5-第五章数字图像恢复1、2

连续退化模型
定义：
hx,, y, : H[ x , y ]
hx,, y, 称为 H 的冲激响应，它表示系统H对坐标
为(, ) 处的冲激函数的响应。在光学中，冲激为一个
光点，hx,, y, 一般也被称为点扩展函数（Point
Spread Function——简称PSF）。
连续退化模型
图像恢复：试图利用退化过程的先验知识，去恢 复已被退化图像的本来面目。
它是沿图像退化的逆过程进行处理。
图像恢复过程如下： 找退化原因→建立退化模型→反向推演→恢复图像
典型的图像恢复是根据图像退化的先验知识建 立一个退化模型，以此模型为基础，采用各种逆退 化处理方法进行恢复，使图像质量得到改善。
图像恢复和图像增强的区别： 图像增强不考虑图像是如何退化的，而是试图 采用各种技术来增强图像的视觉效果。因此，图像 增强可以不顾增强后的图像是否失真，只要看得舒 服就行。 而图像恢复就完全不同，需知道图像退化的机 制和过程等先验知识，据此找出一种相应的逆处理 方法，从而得到恢复的图像。 如果图像已退化，应先作恢复处理，再作增强 处理。 二者的目的都是为了改善图像的质量。
f(x,y)表示理想的、没有退化的图像，g(x,y)是退化
（所观察到）的图像。 在频域上：
G(u, v) F(u, v)H (u, v)
连续退化模型
2.若受加性噪声n(x，y)的干扰，则退化图像可表示为：
g(x，y) f (x，y) h(x，y) n(x，y)
这就是线性位移不变系统的退化模型。
几种常见噪声模型
测试图
几种常见噪声模型
测试图
5.2 图像退化模型
图像恢复关键是建立退化模型。 一、 连续退化模型 二、 离散退化模型
5.2.1 连续退化模型
其中：f(x,y)为原始输入图像， g(x,y)为退化后的图像， n(x,y) 为噪声， H：降质系统（或降质算子)，可理解为综合所有 退化因素的函数。
f x, y f , x , y dd
连续退化模型
f x, y f , x , y dd
g x, y H[ f x, y] nx, y H[ f , x , y dd] nx, y
H为一线性算子
g x, y f , H[ x , y ]dd nx, y
m0 n0
x 0,1,K M 1 y 0,1,K N 1
写成矩阵形式为：
g=Hf +n
f 向量采用行堆叠构造，大小为MN； H为分块循环矩阵，大小为MN MN；
H0
H1
H M 1 H0
H M 2 H M 1
L H1
L
H
2
H H2
H1
M
H0 L H3
M
H M 1 H Hj M 2 H M 3 L H0
假设： 1. H是线性的
H k1 f1 x, y k2 f2 x, y k1H[ f1 x, y] k2H[ f2 x, y]
2. H 是空间（或移位）不变的。如果系统的输入输出
关系满足 g(x, y) H[ f x, y] ，则对于任意的 f(x,y)，a 和 b 都有下列关系：
方 空间域法和频率域法。
空间域法和频率域法。
法 空间域法主要是对图像的灰度进行处 重点介绍线性代数恢复方法。
理；频率域法主要是滤波。
图像的降质因素
– 光学系统中的衍射 –成像系统镜头聚焦不准产生的散焦模糊； – 传感器非线性畸变 – 光学系统的像差 – 摄影胶片的非线性 – 大气湍流的扰动效应 – 图像运动造成的模糊 – 几何畸变 – 噪声干扰：由成像系统传感器、信号传输过程 或者胶片颗粒性造成的噪声
g x, y f , h x,, y, dd n(x, y)
若H是空间不变的：H[ x , y ] h x , y
g x, y f , h x , y dd n(x, y)
连续退化模型
1.假定成像系统是线性位移不变系统，则获取的图像
g(x,y)表示为：g(x，y) f (x，y) h(x，y)
H (u,v) p(d2u, d2v)
图5.1 小孔衍射造成的模糊
系统是线性移不变的 小孔衍射造成的模糊
