学习指导第四章分析
不定积分学习指导
不定积分学习指导第四章不定积分1学习指导1.基本要求⑴正确理解原函数与不定积分的概念，熟悉原函数与不定积分的关系；⑵掌握并能推证不定积分的性质，牢记并能熟练运用基本积分公式；⑶熟练掌握求简单函数不定积分的直接方法；⑷掌握不定积分的换元积分法与分部积分法；⑸了解有理函数、简单无理函数、三角函数有理式的不定积分；⑹掌握求典型初等函数不定积分的方法；⑺掌握积分表的使用方法。
2.重点与难点重点不定积分的概念，基本积分公式，换元积分法，分部积分法；难点换元积分法。
3.学习方法⑴不定积分与微分互为逆运算，“积分法”是在“微分法”的基础上建立起来的。
由初等函数的微分法可推出求不定积分的法则。
如由复合函数的求导法则可以得到换元积分公式，由乘积的求导法则可以得到分部积分公式。
⑵求不定积分的方法是，设法将所求的积分化为基本积分表中已有的积分形式，以便运用公式求不定积分，具体转化时，可以利用积分性质、换元积分法、分部积分法及代数三角恒等变形等方法。
常用的三角恒等式包括平方和（差）等于1、倍角的正弦及余弦公式、和差化积及积化和差公式。
下面列出常用的求不定积分的方法。
①直接积分法这种方法是将被积函数作代数、三角恒等变形，直接利用基本积分公式或不定积分的线性运算性质进行求解。
②第一类换元积分法（凑微分法）这类积分法主要解决被积函数为复合函数的积分。
求不定积分()?dx x g ，关键是将被积表达式()dx x g 凑成复合函数的微分()()()dx x x f '的形式，再由()()x d dx x ??='得()()()()()==du u f dx x x f dx x g '??，即将积分()?dx x g 转化为()du u f ?，若能求得()u f 的原函数，就得到了()x g 的不定积分，因此熟悉常见的凑微分形式非常重要。
应注意，利用第一类换元法求不定积分时，有时不必写出换元积分变量，而将()x ?视为整体变量μ直接计算。
研究性学习指导教案
一、教案名称：研究性学习指导教案第一章：研究性学习概述教学目标：1. 让学生理解研究性学习的概念和特点；2. 让学生了解研究性学习的过程和方法；3. 让学生掌握研究性学习的基本技能和素养。
教学内容：1. 研究性学习的定义和特点；2. 研究性学习的过程和方法；3. 研究性学习的基本技能和素养。
教学活动：1. 引导学生通过查阅资料和讨论，了解研究性学习的概念和特点；2. 组织学生进行小组讨论，探索研究性学习的过程和方法；3. 开展实践活动，让学生体验研究性学习的基本技能和素养。
二、教案名称：研究性学习指导教案第二章：研究性学习课题的选择和设计教学目标：1. 让学生掌握选择和设计研究性学习课题的方法；2. 让学生了解课题选择和设计的重要性和技巧；3. 培养学生独立思考和合作交流的能力。
教学内容：1. 课题选择的方法和原则；2. 课题设计的要求和步骤；3. 课题选择和设计的实践案例。
1. 引导学生通过讨论和分享，了解课题选择的方法和原则；2. 组织学生进行小组合作，实践课题设计的过程；3. 开展评价和反馈活动，让学生反思和提升课题选择和设计的能力。
三、教案名称：研究性学习指导教案第三章：研究性学习的实施与指导教学目标：1. 让学生掌握研究性学习实施的基本步骤和方法；2. 让学生了解研究性学习指导的重要性和方法；3. 培养学生自主学习和解决问题的能力。
教学内容：1. 研究性学习实施的基本步骤；2. 研究性学习指导的方法和技巧；3. 研究性学习指导的实践案例。
教学活动：1. 引导学生通过讨论和分享，了解研究性学习实施的基本步骤；2. 组织学生进行小组合作，实践研究性学习指导的过程；3. 开展评价和反馈活动，让学生反思和提升研究性学习指导的能力。
四、教案名称：研究性学习指导教案第四章：研究性学习的评价与展示教学目标：1. 让学生了解研究性学习评价的标准和方法；2. 让学生掌握研究性学习展示的技巧和要点；3. 培养学生自我评价和反思的能力。
线性代数学习指导第四章线性空间
第五章 线性空间一、内容提要⒈ 线性空间定义1 设V 是一个非空集合,P 是一个数域. 若在V 中定义的加法和数乘运算对集合V 封闭,且加法与数乘运算满足线性运算的八条运算规则, 则称集合V 为数域P 上的线性空间.线性空间又称为向量空间, 线性空间的元素亦称为向量.设V 是数域P 上的线性空间, W 是V 的非空子集, 若W 对于V 的加法和数乘运算也构成数域P 上的线性空间, 则称W 为线性空间V 的一个线性子空间, 简称子空间. ⒉ 基、维数和坐标定义2 若线性空间V 中有n 个线性无关向量,而没有更多数目的线性无关的向量,则称V 是n 维线性空间,称V 中n 个线性无关的向量为V 的一组基,n 称为V 的维数,记作dim V = n ．注 向量组12,,,n ααα是V 的一组基⇔12,,,n ααα是V 中的n 个线性无关向量且V中的任一向量α可由12,,,n ααα线性表示.向量组12,,,s ααα生成的空间L (12,,,s ααα)的一组基就是12,,,s ααα的一个极大无关组, 其维数就是向量组12,,,s ααα的秩.定义3 设12,,,n ααα是n 维线性空间V 的一组基, α 为V 中的任一向量, 若1122n n x x x αααα=+++则称数12,,,n x x x 为向量α 在基12,,,n ααα下的坐标, 记作 12(,,,)n x x x .向量的坐标可写成行的形式也可写成列的形式,但在利用坐标进行运算时,则要以运算式的具体情况来确定坐标的形式.定义4 设12,,,n ααα和12,,,n βββ是n 维线性空间V 的两组基, 且（12,,,n βββ）=（12,,,n ααα）C (1)称C 为由基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵,（1）式称为由基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的基变换公式．