频率稳定判据(2)
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第五章 频率域方法
频率稳定判据（2）
Nyquist 稳定判据
闭环系统稳定的充要条件：当频率 由 0 变到 + 时，开环幅相特性曲线逆时
针绕(-1,j0)点转过P/2圈，P为开环传递函数位于s右半平面的极点个数。
若系统开环稳定，即P=0，则当开环幅相特性曲线不包围(-1,j0)点时，系统闭 环稳定。
(−)
(+) (−)
-1 0
若 G( j)H(j) 曲线从负实轴 (−, −1) 段上某一点
开始向下，称为半次正穿越。
G(j) H(j)
N+ =1，N− =2 N = N+ − N− = −1
负穿越次数，N− : G( j)H(j) 曲线沿 增加的
方向，由下向上穿越负实轴的 (−, −1) 段的次数，
1
102
G(s) = 3
s s2 +2 10 0.1s +102
K = 3, =0.1, n = 10rad/s
L(n
)
20
lg
3 10
=
−10.45dB
(o )
20 lg 1 = −20 lg 0.2 = 14dB
2
N = −1, P = 0, Z = P − 2N = 2 闭环不稳定
对数频率稳定判据
j
L = 20lg GH
(−)
(+) -1
1
2
3 0
G(j) H(j)
1
2
3
GH
−
(−)
(+)
闭环系统稳定的充分必要条件：
在开环对数幅频 L() 0dB 的频率范围内，对应的开环对数相频特性曲线 () 对 − 线的正、负穿越次数之差 N+ − N− = P 2，其中 P 是开环不稳定极点的个数。
方向，由下向上穿越负实轴的 (−, −1) 段的次数，
若 G( j)H(j) 曲线从负实轴 (−, −1) 段上某一点
开始向上，称为半次负穿越。
确定开环Nyquist曲线逆时针绕(-1,j0)点的圈数N
j
正穿越次数，N+ : G( j)H(j) 曲线沿 增加的
方向，由上向下穿越负实轴的 (−, −1) 段的次数，
例5-9：已知单位负反馈系统的开环传递函数 G(s) = 10 s(0.1s +1)
L(dB)
试用对数频率稳定判据判断闭环稳定性。
解：开环对数频率特性曲线如图所示，
开环不稳定极点个数：P = 0
正穿越次数：N+ = 0
(o )
负穿越次数：N− = 0
N = N+ − N− = 0 =P / 2 闭环系统稳定
(o ) (−)
闭环系统不稳定 Z = P − 2N = 2
(rad/s)
例5-11：已知负反馈系统的开环传递函数 300
G(s) = s(s2 +2s +100) 试用对数频率稳定判据判断闭环稳定性。 L(dB)
解：开环传递函数可以写成如下形式
1
102
G(s) = 3
s s2 +2 10 0.1s +102
N+ =0.5，N− =0 N = N+ − N− =0.5
j
L = 20lg GH
(−)
(+) -1
1
2
3 0
G(j) H(j)
1
2
3
GH
− (−) (+)
正穿越次数，N+ : 在L>0的频率范围内，相频曲线由下向上穿越 − 线的次数。 （对于相频曲线从 − 线开始向上的情况，称为半次正穿越 。） 负穿越次数，N− : 在L>0的频率范围内，相频曲线由上向下穿越 − 线的次数。 （对于相频曲线从 − 线开始向下的情况，称为半次负穿越。）
(o )
二阶振荡环节在10rad/s处的值为：
20 lg 1 = −20 lg 0.2 = 14dB来自百度文库
2
−20dB/dec
−60dB/dec
(rad/s)
例5-11：已知负反馈系统的开环传递函数 300
G(s) = s(s2 +2s +100) 试用对数频率稳定判据判断闭环稳定性。 L(dB) 解：开环传递函数可以写成如下形式
方向，由上向下穿越负实轴的 (−, −1) 段的次数，
(−)
(+) -1
0
若 G( j)H(j) 从负实轴 (−, −1) 上某一点开始向
下，称为半次正穿越。
