函数的连续性的例题习题(一)
数学分析4.1函数连续性概念(习题)
第四章 函数的连续性 1 连续性概念(练习)1、按定义证明下列函数在其定义域内连续 (1)f(x)=1x ；(2)f(x)=|x|.证：(1)f(x)=1x 的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞) 当x,x 0∈D 时，有 1x −1x 0= x −x 0|x||x 0|由三角不等式可得：|x|≣|x 0|-|x-x 0|，∴ 1x −1x 0≢ x −x 0|x0|2−|x −x 0||X 0|对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x 0|<δ时，有 x −x 0|x 0|2−|x −x 0||X 0|<δ|x 0|2−δ|X 0|∴要使 1x −1x 0<ε，只要使δ|x 0|2−δ|X 0|=ε，即当δ=εx 021+ε|X 0|>0时，就有|f(x)-f(x 0)|<ε∴f(x)在x 0连续. 由x 0的任意性知f(x)在其定义域内连续. (2)f(x)=|x|在R 上都有定义。
任取x, x 0∈R ，有||x|-|x 0||≢|x-x 0|. 对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x 0|<δ时，有||x|-|x 0||<δ ∴只要取δ=ε，就有|f(x)-f(x 0)|<ε∴f(x)在x 0连续. 由x 0的任意性知f(x)在R 连续.2、指出下列函数的间断点并说明其类型(1)f(x)=x +1x ；(2)f(x)=sinx|x|；(3)f(x)=[|cos x|]；(4)f(x)=sgn |x|；(5)f(x)=sgn(cosx)； (6)f(x)= x, x 为有理数−x, x 为无理数；(7)f(x)= 1x+7, x <−7x, −7≤x ≤1 x −1 sin 1x −1, x >1.解：(1)f(x)在x=0间断.∵f(x)在x=0的左右极限都不存在，∴x=0是f(x)的第二类间断点. (2)f(x)在x=0间断. ∵lim x →0+sinx|x|=lim x →0+sinx x=1，lim x →0−sinx|x|=lim x →0−sinx −x= -1，∴x=0是f(x)的跳跃间断点.(3)f(x)在x=n π间断，(n=0,±1,±2,…)∵limx→nπ+[|cos x|]=0，limx→nπ−[|cos x|]=0，∴x=nπ是f(x)的可去间断点.(4)f(x)在x=0间断，∵limx→0+sgn |x|=1，limx→0−sgn |x|=1，∴x=0是f(x)的可去间断点.(5)f(x)在x=2kπ±π2间断，(k=0,±1,±2,…)∵limx→(2kπ+π2)+sgn(cosx)=-1，limx→(2kπ+π2)−sgn(cosx)= 1；limx→(2kπ−π2)+sgn(cosx)= 1，limx→(2kπ+π2)−sgn(cosx)= -1，∴x=2kπ±π2是f(x)的跳跃间断点.(6)f(x)在x≠0的点间断，且当x0≠0时，f(x)的左右极限都不存在，∴所有x≠0的点都是f(x)的第二类间断点.(7)f(x)在x=-7和x=1间断，∵limx→−7+f(x)=-7，limx→−7−f(x)不存在，∴x= -7是f(x)的第二类间断点.又limx→1+f(x)=0，limx→1−f(x)=1，∴x=1是f(x)的跳跃间断点.3、延拓下列函数，使其在R上连续(1)f(x)=x3−8x−2；(2)f(x)=1−cos xx2；(3)f(x)=xcos1x.解：(1)∵f(x)=x 3−8x−2在x=2没有定义，且limx→2x3−8x−2=limx→2(x2+2x+4)=12；∴延拓函数得F(x)=x3−8x−2, x≠212, x=2在R上连续.(2)∵f(x)=1−cos xx2在x=0没有定义，且limx→01−cos xx2=limx→02sin x22x2=limx→0sin x222x22=12；∴延拓函数得F(x)=1−cos xx2, x≠012, x=0在R上连续.(3)∵f(x)=xcos1x 在x=0没有定义，且limx→0xcos1x=0；∴延拓函数得F(x)=xcos1x, x≠00, x=0在R上连续.4、证明：若f在x0连续，则|f|与|f2|也在点x0连续. 又问：|f|或f2也在点I连续，那么f在I是否必连续？证：∵f在x0连续，∴∀ε>0，有δ>0，使当|x-x0|<δ时，都有|f(x)-f(x0)|<ε. 又|f(x)-f(x0)|≣||f(x)|-|f(x0)||，∴当|x-x0|<δ时，都有||f(x)|-|f(x0)||<ε.∴|f|在点x0连续.又∵f在x0连续，由局部有界性知，存在M>0及δ1>0，使|x-x0|<δ1时，有|f(x)|<M2，∀ε>0，有δ2>0，使当|x-x0|<δ2时，都有|f(x)-f(x0)|<εM.取δ’=min{δ1,δ2}，则当|x-x0|<δ’时，有|f2(x)-f2(x0)|= |f(x)-f(x0)||f(x)+f(x0)|≢|f(x)-f(x0)|(|f(x)|+|f(x0)|)<εM·M=ε.∴f2在点x0连续.其逆命题不成立，例如设f(x) =x, x为有理数−x, x为无理数；则|f|,f2均为常数函数，∴|f|,f2均为连续函数，但f(x)在R上的任一点都不连续.5、设当x≠0时，f(x)≡g(x)，而f(0)≠g(0). 证明：f与g两者中至多一个在x=0连续.证：若f与g在x=0都连续，则limx→0f(x)=f(0)；limx→0g(x)=g(0).又当x≠0时，f(x)≡g(x)，∴limx→0f(x)=limx→0g(x)，∴f(0)=g(0)，这与f(0)≠g(0)矛盾，∴f与g两者中至多一个在x=0连续.6、设f为区间I上的单调函数. 证明：若x0∈I为f的间断点，则x0必是f的第一类间断点证：由函数极限的单调有界定理可知，不管f在区间I上单调增还是单调减，f在点x0∈I都有左右极限，∴当f在x0不连续时，x0必是f的第一类间断点。
习题１－７ 函数的连续性及其性质_高等数学习题全解上册_[共6页]