定理1 设12,,,n ααα和12,,,n βββ是n 维线性空间V 的两组基, 由基12,,,nααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵为C = n n ij c ⨯)( ,即（12,,,n βββ）=（12,,,n ααα）C若向量α 在这两组基下的坐标分别为 ()n x x x ,,,21 与 ()n y y y ,,,21 , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y C x x x 2121 ⒊ 线性空间同构定义5 设V 与W 都是数域P 上的线性空间,如果由V 到W 有一个双射（一一对应）σ, 且σ具有如下性质：,,(1) ()()()(2) ()()V k Pk k αβσαβσασβσασα∀∈∈+=+= 则称线性空间V 与W 同构,并称σ为由V 到W 的同构映射.注 数域P 上任意两个有限维线性空间同构的充要条件是它们的维数相同.定理2 设线性空间V 与W 同构,σ是由线性空间V 到W 的同构映射, 则V 中向量12,,,s ααα线性相关的充要条件是它们的像12(),(),,()s σασασα线性相关.⒋ 向量的内积、长度、距离、夹角定义6 设V 是实数域R 上的线性空间, 如果在V 上定义了一个二元实函数, 称为内积, 记作(,)αβ, 且它具有以下性质: ,αβγ,是V 中任意向量,k 是任意实数(1) (,)(,)(2) (,)(,)(3) (,)(,)(,)k k αββααβαβαβγαγβγ==+=+ (4) (,)0,ααα≥=当且仅当θ时,（α,α）= 0这个定义了内积的线性空间V 称为欧几里得空间,简称欧氏空间.当n R 的向量为列向量时,上述内积可记为乘积形式 (,)T αβαβ=. 当n R 的向量为行向量时,上述内积可记为乘积形式 (,)T αβαβ=., , ,V αααα设是欧氏空间中任一向量称非负实数（）为向量的长度或模,α记作 即,ααα=（）向量αα是单位向量, 将非零向量α化为单位向量称为将向量α单位化．βα-称为向量α 与β的距离,记作(,)d αβ, 即(,)d αβ=αβ-.柯西-布捏柯夫斯基不等式: (,)αβαβ≤⋅ , 当且仅当α 与β 线性相关时, 等号成立.定义7 设α,β 为欧氏空间V 中的非零向量, 定义α ,β 的夹角ω为(),arccosαβωαβ=⋅ （ 0 ≤ ω ≤ π）若(,)αβ= 0, 则称α与β正交（或垂直）, 记作βα⊥ ．5.向量组的正交化一组两两正交的非零向量组称为正交向量组. 正交向量组一定线性无关. 定义8 设12,,,n ααα是n 维线性空间V 的一组基, 若12,,,n ααα两两正交且都为单位向量, 则称它为V 的一个标准正交基.向量组12,,,n ααα是n 维欧氏空间V 中的一组标准正交基的充要条件是()01ij i ji j αα≠⎧=⎨=⎩,,, ,1,2,,i j n =.任何一组线性无关的向量组12,,,m ααα都可用Schmidt(施密特)正交化方法化为正交向量组12,,,m βββ, 且12,,,m βββ与12,,,m ααα等价.取 11αβ=, ()()1222111βαβαβββ=-,,,()()()()()()121121112211,,,,,,i i i i i i i i i βαβαβαβαβββββββββ----=----（i = 3 , 4 , …, m ）将向量组1β ,2β ,… ,m β 中的每个向量单位化, 令iii ββη=（i = 1 , 2 , … , m ） 则得到一个与原向量组12,,,m ααα等价的标准正交向量组1η,2η,… ,m η.6. 正交矩阵定义9 设Q 为n 阶实矩阵, 若TQ Q = E , 则称Q 为正交矩阵. 正交矩阵的性质：（1）若Q 为正交阵，则 Q = 1 或－1 ；（2）若Q 为正交阵，则Q 可逆，且 1-Q=T Q ；（3）若P ，Q 都是n 阶正交矩阵，则P Q 也是n 阶正交矩阵；（4）n 阶实矩阵Q 为正交矩阵的充要条件是Q 的列（行）向量组是n R 的标准正交基.二、重点难点1. 判定集合是否构成线性空间.2. 线性空间的基、维数, 向量在基下的坐标等概念以及过渡矩阵、基变换与坐标变换公式.3. 欧式空间以及内积的概念和运算性质, 用内积运算进行证明.4. 用施密特正交化方法将线性无关的向量组正交化.5. 正交矩阵的概念及其性质.三、 学习要求1. 了解线性空间、子空间的概念, 理解向量空间的基和维数, 会求向量关于基的坐标,熟悉坐标变换公式.2. 了解线性空间同构的概念.3. 了解向量的内积、长度、距离、夹角、正交等概念, 掌握内积运算的性质.4. 理解标准正交基的概念, 掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法.5. 掌握正交矩阵的概念及其性质.四、典型题分析例1 全体n 维实向量集合V , 对于通常的向量加法和如下定义的数乘运算,,k V k R ααα=∈∈其中是否构成实数域上的线性空间.解 设,, k l R α∈是集合V 中的非零向量.因为()2k l k l ααααααα+=+=+=而,所以()k l k l ααα+≠+, 故此集合不构成实数域上的线性空间.注 检验集合是否构成线性空间的方法:如果所定义的加法和数乘运算是通常意义下的加法和数乘运算, 则它们满足线性运算的八条运算规则, 因此只需检验集合对运算的封闭性. 如果所定义的加法和数乘运算不是通常意义下的加法数乘运算, 则不仅要检验集合对运算的封闭性, 还要仔细检验加法和数乘运算是否满足八条线性运算规律. 例2 求向量空间(){1212,,,0,,1,2,,,n n i V x x x x x x x R i n =+++=∈=}2n ≥的基和维数.