特殊平行四边形：折叠问题 2

A
B
变式训练
1、如图，在平面直角坐标系中，直线
y
1 2
x
2
与
x
轴、y
轴分别交于
A、B
两点，以
AB
为边
在第二象限内作正方形 ABCD，过点 D 作 DE⊥x 轴，垂足为 E． （1）求点 A、B 的坐标，并求边 AB 的长； （2）求点 D 的坐标； （3）你能否在 x 轴上找一点 M，使△MDB 的周长最小？如果能，请求出 M 点的坐标；如果不 能，说明理由．
2、如图，以矩形 OABC 的顶点 O 为原点，OA 所在的直线为 x 轴，OC 所在的直线为 y 轴，建 立平面直角坐标系．已知 OA=3，OC=2，点 E 是 AB 的中点，在 OA 上取一点 D，将△BDA 沿 BD 翻折，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处． （1）直接写出点 E、F 的坐标； （2）若 P 在坐标轴上，且以点 E、F、C、P 为顶点的四边形是梯形，求点 P 的坐标； （3）在 x 轴、y 轴上是否分别存在点 M、N，使得四边形 MNFE 的周长最小？如果存在，求出 周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
变式训练：
1、如图，在直角梯形纸片 ABCD 中， AB∥DC ，A 90 ，CD AD ，将纸片沿过点 D 的直线折叠，使点 A 落在边 CD 上的点 E 处，折痕为 DF ．连接 EF 并展开纸片． （1）求证：四边形 ADEF 是正方形； （2）取线段 AF 的中点 G ，连接 EG ，如果 BG CD ，试说明四边形 GBCE 是等腰梯形．
．
A
D
A
FD
AN
D
B
C
B
EC
①
②
M
G
B
EC
③
5、长为 1，宽为 a 的矩形纸片（ 1 a 1 ），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽 2
度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时 矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第 n 此操作后，剩下的矩 形为正方形，则操作终止．当 n=3 时，a 的____________．
例题 4：如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的 B 处，点 A 对应点为 A ，且 BC =3，则 AM 的长是
变式训练：
1、把一张矩形纸片（矩形 ABCD）按如图方式折叠，使顶点 B 和点 D 重合，折痕为 EF．若
AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分△DEF 的面积是
7、如图所示，在等腰梯形 ABCD 中，AD//BC，∠DBC=45°，翻折梯形 ABCD，使点 B 重合 于点 D，折痕分别交边 AB,BC 于点 F，E,若 AD=2,BC=8.求： （1） DE 的长； （2） CD：DE 的正切值。
8、如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB＝3 3 ，BC＝6，沿 EF 折叠后，点 C 落在 AB 边上的 点 P 处，点 D 落在点 Q 处，AD 与 PQ 相交于点 H，∠BPE＝30°．
（3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大 值．
（备用图）
例题 5：将平行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使点 C 与 A 重合，点 D 落到 D 处， 折痕为 EF ． （1）求证：△ABE ≌△ADF ；
9
（2）连结 CF ，判断四边形 AECF 是什么特殊四边形？说明你的结论．
A H
D BM N
EG
F
C
11、.如图，ABCD 是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形 ABCD 的边 AB 上取一点
M，在 CD 上取一点 N，将纸片沿 MN 折叠，使 MB 与 DN 交于点 K，得到△MNK．
（1）若∠1=70°，求∠MNK 的度数．
（2）△MNK 的面积能否小于 1 ？若能，求出此时∠1 的度数；若不能，试说明理由． 2
如图，在梯形纸片 ABCD 中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点 D 的直线折叠，使点 C 落在 AD 上的点 C 处，折痕 DE 交 BC 于点 E，连接 C′E． 求证：四边形 CDC′E 是菱形
10
例题 6：如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，A 点坐标为（0，a），E 是线段 BC
在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD PE 的和最小，则这个最小值为
。
2、如图，正方形 ABCD 的边长为 8，点 E、F 分别在 AB、BC 上，AE=3，CF=1，P 是对角线 AC
上的个动点，则 PE+PF 的最小值是
。
3、如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长为6和8，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，点 M.N 分别是边 AB.BC 的中点，则 PM＋PN 的最小值是？
4、小明尝试着将矩形纸片 ABCD（如图①，AD>CD）沿过 A 点的直线折叠，使得 B 点落在
AD 边上的点 F 处，折痕为 AE（如图②）；再沿过 D 点的直线折叠，使得 C 点落在 DA 边上
的点 N 处，E 点落在 AE 边上的点 M 处，折痕为 DG（如图③）．如果第二次折叠后，M 点
正好在∠NDG 的平分线上，那么矩形 ABCD 长与宽的比值为
角有
个。
4
例题 4、如图是一张矩形纸片 ABCD，AD=10cm，若将纸片沿 DE 折叠，使 DC 落在 DA 上， 点 C 的对应点为点 F，若 BE=6cm，则 CD 的长是
A
F
D
B
C E
变式训练： 1、如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开
后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是
2
3、如图所示，已知 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为坐标原点，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且 OA=15，OC=9，在边 AB 上选取一点 D，将△AOD 沿 OD 翻折，使点 A 落在 BC 边上，记为点 E． （1）求 DE 所在直线的解析式； （2）设点 P 在 x 轴上，以点 O、E、P 为顶点的三角形是等腰三角形，问这样的点 P 有几个， 并求出所有满足条件的点 P 的坐标； （3）在 x 轴、y 轴上是否分别存在点 M、N，使四边形 MNED 的周长最小？如果存在，求出周 长的最小值；如果不存在，请说明理由．
（1）求 BE、QF 的长． （2）求四边形 PEFH 的面积．
9、把一张矩形 ABCD 纸片按如图方式折叠，使点 A 与点 E 重合，点 C 与点 F 重合（E、F 两 点均在 BD 上），折痕分别为 BH、DG。 （1）求证：△BHE≌△DGF； （2）若 AB＝6cm，BC＝8cm，求线段 FG 的长。
cm2．
2、在正方形 ABCD 中,正方形的边长为 2，对角线 AC、BD 交于点 O，折叠正方形纸片 ABCD，
使 AD 落在 BD 上，点 A 恰与 BD 上的点 F 重合，展开后，折痕 DE 分别交 AB、AC 于点 E、G，
连接 GF。则ΔEFD 的面积为
。
如图，有一张面积为 1 的正方形纸片 ABCD，M、N 分别是 AD、BC 边的中点，将 C 点折叠至
MN 上，落在 P 点的位置，折痕为 BQ，连接 PQ，则 PQ=
.