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ｕ(ｘ)αɤｕ(ｘ)α<ＭεＭ＝εꎬ即ｌｉｍｘңｘ０(ｘңɕ)[ｕ(ｘ) α]＝０.若ｌｉｍｘңｘ０(ｘңɕ)β＝０ꎬ则β在Ｕｏ(ｘ０ꎬδ０)内(或ｘ>Ｘ０时)有界.已知ｌｉｍｘңｘ０(ｘңɕ)α＝０ꎬ则ｌｉｍｘңｘ０(ｘңɕ)αβ＝０.∗６ 根据定义证明:(１)当ｘң０时ｙ＝１＋ｘｘ为无穷大ꎻ(２)当ｘң０＋时ｙ＝ｘｓｉｎ１ｘ为无穷小.解㊀(１)因为１＋ｘｘ＝１＋１ｘȡ１ｘ－１ꎬ要使１＋ｘｘ>Ｍꎬ只要１ｘ－１>Ｍꎬ即ｘ<１１＋Ｍꎬ所以∀Ｍ>０ꎬ取δ＝１１＋Ｍꎬ则当０<｜ｘ－０｜<δ时ꎬ就有１＋ｘｘ>Ｍꎬ即当ｘң０时ｙ＝１＋ｘｘ为无穷大.(２)因为ｘｓｉｎ１ｘɤｘꎬ所以∀ε>０ꎬ取δ＝εꎬ则当０<ｘ－０<δ时ꎬ就有ｘｓｉｎ１ｘ<ｘ<εꎬ即ｙ＝ｘｓｉｎ１ｘ为当ｘң０＋时的无穷小.∗７ 函数ｙ＝ｘｃｏｓｘ在(－ɕꎬ＋ɕ)上是否有界?又当ｘңɕ时函数是否为无穷大?为什么?解㊀无界ꎬ因为存在点列ｘｋ＝２ｋπꎬｋɪＺꎬ使ｙ(ｘｋ)＝ｘｋｃｏｓｘｋ＝２ｋπꎬ故无界.也不是无穷大ꎬ因为存在点列ｘｋ＝π２＋２ｋπꎬｋɪＺꎬ使得ｙ(ｘｋ)＝ｘｋｃｏｓｘｋ＝２ｋπ＋π２æèçöø÷ｃｏｓ２ｋπ＋π２æèçöø÷＝０.∗８ 求曲线ｆ(ｘ)＝ｘ２＋１ｘ＋１(ｘʂ－１)的斜渐近线方程.解㊀若ｙ＝ｋｘ＋ｂ为曲线的斜渐近线ꎬ则必有ｌｉｍｘңɕ[ｆ(ｘ)－(ｋｘ＋ｂ)]＝０ꎬ从而ｂ＝ｌｉｍｘңɕ[ｆ(ｘ)－ｋｘ]ꎬ又ｌｉｍｘңɕｘｆ(ｘ)ｘ－ｋ＋ｂｘæèçöø÷éëêêùûúú＝０ꎬ所以ｌｉｍｘңɕｆ(ｘ)ｘ－ｋ＋ｂｘæèçöø÷éëêêùûúú＝０ꎬ即ｋ＝ｌｉｍｘңɕ㊀ｆ(ｘ)ｘ.ｋ＝ｌｉｍｘңɕ㊀ｆ(ｘ)ｘ＝ｌｉｍｘңɕ㊀ｘ２＋１ｘ２＝１ꎬｂ＝ｌｉｍｘңɕｆ(ｘ)－１ ｘ＝ｌｉｍｘңɕ㊀１－ｘｘ＋１＝－１ꎬ所以ꎬ斜渐近线为ｙ＝ｘ－１.５２ 第一章㊀函数、极限与连续习题１－７㊀函数的连续性及其性质１ 选择题:(１)函数ｆ(ｘ)＝１ｘ(ｘ－３)(ｘ＋５)在区间(㊀㊀)上连续ꎻＡ.(－４ꎬ３)Ｂ.(－４ꎬ－１)Ｃ.(－８ꎬ－４)Ｄ.(１ꎬ４)解㊀因为函数的间断点为ｘ＝－５ꎬｘ＝０ꎬｘ＝３ꎬ故在区间(－４ꎬ－１)上连续ꎬ故选Ｂ.(２)若ｌｉｍｘңɕｘｋａｒｃｔａｎ２ｘ２＝２ꎬ则ｋ＝(㊀㊀)ꎻＡ.２Ｂ.０Ｃ.１２Ｄ.１解㊀ｌｉｍｘңɕｘｋａｒｃｔａｎ２ｘ２＝ｌｉｍｘңɕｘｋ ２ｘ２＝２ｘｋ－２＝２⇒ｋ＝２ꎬ故选Ａ.(３)ｌｉｍｎңɕ４ｎ２＋ｎ＋ｎｎ＋２＝(㊀㊀)ꎻＡ.ɕＢ.０Ｃ.２Ｄ.３解㊀ｌｉｍｎңɕ４ｎ２＋ｎ＋ｎｎ＋２＝ｌｉｍｎңɕ４＋１ｎ＋１１＋２ｎ＝３ꎬ故选Ｄ.(４)函数ｆ(ｘ)＝ｘ＋１＋ｘ２－１(ｘ－１)(ｘ＋３)的间断点的个数为(㊀㊀)ꎻＡ.１Ｂ.２Ｃ.３Ｄ.４解㊀ｌｉｍｘң１ｘ＋１＋ｘ２－１(ｘ－１)(ｘ＋３)éëêêùûúú＝２＋ｌｉｍｘң１(ｘ－１)(ｘ＋１)(ｘ－１)(ｘ＋３)＝２＋ｌｉｍｘң１ｘ＋１ｘ＋３＝２＋１２故ｘ＝１为可去间断点ꎻ而ｘ＝－３不在定义域内ꎬ故选Ａ.(５)函数ｆ(ｘ)＝１＋ｅ１ｘ㊀ｘ>０ｘ＋１ｘɤ０{在ｘ＝０点间断是因为(㊀㊀)ꎻＡ.ｆ(ｘ)在ｘ＝０点无定义Ｂ.ｌｉｍｘң０－ｆ(ｘ)和ｌｉｍｘң０＋ｆ(ｘ)都不存在Ｃ.ｌｉｍｘң０ｆ(ｘ)不存在Ｄ.ｌｉｍｘң０ｆ(ｘ)ʂｆ(０)解㊀因为ｌｉｍｘң０＋ｆ(ｘ)＝ｌｉｍｘң０＋ｅ１ｘ＝＋ɕꎬｌｉｍｘң０－ｆ(ｘ)＝ｌｉｍｘң０－(ｘ＋１)＝１ꎬ故ｌｉｍｘң０ｆ(ｘ)不存在ꎬ选Ｃ.(６)设ｆ(ｘ)＝ｅ２ｘ－１ｋｘ㊀ｘ>０１－ｘｘɤ０ìîíïïï在ｘ＝０点处连续ꎬ则ｋ＝(㊀㊀).Ａ.－１Ｂ.１Ｃ.－２Ｄ.２解㊀因为ｌｉｍｘң０＋ｆ(ｘ)＝ｌｉｍｘң０＋ｅ２ｘ－１ｋｘ＝２ｋꎬｌｉｍｘң０－ｆ(ｘ)＝ｌｉｍｘң０－(１－ｘ)＝１ꎬ故ｋ＝２ꎬ选Ｄ.６２ 高等数学习题全解(上册)。
函数的极限及函数的连续性典型例题
函数的极限及函数的连续性（一）典型例题一、重点难点分析：①此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。
②要掌握常见的几种函数式变形求极限。
③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。
④计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则。
⑤若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。
二、典型例题例1．求下列极限①②③④解析：①。
②。
③。
④。
例2．已知，求m,n。
解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式，∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴ m=3代入求得n=-1。
例3．讨论函数的连续性。
解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，又，∴，∴ f(x)在x=1处连续。
由，从而f(x)在点x=-1处不连续。
∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。
例4．已知函数, (a,b为常数)。
试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。
解析：∵且，∴，∴a=1, b=0。
例5．求下列函数极限①②解析：①。
②。
例6．设，问常数k为何值时，有存在？解析：∵，。
要使存在，只需，∴ 2k=1，故时，存在。
例7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？解析：由，，∵，∴ f(x)在x=-1处极限不存在。
三、训练题：1．已知，则2．的值是_______。
3. 已知，则=______。
4．已知，2a+b=0，求a与b的值。
5．已知，求a的值。
参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0。
函数连续性判定方法例题和知识点总结
函数连续性判定方法例题和知识点总结在数学分析中，函数的连续性是一个重要的概念。
它不仅在理论研究中具有重要地位，而且在实际问题的解决中也有着广泛的应用。
本文将通过一些例题来详细讲解函数连续性的判定方法，并对相关知识点进行总结。
一、函数连续性的定义设函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 的某个邻域内有定义，如果当自变量的增量＄＼Delta x$ 趋近于零时，函数的增量＄＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＄也趋近于零，那么就称函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处连续。
用数学语言表示为：＄＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼Delta y ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0}f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0) ＝ 0$或者＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄如果函数在区间内的每一点都连续，就称函数在该区间上连续。
二、函数连续性的判定方法1、利用定义判定直接根据连续性的定义，计算函数在某点的极限是否等于该点的函数值。
例 1：判断函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 处的连续性。