2. 目标相对运动造成的图像模糊
在获取图像时，由于景物和摄像机或照相机之间的相 对运动，往往会造成图像的模糊(见图5.2)。
图5.2 目标相对运动造成的图像模糊
因匀速直线运动所造成的图像模糊系统的传递函数：
H (u, v)
T exp
0
j2 (ux0 (t) vy0 (t)dt
运动形成的模糊示例
3. 大气湍流造成的图像降质
在航空图片、卫星图片、天文图中，由于受大气 湍流的影响，使图像产生退化。要全面地考虑每时每刻 对退化的影响，是一个相当复杂的问题。在此只给出在 长时间作用的情况下，大气湍流降质图像的系统传递函 数为：
2）当退化不太严重时，一般用线性位移不变系统 模型来恢复图像，在很多应用中有较好的恢复 结果，且计算大为简化。
3）尽管实际非线性和位移可变的情况能更加准确 而普遍地反映图像恢复问题的本质，但在数学 上求解困难。只有在要求很精确的情况下才用 位移可变的模型去求解，其求解也常以位移不 变的解法为基础加以修改而成。
he (0)
H=
he (1)
M
he (M 1) he (M 2) L
he (0) he (M 1) L
M
M
he (M 1) he (M 2) he (M 3) L
he (1) he (2)
M
he
(0)
可以看出，H 为一个循环矩阵，即每行最后1项等于 下1行最前1项，最下1行最后1项等于第1行最前1项。
he (1) L M
g(M 1) he (M 1) he (M 2) L
he (M 1) fe (0)
he
(M
2)
fe (1)
he
(M M
3)
fe (2) M
he (0) fe (M 1)
M×M阶矩阵H可写为 根据he (x)的周期性 he (x)=he (x M )
可见，H j 是一个循环矩阵，H是分块循环矩阵。
上述离散退化模型都是在线性空间不变 的前提下得出的，这种退化模型已为许多恢 复方法所采用，并有良好的恢复效果。
5.3代数恢复方法
恢复任务：去除图像畸变、补偿图像模糊和减弱 噪声效应，以使空间图像恢复。
基本思路：由给定的降质图像 g 和对退化模型 H
增强与恢复的对比
图像增强
图像恢复
技 ＊ 不考虑图像降质的原因，只将图像 ＊ 要考虑图像降质的原因，建立
术 特
中感兴趣的特征有选择地突出（增 “降质模型“。
强），而衰减其不需要的特征。
＊ 要建立评价恢复好坏的客观标
＊ 改善后的图像不一定要去逼近原图 准。
点 像。
主 提高图像的可懂度 要 目 的
提高图像的逼真度
噪声干扰
散焦模糊图像
传感器非线性畸变
图像运动造成的模糊
几何畸变
5.1.2 几个典型的退化模型
1. 受到孔径衍射造成的图像退化 在许多实用的光学成像系统中，孔径衍射效应是造成
图像模糊的主要原因。在这种退化模型中，系统是线性 空间不变的。其表现如图5.1所示。
相干光的光学成像系统的传递函数由下式给出：
及噪声 n 的先验了解，寻找一个对原图像 f 的最优
估计
^
f
，而使事先确定的最优准则为最小。
5.3.1无约束最小二乘方恢复
常用的最小二乘方准则函数。
若图像的降质模型为：g Hf n 对n没有先验
知识，
对 f 的估计
^
f
使得：J
^wenku.baidu.com
f
gH
^
f
2
取值最小，J
称为准则或目标函数。
这里： x 2 xT x, x是一个列向量
上述讨论的一维退化模型不难推广到二维情况。
2. 二维离散退化模型
如果给出A×B 大小的数字图像，以及C×D大小 的点扩散函数，则首先做成大小为M×N 的周期延拓 图像：
为避免折叠，要求M ≥ A+C-1, N≥ B+D-1
系统输出g x, y为输入f x, y和冲激响应h x, y的卷积 g x, y f x, yh x, y
Hj
h j,0
h j,1
Hj
h j,2
M
h j, N 1
h j, N 1 h j,0 h j,1
h j, N 2
h j, N 2 h j, N 1
h j,0
h j, N 3
L h j,1
