概念在实践中也有着广泛的 应用，大型建筑物与机械的振动，机翼的颤振以及调 节系统的自振等都是常见的例子。
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§3.1 矩阵的可对角化
一,特征值与特征向量
设 AFnn λF 0xFn
Axx
特征向量
AFnn
特征矩阵
特征值
a11 a12 a1n
矩阵论3-1矩阵的可对角化
1，掌握矩阵相似对角化的判别方法； 2，理解厄米特二次型的含义。 3，会求矩阵的约当标准形；会求史密斯标准形； 4，会求若当标准型 重点: 厄米特二次型; 若当标准型 难点: 矩阵的约当标准形的求法
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从前面的讨论可知，在有限维线性空间中，取 定一个基后，线性变换与矩阵之间存在着一一对应 关系。因此，利用矩阵来研究线性变换十分方便。 对于每一个给定的线性变换，适当选择的一个基， 使得该线性变换在此基下的矩阵最为简单，这是本 节结尾要讨论的问题。为此，我们引入特征值与特 征向量的概念。
即 A为单纯矩阵，充分性得证。
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必要性：
设 A与 diag(1,2L,n)相似，则 1,2L,n
是 A的特征值，不妨设：
A P( d 1 , ,i 1 ,2 a , ,2 g , , , , ) P 1
i 的代数重复度为 m i ，i1,2, 所以，A关于特征值 i 至少有 m i 个线性无关的特
间V i 的维数 a i 为 i 的几何重复度。
定理1 设 ACnn , i 的代数重复度为 m i ,几何重复度
为 a i ,则有：
ainra(n iIn kA )
证明: 由于 V i {xA xix,x C n}，所以：
a i dV iim diN ( m iIn A ) n dR i(m iIn A ) n ra (iI n n A k)
为 a i ,则有： ai mi
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证明：因为a i 是 i 的几何重复度，所以 A对应于 i ，
有 a i个线性无关的特征向量 1,2,,ai ，是特征子
空间V i 的基，将其扩充为 C n 的基：1, 2, , ai, ai 1, , n
i
即：
0
A P P BBP 1AP A与B相似。
dI n e A ) t d (I n e B ) t ( ( i) a idI n e a i t )(
又因为： de In tA () (i)m i f()
所以： ai mi
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征向量，于是 ai mi 而有定理知：ai mi ，所以 ai mi 定理得证
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推论1：设 ACnn ，则 A为单纯矩阵的充分必要条 件是 A有 n个线性无关的特征向量
推论2：设 ACnn ，若 A有 n个互不相同的特征值，
二 矩阵的相似与对角化
定义：设 ACnn ，若 A与对角阵相似，则称 A是
可对角化；可对角化的矩阵称为单纯矩阵。
定理3：n阶矩阵 A可以对角化的充分必要条件是
每一个特征值的代数重数等于其几何重数。
证明：设 1,2,为 A的全部相异的特征值，mi , ai分
别为 i 代数和几何重复度，i1,2,
充分性：因为 mi n, ai mi 所以 i1 A有n个线性无关的特征向量，设特征向量为
对于特征值 1 3 ，
a 1 n r( a 1 I n A n ) 3 r k ( 3 a I 3 A ) n 3 1 k 2
对于特征值 2 6，
a 2 n ra (2 I n n A k ) 3 ra ( 6 n I3 A k )
3 2 1
定理2：
设 iA的C几n何n ,重 复i 的度代不数大重于复它度的为代m 数i ,几重何复重度复度
则：
A A P (p 1 1 ,p 1 2 , ,p 1 a 1 ,p 1 2 ,p 2 2 , ,p a 2 2 , ,p 1 ,p 2 , ,p a )
Pd (1 , i,a 1 ,2 g , ,2 , , ,)
所以：
A P( d 1 , ,1 i ,2 , a ,2 , g , , ) P 1