流水作业调度 Johnson
计算机算法试题（含答案）
计算机算法试题（含答案）算法设计与分析试卷一、填空题（20分，每空2分）1、算法的性质包括输入、输出、＿＿＿、有限性。
2、动态规划算法的基本思想就将待求问题＿＿＿＿＿、先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
3、设计动态规划算法的4个步骤：（1）找出＿＿＿＿，并刻画其结构特征。
（2）＿＿＿＿＿＿＿。
（3）＿＿＿＿＿＿＿。
（4）根据计算最优值得到的信息，＿＿＿＿＿＿＿。
4、流水作业调度问题的johnson算法：（1）令N1=＿＿＿,N2={i|ai>=bj};（2）将N1中作业依ai的＿＿＿。
5、对于流水作业高度问题，必存在一个最优调度π，使得作业π（i）和π（i+1）满足Johnson不等式＿＿＿＿＿。
6、最优二叉搜索树即是＿＿＿的二叉搜索树。
二、综合题（50分）1、当（a1,a2,a3,a4,a5,a6）=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段和为∑ak(2<=k<=4)＿＿＿＿（5分）2、由流水作业调度问题的最优子结构性质可知，T（N，0）=＿＿＿＿＿＿（5分）3、最大子段和问题的简单算法(10分)int maxsum(int n,int *a,int & bestj){intsum=0;for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=i;j<=n;j++)int thissum=0;for(int k=i;k<=j;k++)＿＿＿＿＿;if(thissum>sum){sum=thissum;＿＿＿＿＿＿；bestj=j;}} return sum;}4、设计最优二叉搜索树问题的动态规划算法OptimalBinarysearchTree (15分)Void OptimalBinarysearchTree(int a,int n,int * * m, int* * w){for(int i=0;i<=n;i++) {w[i+1][i]=a[i]; m[i+1][i]=＿＿＿＿;}for(int r=0;r<n;r++)< p="">for(int i=1;i<=n-r;i++){int j=i+r;w[i][j]=w[i][j-1]+a[j]+b[j];m[i][j]=＿＿＿＿＿＿;s[i][j]=i;for(int k=i+1;k<=j;k++){int t=m[i][k-1]+m[k+1][j];if(＿＿＿＿＿) {m[i][j]=t; s[i][j]=k;}}m[i][j]=t; s[i][j]=k;}}5、设n=4, (a1,a2,a3,a4)=(3,4,8,10), (b1,b2,b3,b4)=(6,2,9,15) 用两种方法求4个作业的最优调度方案并计算其最优值（15分）三、简答题（30分）1、将所给定序列a[1:n]分为长度相等的两段a[1:n/2]和a[n/2+1:n]，分别求出这两段的最大子段和，则a[1:n]的最大子段和有哪三种情形(10分)答：2、由0——1背包问题的最优子结构性质，可以对m（i,j）建立怎样的递归式 (10分)3、0——1背包求最优值的步骤分为哪几步（10分）参考答案：填空题：确定性分解成若干个子问题最优解的性质递归地定义最优值以自底向上的方式计算出最优值构造最优解 {i|ai<="" p="">依bi的非增序排序min{bπ(i),aπ(i+1)}≥min{bπ(i+1),aπ(i)}最小平均查找长度综合题：20 min{ai+T(N-{i},bi)}(1=<i<=n) 0="" besti="i" m[i+1][j]="" p="" t<m[i][j]<="" thissum+="a[k]">法一：min(ai,bj)<=min(aj,bi)因为 min(a1,b2)<=min(a2,b1)所以1→2 (先1后2)由 min(a1,b3)<=min(a3,b1)得1→3 （先1后3）同理可得：最后为1→3→4→2法二：johnson算法思想N1＝{1，3，4} N2＝{2}N11＝{1，3，4} N12＝{2}所以N11→N12得：1→3→4→2简答题：1 、（1）a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同。
4-流水作业调度
流水作业调度问题（不能直接使用动态规划法的例子）流水作业调度的定义：设有n个作业，每一个作业i均被分解为m项任务: T i1, T i2, ┅, T im(1≤i≤n，故共有n m个任务)，要把这些任务安排到m台机器上进行加工。
如果任务的安排满足下列3个条件，则称该安排为流水作业调度：1. 每个作业i的第j项任务T ij (1≤i≤n, 1≤j≤m)只能安排在机器P j上进行加工；2. 作业i的第j项任务T ij(1≤i≤n, 2≤j≤m)的开始加工时间均安排在第j-1项任务T i,j-1加工完毕之后；(任何一个作业的任务必须依次完成，前一项任务完成之后才能开始着手下一项任务)3. 任何一台机器在任何一个时刻最多只能承担一项任务。
最优流水作业调度：设任务T ij在机器P j上进行加工需要的时间为t ij。
如果所有的t ij (1≤i≤n, 1≤j≤m)均已给出，要找出一种安排任务的方法，使得完成这n个作业的加工时间为最少。
这个安排称之为最优流水作业调度。
完成n个作业的加工时间：从安排的第一个任务开始加工,到最后一个任务加工完毕，其间所需要的时间。
优先调度：允许优先级较低的任务在执行过程中被中断，转而去执行优先级较高的任务。
非优先调度：任何任务一旦开始加工，就不允许被中断，直到该任务被完成。
流水作业调度一般均指的是非优先调度。
非优先调度可看成是特殊的优先调度：所有任务的优先级均相同。
7 5 8e.g. （t ij）= 2 2 60 7 4注意：t ij为0表示作业i无须在机器P j上进行加工、即该道工序可以省略。
已经证明，当机器数(或称工序数)m≥3时，流水作业调度问题是一个NP-hard问题（e.g分布式任务调度）。
（粗糙地说，即该问题至少在目前基本上没有可能找到多项式时间的精确最优算法。
）∴目前仅当m=2时，该问题可有多项式时间的算法。
为方便起见，记t i1为a i（作业i在P1上加工所需时间），t i2为b i（作业i在P2上加工所需时间）。
Johnson算法
Johnson调度规则及其Matlab实现对于加工顺序相同的两个或两个以上作业在两台机器上的加工排序，称之为：n个作业两台机床的作业排序问题，经典的启发式排序方法为Johnson规则，其目的是最小化Makespan。
该启发式规则的步骤如下：1）列出n个作业在两台机床上的作业时间；2）根据作业时间将n个作业分成P和Q两组。
分组原则是：P组的作业在第二台机器上的加工时间比在第一台机器上加工时间长；其余作业为Q组；3）将P组作业按他们在第一台机器上加工时间递增顺序排列，将Q组作业按他们在第二台机器上加工时间递减的顺序排列。
4）将P组作业顺序和Q组作业顺序连接在一起，构成的就是生产周期最短的最优作业顺序。
如何使用Matlab计算Johnson调度的Makespan？在获得最优的排程之后，根据如下步骤获取Makespan1）计算机器1上各作业的开始加工时间:StartTime(1,i)=StartTime(1,i-1)+WorkTime(1,i-1) i>1StartTime(1,1)=0其中：WorkTime(1,i)为排程后机器1上的第i个作业的加工时间；2）计算各作业在机器2上的开始加工时间：StartTime(2,1)=WorkTime(1,1)StartTime(2，i)=Max([StartTime(2，i-1)+WorkTime(2,i-1)],[StartTime(1,i)+WorkTime(1,i)]) i>1 3）计算Makespan=StartTime(2,n)+WorkTime(2,n)Matlab程序function Johnson()%Johnson rule to obtain the optimal schedule and calculate the makespan TimeArray=[10 5 11 3 7 9;4 7 9 8 10 15];%The process data could be changed by yourself%Get the optimal schedule by Johnson rule[m,n]=size(TimeArray);if m~=2error('the process time must have two rows')endTimeArray(3,:)=(1:n);P=TimeArray(:,TimeArray(2,:)>TimeArray(1,:));Q=TimeArray(:,TimeArray(2,:)<=TimeArray(1,:));P=(sortrows(P',1))';Q=(-sortrows((-Q)',2))';Schedule=[P Q];%计算最有排序WorkTime(1:2,:)=Schedule(1:2,:);StartTime(1,1)=0;for i=2:nStartTime(1,i)=StartTime(1,i-1)+WorkTime(1,i-1);endStartTime(2,1)=WorkTime(1,1);for i=2:nStartTime(2,i)=max([StartTime(2,i-1)+WorkTime(2,i-1)],[StartTime(1,i)+WorkTi me(1,i)]);endMakespan=StartTime(2,n)+WorkTime(2,n);Schedule(1:2,:)=[];TheOptimalScheduel=ScheduleTheOptimalMakespan=MakespanFFD 算法：先将物体按长度从大到小排序,然后按FF 算法对物体装箱. 不失一般性，对n 件物品的体积按从大到小排好序，即有v1≥v2≥…≥vn ，然后按排序结果对物品重新编号即可。