解：＄＼lim_{x ＼to 1} f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1} x^2 ＝ 1^2 ＝ 1$，而＄f(1) ＝ 1^2 ＝ 1$，因为＄＼lim_{x ＼to 1} f(x) ＝ f(1)＄，所以函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 处连续。
2、左右极限相等且等于该点函数值如果函数在某点的左极限和右极限都存在且相等，并且等于该点的函数值，则函数在该点连续。
例 2：判断函数＄f(x) ＝＼begin{cases} x ＋ 1, ＆ x ＜ 1 ＼＼ 3, ＆x ＝ 1 ＼＼ x 1, ＆ x ＞ 1 ＼end{cases}＄在＄x ＝ 1$ 处的连续性。
解：左极限＄＼lim_{x ＼to 1^｝ f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1^｝（x ＋1) ＝ 2$，右极限＄＼lim_{x ＼to 1^＋｝ f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1^＋｝（x 1) ＝ 0$，因为左极限和右极限不相等，所以函数＄f(x)＄在＄x＝ 1$ 处不连续。
函数的连续性考试题及答案
函数的连续性考试题及答案一、选择题1. 函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上是：A. 连续的B. 可导的C. 不连续的D. 可积的答案：A2. 若函数f(x)在点x=a处连续，则下列说法正确的是：A. f(a)存在B. f(a)不存在C. f(a)=0D. f(a)=a答案：A3. 函数f(x) = sin(x)在实数域R上是：A. 连续的B. 可导的C. 不连续的D. 不可导的答案：A二、填空题4. 若函数f(x)在点x=a处连续，则______。
答案：f(a) = lim(x→a) f(x)5. 函数f(x) = x^3在x=0处的连续性是______。
答案：连续6. 函数f(x) = 1/x在x=0处的连续性是______。
答案：不连续三、解答题7. 判断函数f(x) = x^2 - 4x + 4在区间[1, 3]上的连续性，并说明理由。
答案：函数f(x) = x^2 - 4x + 4在区间[1, 3]上连续。
因为该函数为多项式函数，多项式函数在其定义域内处处连续。
8. 已知函数f(x) = x^2 + 3x + 2，求证f(x)在x=1处连续。
答案：要证明f(x)在x=1处连续，需要证明lim(x→1) f(x) =f(1)。
计算得：lim(x→1) (x^2 + 3x + 2) = 1^2 + 3*1 + 2 = 6f(1) = 1^2 + 3*1 + 2 = 6因为lim(x→1) f(x) = f(1)，所以f(x)在x=1处连续。
9. 判断函数f(x) = x^(1/3)在x=0处的连续性，并说明理由。
答案：函数f(x) = x^(1/3)在x=0处不连续。
理由是当x接近0时，f(x)接近0，但f(0)不存在，因为0的1/3次方是未定义的。
四、证明题10. 证明函数f(x) = x^2在x=0处连续。
答案：要证明f(x) = x^2在x=0处连续，需要证明lim(x→0)f(x) = f(0)。
函数极限与连续习题(含答案)
基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。
函数的极限与连续训练题1、 已知四个命题：（1）若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x x →点必有极限（2）若)(x f 在0x x →点有极限，则)(x f 在0x 点必连续（3）若)(x f 在0x x →点无极限，则)(x f 在0x x =点一定不连续（4）若)(x f 在0x x =点不连续，则)(x f 在0x x →点一定无极限。
其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若a x f x x =→)(lim 0，则下列说法正确的是（ C ） A 、)(x f 在0x x =处有意义 B 、a x f =)(0C 、)(x f 在0x x =处可以无意义D 、x 可以只从一侧无限趋近于0x3、下列命题错误的是（ D ）A 、函数在点0x 处连续的充要条件是在点0x 左、右连续B 、函数)(x f 在点0x 处连续，则)lim ()(lim 00x f x f x x x x →→= C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数)(x f 有)()(lim 00x f x f x x =→ 4、已知x x f 1)(=，则xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0的值是（ C ） A 、21x B 、x C 、21x - D 、x - 5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、1lim 0=→x xx B 、1)1(21lim 21=--→x x x C 、111lim 1=---→x x x D 、0lim 0=→x x x 6、51lim 21=-++→xb ax x x ，则b a 、的值分别为（ A ） A 、67和- B 、67-和 C 、67--和 D 、67和7、已知,2)3(,2)3(-='=f f 则3)(32lim 3--→x x f x x 的值是（ C ） A 、4- B 、0 C 、8 D 、不存在8、=--→33lim a x ax a x （ D ）A 、0B 、1C 、32aD 、323a9、当定义=-)1(f 2 时，xx x f +-=11)(2在1-=x 处是连续的。
函数的连续性