分析 先找出向量空间V 的一组基, 即找出一组线性无关的向量, 使得V 中任一向量可由这组向量线性表示.解 在向量空间V 中取1n -个向量1(1,1,0,0,,0)α=-, 2(1,0,1,0,,0)α=-,,1(1,0,0,,0,1)n α-=-, 显然121,,,n ααα-线性无关.对V 中任一向量12(,,,)n x x x α=, 以121,,,,n αααα-为行构造矩阵A ,则1123110010101001ni i nA x x x x x =--===-∑, 从而121,,,,n αααα-线性相关, 又因为121,,,n ααα-线性无关, 所以α可由121,,,n ααα-线性表示.故121,,,n ααα-是V 的基, V 的维数是1n -.注 这个向量空间V 就是齐次线性方程组120n x x x +++=的解空间, V 的一组基就是齐次线性方程组的一个基础解系. 例3 设12,,,n t t t 是互不相同的实数,证明向量组21(1,,,,),1,2,,n i i i i t t t i n α-==是n 维向量空间n R 中的一组基. 并求出向量()12,,,n b b b β=在这组基下的坐标.分析 12,,,n ααα是n 维向量空间n R 中的n 个向量, 只需证明12,,,n ααα线性无关即可.证 令21111121222221111n n n n nnn t t t t t t A t t t ααα---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因为12,,,n t t t 是互不相同的实数,所以()121111121110n T ji i j nn n n nt t t A A tt ttt≤<≤---===-≠∏⇒12,,,n ααα线性无关.所以12,,,n ααα是n 个线性无关的n 维向量, 构成n 维向量空间n R 中的一组基. 设β在基12,,,n ααα下的坐标为()12,,,n x x x , 则有1122n n x x x βααα=+++⇒β=()()121212,,,,,,n n n x x x x x x A ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.因为A 可逆, 所以()112,,,n x x x A β-=. 故β在基12,,,n ααα下的坐标为1A β-.例4 设3R 中的向量α在基1231032,1,2111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标为123x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,在基123,,βββ下的坐标为123y y y ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭, 且11232123132y x x x y x x y x x =--⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩ （1）123123,,,,;βββααα求由基到基的过渡矩阵（2）求基123,,βββ. 解 (1)由题有111232123233(,,)(,,)x y x y x y ααααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112323111(,,)110102x x x βββ--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇒123123111(,,)(,,)110102αααβββ--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(*),所以123123,,,,C βββααα由基到基的过渡矩阵=111110102--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.(2) 由（*）式得123(,,)βββ=123(,,)ααα1111110102---⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭123(,,)ααα=221231110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭111431342--⎛⎫⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭,故1231114,3,1342βββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例 5 设,a b 是欧氏空间中的任意向量, 证明平行四边形法则(对角线的平方和等于四边的平方和).证 设,a b 是平行四边形的两条邻边, 则a b a b +-和为两条对角线. 因为22(,)(,)a b a b a b a b a b a b ++-=+++--(,)2(,)(,)(,)2(,)(,)a a a b b b a a a b b b =+++-+ 222()a b =+.所以平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和.例 6 1212,,,,(,)0i j ααββαβ=设线性无关线性无关且满足, 1,2,1,2.i j ==证明:1212,,,ααββ线性无关.证 设有数1212,,,,k k λλ使得112211220k k ααλβλβ+++= (*) 上式两边分别与12,αα做内积, 由(,)0i j αβ=,1,2,1,2.i j ==得111221112222(,)(,)0(,)(,)0k k k k αααααααα+=⎧⎨+=⎩ (**) 由柯西-布捏柯夫斯基不等式及12,αα线性无关得112121122211222(,)(,)(,)(,)(,)0(,)(,)αααααααααααααα=->.