问题描述n个作业{1,2,…,n}要在由2台机器M1和M2组成的流
业集S在机器M2的等待时间为b(1)情况下的一个最优调度。则
(1)，’(2)，…，’(n)是N的一个调度，这个调度所需的时间 为a(1)+T(S,b(1))<a(1)+T’。这与是N的最优调度矛盾。故
T’T(S,b(1))。从而T’=T(S,b(1))。即流水作业调度问题具有
最优子结构的性质。
3
流水作业调度
2. 递归结构
由流水作业调度问题的最优子结构性质可知：
T ( N ,0) min{a i T ( N {i}, bi )}
1 i n
T ( S , t ) min{ai T ( S {i}, bi max{ t ai ,0})}
iS
T(S,t)中的bi+max{t-ai,0}：
的最优值为m(i，j)，即m(i，j)是背包容量为j，可选 择物品为i，i+1，…，n时0-1背包问题的最优值。由01背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m(i，j)的 递归式如下：
j wn vn m(n, j ) 0 0 j wn
j wi max{m(i 1, j ),m(i 1, j wi ) vi } m(i, j ) 0 j wi m(i 1, j )
2
流水作业调度
1. 最优子结构性质
设是n个流水作业的一个最优调度，所需的加工时间为 a(1)+T’。其中T’是在机器M2的等待时间为b(1)时，安 排作业(2)，…，(n)所需的时间。 记S=N-{(1)}，则有T’=T(S,b(1))。
由T的最优性可知，T’T(S,b(1))。若T’>T(S,b(1))，设’是作
流水作业调度
流水作业调度一、 可行性分析与项目开发计划ｎ个作业}{n ,...2,1要在由2台机器M1和M2组成的流水线上完成加工。
每个作业的顺序都是现在M1上加工，然后再M2上加工。
M1和M2加工作业i 所需的时间分别是i a 和i b ，1<=i<=n.流水作业调度问题要求确定这n 个作业的最优加工顺序，使得从第一个作业在机器M1上开始加工，到最后一个作业在机器M2上加工完成所需要的时间最少。
直观上，一个最优调度应该使得机器M1没有空闲时间，而且机器M2的空闲时间最少，在一般情况下，机器M2上会出现机器空闲和作业积压两种情况。
设全部作业的集合为N={1,2，…n}。
N S ⊆是N 的作业子集，在一般情况下，机器M1开始加工作业S 中作业时，机器M2还在加工其他作业，要等时间t 后才可以利用。
将这种情况下完成S 中作业所需要的最短时间记做T(S,t),则流水作业调度问题的最优值就是T(N,0).我们通过分析可以知道流水作业调度问题具有最优子结构的性质，因此考虑用动态规划算法自后向前来解决其最优问题。
这就需要通过建模来得出最优子结构的递归式子，从而设计算法求解最优值。
二、 需求分析1、 用户可以根据自己的需要输入想要进入流水线的作业数。
2、 用户可以输入这几个作业在机器M1和M2上的加工时间。
3、 由主函数调用流水作业调度的Johnson 算法来实现对流水作业的安排。
4、 输出经过Johnson 算法安排后的作业序列，这就是最终的一个最优调度。
三、 概要设计 总体设计：假定这n 个作业在机器M1上加工时间为i a ,在机器M2上加工时间为i b ，1<=i<=n. 由流水作业调度问题具有最优子结构性质可知，)}},{(min{)0,(i i b i N T a N T =+= 1<=i<=n 推广到一般情况下，})}0,m a x {},{({),(i a t b i S T a t S T i i -+-+= S i ∈ 式子中，}0,max{i a t -这一项是由于在机器M2上，作业i 必须在},max{i a t 时间之后才能开工，因此，在机器M1上完成作业加工i 之后，在机器还需要}0,max{},max{i i i i i a t b a a t b -+=-+时间完成对作业i 的加工。
双机流水作业调度问题（Johnson算法）
双机流⽔作业调度问题（Johnson算法）问题定义:双机流⽔作业调度：总共有n个作业，作业i分为两个内容，需要按顺序先后在机器A和机器B上完成，分别需要时间a i,b i来完成，⼀台机器只能同时进⾏⼀项作业，问完成所有作业所需的最⼩时间。
多机流⽔作业调度：⼀个作业需要在⼤于两台机器上先后完成，是NP-hard问题。
解法：问题就是求最佳作业序列。
设前i项作业所需的时间为C i，可以得出以下式⼦c i=a1+b1,i=1 max c i−1,∑i j=1a j+b i,2≤i≤n可以证明，对于相邻两项i和j，如果min(a i,b j)<min(a j,b i)则i项放前⾯更优。
将a i和b i的关系分为<,=,>三类，可以得到如下排列顺序:1.当a i<b i,a j<b j时，a i≤a j,应该按a升序排序2.当a i=b i,a j=b j时，随意排列。
3.当a i>b i,a j>b j时，b i≥b j,应该按b降序排序。
同样可以证明，a i<b i的项应该排在最前，然后是a i=b i的项，最后是a i>b i的项。
代码:{{}//P1248，给定n，ai,bi，求最⼩⽤时和对应序列#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int maxn=1e5+5;typedef long long ll;struct node{int a,b,d,id;bool operator<(const node &v)const {if(d!=v.d)return d<v.d;else if(d==-1){return a<v.a;}else{return b>v.b;}}}p[maxn];int main () {int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&p[i].a);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&p[i].b);p[i].id=i;int cha=p[i].a-p[i].b;if(cha==0)p[i].d=0;else p[i].d=cha<0?-1:1;}sort(p+1,p+1+n);ll ans=0,dt=0;for(int i=1;i<=n;i++){ans+=p[i].a;dt=max(0ll,dt-p[i].a);dt+=p[i].b;}ans+=dt;printf("%lld\n",ans);for(int i=1;i<=n;i++){if(i>1)printf(" ");printf("%d",p[i].id);}puts("");}Processing math: 100%。
(完整word版)计算机算法设计分析试题及答案
算法设计与分析试卷一、填空题（20分，每空2分）1、算法的性质包括输入、输出、＿＿＿、有限性。
2、动态规划算法的基本思想就将待求问题＿＿＿＿＿、先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
3、设计动态规划算法的4个步骤：（1）找出＿＿＿＿，并刻画其结构特征。
（2）＿＿＿＿＿＿＿。
（3）＿＿＿＿＿＿＿。
（4）根据计算最优值得到的信息，＿＿＿＿＿＿＿。
4、流水作业调度问题的johnson算法：（1）令N1=＿＿＿,N2={i|ai>=bj};（2）将N1中作业依ai的＿＿＿。
5、对于流水作业高度问题，必存在一个最优调度π，使得作业π（i）和π（i+1）满足Johnson不等式＿＿＿＿＿。