函数的连续性一、复习目标明白得函数连续的意义，明白得闭区间上连续函数有最大年夜值最小值的性质. 二、例题讲解例1．已知函数⎩⎨⎧>≤=)1|(|1)1|(|)(x x x x f 且有如下结论：①)(x f 在点1=x 处连续；②)(x f 在点1-=x 处连续；③)(x f 在点1=x 处极限不存在；④)(x f 在点1-=x 处极限不存在.个中精确的有___①④___.例2．指出下列函数的不连续点：（1）231)(22+--=x x x x f ；（2）x xx f tan )(=；⎩⎨⎧>-≤-=)1(,3)1(,1)(x x x x x f .解：（1）由0232=+-x x ，得2,1==x x ，因此函数的不连续点为2,1==x x . （2）当时)(Z k k x ∈=π，0tan =x ，分母为0，当)(2Z k k x ∈+=ππ，x tan 不存在，因此函数的不连续点为πk x =和)(2Z k k x ∈+=ππ.例3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<=),21(1),1(21),10()(x x x x x f（1）求)(x f 在点1=x 处的左、右极限.函数)(x f 在1=x 处是否有极限？ （2）函数)(x f 在点1=x 处是否连续？ （3）确信函数)(x f 的连续区间.解：（1）.11lim )(lim ,1lim )(lim 1111====++--→→→→x x x x x f x x f ∵)(lim )(lim 11x f x f x x +-→→=， ∴函数函数)(x f 在1=x 处极限存在，且1)(lim 1=→x f x .（2）∵1)(lim 1=→x f x ，且21)1(=f ，∴)1()(lim 1f x f x ≠→.∴函数)(x f 在点1=x 处不不连续. （3）函数)(x f 的连续区间是(0,1),(1,2).例4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)3(6sin )3)(1(log )(22x x k x x x f π，在3=x 处连续，试确信k 的值. 解：∵3)1(log lim )(lim 2233=-=→→x x f x x ，又k k f =⋅=)36sin()3(π，而在3=x 处连续，∴)3()(lim 3f x f x =→，即3=k三、同步演习：《高考三人行—学生用书》P344课时6 数学归纳法一、复习目标操纵数学归纳法证题的两个步调，能应用数学归纳法证题，有初步的猜想归纳才能. 二、例题讲解 例1．设)(21312111)(*N n nn n n n f ∈+++++++= ，那么)()1(n f n f -+等于（ D ）A ．121+n B ．221+n C ．121+n +221+n D ．121+n -221+n 例2．某个命题与正整数有关，若)(*N k k n ∈=时，该命题成立，那么可推得当时1+=k n 该命题也成立，现已知当时5=n 该命题不成立，那么可推得（ ） A ．当时6=n 该命题不成立 B ．当时6=n 该命题成立 C ．当时4=n 该命题不成立 D ．当时4=n 该命题成立解：假如4=n 时命题成立，那么由题设，5=n 时命题也成立.上面的确信作为一个命题，那么它的逆否命题是：假如5=n 时命题不成立，那么4=n 时命题也不成立.原命题成立，它的逆否命题必定成立，故选C.例3．*N n ∈，求证：nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+- . 证实：略例4．证实不等式：*)(2131211N n n n∈<++++证实：略例5．已知93)72()(+⋅+=nn n f ，是否存在天然数m ，使得对随便率性，都能使m 整除)(n f ，假如存在，求出最大年夜的m 值，并证实你的结论；若不存在，说明来由.解：1224)4(,360)3(,108)2(,36)1(====f f f f ，猜想能整除)(n f 的最大年夜整数是36.下面证实)(n f 能被36整除，（1）当时1=n ，36)1(=f 能被36整除；（2）假设当时k n =，)(k f 能被36整除，则当时1+=k n ，)13(18]93)72[(393]7)1(2[)1(11-++⋅+=+⋅++=+-+k k k k k k f由归纳假设]93)72[(3+⋅+kk 能被36整除，而131--k 时偶数，∴)13(181--k 能被36整除，∴)1(+k f 能被36整除.由（1）、（2）得)(n f 能被36整除，因为36)1(=f ，因此能整除)(n f 的最大年夜整数是36.三、同步演习：已知点的序列)0,(n n x A ，*N n ∈，个中)0(,021>==a a x x ，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的，…，n A 是线段12--n n A A 的中点，….（1）写出n x 与1-n x 、2-n x 之间的关系式（3≥n ）；（2）设n n n x x a -=+1，运算321,,a a a ，由此推断数列}{n a 的通项公式，并加以证实； （3）求.解：（1）当时3≥n ，221--+=n n n x x x . （2）22,1212232121ax x x x x a x x a -=-+=-==-= 42323343a x x x x x a =-+=-=，由此推测)()21(*1N n a a n n ∈-=-. 证法一：因为01>=a a ，且2221111---+-=--=-+=-=n n n n n n n n n ax x x x x x x a （2≥n ），因此)()21(*1N n a a n n ∈-=-.证法二：数学归纳法（3）当时3≥n ，有112211)()()(x x x x x x x x n n n n n +-++-+-=--- 121a a a n n +++=-- ， 由（2）知}{n a 是公比为21-的等比数列，因此a a x n n 32211lim 1=+=∞→.。
函数的连续性考试题及答案
函数的连续性考试题及答案一、选择题1. 若函数f(x)在点x=a处连续，则下列说法正确的是：A. 函数f(x)在x=a处有定义B. 函数f(x)在x=a处的极限存在C. 函数f(x)在x=a处的极限等于f(a)D. 以上说法均正确答案：D2. 函数f(x)=x^2在实数域R上是否连续？A. 是B. 否答案：A3. 函数f(x)=1/x在x=0处是否连续？A. 是B. 否答案：B二、填空题1. 若函数f(x)在x=a处连续，则f(x)在x趋近于a时的极限值为______。
答案：f(a)2. 函数f(x)=|x|在x=0处的连续性是______。
答案：连续三、解答题1. 判断函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处的连续性，并说明理由。
答案：函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处连续。
理由是：首先，f(1)=1^3-3*1+2=0，函数在x=1处有定义；其次，lim(x→1)(x^3-3x+2)=1^3-3*1+2=0，函数在x趋近于1时的极限存在且等于f(1)，因此函数在x=1处连续。
2. 证明函数f(x)=sin(x)在实数域R上连续。
答案：对于任意的x∈R和任意的ε>0，我们需要找到一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，|sin(x)-sin(x0)|<ε。
根据三角函数的中值定理，存在ξ∈(x,x0)，使得|sin(x)-sin(x0)|=|cos(ξ)||x-x0|。
由于|cos(ξ)|≤1，我们可以取δ=min{1,ε}，这样当|x-x0|<δ时，|sin(x)-sin(x0)|<ε。