G(j) H(j)
N+ =1，N− =1 N = N+ − N− =0
负穿越次数，N− : G( j)H(j) 曲线沿 增加的
若 G( j)H(j) 曲线从负实轴 (−, −1) 段上某一点
开始向上，称为半次负穿越。
确定开环Nyquist曲线逆时针绕(-1,j0)点的圈数N
j GH平面
(−) -1
0
G(j)H (j)
N+ =0，N− =1 N = N+ − N−= −1
j GH平面
(+)
-1
0
G(j)H (j)
−20dB/dec
−60dB/dec
(rad/s)
谢谢大家
K = 3, =0.1, n = 10rad/s
对数相频曲线在频率10rad/s处有一个负 (o )
穿越，对数幅频渐近曲线在10rad/s处的
值为
L(n
)
20 lg
3 10
=
−10.45dB
−20dB/dec
−60dB/dec
(rad/s)
例5-11：已知负反馈系统的开环传递函数 300
(rad/s)
例5-10：已知单位负反馈系统的开环传递函数 G(s) = 10 s(0.1s−1)
试用对数频率稳定判据判断闭环稳定性。 L(dB)
解：开环对数频率特性曲线如图所示。
开环不稳定极点个数：P = 1 正穿越次数：N+ = 0 负穿越次数：N− = 0.5 N = N+ − N− = −0.5 P / 2
若闭环系统不稳定，则闭环在右半s平面的极点数为 Z=P-2N
其中N为频率 由 0 变到 + 时，开环幅相特性曲线逆时针绕(-1,j0)点的圈数，若
N<0，则为顺时针绕(-1,j0)点的圈数。
确定开环Nyquist曲线逆时针绕(-1,j0)点的圈数N
j
正穿越次数，N+ : G( j)H(j) 曲线沿 增加的
G(s) = s(s2 +2s +100) 试用对数频率稳定判据判断闭环稳定性。 L(dB) 解：开环传递函数可以写成如下形式
1
102
G(s) = 3
s s2 +2 10 0.1s +102
K = 3, =0.1, n = 10rad/s
L(n
)
20
lg
3 10
=
−10.45dB
频率稳定判据（2）
Nyquist 稳定判据
闭环系统稳定的充要条件：当频率 由 0 变到 + 时，开环幅相特性曲线逆时
针绕(-1,j0)点转过P/2圈，P为开环传递函数位于s右半平面的极点个数。
若系统开环稳定，即P=0，则当开环幅相特性曲线不包围(-1,j0)点时，系统闭 环稳定。
(−)
(+) (−)
-1 0
若 G( j)H(j) 曲线从负实轴 (−, −1) 段上某一点
开始向下，称为半次正穿越。
G(j) H(j)
N+ =1，N− =2 N = N+ − N− = −1
负穿越次数，N− : G( j)H(j) 曲线沿 增加的
方向，由下向上穿越负实轴的 (−, −1) 段的次数，
1
102
G(s) = 3
s s2 +2 10 0.1s +102
K = 3, =0.1, n = 10rad/s
L(n
)
20
lg
3 10
=
−10.45dB
(o )
20 lg 1 = −20 lg 0.2 = 14dB
2
N = −1, P = 0, Z = P − 2N = 2 闭环不稳定
对数频率稳定判据
j
L = 20lg GH
(−)
(+) -1
1
2
3 0
G(j) H(j)
1
2
3
GH
−
(−)
(+)
闭环系统稳定的充分必要条件：
在开环对数幅频 L() 0dB 的频率范围内，对应的开环对数相频特性曲线 () 对 − 线的正、负穿越次数之差 N+ − N− = P 2，其中 P 是开环不稳定极点的个数。
方向，由下向上穿越负实轴的 (−, −1) 段的次数，
若 G( j)H(j) 曲线从负实轴 (−, −1) 段上某一点
开始向上，称为半次负穿越。
确定开环Nyquist曲线逆时针绕(-1,j0)点的圈数N
j
正穿越次数，N+ : G( j)H(j) 曲线沿 增加的
方向，由上向下穿越负实轴的 (−, −1) 段的次数，