故方程组(**)只有零解120k k ==, 将其代入(*), 由已知12,ββ线性无关, 得120λλ==. 于是得1212,,,ααββ线性无关.例7 将R 3的一组基1231100,1,1101ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为标准正交基.解 (1 )利用施密持正交化方法将其正交化取1110,1βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 1222111111/2(,)1101 (,)2011/2βαβαβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,132333*********/22/3(,)(,)11/21012/323/2(,)(,)111/22/3βαβαβαββββββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 123,,βββ则是正交向量组.(2 ) 将123,,βββ单位化11122233322, 62, 3, 3T T Tβββββββββ====3121231236320, 26, 3 263βββηηηβββ⎡⎤⎡-⎡⎢⎥⎢⎢∴======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢-⎢⎥⎢⎥⎣⎣⎦⎣⎦,则123,,ηηη为R 3的一组标准正交基.例8 设m+n 阶矩阵P O A R Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中P , Q 分别是m , n 阶矩阵, O 为零矩阵.证明: 若A 为正交矩阵, 则P 和Q 也是正交矩阵且R 为零矩阵. 分析 用正交矩阵的定义证 证 由题知TT TTT P R A OQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 因A 为正交矩阵, 所以 TT T T T mT TT T T n E P O P R P P R R R Q A A E R Q OQ Q R Q Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 上式最后一个等号两边比较得 T n Q Q E Q =⇒为n 阶正交矩阵.T R Q O =且Q 可逆⇒R O =.T T m P P R R E +=且R O =T m P P E ⇒=⇒P 是m 阶正交矩阵.五、习题解析习题5. 11． 判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．答 是．因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性. 由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间.2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为 ,,k a b ab k a a a b R k R+⊕==∈∈其中 判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 是. 设,R λμ∈.因为,a b R a b ab R ++∀∈⇒⊕=∈,,R a R a a R λλλ++∀∈∈⇒=∈,所以R +对定义的加法与数乘运算封闭. 下面一一验证八条线性运算规律 (1) a b ab ba b a ⊕===⊕;(2)()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕;(3) R +中存在零元素1, ∀a R +∈, 有11a a a ⊕=⋅=;(4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==; (5)11a a a ==; (6)()()a a a a a λμμλμλμλλμ⎛⎫==== ⎪⎝⎭;(7) ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕;()(8)()().a b ab ab a b a b a b λλλλλλλλλ⊕====⊕=⊕所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为A B AB BA ⊕=-按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 否.,()A B AB BA B A BA AB AB BA ⊕=-⊕=-=--A B B A ∴⊕⊕与不一定相等.故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间.4．在22P ⨯中，{}2222/0,,W A A A P W P ⨯⨯==∈判断是否是的子空间. 答 否.121123123345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例如和的行列式都为零，但的行列式不为零, 也就是说集合对加法不封闭.习题1．讨论22P ⨯中1234111111,,,111111a a A A A A a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的线性相关性.解 设11223344x A x A x A x A O +++=,即123412341234123400ax x x x x ax x x x x ax x x x x ax +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ . 