81《圆锥曲线-椭圆》基础知识--教师版

一.椭圆

注意:牢记椭圆的两种定义,在解题时,要善于应用几何上或代数上的意义。

一.椭圆的面积及周长公式:

1.椭圆的面积公式:ab S π=;

2.椭圆的周长公式:)(42b a b L -+=π

二.椭圆的焦点三角形的性质:面积及周长

㈠以椭圆两个焦点为顶点的三角形:如图21F PF ∆

性质1.已知点),(00y x P 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上的一点,两焦点分别为,,21F F 设焦点21F PF ∆中

,21θ=∠PF F 则

1)2

tan

2

21θ

b S PF F =∆ 2)焦点三角形21F PF 的周长为

c a 22+

3)021y c S PF F ⨯=∆

性质2.已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b

y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ,若2

1PF F ∠最大,则点P 为椭圆短轴的端点。

性质3.过椭圆焦点的所有弦中,通径(垂直于长轴的弦)最短,通径为a

b 2

2

性质4.已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b

y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,

21θ=∠PF F 则.21cos 2

e -≥θ

性质5.已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b

y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中

,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率β

αβαsin sin )

sin(++=e 。

性质6.焦半径乘积21PF PF ⨯的最值:2

2221.x e a PF PF -=⨯可见其最大值为2a ;最小值为2b ㈡过椭圆的一个焦点,以另一焦点为顶点的三角形:如图1的2ABF ∆

2的周长为;2的面积为:计算方法如下

.1法=∆2ABF S d l F AB 的距离到直线右焦点22

1

⨯⨯;

.2法=∆2ABF S 1221)(y y c y y c -⨯=+⨯

.3椭圆过焦点弦长公式:见上面基础知识框图。注意结合韦达定理。

另法:椭圆过焦点弦长公式:若椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x ,焦点)0,(),0,(21c F c F -,设过1F 的直

线l 的倾斜角为,α交椭圆于A 、B 两点,求弦长AB (即过焦点弦长)

三.椭圆中点弦的斜率的求法:

(一)椭圆中点弦的斜率公式:设00(,)M x y 是椭圆22

221x y a b

+=)0(>>b a 的弦AB (不平行y 轴)的中

点,且),(),,(2211y x B y x A ,则有:22AB OM b k k a ⋅=-即00

221212221212y x a

b y y x x a b x x y y k AB ⨯-=++⨯-=--=

注:设00(,)M x y 是椭圆1..22=+y n x m 的弦AB (不平行y 轴)的中点,且),(),,(2211y x B y x A ,则有:

0012121212y x n m y y x x n m x x y y k AB ⨯-=++⨯-=--=即n

m k k OM AB -=.

㈡若B A ,是椭圆22

221x y a b

+=)0(>>b a 上关于中心对称的两点,P 是椭圆上任一点,当PA ,PB 的斜

率PA k 和PB k 都存在时,有2

2PA PB b k k a

⋅=-.