L h j, 2
L h j,3
M
L h j,0
其中，每个H j都是一个N×N 矩阵，由延拓函数he (x, y)第j 行而来：
H[ f x a, y b] g x a, y b
这就是说，图像上任一点的运算结果，只取决 于该点的输入值，而与坐标位置无关。
连续退化模型
一幅图像可以看成由无穷多极小的像素所组成， 每一个像素都可以看作为一个点源，因此，一幅图像也 可以看成由无穷多点源组成的。由 函数的性质，一幅 连续图像可用下式表示：
二维离散退化模型
M 1 N 1
ge (x, y)
fe (m, n)he (x m, y n)
m0 n0
x 0,1L M 1
y 0,1L N 1
3.图像的离散退化模型
考虑到噪声，离散图像退化模型可以写成如下形 式：
M 1 N 1
ge (x, y)
fe (m, n)he (x m, y n) ne (x, y)
此时输出：
M 1
ge (x) fe (x) he (x) fe (m)he (x m) m0
x 0,1,K M 1
上式写成矩阵的形式：
g=Hf
用矩阵表示为
g(0) he (0)
g (1)
he (1)
he (1) L he (0) L
g(2) he (2)
M
M
在频域上： G(u, v) F(u, v)H (u, v) N(u, v)
图像恢复实际上就是已知g(x，y)求f(x，y)的问题，或者已知
G(u,v)求F(u,v)。关键是求解冲激响应函数h(x,y),一般来说， H(u,v)比较容易获得。
采用线性位移不变系统模型的原由：
1）由于许多种退化都可以用线性位移不变模型来 近似，这样线性系统中的许多数学工具如线性 代数，能用于求解图像恢复问题，从而使运算 方法简捷和快速。
阵H 1 求得。
5.3.2有约束最小二乘方恢复
约束最小二乘法恢复：除了要求知道系统的冲 激响应外，还需要知道噪声的统计特性和噪声、图 像的相关情况。
n2
R f , Rn
1、有约束的最小二乘恢复的方法
若图像的降质模型为： g = Hf + n
令Q为
f 的线性算子，在约束
g-
^
Hf
2
=
n2
下,
使
Qfˆ 2 为最小的原图 f 的最佳估计
第五章 图像恢复
1. 图像退化的概念、退化原因，退化模型，图像恢 复的概念；
2. 代数恢复方法，即无约束最小二乘法方恢复、有 约束最小二乘法方恢复；
3. 频率域恢复方法 (逆滤波、维纳滤波）； 4. 匀速直线运动引起的图像模糊的恢复。
5.1 图像退化
5.1.1 图像的退化
图像的退化是指图像在形成、传输和记录过程 中，由于成像系统、传输介质和设备的不完善，使 图像的质量变坏。
H (u,v) exp[C(u2 v2 )]
式中C为与湍流性质有关的常数。
剧烈湍流
中等湍流
轻微湍流
4.成像系统中始终存在的噪声干扰
一般假设图象上的噪声是一类白噪声。
白噪声：图象平面上不同点的噪声是不相 关的，其谱密度为常数。
实用上，只要噪声带宽远大于图象带宽， 就可把它当作白噪声。虽不精确，确是一 个很方便的模型。
以上形成了一个对 f 无约束的复原问题。
求极小值：
J fˆ fˆ 2H T g Hfˆ 0
fˆ H T H 1 H T g
令M＝N，且H可逆： fˆ H 1 H T 1 H T g
fˆ H 1g
上式表明在最小二乘方准则下寻找出的最优估计
图像
^
f
可由降质图像
g
和降质系统冲激响应的逆矩
^
f
。
可利用拉格朗日乘数法进行处理。
构造辅助函数：
5.2.2 离散退化模型
1. 一维离散情况退化模型
设f(x)为具有A个采样值的离散输入函数， h(x) 为具有B个采样值的退化系统的冲激响 应，则经退化系统后的离散输出函数g(x)为 输入f(x)和冲激响应h(x)的卷积。即
g(x) f (x) h(x)
离散循环卷积是针对周期函数定义的，为了避免上述 卷积所产生的各个周期重叠，分别对f(x)和h(x)用添零 延伸的方法扩展成周期M=A+B-1的周期函数。