例5-9：已知单位负反馈系统的开环传递函数 G(s) = 10 s(0.1s +1)
L(dB)
试用对数频率稳定判据判断闭环稳定性。
解：开环对数频率特性曲线如图所示，
开环不稳定极点个数：P = 0
正穿越次数：N+ = 0
(o )
负穿越次数：N− = 0
N = N+ − N− = 0 =P / 2 闭环系统稳定
(o ) (−)
闭环系统不稳定 Z = P − 2N = 2
(rad/s)
例5-11：已知负反馈系统的开环传递函数 300
G(s) = s(s2 +2s +100) 试用对数频率稳定判据判断闭环稳定性。 L(dB)
解：开环传递函数可以写成如下形式
1
102
G(s) = 3
s s2 +2 10 0.1s +102
N+ =0.5，N− =0 N = N+ − N− =0.5
j
L = 20lg GH
(−)
(+) -1
1
2
3 0
G(j) H(j)
1
2
3
GH
− (−) (+)
正穿越次数，N+ : 在L>0的频率范围内，相频曲线由下向上穿越 − 线的次数。 （对于相频曲线从 − 线开始向上的情况，称为半次正穿越 。） 负穿越次数，N− : 在L>0的频率范围内，相频曲线由上向下穿越 − 线的次数。 （对于相频曲线从 − 线开始向下的情况，称为半次负穿越。）
(o )
二阶振荡环节在10rad/s处的值为：
20 lg 1 = −20 lg 0.2 = 14dB来自百度文库
2
−20dB/dec
−60dB/dec
(rad/s)
例5-11：已知负反馈系统的开环传递函数 300
G(s) = s(s2 +2s +100) 试用对数频率稳定判据判断闭环稳定性。 L(dB) 解：开环传递函数可以写成如下形式
方向，由上向下穿越负实轴的 (−, −1) 段的次数，
(−)
(+) -1
0
若 G( j)H(j) 从负实轴 (−, −1) 上某一点开始向
下，称为半次正穿越。
G(j) H(j)
N+ =1，N− =1 N = N+ − N− =0
负穿越次数，N− : G( j)H(j) 曲线沿 增加的
若 G( j)H(j) 曲线从负实轴 (−, −1) 段上某一点
开始向上，称为半次负穿越。
确定开环Nyquist曲线逆时针绕(-1,j0)点的圈数N
j GH平面
(−) -1
0
G(j)H (j)
N+ =0，N− =1 N = N+ − N−= −1
j GH平面
(+)
-1
0
G(j)H (j)
−20dB/dec
−60dB/dec
(rad/s)
谢谢大家
K = 3, =0.1, n = 10rad/s
对数相频曲线在频率10rad/s处有一个负 (o )
穿越，对数幅频渐近曲线在10rad/s处的
值为
L(n
)
20 lg
3 10
=
−10.45dB
−20dB/dec
−60dB/dec
(rad/s)
例5-11：已知负反馈系统的开环传递函数 300
(rad/s)
例5-10：已知单位负反馈系统的开环传递函数 G(s) = 10 s(0.1s−1)
试用对数频率稳定判据判断闭环稳定性。 L(dB)
解：开环对数频率特性曲线如图所示。
开环不稳定极点个数：P = 1 正穿越次数：N+ = 0 负穿越次数：N− = 0.5 N = N+ − N− = −0.5 P / 2
若闭环系统不稳定，则闭环在右半s平面的极点数为 Z=P-2N
其中N为频率 由 0 变到 + 时，开环幅相特性曲线逆时针绕(-1,j0)点的圈数，若
N<0，则为顺时针绕(-1,j0)点的圈数。
确定开环Nyquist曲线逆时针绕(-1,j0)点的圈数N
j
正穿越次数，N+ : G( j)H(j) 曲线沿 增加的
G(s) = s(s2 +2s +100) 试用对数频率稳定判据判断闭环稳定性。 L(dB) 解：开环传递函数可以写成如下形式
1
102
G(s) = 3
s s2 +2 10 0.1s +102
K = 3, =0.1, n = 10rad/s
L(n
)
20
lg
3 10
=
−10.45dB