6、最优二叉搜索树即是＿＿＿的二叉搜索树。
二、综合题（50分）1、当（a1,a2,a3,a4,a5,a6）=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段和为∑ak(2<=k<=4)＿＿＿＿（5分）2、由流水作业调度问题的最优子结构性质可知，T（N，0）=＿＿＿＿＿＿（5分）3、最大子段和问题的简单算法(10分)int maxsum(int n,int *a,int & bestj){intsum=0;for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=i;j<=n;j++)int thissum=0;for(int k=i;k<=j;k++)＿＿＿＿＿;if(thissum>sum){sum=thissum;＿＿＿＿＿＿；bestj=j;}}return sum;}4、设计最优二叉搜索树问题的动态规划算法OptimalBinarysearchTree? (15分)Void OptimalBinarysearchTree(int a,int n,int * * m, int * * w) {for(int i=0;i<=n;i++) {w[i+1][i]=a[i]; m[i+1][i]=＿＿＿＿;} for(int r=0;r<n;r++)for(int i=1;i<=n-r;i++){int j=i+r;w[i][j]=w[i][j-1]+a[j]+b[j];m[i][j]=＿＿＿＿＿＿;s[i][j]=i;for(int k=i+1;k<=j;k++){int t=m[i][k-1]+m[k+1][j];if(＿＿＿＿＿) {m[i][j]=t; s[i][j]=k;}}m[i][j]=t; s[i][j]=k;}}5、设n=4, (a1,a2,a3,a4)=(3,4,8,10), (b1,b2,b3,b4)=(6,2,9,15) 用两种方法求4个作业的最优调度方案并计算其最优值？（15分）三、简答题（30分）1、将所给定序列a[1:n]分为长度相等的两段a[1:n/2]和a[n/2+1:n]，分别求出这两段的最大子段和，则a[1:n]的最大子段和有哪三种情形？(10分)答：2、由0——1背包问题的最优子结构性质，可以对m（i,j）建立怎样的递归式? (10分)3、0——1背包求最优值的步骤分为哪几步？（10分）参考答案：填空题：确定性分解成若干个子问题最优解的性质递归地定义最优值以自底向上的方式计算出最优值构造最优解{i|ai<bi} ai的非减序排序；将N2中作业依bi的非增序排序min{bπ(i),aπ(i+1)}≥min{bπ(i+1),aπ(i)}最小平均查找长度综合题：20 min{ai+T(N-{i},bi)}(1=<i<=n) thissum+=a[k] besti=i 0 m[i+1][j] t<m[i][j]法一：min(ai,bj)<=min(aj,bi)因为min(a1,b2)<=min(a2,b1)所以1→2 (先1后2)由min(a1,b3)<=min(a3,b1)得1→3 （先1后3）同理可得：最后为1→3→4→2法二：johnson算法思想N1＝{1，3，4} N2＝{2}N¹1＝{1，3，4} N¹2＝{2}所以 N¹1→N¹2得：1→3→4→2简答题：1 、（1）a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同。
流水作业调度（贪心）Johnson算法
流⽔作业调度（贪⼼）Johnson算法某⼯⼚收到了 n个产品的订单，这 n个产品分别在 A、B 两个车间加⼯，并且必须先在 A 车间加⼯后才可以到 B 车间加⼯。
某个产品 i在 A，B 两车间加⼯的时间分别为Ai,Bi 。
怎样安排这 n个产品的加⼯顺序，才能使总的加⼯时间最短。
这⾥所说的加⼯时间是指：从开始加⼯第⼀个产品到最后所有的产品都已在 A，B 两车间加⼯完毕的时间。
边上代码边说开始让第⼆台机器等的时间缩⼩最后让第⼀台机器等的时间更⼩#include<bits/stdc++.h>#define re return#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)using namespace std;template<typename T>inline void rd(T&x){char c;bool f=0;while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')f=1;x=c^48;while((c=getchar())>='0'&&c<='9')x=x*10+(c^48);if(f)x=-x;}int n,pos[1005];struct node{int id,atime,btime,mintime;bool operator<(node a)const{re mintime<a.mintime;}}pro[1005];int main(){// freopen("in.txt","r",stdin);rd(n);inc(i,1,n){rd(pro[i].atime);pro[i].id=i; //加编号，第⼆问}inc(i,1,n){rd(pro[i].btime);pro[i].mintime=min(pro[i].atime,pro[i].btime);//取ai和bi中较⼩值mi}sort(pro+1,pro+n+1);//通过mi由⼩到⼤排序int l=1,r=n;inc(i,1,n){if(pro[i].mintime==pro[i].atime)pos[l++]=i;//ai⼩的放在前⾯else pos[r--]=i;//bi⼩的放在后⾯}//模拟int now=0,last=0;inc(i,1,n){now+=pro[pos[i]].atime;last=max(last,now)+pro[pos[i]].btime;}printf("%d\n",last);inc(i,1,n-1)printf("%d ",pro[pos[i]].id);printf("%d",pro[pos[n]].id);re 0;}。
流水作业调度 Johnson
1.题目：流水作业调度的Johnson法则2.程序清单：#include<iostream>using namespace std;#define MAXSIZE 1000typedef struct{int key,index;bool job;}Jobtype;typedef struct{Jobtype r[MAXSIZE];int length;}Sjob;//顺序表类型void sort(Sjob &L,int n){L.length=n;int i,j;Jobtype t;for(i=0;i<n-1;i++)for(j=i+1;j<n;j++)if(L.r[i].key>L.r[j].key){t=L.r[i];L.r[i]=L.r[j];L.r[j]=t;}}int Flowshop(int n,int a[],int b[],int c[]) {int i;Sjob d;for(i=0;i<n;i++){d.r[i].key=a[i]>b[i]?b[i]:a[i];d.r[i].job=a[i]<=b[i];d.r[i].index=i;}sort(d,n);int j=0,k=n-1;for(i=0;i<n;i++){if(d.r[i].job)c[j++]=d.r[i].index;else c[k--]=d.r[i].index;}j=a[c[0]];k=j+b[c[0]];for(i=1;i<n;i++){j+=a[c[i]];k=j<k?k+b[c[i]]:j+b[c[i]];}return k;}void main(){int n,i;int a[MAXSIZE],b[MAXSIZE],c[MAXSIZE];cout<<"作业个数：";cin>>n;cout<<"在M1上的加工时间分别为：";for(i=0;i<n;i++)cin>>a[i];cout<<"在M2上的加工时间分别为：";for(i=0;i<n;i++)cin>>b[i];int m=Flowshop(n,a,b,c);for(i=0;i<n;i++)cout<<c[i]<<" ";cout<<endl<<"最短加工完成时间是:"<<m<<endl;}3.实验截图：。
流水作业调度问题
一、 问题描述给定n 个作业，每个作业有两道工序，分别在两台机器上处理。
一台机器一次只能处理一道工序，并且一道工序一旦开始就必须进行下去直到完成。
一个作业只有在机器1上的处理完成以后才能由机器2处理。
假设已知作业i 在机器j 上需要的处理时间为t[i,j]。