因此，函数f(x)=sin(x)在实数域R上连续。
数学分析4.1函数连续性概念(习题)
第四章函数的连续性1 连续性概念(练习)1、按定义证明下列函数在其定义域内连续(1)f(x)=；(2)f(x)=|x|.证：(1)f(x)=的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞)当x,x0∈D时，有=由三角不等式可得：|x|≥|x0|-|x-x0|，∴≤对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x0|<δ时，有<δδ∴要使<ε，只要使δδ=ε，即当δ=εε>0时，就有|f(x)-f(x0)|<ε∴f(x)在x0连续. 由x0的任意性知f(x)在其定义域内连续.(2)f(x)=|x|在R上都有定义。
任取x, x0∈R，有||x|-|x0||≤|x-x0|.对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x0|<δ时，有||x|-|x0||<δ∴只要取δ=ε，就有|f(x)-f(x0)|<ε∴f(x)在x0连续. 由x0的任意性知f(x)在R连续.2、指出下列函数的间断点并说明其类型(1)f(x)=；(2)f(x)=；(3)f(x)=[|cos x|]；(4)f(x)=sgn |x|；(5)f(x)=sgn(cosx)；(6)f(x)=为有理数为无理数；(7)f(x)=.解：(1)f(x)在x=0间断.∵f(x)在x=0的左右极限都不存在，∴x=0是f(x)的第二类间断点.(2)f(x)在x=0间断.∵==1，== -1，∴x=0是f(x)的跳跃间断点.(3)f(x)在x=nπ间断，(n=0,±1,±2,…)∵=0，=0，∴x=nπ是f(x)的可去间断点. (4)f(x)在x=0间断，∵=1，=1，∴x=0是f(x)的可去间断点.(5)f(x)在x=2kπ±间断，(k=0,±1,±2,…)∵=-1，= 1；= 1，= -1，∴x=2kπ±是f(x)的跳跃间断点.(6)f(x)在x≠0的点间断，且当x0≠0时，f(x)的左右极限都不存在，∴所有x≠0的点都是f(x)的第二类间断点.(7)f(x)在x=-7和x=1间断，∵=-7，不存在，∴x= -7是f(x)的第二类间断点.又=0，=1，∴x=1是f(x)的跳跃间断点.3、延拓下列函数，使其在R上连续(1)f(x)=；(2)f(x)=；(3)f(x)=xcos.解：(1)∵f(x)=在x=2没有定义，且==12；∴延拓函数得F(x)=在R上连续.(2)∵f(x)=在x=0没有定义，且===；∴延拓函数得F(x)=在R上连续.(3)∵f(x)=xcos在x=0没有定义，且=0；∴延拓函数得F(x)=在R上连续.4、证明：若f在x0连续，则|f|与|f2|也在点x0连续. 又问：|f|或f2也在点I连续，那么f在I是否必连续？证：∵f在x0连续，∴∀ε>0，有δ>0，使当|x-x0|<δ时，都有|f(x)-f(x0)|<ε. 又|f(x)-f(x0)|≥||f(x)|-|f(x0)||，∴当|x-x0|<δ时，都有||f(x)|-|f(x0)||<ε.∴|f|在点x0连续.又∵f在x0连续，由局部有界性知，存在M>0及δ1>0，使|x-x0|<δ1时，有|f(x)|<，∀ε>0，有δ2>0，使当|x-x0|<δ2时，都有|f(x)-f(x0)|<ε.取δ’=min{δ1,δ2}，则当|x-x0|<δ’时，有|f2(x)-f2(x0)|= |f(x)-f(x0)||f(x)+f(x0)|≤|f(x)-f(x0)|(|f(x)|+|f(x0)|)<ε·M=ε.∴f2在点x0连续.其逆命题不成立，例如设f(x) =为有理数为无理数；则|f|,f2均为常数函数，∴|f|,f2均为连续函数，但f(x)在R上的任一点都不连续.5、设当x≠0时，f(x)≡g(x)，而f(0)≠g(0). 证明：f与g两者中至多一个在x=0连续.证：若f与g在x=0都连续，则=f(0)；=g(0).又当x≠0时，f(x)≡g(x)，∴=，∴f(0)=g(0)，这与f(0)≠g(0)矛盾，∴f与g两者中至多一个在x=0连续.6、设f为区间I上的单调函数. 证明：若x0∈I为f的间断点，则x0必是f的第一类间断点证：由函数极限的单调有界定理可知，不管f在区间I上单调增还是单调减，f在点x0∈I都有左右极限，∴当f在x0不连续时，x0必是f的第一类间断点。
第1章函数的连续性习题集及答案
第一章 习题三 函数的连续性一. 选择题1．设函数)(x f 在点0x 处右连续且0)(0>x f ，则下列结论不正确的是（ C ） （A ）在某个),[0b x 上有0)(>x f ； （B ）在某个),[0b x 上)(x f 有界； （C ）在某个)(0x U 上有0)(>x f ； （D ）在某个],[0b x 上)(x f 有界． 2．下列结论正确的是（ B ）（A ）若)(x f 在点0x 处有定义且极限存在，则)(x f 在0x 处必连续；（B ）若)(x f 在点0x 处连续，)(x g 在点0x 处不连续，则)()(x g x f +在点0x 处必不连续；（C ）若)(x f 与)(x g 点0x 处都不连续，则)()(x g x f +在点0x 处必不连续； （D ）若)(x f 在点0x 处连续，)(x g 在点0x 处不连续，则)()(x g x f ⋅在点0x 处必不连续．3．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=--1,01,)(11x x e x f x 在1=x 处（ C ）（A ）连续； （B ）左连续； （C ）右连续； （D ）左右都不连续． 4．0=x 是函数21cos x xx +的（ B ）（A ）连续点； （B ）可去间断点； （C ）无穷间断点； （D ）振荡间断点．5．函数3()sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为（ C ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46．函数()f x = B ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 7．函数11()tan ()()xx e e x f x x e e +=-在[],ππ-上的第一类间断点是（ A ）（A ）0x = （B ）1x = （C ）2x π=- （D ）2x π=8．函数2sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间有界：（ A ）（A ）(1,0)- （B ）(0,1) （C ）(1,2) （D ）(2,3)二．填空题1．设)1ln(1)(x xx f -=，要使)(x f 在0=x 处连续，则需补充定义___________(0)1f =-．2．