由系数行列式3111111(3)(1)111111a a a a a a=+- 知, 3 1 , , a a ≠-≠且时方程组只有零解这组向量线性无关； 3 1 , , a a =-=或 时方程组有非零解这组向量线性相关. 2．在4R 中，求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中1234010011001111ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2111，=，=，=，3010解 设11223344x x x x ααααα=+++由()1234100110010111ααααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭2111301010001010000010100010⎛⎫⎪ ⎪−−−−→⎪- ⎪⎝⎭初等行变换 得13ααα=-. 故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为 ( 1, 0 , - 1 , 0 ).2212342347P ααααα⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭110-11-1103.在中求在基=，=，=，=下的坐标.11100000 解 设11223344x x x x ααααα=+++则有123412341234123402030040007x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--+=⎪⎨+++=⎪⎪+++=-⎩.由101121000711103010011110040010211007000130-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪−−−−→⎪⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换 得12347112130ααααα=-+-+.故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为（-7，11，-21，30）. 4．已知3R 的两组基（Ⅰ）： 123111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11=，=0，=0-11（Ⅱ）：123121βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23=，=3，=443（1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；（2） 已知向量123123,,,,,αααααβββ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1；（3） 已知向量123123,,,,,βββββααα⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2;（4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量γ.解（1）设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 ()()321321,,,,αααβββ= C即123111234100143111C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 知基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为1111123234100234010111143101C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）首先计算得11322201013122C -⎛⎫-- ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭, 于是α 在基321,,βββ 下的坐标为131200112C -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭.（3）β 在基321,,ααα 下的坐标为171123C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.(4) 设γ在基321,,βββ 下的坐标为123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 据题意有234010101⎛⎫ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123y y y -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 解此方程组可得123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=043k k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，为任意常数.231430,7k k k k γββ-⎛⎫⎪∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭为任意常数.5．