流水作业调度问题就是要求确定一个作业的处理顺序使得尽快完成这n 个作业。
二、 算法分析n 个作业{1,2,…,n}要在由2台机器1M 和2M 组成的流水线上完成加工。
每个作业加工的顺序都是先在1M 上加工，然后在2M 上加工。
1M 和2M 加工作业i 所需要的时间分别为t[i,1]和t[i,2], n i ≤≤1.流水作业调度问题要求确定这n 个作业的最优加工顺序，使得从第一个作业在机器1M 上开始加工，到最后一个作业在机器2M 上加工完成所需的时间最少。
从直观上我们可以看到，一个最优调度应使机器1M 没有空闲时间，且机器2M 的空闲时间是最少。
在一般情况下，机器2M 上会有机器空闲和作业积压两种情况。
设全部作业的集合为},....,2,1{n N =。
N S ⊆是N 的作业子集。
在一般情况下，机器1M 开始加工S 中作业时，机器2M 还在加工其他作业，要等时间t 后才能利用。
将这种情况下完成S 中作业所需的最短时间计为),(t S T 。
流水作业调度问题的最优解为)0,(N T 。
1. 证明流水作业调度问题具有最优子结构设a 是所给n 个流水作业的一个最优调度，它所需要的加工时间为']1),1([T a t +。
其中，'T 是在机器2M 的等待时间为]2),1([a t 时，安排作业)(),......,3(),2(n a a a 所需的时间。
记)}1({a N S -=，则我们可以得到])2),1([,('a t S T T =。
事实上，有T 的定义可知])2),1([,('a t S T T ≥.若])2),1([,('a t S T T >，设'a 是作业集S 在机器2M 的等待时间为]2),1([a t 情况下的一个最优调度。
算法设计与分析考试题目及答案
算法设计与分析考试题目及答案Revised at 16:25 am on June 10, 2021I hope tomorrow will definitely be better算法分析与设计期末复习题一、 选择题1.应用Johnson 法则的流水作业调度采用的算法是DA. 贪心算法B. 分支限界法C.分治法D. 动态规划算法塔问题如下图所示;现要求将塔座A 上的的所有圆盘移到塔座B 上,并仍按同样顺序叠置;移动圆盘时遵守Hanoi 塔问题的移动规则;由此设计出解Hanoi 塔问题的递归算法正确的为：B3. 动态规划算法的基本要素为C A. 最优子结构性质与贪心选择性质 B ．重叠子问题性质与贪心选择性质 C ．最优子结构性质与重叠子问题性质 D. 预排序与递归调用4. 算法分析中,记号O 表示B , 记号Ω表示A , 记号Θ表示D ; A.渐进下界 B.渐进上界 C.非紧上界 D.紧渐进界 E.非紧下界5. 以下关于渐进记号的性质是正确的有：A A.f (n)(g(n)),g(n)(h(n))f (n)(h(n))=Θ=Θ⇒=Θ B. f (n)O(g(n)),g(n)O(h(n))h(n)O(f (n))==⇒= C. Ofn+Ogn = Omin{fn,gn} D. f (n)O(g(n))g(n)O(f (n))=⇔=Hanoi 塔A. void hanoiint n, int A, int C, int B { if n > 0 {hanoin-1,A,C, B; moven,a,b;hanoin-1, C, B, A; } B. void hanoiint n, int A, int B, int C { if n > 0 {hanoin-1, A, C, B; moven,a,b; hanoin-1, C, B, A; }C. void hanoiint n, int C, int B, int A { if n > 0 { hanoin-1, A, C, B; moven,a,b; hanoin-1, C, B, A; }D. void hanoiint n, int C, int A, int B { if n > 0 {hanoin-1, A, C, B; moven,a,b;hanoin-1, C, B, A; }6.能采用贪心算法求最优解的问题,一般具有的重要性质为：AA. 最优子结构性质与贪心选择性质B．重叠子问题性质与贪心选择性质C．最优子结构性质与重叠子问题性质D. 预排序与递归调用7. 回溯法在问题的解空间树中,按D策略,从根结点出发搜索解空间树;广度优先 B. 活结点优先 C.扩展结点优先 D. 深度优先8. 分支限界法在问题的解空间树中,按A策略,从根结点出发搜索解空间树;A．广度优先 B. 活结点优先 C.扩展结点优先 D. 深度优先9. 程序块A是回溯法中遍历排列树的算法框架程序;A.B.C.D.10.xk的个数;11. 常见的两种分支限界法为DA. 广度优先分支限界法与深度优先分支限界法；B. 队列式FIFO分支限界法与堆栈式分支限界法；C. 排列树法与子集树法；D. 队列式FIFO分支限界法与优先队列式分支限界法；12. k带图灵机的空间复杂性Sn是指BA.k带图灵机处理所有长度为n的输入时,在某条带上所使用过的最大方格数;B.k带图灵机处理所有长度为n的输入时,在k条带上所使用过的方格数的总和;C.k带图灵机处理所有长度为n的输入时,在k条带上所使用过的平均方格数;D.k带图灵机处理所有长度为n的输入时,在某条带上所使用过的最小方格数;13. N P类语言在图灵机下的定义为DA.NP={L|L是一个能在非多项式时间内被一台NDTM所接受的语言}；B.NP={L|L是一个能在多项式时间内被一台NDTM所接受的语言}；C.NP={L|L是一个能在多项式时间内被一台DTM所接受的语言}；D.NP={L|L是一个能在多项式时间内被一台NDTM所接受的语言}；14. 记号O的定义正确的是A;A.Ogn = { fn | 存在正常数c和n0使得对所有n≥n0有：0≤ fn ≤cgn }；B.Ogn = { fn | 存在正常数c和n0使得对所有n≥n0有：0≤ cgn ≤fn }；>0使得对所有n≥n0C.Ogn = { fn | 对于任何正常数c>0,存在正数和n有：0 ≤fn<cgn }；>0使得对所有n≥n0D.Ogn = { fn | 对于任何正常数c>0,存在正数和n有：0 ≤cgn < fn }；15. 记号Ω的定义正确的是B;A.Ogn = { fn | 存在正常数c和n0使得对所有n≥n0有：0≤ fn ≤cgn }；B.Ogn = { fn | 存在正常数c和n0使得对所有n≥n0有：0≤ cgn ≤fn }；>0使得对所有n≥n0有：C.gn = { fn | 对于任何正常数c>0,存在正数和n0 ≤fn<cgn }；D.gn = { fn | 对于任何正常数c>0,存在正数和n0 >0使得对所有n≥n0有：0 ≤cgn < fn }；二、 填空题1. 下面程序段的所需要的计算时间为 2O(n ) ;2.3.4. 5.6. 用回溯法解题的一个显着特征是在搜索过程中动态产生问题的解空间;在任何时刻,算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径;如果解空间树 中从根结点到叶结点的最长路径的长度为hn,则回溯法所需的计算空间通常为Ohn ;7. 回溯法的算法框架按照问题的解空间一般分为子集树算法框架与排列树算法框架;8. 用回溯法解0/1背包问题时,该问题的解空间结构为子集树结构; 9.用回溯法解批处理作业调度问题时,该问题的解空间结构为排列树结构; 10.用回溯法解0/1背包问题时,计算结点的上界的函数如下所示,请在空格中填入合适的内容：11. n m12. 用回溯法解图的m着色问题时,使用下面的函数OK检查当前扩展结点的每一个儿子所相应的颜色的可用性,则需耗时渐进时间上限Omn;13.;设分分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用fn个单位时间;用Tn表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间,则有：(1)1 ()(/)()1O nT nkT n m f n n=⎧=⎨+>⎩通过迭代法求得Tn的显式表达式为：log1log()(/)nmk j jmjT n n k f n m-==+∑试证明Tn的显式表达式的正确性;2. 举反例证明0/1背包问题若使用的算法是按照p i/w i的非递减次序考虑选择的物品,即只要正在被考虑的物品装得进就装入背包,则此方法不一定能得到最优解此题说明0/1背包问题与背包问题的不同;证明：举例如：p={7,4,4},w={3,2,2},c=4时,由于7/3最大,若按题目要求的方法,只能取第一个,收益是7;而此实例的最大的收益应该是8,取第2,3 个;3. 