设函数tan 21,0()arcsin 2,0xxe x xf x ae x ⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩在0x =处连续，则________2a =-3．2ln(1)0___________sin limcos(21)1x xx x xπ++→+-=-． 4．0___________1)0x →=． 5．若)(x f 在1=x 处连续，且112)(lim 1=--→x x f x ，则___________(1)2f =． 6．已知函数()f x 连续，且[]21cos ()lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则______(0)2f =7．函数65ln )(2-+=x x x x f 的全部间断点共有 3 个，它们是 1,0,6 -．8．函数2sin ()lim1(2)nn xf x x π→∞=+的间断点的个数为_______2. 9．设2(1)()lim 1n n xf x nx →∞-=+，则()f x 的间断点为_________0x =。
函数连续性练习——极限函数的连续性(老黄学高数第121讲)
证明g在R上每一点都右连续.
证： ∵f为R上的单调函数，∴f只有第一类间断点，
故右极限处处存在，∴g(x)处处有定义，
任取x0∈R，则g(x0)=f(x0+0)=
f(y)，
方法二：又g(x)=f(x+0)= f(y)，有
∴g在点x0右连续，由x0的任意性得证！ 同理可证，f(x-0)在R上每一点都左连续.
∴g(x0)-ε<g(x0)-ε/2≤g(x)≤ g(x0)+ε/2<g(x0)+ε， 即g在点x0连续， 由x0的任意性得证！
2、设f只有可去间断点，定义g(x)= f(y).
.
证明g为连续函数. 证2：设f的定义域为区间I，则g(x)在I上处处有定义， 任取x0∈I，有g(x0)= f(y)， 又g(x)= f(y)，所以有
任取x∈U+0(x0,δ)，必存在U+0(x,η) ⊂U+0(x0,δ)，使 当y∈U+0(x,η)时，(1)式成立. 又g(x)=f(x+0)= f(y)，
∴g(x0)-ε<g(x0)-ε/2≤g(x)≤g(x0)+ε/2<g(x0)+ε ，得证！
1、设f为R上的单调函数，定义g(x)=f(x+0)，
2、设f只有可去间断点，定义g(x)= f(y).
.
证明g为连续函数. 证1：设f的定义域为区间I，则g(x)在I上处处有定义， 任取x0∈I，由g(x0)= f(y)，知∀ε>0, ∃δ>0， 当|y-x0|<δ时，有g(x0)-ε/2<f(y)<g(x0)+ε/2 (1) 任取x∈U0(x0,δ)，则必存在U0(x,η) ⊂U0(x0,δ)，使 当y∈U0(x,η)时，(1)式成立. 又g(x)= f(y)，
函数极限与连续的题(3篇)
第1篇一、引言函数极限与连续性是高等数学中研究函数性质的重要工具。
极限是研究函数在某一点附近变化趋势的方法，而连续性则是研究函数整体性质的方法。
一个函数如果在某一点连续，那么它在该点附近的变化是平滑的，没有突变。
二、函数极限与连续性的概念1. 极限函数极限的定义如下：设函数f(x)在点x=a的某邻域内有定义，如果当x趋向于a 时，f(x)的值无限接近于某常数L，那么称L为函数f(x)在点x=a的极限，记作lim[f(x)](x→a)=L。
2. 连续性函数连续性的定义如下：设函数f(x)在点x=a的某邻域内有定义，如果f(a)=lim[f(x)](x→a)，那么称函数f(x)在点x=a处连续。
三、函数极限与连续性的性质1. 极限的性质（1）存在性：如果函数f(x)在点x=a的某邻域内有定义，那么函数f(x)在点x=a 的极限一定存在。
（2）唯一性：如果函数f(x)在点x=a的某邻域内有定义，那么函数f(x)在点x=a 的极限是唯一的。
（3）保号性：如果函数f(x)在点x=a的某邻域内有定义，且存在一个正常数M，使得当x∈(a-δ，a+δ)时，有|f(x)|≤M，那么函数f(x)在点x=a的极限存在，且其绝对值不超过M。
2. 连续性的性质（1）保号性：如果函数f(x)在点x=a处连续，那么当x∈(a-δ，a+δ)时，有f(x)≥M，那么f(a)≥M。
（2）保序性：如果函数f(x)在点x=a处连续，那么当x∈(a-δ，a+δ)时，有f(x)≤M，那么f(a)≤M。
（3）可加性：如果函数f(x)和g(x)在点x=a处连续，那么函数f(x)+g(x)在点x=a处连续。
（4）乘除性：如果函数f(x)和g(x)在点x=a处连续，且g(a)≠0，那么函数f(x)·g(x)和f(x)/g(x)在点x=a处连续。
四、题目及解答题目1：求函数f(x)=x²-3x+2在点x=2的极限。
解答：由函数极限的定义，我们需要证明当x趋向于2时，f(x)的值无限接近于f(2)。
数学中的极限与连续性概念测试题
数学中的极限与连续性概念测试题在数学的广袤领域中，极限与连续性概念是极其重要的基石，它们不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。
为了帮助大家更好地理解和掌握这两个概念，下面我们将通过一系列测试题来进行探讨。
一、选择题1、当 x 趋近于 2 时，函数 f(x) ＝（x 2)／（x² 4)的极限为（）A 1/4B 1/2C 不存在D 02、函数 f(x) ＝｜x| 在 x ＝ 0 处（）A 连续且可导B 连续但不可导C 不连续D 可导但不连续3、下列函数中，在 x ＝ 0 处极限存在但不连续的是（）A f(x) ＝ 1/xB f(x) ＝ sin(1/x)C f(x) ＝｛ 1, x ＞ 0; 0, x ＝ 0; －1, x ＜ 0 ｝D f(x) ＝ x sin(1/x)4、若lim(x→1) f(x) ＝ 3，lim(x→1) g(x) ＝ 5，则lim(x→1) f(x) ＋g(x) ＝（）A 8B 2C －2D 155、函数 f(x) ＝｛ x ＋ 1, x ＜ 1; 2x 1, x ≥ 1 ｝在 x ＝ 1 处（）A 连续且可导B 连续但不可导C 不连续D 可导且连续二、填空题1、极限lim(x→∞）（1 ＋ 1/x)＾x 的值为_____。
2、若函数 f(x) 在 x ＝ a 处连续，则lim(x→a) f(x) ＝＿_____。
3、函数 f(x) ＝（x² 1)／（x 1)在 x ＝ 1 处的极限为_____。
4、极限lim(x→0) （sin x)／x 的值为_____。
5、若函数 f(x) ＝ x² 4，g(x) ＝ x ＋ 2，则lim(x→2) f(x)／g(x) ＝＿_____。
三、解答题1、求极限lim(x→3) （x² 9)／（x 3)。
2、讨论函数 f(x) ＝｛ x ＋ 2, x ＜ 0; 0, x ＝ 0; x², x ＞ 0 ｝在 x ＝0 处的连续性。
数学分析4.2连续函数的性质(习题)