6
3、如图矩形纸片 ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD 上有一点 E，ED＝2cm，AD 上有一 点 P，PD＝3cm，过 P 作 PF⊥AD 交 BC 于 F，将纸片折叠，使 P 点与 E 点重合，折痕与 PF 交于 Q 点，则 PQ 的长是____________cm.
4、取一张矩形纸片按照图 1、图 2 中的方法对折，并沿图 3 中过矩形顶点的斜线（虚线）
剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形
纸片的宽和长之比为
.
5
5、将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，AE、EF 为折痕，∠BAE＝30°，AB＝ 3 ， 折叠后，点 C 落在 AD 边上的 C1 处，并且点 B 落在 EC1 边上的 B1 处．则 BC 的长是
4、菱形 ABCD 中，∠BAD=60º ，M 是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，若 PM+PB 的 最小值是 3，求 AB 的长?
1
例题 2：如图，点 A、B 的坐标分别是（1，2），（2，1），在 y 轴上找一点 C，在 x 轴上找一 点 D，使四边形 ACDB 的周长最小，求出点 C 和 D 的坐标，并求出最小周长。
4、在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在 x 轴、 y 轴的 正半轴上， OA 3， OB 4 ，D 为边 OB 的中点. （Ⅰ）若 E 为边 OA 上的一个动点，当△ CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标； （Ⅱ）若 E 、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF 2 ，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E 、 F 的坐标.
.
3
①
10
② 4
2、如图，在梯形 ABCD 中，∠DCB＝90°，AB∥CD，AB＝25，BC＝24. 将该梯形折叠， 点 A 恰好与点 D 重合，BE 为折痕，那么 AD 的长度为_______．
3、如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 E、F 分别在 AB、CD 上，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A、D 分别落在矩形 ABCD 外部的点 A’，D’处，则整个阴影部分图形的周．长． 是
上一点，且∠AEB=60°，沿 AE 折叠后 B 点落在点 F 处，那么点 F 的坐标是
。
变式训练： 1、如图，已知平面直角坐标系中，有一矩形纸片 OABC，O 为坐标原点，AB∥x 轴，B（-3，
3 ） 现将纸片按如图折叠，AD，DE 为折痕，∠OAD=30°．折叠后，点 O 落在点 O1，点 C
四边形的轴对称变换
类型一：
例题 1、如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，AB=CD, M、N 分别是 AD、BC 的中点，AC 平分∠DCB，
AB⊥AC，P 为 MN 上一个动点，若 AD=3, 则 PD+PC 的最小值是
．
变式训练：
1、如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形′的度数为
度．
2、如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下一个角.为了得到一个正方形,剪刀与折痕所成
的角的度数应为
度．
3、如图，已知矩形纸片 ABCD，点 E 是 AB 的中点，点 G 是 BC 上的一点，BEG 60 ，
现沿直线 EG 将纸片折叠，使点 B 落在约片上的点 H 处，连接 AH ，则与 BEG 相等的
如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 1，M、N 分别是 AD、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点 B
的直线折叠，使 A 落在 MN 上，落点记为 A′，折痕交 AD 于点 E，若 M、N 分别是 AD、BC 边
上距 DC 最近的 n 等分点（n≧2，且 n 为整数），则 A′N=
.
7
6、如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落到点 B′的位置，AB′与 CD 交 于点 E. （1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明. （2）若 AB=8，DE=3，P 为线段 AC 上的任意一点，PG⊥AE 于 G，PH⊥EC 于 H，试求 PG+PH 的值，并说明理由.
3
y
B
C
D
O E Ax D
y
B
C
D
O
Ax
类型二：
例题 3、如图所示，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D，C 分别落在 D′，C′的位置．若
∠EFB＝65°，则∠AED′为
度．
E
A
D
D′
B
FC
C′
变式训练：
1、如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在点 C′处，折痕为 EF，
8
10、如图,△AEF 中,∠EAF=45°,AG⊥EF 于点 G,现将△AEG 沿 AE 折叠得到△AEB,将△AFG 沿 AF 折叠得到△AFD,延长 BE 和 DF 相交于点 C．
(1)求证：四边形 ABCD 是正方形； (2)连接 BD 分别交 AE、AF 于点 M、N，将△ABM 绕点 A 逆时针旋转，使 AB 与 AD 重合，得到 △ADH，试判断线段 MN、ND、DH 之间的数量关系，并说明理由． (3)若 EG=4，GF=6，BM=3 2，求 AG、MN 的长．