求证：Ofn+Ogn = Omax{fn,gn} ;证明：对于任意f1n∈ Ofn ,存在正常数c1和自然数n1,使得对所有n≥n1,有f1n≤ c1fn ;类似地,对于任意g1n ∈ Ogn ,存在正常数c2和自然数n2,使得对所有n≥n2,有g1n ≤c2gn ;令c3=max{c1, c2}, n3 =max{n1, n2},hn= max{fn,gn} ;则对所有的 n ≥ n3,有f1n +g1n ≤ c1fn + c2gn≤c3fn + c3gn= c3fn + gn≤ c32 max{fn,gn} = 2c3hn = Omax{fn,gn} .4. 求证最优装载问题具有贪心选择性质;最优装载问题：有一批集装箱要装上一艘载重量为c 的轮船;其中集装箱i 的重量为Wi;最优装载问题要求确定在装载体积不受限制的情况下,将尽可能多的集装箱装上轮船; 设集装箱已依其重量从小到大排序,x 1,x 2,…,x n 是最优装载问题的一个最优解;又设1min{|1}i i nk i x ≤≤== ;如果给定的最优装载问题有解,则有1k n ≤≤;证明： 四、 解答题1. 机器调度问题;问题描述：现在有n 件任务和无限多台的机器,任务可以在机器上得到处理;每件任务的开始时间为s i ,完成时间为f i ,s i <f i ;s i ,f i 为处理任务i 的时间范围;两个任务i,j 重叠指两个任务的时间范围区间有重叠,而并非指i,j 的起点或终点重合;例如：区间1,4与区间2,4重叠,而与4,7不重叠;一个可行的任务分配是指在分配中没有两件重叠的任务分配给同一台机器;因此,在可行的分配中每台机器在任何时刻最多只处理一个任务;最优分配是指使用的机器最少的可行分配方案;问题实例：若任务占用的时间范围是{1,4,2,5,4,5,2,6,4,7},则按时完成所有任务最少需要几台机器提示：使用贪心算法画出工作在对应的机器上的分配情况;2. 已知非齐次递归方程：f (n)bf (n 1)g(n)f (0)c =-+⎧⎨=⎩ ,其中,b 、c 是常数,gn 是n 的某一个函数;则fn 的非递归表达式为：nnn i i 1f (n)cb b g(i)-==+∑;现有Hanoi 塔问题的递归方程为：h(n)2h(n 1)1h(1)1=-+⎧⎨=⎩ ,求hn 的非递归表达式;解：利用给出的关系式,此时有：b=2, c=1, gn=1, 从n 递推到1,有： 3. 单源最短路径的求解;问题的描述：给定带权有向图如下图所示G =V,E,其中每条边的权是非负实数;另外,还给定V 中的一个顶点,称为源;现在要计算从源到所有其它各顶点的最短路长度;这里路的长度是指路上各边权之和;这个问题通常称为单源最短路径问题;解法：现采用Dijkstra 算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径;请将此过程填入下表中;4. 请写出用回溯法解装载问题的函数; 装载问题：有一批共n 个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船,其中集装箱i 的重量为wi,且121ni i w c c =≤+∑;装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将这n 个集装箱装上这2艘轮船;如果有,找出一种装载方案;解：void backtrack int i{用分支限界法解装载问题时,对算法进行了一些改进,下面的程序段给出了改进部分；试说明斜线部分完成什么功能,以及这样做的原因,即采用这样的方式,算法在执行上有什么不同;初始时将;也就是说,重量仅在搜索进入左子树是增加,因此,可以在算法每一次进入左子树时更新bestw 的值;43 2 110030maxint10 - {1} 初始 dist5 dist4 dist3 dist2 u S 迭代7. 最长公共子序列问题：给定2个序列X={x 1,x2,…,xm }和Y={y 1,y2,…,yn },找出X 和Y 的最长公共子序列;由最长公共子序列问题的最优子结构性质建立子问题最优值的递归关系;用cij 记录序列Xi 和Yj 的最长公共子序列的长度;其中, Xi={x1,x2,…,xi}；Y j={y1,y2,…,yj};当i=0或j=0时,空序列是Xi 和Yj 的最长公共子序列;故此时Cij=0;其它情况下,由最优子结构性质可建立递归关系如下：00,0[][][1][1]1,0;max{[][1],[1][]},0;i j i ji j c i j c i j i j x y c i j c i j i j x y ⎧==⎪=--+>=⎨⎪-->≠⎩在程序中,bij 记录Cij 的值是由哪一个子问题的解得到的;8.1.2.3.4.5.用回溯法解问题时,应明确定义问题的解空间,问题的解空间至少应包含___________;6.动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干____________,先求解___________,然后从这些____________的解得到原问题的解;7.以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为_____________;背包问题的回溯算法所需的计算时间为_____________,用动态规划算法所需的计算时间为____________;9.动态规划算法的两个基本要素是___________和___________;10.二分搜索算法是利用_______________实现的算法;二、综合题50分1.写出设计动态规划算法的主要步骤;2.流水作业调度问题的johnson算法的思想;3.若n=4,在机器M1和M2上加工作业i所需的时间分别为ai 和bi,且a 1,a2,a3,a4=4,5,12,10,b1,b2,b3,b4=8,2,15,9求4个作业的最优调度方案,并计算最优值;4.使用回溯法解0/1背包问题：n=3,C=9,V={6,10,3},W={3,4,4},其解空间有长度为3的0-1向量组成,要求用一棵完全二叉树表示其解空间从根出发,左1右0,并画出其解空间树,计算其最优值及最优解;5.设S=｛X1,X2,···,Xn｝是严格递增的有序集,利用二叉树的结点来存储S中的元素,在表示S的二叉搜索树中搜索一个元素X,返回的结果有两种情形,1在二叉搜索树的内结点中找到X=Xi ,其概率为bi;2在二叉搜索树的叶结点中确定X∈Xi ,Xi+1,其概率为ai;在表示S的二叉搜索树T中,设存储元素Xi的结点深度为C i ；叶结点Xi,Xi+1的结点深度为di,则二叉搜索树T的平均路长p为多少假设二叉搜索树Tij=｛Xi ,Xi+1,···,Xj｝最优值为mij,Wij= ai-1+bi+···+bj+aj,则mij1<=i<=j<=n递归关系表达式为什么6.描述0-1背包问题;三、简答题30分1.流水作业调度中,已知有n个作业,机器M1和M2上加工作业i所需的时间分别为ai 和bi,请写出流水作业调度问题的johnson法则中对ai和bi的排序算法;函数名可写为sorts,n2.最优二叉搜索树问题的动态规划算法设函数名binarysearchtree答案：一、填空1．确定性有穷性可行性 0个或多个输入一个或多个输出2.时间复杂性空间复杂性时间复杂度高低3. 该问题具有最优子结构性质4.{BABCD}或{CABCD}或{CADCD｝5.一个最优解6.子问题子问题子问题7.回溯法8. on2n omin{nc,2n}9.最优子结构重叠子问题10.动态规划法二、综合题1.①问题具有最优子结构性质；②构造最优值的递归关系表达式；③最优值的算法描述；④构造最优解；2. ①令N1={i|ai<bi},N2={i|ai>=bi}；②将N1中作业按ai的非减序排序得到N1’,将N2中作业按bi的非增序排序得到N2’；③N1’中作业接N2’中作业就构成了满足Johnson法则的最优调度;3.步骤为：N1={1,3},N2={2,4}；N 1’={1,3}, N2’={4,2}；最优值为：384.解空间为{0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,0,0,1,1,1,0,1, 1,1,0,1,1,1}; 解空间树为：该问题的最优值为：16 最优解为：1,1,0 5.二叉树T 的平均路长P=∑=+ni 1Ci)(1*bi +∑=nj 0dj *aj{mij=0 i>j6.