第四章函数的连续性2 连续函数的性质(练习)1、讨论复合函数f(g(x))与g(f(x))的连续性，设(1)f(x)=sgn x，g(x)=1+x2；(2) f(x)=sgn x，g(x)=(1-x2)x.解：(1)∵f(g(x))=sgn (1+x2)≡1，∴f(g(x))是连续函数.又g(f(x))=1+(sgn x)2=，∴x=0是g(f(x))的可去间断点，其余点处处连续.(2)∵f(g(x))=sgn [(1-x2)x]=或或或，∴x=0和x=±1是f(g(x))的跳跃间断点.又g(f(x))=[1-(sgn x)2]x≡0，∴g(f(x))是连续函数.2、设f,g在点x0连续，证明：(1)若f(x0)>g(x0)，则存在U(x0,δ)，使在其内有f(x)>g(x)；(2)若在某U⁰(x0)内有f(x)>g(x)，则f(x0)≥g(x0).证：(1)∵f(x0)>g(x0)，设ε0=>0，∵f在点x0连续，∴=f(x0)，即对ε0，有δ1>0，使当|x-x0|<δ1时，就有|f(x)-f(x0)|<ε0=，同理对ε0，有δ2>0，使当|x-x0|<δ2时，就有|g(x)-g(x0)|<ε0=，取δ=min(δ1,δ2)，则当|x-x0|<δ时，就有|f(x)-f(x0)|+|g(x)-g(x0)|< f(x0)-g(x0)，又f(x0)-f(x)+g(x)-g(x0)≤|f(x)-f(x0)|+|g(x)-g(x0)|，∴f(x0)-f(x)+g(x)-g(x0)< f(x0)-g(x0)，化简得f(x)>g(x)，x∈U(x0,δ).(2)若f(x0)<g(x0)，由(1)可知存在某U(x0,δ)，使f(x)<g(x)，这与题设f(x)>g(x)矛盾；∴f(x0)≥g(x0).3、设 f,g在区间I上连续，记F(x)=max{f(x),g(x)}，G(x)=min{f(x),g(x)}.证明F和G也都在I上连续.证：F(x)=max{f(x),g(x)}=[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]；G(x)=min{f(x),g(x)} =[f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|].∵f,g在区间I上连续，∴|f(x)-g(x)|在区间I上连续，∴F和G也都在I上连续.4、设f为R上的连续函数，常数c>0，记F(x)=当当当.证明：F在R上连续.证1：函数F等价于F(x)=max{-c,min{c,f(x)}}，∵f(x)和y=c在R上连续，∴min{c,f(x)}在R上连续；又y=-c在R上连续，∴F(x)=max{-c,min{c,f(x)}}在R上连续.证2：函数F等价于F(x)=[|c+f(x)|-|c-f(x)|]，∵f(x)在R上连续，∴|f(x)±c|在R上连续；∴F(x)在R上连续.5、设f(x)=sinx, g(x)=证明：复合函数f(g(x))在x=0连续，但g在x=0不连续.证：f(g(x))=. ∴f(g(x))=-sinx在x=0连续.又= -π，=π，∴g在x=0不连续.6、设f在[a,+∞)上连续，且存在. 证明：f在[a,+∞)上有界，又问f在[a,+∞)必有最大值或最小值吗？证：设=A，对任给的正数ε，有正数b，使x>b时，有|f(x)-A|<ε，即A-ε<f(x)<A+ε. ∴f在[b,+∞)上有界.若b≤a，则[a,+∞)⊆[b,+∞)，∴f在[a,+∞)上有界.若b>a,则[a,b]⊂[a,+∞)，∵f在[a,+∞)上连续,∴f在[a,b]上连续,∴f在[a,b]上有界. ∴f在[a,b]∪[b,+∞)=[a,+∞)上有界.f在[a,+∞)一定有最大值或最小值。
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函数的连续性的例题与习题函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。
第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。
下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。
还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。
要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？一．函数的连续例1.1（例1.20（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照）设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。
证明：()f x 在任意点x 处连续。
分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。
其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。
你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。
在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =∆，那么就有 ()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=。
证明的思路就此产生！证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。
（#）对于固定的x （任意的！），若取y x =∆，有()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆， （+）在（+）式两边取0x ∆→的极限，那么lim lim(()())lim ()x x x y f x x f x f x ∆→∆→∆→∆=+∆-=∆ ， （&）由已知条件：()f x 在0x =连续，所以0lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=，代入（#）的结果，就有lim (0)lim ()(0)0x x f x f x f ∆→∆→+∆=∆==，但从（&）知，0lim lim ()x x y f x ∆→∆→∆=∆，所以lim 0x y ∆→∆=。
根据函数连续的定义E ，()f x 在任意点x 处连续。
你看，证明题并不难吧，但有个前提，必须有清晰的概念。
很多同学的数学只会“代公式套题型”，所以做计算题还可能对付一下。
其实计算也并不轻松。
例1.2（例1.21（一））设常数0a ≠，212(1)1()lim 1n n n n n x a x f x x ax +→∞+--=--，求()f x 的分段表达式，欲使()f x 连续，试确定a 的值。
分析：首先要注意，函数()f x 不是平常的形式，用一个明显的解析式表达出来，本题用一个极限形式来表示一个函数。
