经历数学化,让数学教学更有味——“七桥问题”教学实录与评析

经历数学化，让数学教学更有味

——“七桥问题”教学实录与评析

江苏省常州市金坛区儒林中心小学 钱程 执教 江苏省常州市金坛区朝阳小学 蒋守成　评析

【教学目标】

1.通过对七桥问题的研究，明晰七桥问题的内涵与本质，进而发现一笔画图形的特征，并能运用所学知识解决简单的实际问题。

2.引导学生经历数学化的过程，体悟抽象、模型和推理的数学思想方法，发展学生的数学素养。

3.学生在数学活动中学会积极地自主探究与合作交流，获得成功的体验，体会数学学习的乐趣。

【教学重难点】感受数学抽象，体会数学建模，掌握研

究方法。

【教学过程】

课前预习并交流：《有趣的七桥问题》预习单下面哪些图形是“一笔画”图形？

解释：“一笔画”是指从图形的某一点出发，笔不离开纸，不间断4

4

4

、不重复4

4

4

地画完一个图形。

要求：

1.画一画：在图形右边的空白处试着画一画，看看哪些是一笔画图形。

2.写一写：把一笔画图形的序号写在横线上 。

 ① ②③ ④⑤

⑥ ⑦⑧ ⑨ ⑩

一、名题的引入——感受数学史的魅力

1.谈话：在人类历史的发展潮流中，涌现出了很多著名的数学家，产生了很多有趣的数学问题，今天这节课，就让我们一起走进历史，走进18世纪。

课件出示“七桥问题”。

18世纪的哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河上有7座桥，连接河中的两个岛A、B和河岸C、D，如图所示。

城中的居民经常沿河过桥散步，有一天，一位居民在散步时提出了一个问题：能否不重复的一次走遍这7座桥，最后又回到起始地点呢？

2.揭示：这就是历史

上著名的七桥问题，这个问题很快在当地传开了，每一位到这里来散步的人都想走一走，甚至有的人索性把它画成了地图，拿回家有空时就在纸上画一画。

3.提问：今天老师也给同学们准备了当年普莱格尔河的地图，你们想一想也来尝试一下。请同学们拿出学习单1，用铅笔尝试着在图中画一画。

学习单1

问题：从任意一个河岸或岛屿出发，能否不重复的一次走遍这七座桥呢？

用铅笔尝试着在图中画一画。

交流明确：不管怎么走，总有至少一座桥没有走到。

二、名题的研究——经历数学化的过程

（一）八桥的引入，发现问题的关键要素

收集学生资源，出示下图。

七桥问题

1.提问：如果要继续走下去，我们可以怎么办？生：再架一座桥。

追问：架在哪里？接下去又该怎么走呢？ 引领学生用手指一指并比划着走一走。

2.谈话：确实，再架一座桥就能不重复的一次走完，那这座桥除了架在这里，还能架在哪里呢？是不是也能不重复的一次走完呢？请同学们拿出学习单2。

要求：想一想，这座桥可以架在哪里，为了区分，用不同颜色的笔画出桥和行走的路线。

学习单2

问题：再架一座桥，是不是可以不重复的一次走遍这八

座桥呢？

教师巡视并搜集展示学生不同的作业（板贴部分学生作品）。

3.提问：它们架桥的位置不同，但从他们行走的路线来看，都能不重复的一次走完这八座桥，为什么七桥走不通，八桥却能走通呢？你觉得可能是由什么原因造成的？小组讨论。

生1：我觉得和桥的数量有关。生2：我也觉得和桥的数量有关。

4.谈话：你们是不是也有这样的感觉？老师这儿准备了这样两张图：

七桥

八桥

我们先来看这张图（八桥），如果我们从A岛出发，那么经过B岛的时候，必然由一座桥进入，由另一座桥出去，有进有出，也就是说与中间的岛相连的桥的数量应该是一个（偶数）；我们再来看这张图（七桥），先数一数与陆地和岛屿相连的桥的数量分别是多少？

生：A岛5个，B岛3个，C岛3个，D岛3个。

明确：都是奇数，不管从哪里出发，我们能不能做到与中间的陆地或岛相连的桥的数量是偶数？

生：不能。

5.启发：例如不管是从A岛还是C岛或D岛出发，当经过B 岛的时候，由一座桥进入，另一座桥出去，再由这座桥进入，然后呢？

生：没桥出去了。

明确：是的，通过分析我们再一次感觉到能不能走通和与岛相连的桥的数量有关。

6.提问：七桥走不通，八桥可以走通，十桥呢？二十桥呢？当问题越来越复杂的时候，如果我们继续在这样的图上去画，你会有怎样的感觉？

生：会感觉很麻烦。

（二）问题的抽象，体会数学化的价值

1.提问：那么我们有什么办法可以把这样的图变得简单呢？在回答这个问题之前，我们不妨先来思考，你觉得能不能走通和岛的大小、桥的长短有没有关系？

生：没有。

引导：既然没有关系，那么如果我们把七桥问题中的A、B、C、D这4个区域不断缩小，最后变成一个点，而图中的桥用线来表示的话，我们可以把这张地图转变成一张怎样的图？想一想，并试着画一画。

展示学生不同的画法并进行评价。

2.谈话：当年欧拉也和同学们一样有着相同的想法，我们一起来看一下，首先用A、B、C、D四个点来表示图上的4个区域，连接AC的有2座桥（画2条线）……

D

C

B

A

3.揭示：其实这样一来，刚才的能不能不重复的一次走遍这些桥就转化成了能不能从某一点出发，不重复地一笔画出这个图形，通过预习，我们知道这其实就是一笔画问题。

4.提问：你觉得把刚才的问题转化成一笔画问题有什么好

处？

生1：看起来就没那么复杂了。生2：可以把问题变得更加清晰。

明确：是的，去掉了一些多余的要素，只保留了一些关键的要素，这样就更加便于观察和分析了。

5.提问：刚才我们发现能不能走得通和与岛相连的桥的数量有关，那么相应的在一笔画问题中，能不能一笔画成应该和什么有关？

生：应该和与点相连的线的数量有关。