已知一个背包的容量为C,有n 件物品,物品i 的重量为W i ,价值为V i ,求应如何选择装入背包中的物品,使得装入背包中物品的总价值最大; 三、简答题 1.void sortflowjope s,int n {int i,k,j,l;fori=1;i<=n-1;i++ag=0 k++; ifk>n break;ag==0ifsk.a>sj.a k=j; swapsi.index,sk.index; swapsi.tag,sk.tag;} }l=i;<sj.b k=j;swapsi.index,sk.index; ag,sk.tag; }mij=Wij+min{mik+mk+1j} 1<=i<=j<=n,mii-1=0}2.void binarysearchtreeint a,int b,int n,int m,int s,int w{int i,j,k,t,l;fori=1;i<=n+1;i++{wii-1=ai-1;mii-1=0;}forl=0;l<=n-1;l++Init-single-sourceG,s2. S=Φ3. Q=VGQ<> Φdo u=minQS=S∪{u}for each vertex 3do 4四、算法理解题本题10分根据优先队列式分支限界法,求下图中从v1点到v9点的单源最短路径,请画出求得最优解的解空间树;要求中间被舍弃的结点用×标记,获得中间解的结点用单圆圈○框起,最优解用双圆圈◎框起;五、算法理解题本题5分设有n=2k个运动员要进行循环赛,现设计一个满足以下要求的比赛日程表：①每个选手必须与其他n-1名选手比赛各一次；②每个选手一天至多只能赛一次；③循环赛要在最短时间内完成;1如果n=2k,循环赛最少需要进行几天；2当n=23=8时,请画出循环赛日程表;六、算法设计题本题15分分别用贪心算法、动态规划法、回溯法设计0-1背包问题;要求：说明所使用的算法策略；写出算法实现的主要步骤；分析算法的时间;七、算法设计题本题10分通过键盘输入一个高精度的正整数nn的有效位数≤240,去掉其中任意s个数字后,剩下的数字按原左右次序将组成一个新的正整数;编程对给定的n 和s,寻找一种方案,使得剩下的数字组成的新数最小;样例输入178543S=4样例输出13一、填空题本题15分,每小题1分1．规则一系列运算2. 随机存取机RAMRandom Access Machine；随机存取存储程序机RASPRandom Access Stored Program Machine；图灵机Turing Machine3. 算法效率4. 时间、空间、时间复杂度、空间复杂度5．2n6．最好局部最优选择7. 贪心选择最优子结构二、简答题本题25分,每小题5分1、分治法的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题相同；对这k个子问题分别求解;如果子问题的规模仍然不够小,则再划分为k个子问题,如此递归的进行下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止；将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解;2、“最优化原理”用数学化的语言来描述：假设为了解决某一优化问题,需要依次作出n个决策D1,D2,…,Dn,如若这个决策序列是最优的,对于任何一个整数k,1 < k < n,不论前面k个决策是怎样的,以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态,即以后的决策Dk+1,Dk+2,…,Dn也是最优的;3、某个问题的最优解包含着其子问题的最优解;这种性质称为最优子结构性质;4、回溯法的基本思想是在一棵含有问题全部可能解的状态空间树上进行深度优先搜索,解为叶子结点;搜索过程中,每到达一个结点时,则判断该结点为根的子树是否含有问题的解,如果可以确定该子树中不含有问题的解,则放弃对该子树的搜索,退回到上层父结点,继续下一步深度优先搜索过程;在回溯法中,并不是先构造出整棵状态空间树,再进行搜索,而是在搜索过程,逐步构造出状态空间树,即边搜索,边构造;5、PPolynomial问题：也即是多项式复杂程度的问题;NP就是Non-deterministicPolynomial的问题,也即是多项式复杂程度的非确定性问题;NPCNP Complete问题,这种问题只有把解域里面的所有可能都穷举了之后才能得出答案,这样的问题是NP里面最难的问题,这种问题就是NPC问题;三、算法填空本题20分,每小题5分1、n后问题回溯算法1 Mj&&Li+j&&Ri-j+N2 Mj=Li+j=Ri-j+N=1;3 tryi+1,M,L,R,A4 Aij=05 Mj=Li+j=Ri-j+N=0 2、数塔问题; 1c<=r2trc+=tr+1c 3trc+=tr+1c+1 3、Hanoi 算法 1movea,c2Hanoin-1, a, c , b 3Movea,c 4、1pv=NIL 2pv=u3 v ∈adju 4Relaxu,v,w四、算法理解题本题10分五、18天2分；2当n=23=8时,循环赛日程表3分;六、算法设计题本题15分 1贪心算法 Onlogn ➢ 首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi,然后,依贪心选择策略,将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包;若将这种物品全部装入背包后,背包内的物品总重量未超过C,则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包;依此策略一直地进行下去,直到背包装满为止; ➢ 具体算法可描述如下：void Knapsackint n,float M,float v,float w,float x {Sortn,v,w; int i;for i=1;i<=n;i++ xi=0; float c=M;for i=1;i<=n;i++ {if wi>c break; xi=1; c-=wi; }if i<=n xi=c/wi; }2动态规划法 Oncmi,j 是背包容量为j,可选择物品为i,i+1,…,n 时0-1背包问题的最优值;由0-1背包问题的最优子结构性质,可以建立计算mi,j 的递归式如下;void KnapSackint v,int w,int c,int n,int m11 {int jMax=minwn-1,c;for j=0;j<=jMax;j++ /mn,j=0 0=<j<wn/ mnj=0;1 2 3 4 5 6 7 82 1 43 6 5 8 73 4 1 2 7 8 5 64 3 2 1 8 7 6 55 6 7 8 1 2 3 4 6 5 8 7 2 1 4 37 8 5 6 3 4 1 28 7 6 5 4 3 2 1for j=wn;j<=c;j++ /mn,j=vn j>=wn/mnj=vn;for i=n-1;i>1;i--{ int jMax=minwi-1,c;for j=0;j<=jMax;j++ /mi,j=mi+1,j 0=<j<wi/mij=mi+1j;for j=wi;j<=c;j++/mn,j=vn j>=wn/mij=maxmi+1j,mi+1j-wi+vi;}m1c=m2c;ifc>=w1m1c=maxm1c,m2c-w1+v1;}3回溯法 O2ncw:当前重量 cp:当前价值 bestp：当前最优值voidbacktrack int i//回溯法 i初值1{ifi>n //到达叶结点{ bestp=cp; return; }ifcw+wi<=c //搜索左子树{cw+=wi;cp+=pi;backtracki+1;cw-=wi;cp-=pi;}ifBoundi+1>bestp//搜索右子树backtracki+1;}七、算法设计题本题10分为了尽可能地逼近目标,我们选取的贪心策略为：每一步总是选择一个使剩下的数最小的数字删去,即按高位到低位的顺序搜索,若各位数字递增,则删除最后一个数字,否则删除第一个递减区间的首字符;然后回到串首,按上述规则再删除下一个数字;重复以上过程s次,剩下的数字串便是问题的解了;具体算法如下：输入s, n;while s > 0{ i=1; //从串首开始找while i < lengthn && ni<ni+1{i++;}deleten,i,1; //删除字符串n的第i个字符s--;}while lengthn>1&& n1=‘0’deleten,1,1; //删去串首可能产生的无用零输出n;。
0018算法笔记——【动态规划】流水作业调度问题与Johnson法则
0018算法笔记——【动态规划】流水作业调度问题与Johnson法则D记S=N-{π(1)}，则有T’=T(S,bπ(1))。
证明：事实上，由T的定义知T’>=T(S,bπ(1))。
若T’>T(S,bπ(1))，设π’是作业集S在机器M2的等待时间为bπ(1)情况下的一个最优调度。
则π(1)，π'(2)，…，π'(n)是N的一个调度，且该调度所需的时间为aπ(1)+T(S,bπ(1))<aπ(1)+T’。
这与π是N的最优调度矛盾。
故T’<=T(S,bπ(1))。
从而T’=T(S,bπ(1))。
这就证明了流水作业调度问题具有最优子结构的性质。