所以它要求先写出()f x 的分段表达式，这是本题的第一个任务；第二，要确定参数a 的数值，怎么确定呢？利用函数的连续性。
这里需要计算极限的基本功。
()f x 中出现了几个幂函数 221,,nnn x x x+，根据幂函数的性质，x 的大小对幂函数的变化趋势有根本性的影响，所以要分为||1,||1,1,1x x x x <>==-进行讨论。
所以本题的第一层考核的是对幂函数的认识与理解。
（1）||1x <： 221,,nnn x x x+都趋于零（当n →∞时），所以1()11f x -==-。
（2）||1x >： 此时221,,nnn x x x +都将趋于无穷大。
为此，要从分子，分母中提出最大项，约去相应的部分，来简化函数()f x ：2112122(1)11()lim11n n n n n n n a x x x f x x a x xx +++→∞-⎛⎫++ ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭。
（3）1x =： 11()a af x a a--==-； （4）1x =-： 1(1)(1)12(1)(1)()lim lim 1(1)1(1)n nn nn n a a f x a a →∞→∞-+----+--==-----， 极限不存在。
故得 ,11,1()1,||1,1x x a x f x ax x x >⎧⎪-⎪=⎪=⎨⎪<⎪<-⎪⎩。
欲使()f x 连续，即使()f x 在1x =连续，等价于11a a -=，故12a =。
例1.3 （例1.22（一））证明连续函数的局部保号性：设()f x 在0x x =处连续，且0()0f x >，那么存在0δ>，当0||x x δ-<时，()0f x >。
分析：这个性质公式我们一个事实，若连续函数在某点的函数值为正，那么在这个点附近的点的函数值也是正的，不会取负值。
这就是说，连续函数的函数值有“惯性”。
证明的过程很容易很简单，其实我们在证明极限的保号性时就已经用过。
证明：因为()f x 在0x x =处连续，所以对任给的0ε>，总存在0δ>，使得当0||x x δ-<时，恒有0|()()|f x f x ε-<，也就是 0()()f x f x εε-<-<。
（+）若取 0()0f x ε=>，在（+）式中取左边的那个不等式，就有 ()0f x >； 若取01()02f x ε=>，那么就有 01()()2f x f x >。
（不过，此时的0||x x δ-<中的δ要变小） 当然，你也可以取不同的0ε>，当然δ要变。
如果我们只需要证实()f x 的值为正，那么取0()0f x ε=>就已经够了。
例1.4（例1.23（一）） 设()f x 在区间[,]a b 上连续并大于零，证明1()f x 在[,]a b 也连续。
分析：我们需要证明的是：在[,]a b 上任取点0x ，对任给的0ε>，存在一个0δ>，使当0||x x δ-<时， 有011()()f x f x ε-<。
直接做下去，是有困难的，所以我们需要对上述不等式做点放大（这是一个基本功！）：002000|()()|2|()()|11()()()()()f x f x f x f x f x f x f x f x f x ε---=<< 注意，上面第一个不等号是因为我们在例1.3中，已经证明了在0x 的一个邻域中有01()()2f x f x >！ 至此，一个完整的证明思路就形成了。
证明：对任一0[,]x a b ∈，0()0f x >，0x 是()f x 的连续点。
由局部保号性，存在0x 的邻域01(,)N x δ，使得01()()2f x f x >。
所以在这个邻域中，002000|()()|2|()()|11()()()()()f x f x f x f x f x f x f x f x f x ---=<； 由()f x 在区间[,]a b 上的连续性知，对于任给0ε>，存在20δ>，使得当02||x x δ-<时，有200()|()()|2f x f x f x ε-<。
我们取12min(,)δδδ=，那么在这个更小的邻域中，（即0||x x δ-<）有002000|()()|2|()()|11()()()()()f x f x f x f x f x f x f x f x f x ε---=<<， 则有函数的连续的定义知， 0x 是函数1()f x 的连续点；又由0x 的任意性，得1()f x 在区间[,]a b 也连续。
例1.5 确定,a b 之值，使函数21,0()sin(),0x e x f x ax b x -⎧⎪>=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续。
解：在0x >和0x ≤两个区间里，对应的函数均为初等函数，它们都是连续函数。
所以，要使()f x 在整个实数域中连续，只需确定在0x =的连续性条件。
()f x 在0x =有定义，所以我们只需考虑它在0x =的极限。
0lim ()lim sin()sin x x f x ax b b --→→=+= 222111011lim ()lim lim 0lim x x x x xx x f x e e e +----→→→→====；由此得方程 sin 0b =， 容易解得： ,0,1,2,b k k π==±±，而对参数a ，连续性条件对它没有任何限制，所以a 可取任何实数。
例1.6 设,0(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩，,1()1b x g x x <⎧=≥，求,a b 之值，使()()f x g x +在实数域上连续。
解：两个函数的定义域不同，所以它们之和()()f x g x +这个新函数的定义域需要加以明确。
显然，需要考虑3个区间：0,01,1x x x <≤<≥：,0()(),01,1x e b x f x g x a x b x a x x ⎧+<⎪+=++≤<⎨+≥。
现在可以对2个分界点0,1x x ==处的连续性条件做研究了（定义问题已经解决）：lim(()())lim()1xx x f x g x e b b --→→+=+=+， 0lim(()())lim()x x f x g x a x b a b ++→→+=++=+， 故有方程 1a b b +=+， （1） 又 11lim(()())lim()1x x f x g x a x b a b --→→+=++=++，11lim(()()))1x x f x g x a x +→+→+=+=+，又有方程11a b a ++=+， （2）联立（1）（2），解得1,a b ==。
练习题1 设()f x 满足条件：12,x x ∀，有1212()()()f x x f x f x +=⋅，且()f x 在0x =处连续。
求证()f x 在整个实数域连续。
练习题2 设,1(),1x x f x a x <⎧=⎨≥⎩，,0()1,0b x g x x x ≤⎧=⎨+>⎩，求,a b 之值，使()()f x g x +在实数域上连续。