由流水作业调度问题的最优子结构性质可知:从公式（1）可以看出，该问题类似一个排列问题，求N个作业的最优调度问题，利用其子结构性质，对集合中的每一个作业进行试调度，在所有的试调度中，取其中加工时间最短的作业做为选择方案。
将问题规模缩小。
公式（2）说明一般情况下，对作业集S进行调度，在M2机器上的等待时间，除了需要等该部件在M1机器上完成时间，还要冲抵一部分原来的等待时间，如果冲抵已成负值，自然仍需等待M1将作业做完，所以公式取max{t-ai,0}。
3、动态规划法求解思路假设有一组作业需要在M1和M2 两台机器上进行流水作业，他们在M1和M2上的作业时间如下表：问题是如何安排他们的加工顺序，使得，到最后一个作业在机器M2上加工完成所需要的时间最少。
也就是所有作业在两台机器全部加工完成所需的时间最少。
思路如下：考虑如果只有一个作业的情况，肯定所需时间就是它自身需要在M1和M2 上的加工时间总和；如果有两个作业就要考虑在两种不同的加工顺序下选取最优的一种作为候选，三个作业的时会出现三种组合情况(0,(1,2)); (1,(0,2)); (2,(0,1)),拿第一种为例,它表示先加工作业0,然后再按照作业1和作业2的优化顺序加工;将三种的作业时间计算出来,取最小值,即为三个作业的优化结果,同理可对更多的作业进行排序优化。
流水作业调度
流水作业调度1.问题描述：定义：设有n个作业，每一个作业Ti均被分解为m项任务：Ti1, Ti2, …, Tim(1≤i ≤n)，要把这些任务安排到m台机器上进行加工。
如果任务的安排满足下列3个条件，则称该安排为流水作业调度：1.每个作业i的第j项任务Tij (1≤i≤n, 1≤j≤m) 只能安排在机器Mj上进行加工2.作业i的第j项任务Tij(1≤i≤n, 2≤j≤m)的开始加工时间均安排在第j-1项任务Ti,j-1加工完毕之后，即任何一个作业的任务必须依次完成，前一项任务完成之后才能开始着手下一项任务；3.任何一台机器在任何一个时刻最多只能承担一项任务。
设任务Tij在机器Mj上进行加工需要的时间为tij。
如果所有的tij (1≤i≤n, 1≤j≤m)均已给出，要找出一种安排作业的方法，使得完成这n个作业的加工时间为最少。
完成n个作业的加工时间为从安排的第一个作业开始加工, 到最后一个作业加工完毕，其间所需要的时间。
2.分析：一个最优调度应使机器M1没有空闲时间，且机器M2的空闲时间最少。
在一般情况下，机器M2上会有机器空闲和作业积压2种情况。
设全部作业的集合为N={1, 2, …, n}。
S N是N的作业子集。
在一般情况下，机器M1开始加工S中作业时，机器M2还在加工其它作业，要等时间t后才可利用。
将这种情况下完成S中作业所需的最短时间记为T(S, t)。
流水作业调度问题的最优值为：T(N,0)。
设M1和M2加工作业i所需的时间分别为ai和bi。
n个流水作业的一个最优调度，它所需的加工时间为 a(1)+T’。
T’：是在机器M2的等待时间为b(1)(2), …, (n)所需的时间。
记S=N - {(1)}，则有T’=T(S, b(1))流水作业调度的Johnson法则S在机器M2的等待时间为t时的任一最优调度。
若π(1)=i, π(2)=j，则由动态规划递归式可得：T（s,t）=ai+T(S-{is],bi+max{t-ai,0})=ai+aj+T(s-{i,j},tij)若作业i和j满足，则称作业i和j满足Johnson不等式。
流水作业调度问题
流水作业调度问题描述:N个作业{1,2,………,n}要在由两台机器M1和M2组成的流水线上完成加工。
每个作业加工的顺序都是先在M1上加工，然后在M2上加工。
M1和M2加工作业i所需的时间分别为ai和bi，1≤i≤n。
流水作业高度问题要求确定这n个作业的最优加工顺序，使得从第一个作业在机器M1上开始加工，到最后一个作业在机器M2上加工完成所需的时间最少。
可以假定任何任务一旦开始加工，就不允许被中断，直到该任务被完成，即非优先调度。
输入:输入包含若干个用例,第一行为一个正整数K(1<=K<=1000),表示用例个数,接下来K个用例,每个用例第一个为作业数N(1<=N<=1000)，接下来N行，每行两个非负整数，分别表示在第一台机器和第二台机器上加工时间。
输出:每个用例用一行输出采用最优调度所用的总时间，即从第一台机器开始到第二台机器结束的时间。
样例输入:145 612 24 148 7样例输出:33假定直接按顺序进行完成，则机器1可以不用考虑，因为作业1完成后就可以完成作业2,直到作业n，需要的时间为所有作业在机器1上的时间总和。
但是，机器2上完成的时间呢？机器2上完成的时间显示除了作业在机器2上完成的时间总和，还要加上等待时间，即要求先在机器1上完成后，才能在机器2上开始。
例如5 612 2两个作业，顺序如下：按顺序，则在机器1上进行作业1需要5小时，后进行作业2,需要12小时，和为17小时；机器2上，作业1只能从第5小时开始，第11小时完成，等待了5小时，等到作业2在机器1上完成后（已经是第17时），再完成2小时，共19小时。
机器2的等待时间总计为11小时。
逆序，在机器1上进行作业2需要12小时，后进行作业1需要5小时，和为17小时，和前面一样；机器2上，作业2完成后开始，等待了12小时，然后再等3小时开始作业1的6小时，共计21小时，共等待了15小时。
图如下：从刚才的分析可知，主要考虑机器2的等待时间，越少越好！如何做到呢？？？仔细分析可知，在机器1上需要的时间越少的，应该越早开始进行，这样才能保证机器2尽早开始。
流水作业调度问题———Johnson算法
流⽔作业调度问题———Johnson算法问题描述：N个作业1，2，…，n要在由2台机器A和B组成的流⽔线上完成加⼯。
每个作业加⼯的顺序都是先在A上加⼯，然后在B上加⼯。
A和B加⼯作业i所需的时间分别为a[i]和b[i]。
你可以安排每个作业的执⾏顺序，使得从第⼀个作业在机器A上开始加⼯，到最后⼀个作业在机器B上加⼯完成所需的时间最少。
求这个最少的时间。
⼤概思路：求⼀个加⼯顺序使得加⼯时间最短，就是让机器空闲时间最短，当A开始⼯作便会⼀直运作，关键是B会等待A，很明显A加⼯第⼀个作业时B得等待，同理B加⼯最后⼀个作业A 得等待Johnson算法此算法是⼀种贪⼼策略：把在A机器上加⼯最快的作业先加⼯，把B机器上加⼯最快的作业放在最后具体实现：设M i=min{a i,b i}将数组M由⼩到⼤排序，然后从第⼀个开始处理，若M i=a i则按顺序排在作业加⼯顺序的前⾯，若M i=b i则按顺序排在后⾯最后排出来的顺序就是最优解算法证明设S={J1,J2,J3····J n}为待加⼯作业排序，T(S,t)为A开始加⼯S中作业，B需t时刻后才能加⼯A加⼯完的作业，这种情况下加⼯完S中作业所需最⼩的时间T(S,t)=min{a i+T(S−{J i},b i+max{t−a i,0})}, J i∈S假设最佳⽅案是先加⼯J i,然后加⼯J j，则有T(S,t)=a i+T(S−{J i},b i+max{t−a i,0})=a i+a j+T(S−{J i,J j},b i+bj+T ij)T ij=b j+max{b i+max{t−a i,0}−a j,0},0}=b i+b j−a i−a j+max{t,a i,a i+a j−b i}若J i和J j调换顺序则：T′(S,t)=a i+a j+T(S−{J i,J j},T ji)T ji=b i+b j−a i−a j+max{t,a j,a i+a j−b j}所以T(S,t)<=T′(S,t),所以有max{t,a i,a i+a j−b i}<=max{t,a j,a i+a j−b j}a i+a j+max{−b i,−a j}<=a i+a j+max{−b j,−a i}（其实2步转化我不太清楚，只是意会了⼀下，如有理解的⿇烦告诉我，感谢）即min{b j,a i}<=min{b i,a j}也就是说J i在J j之前加⼯最优得满⾜上式条件，则a i<=b i,a j或者b j<=b i,a j即在A机器上加⼯时间短的任务优先，⽽在B机器上加⼯时间短的排在后⾯，与具体实现的步骤相符Processing math: 100%。
0018算法笔记__[动态规划]流水作业调度问题及Johnson法则
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0018算法笔记——【动态规划】流水作业调度问题与Johnson 法则1、问题描述：n个作业{1，2，…，n}要在由2台机器M1和M2组成的流水线上完成加工。
每个作业加工的顺序都是先在M1上加工，然后在M2上加工。
M1和M2加工作业i所需的时间分别为ai和bi。
流水作业调度问题要求确定这n个作业的最优加工顺序，使得从第一个作业在机器M1上开始加工，到最后一个作业在机器M2上加工完成所需的时间最少。
2、问题分析直观上，一个最优调度应使机器M1没有空闲时间，且机器M2的空闲时间最少。
在一般情况下，机器M2上会有机器空闲和作业积压2种情况。
设全部作业的集合为N={1，2，…，n}。
S是N的作业子集。
在一般情况下，机器M1开始加工S中作业时，机器M2还在加工其他作业，要等时间t后才可利用。
将这种情况下完成S中作业所需的最短时间记为T(S,t)。
流水作业调度问题的最优值为T(N,0)。
设π是所给n个流水作业的一个最优调度，它所需的加工时间为aπ(1)+T’。
其中T’是在机器M2的等待时间为bπ(1)时，安排作业π(2)，…，π(n)所需的时间。
记S=N-{π(1)}，则有T’=T(S,bπ(1))。
证明：事实上，由T的定义知T’>=T(S,bπ(1))。
若T’>T(S,bπ(1))，设π’是作业集S在机器M2的等待时间为bπ(1)情况下的一个最优调度。
则π(1)，π'(2)，…，π'(n)是N的一个调度，且该调度所需的时间为aπ(1)+T(S,bπ(1))<aπ(1)+T’。
这与π是N的最优调度矛盾。
故T’<=T(S,bπ(1))。
从而T’=T(S,bπ(1))。
这就证明了流水作业调度问题具有最优子结构的性质。
由流水作业调度问题的最优子结构性质可知:从公式（1）可以看出，该问题类似一个排列问题，求N个作业的最优调度问题，利用其子结构性质，对集合中的每一个作业进行试调度，在所有的试调度中，取其中加工时间最短的作业做为选择方案。
C++程序 流水作业调度
其中， t ji t[ j,2] t[i,2] t[ j,1] t[i,1] max{t , t[i,1] t[ j,1] t[ j,2], t[ j,1]} 当作业 i 和 j 满足 Johnson 不等式 min{t[i,2], t[ j,1]} min{t[ j,2], t[i,1]} 时，我 们有 max{t[i,2],t[ j,1]} max{t[ j,2],t[i,1]} 从而， t[i,1] t[ j,1] max{t[i,2],t[i,1]} t[i,1] t[ j,1] max{t[ j,2],t[i,1]} 由此可得， max{t[i,1] t[ j,1] t[i,2], t[i,1]} max{t[i,1] t[ j,1] t[ j,2], t[i,1]} 因此任意 t 有
4. 算法的描述
从上面的分析可知，流水作业调度问题一定存在满足 Johnson 法则的最 优调度，且容易由下面的算法确定。 流水作业调度问题的 Johnson 算法： （1） 令 N1 {i | t[i,1] t[i,2]}, N2 {i | t[i,1] t[i,2]} ； （2） 将 N1 中作业依 t[i,1] 的非减序排列； 将 N 2 中作业依 t[i,2] 的非增序排列； （3） N1 作业接 N 2 种作业构成满足 Johnson 法则的最优调度。 具体的代码在文件夹《流水作业调度——动态规划法》文件夹中。 三、 时空效率分析 算法 FlowJob 的主要计算时间花在对作业集的排序上。在这里，我们 使用冒泡排序法(BubbleSort)，因此，在最坏情况下算法 FlowJob 所需要 的计算时间为 O(n log n) 。所需要的空闲显然是 O(n) 。
johnson算法例题解析
johnson算法是一种求解双机调度问题的算法，它可以将作业分配到两个不同的机器上，使得所有作业的总完成时间最小。
假设有5个作业，其加工时间分别为40、50、100、60和20，如果两个机器并行工作，那么可以采用johnson 算法求解最佳调度方案。
根据johnson算法，首先将作业按照加工时间从大到小排序，得到一个序列为50、60、40、100和20。
然后根据两个机器的加工时间，将作业分配到两个机器上。
机器M1的加工时间为30，机器M2的加工时间为50，所以按照johnson算法，将加工时间超过30的作业分配给机器M1，将加工时间小于或等于30的作业分配给机器M2。
根据上述排序后的作业序列，作业50和60的加工时间都超过30，所以应该分配给机器M1；作业40和100的加工时间超过30，所以应该分配给机器M1；作业20的加工时间为20，小于30，所以应该分配给机器M2。
因此，最佳调度方案为：机器M1完成作业50、60、40和100，总加工时间为280；机器M2完成作业20，总加工时间为20。
总完成时间为300，是最小的总完成时间。
Johnson算法双机调度poj2751
Johnson算法双机调度 poj2751 双机流水作业调度问题的Johnson算法n个作业要在由两台机器M1和M2组成的流水线上完成加工. 每个作业i必须先在M1上然后在M2上加工, 时间分别为ai和bi确定这n个作业的加工顺序, 使得从第一个任务开始在M1上加工到最后一个任务在M2上加工完成的总时间尽量小Johnson算法.设N1为a<b的作业集合, N2为a>=b的作业集合, 将N1的作业按a非减序排序, N2中的作业按照b非增序排序, 则N1作业接N2作业构成最优顺序.(证明略) 2008-12-27 00:53求解流水作业调度问题的Johnson算法具体描述如下:(1) 设a[i]和b[i](0<=i<n)分别为作业i在两台设备上的处理时间。
建立由三元组(作业号，处理时间，设备号)组成的三元组表d。
其中，处理时间是指每个作业所包含的两个任务中时间较少的处理时间。
设n=4，(a0,a1,a2,a3)=(3,4,8,10)和(b0,b1,b2,b3)=(6,2,9,15)的作业0的三元组为(0，3，0)，作业1的三元组为(1，2，1)……如图(a)所示。
(2) 对三元组表按处理时间排序，得到排序后的三元组表d。
如图(b)所示。
(3) 对三元组表的每一项d(i)(0<=i<n),从左右两端生成最优作业排列c[j](0<=j<n),c[j]是作业号。
如果d[i]设备号为1，则将作业i置于c的左端末尾，否则置于c的右端末尾。
如图(c)所示，由两端想中间存放。
作业号处理时间设备号0 0 3 01 12 12 2 8 03 3 10 0(a)三元组表作业号处理时间设备号0 1 2 11 0 3 02 2 8 03 3 10 0(b)按处理时间排序(0, 2, 3, 1)(c)最优作业排列P1 3 8 10 4P2 6 9 15 2(d)最优调度方案程序是流水作业调度的Johnson算法。
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1.题目：
流水作业调度的Johnson法则
2.程序清单：
#include<iostream>
using namespace std;
#define MAXSIZE 1000
typedef struct{
int key,index;
bool job;
}Jobtype;
typedef struct{
Jobtype r[MAXSIZE];
int length;
}Sjob;//顺序表类型
void sort(Sjob &L,int n)
{
L.length=n;
int i,j;
Jobtype t;
for(i=0;i<n-1;i++)
for(j=i+1;j<n;j++)
if(L.r[i].key>L.r[j].key)
{
t=L.r[i];
L.r[i]=L.r[j];
L.r[j]=t;
}
}
int Flowshop(int n,int a[],int b[],int c[]) {
int i;
Sjob d;
for(i=0;i<n;i++)
{d.r[i].key=a[i]>b[i]?b[i]:a[i];
d.r[i].job=a[i]<=b[i];
d.r[i].index=i;
}
sort(d,n);
int j=0,k=n-1;
for(i=0;i<n;i++)
{
if(d.r[i].job)
c[j++]=d.r[i].index;
else c[k--]=d.r[i].index;
}
j=a[c[0]];
k=j+b[c[0]];
for(i=1;i<n;i++)
{
j+=a[c[i]];
k=j<k?k+b[c[i]]:j+b[c[i]];
}
return k;
}
void main()
{
int n,i;
int a[MAXSIZE],b[MAXSIZE],c[MAXSIZE];
cout<<"作业个数：";
cin>>n;
cout<<"在M1上的加工时间分别为：";
for(i=0;i<n;i++)
cin>>a[i];
cout<<"在M2上的加工时间分别为：";
for(i=0;i<n;i++)
cin>>b[i];
int m=Flowshop(n,a,b,c);
for(i=0;i<n;i++)
cout<<c[i]<<" ";
cout<<endl<<"最短加工完成时间是:"<<m<<endl;
}
3.实验截图：。