已知P [x ]4的两组基（Ⅰ）：2321234()1()()1()1f x x x x f x x x f x x f x =+++=-+=-=，，，（Ⅱ）：2323321234()()1()1()1g x x x x x x x x x x x x x =++=++=++=++，g ，g ，g （1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵； （2） 求在两组基下有相同坐标的多项式f (x ).解 ( 1 ) 设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 ()()12341234,,,,,,g g g g f f f f =C有23230111101*********(1,,,)(1,,)1101110011101000x x x x x x C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. 10110111100011101110101101000011 1100110100100112100111000011113⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪−−−−→⎪⎪-⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭初等行变换 1110001101121113C ⎛⎫ ⎪-⎪∴= ⎪- ⎪---⎝⎭. （2）设多项式f (x )在基（Ⅰ）下的坐标为1234(,,,)T x x x x .据题意有111222333444 ()x x x x x x C C E x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0 （*）因为01101101100111111001101021021021112C E ---==--==------所以方程组（*）只有零解，则f (x )在基（Ⅰ）下的坐标为(0,0,0,0)T，所以f (x ) = 0习题证明线性方程组1234512345123453642022353056860x x x x x x x x x x x x x x x +--+=⎧⎪+--+=⎨⎪--+-=⎩ 的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.证明 设线性方程组为AX = 0, 对系数矩阵施以初等行变换.316421568622353043751568600000A -----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭初等行变换()2()3R A R A =∴=线性方程组的解空间的维数是5-.实系数多项式空间3[]R x 的维数也是3, 所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.习题1． 求向量()1,1,2,3α=- 的长度. 解 22221(1)2315α=+-++.2． 求向量()()1,1,0,12,0,1,3αβ=-=与向量之间的距离.解 (,)d αβ=2222(12)(10)(01)(13)7αβ-=-+--+-+-. 3．求下列向量之间的夹角（1） ()()10431211αβ==--,,,，,,, （2） ()()12233151αβ==,,,，,,,（3）()()1,1,1,2311,0αβ==-，，， 解（1）(),1(1)02413(1)0,,2a παββ=⨯-+⨯+⨯+⨯-=∴=.（2）(),1321253118αβ=⨯+⨯+⨯+⨯=,22222222122318,31516,αβ+++=+++=,4618πβ∴==.（3）(),13111(1)203αβ=⨯+⨯+⨯-+⨯=,11147α=+++, 911011β=+++=,77αβ∴=.3． 设αβγ，,为n 维欧氏空间中的向量，证明: (,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+. 证明 因为22(,)αβαγγβαγγβαγγβ-=-+-=-+--+-22(,)(,)(,)(,)(,)2(,)(,)2αγαγαγγβγβαγγβγβαγαγαγγβγβγβαγαγγβγβ=--+--+--+--=--+--+--≤-+-⋅-+-所以22()αβαγγβ-≤-+-, 从而(,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.习题1． 在4R 中，求一个单位向量使它与向量组()()()1,1,1,11,1,1,11,1,1,1321--=--=--=ααα，， 正交.解 设向量1234123(,,,)x x x x αααα=与向量,,正交, 则有 112342123431234(0(,0(,)0x x x x x x x x x x x x αααααα=+--=⎧⎧⎪⎪=--+=⎨⎨⎪⎪=-+-=⎩⎩,)0)0即 （*）. 齐次线性方程组(*)的一个解为 12341x x x x ====.取*1111(1,1,1,1), ,,,2222ααα=将向量单位化所得向量=()即为所求.2． 将3R 的一组基1231,2,1111ααα ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为标准正交基.解 (1 )正交化, 取11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ , 12221111311(,)111211221(,)11111131113βαβαβββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭ 132********1122113121020(1)()1(,)(,)2333100121(,)(,)3()()()11333123βαβαβαββββββ⎛⎫-⎛⎫⎪- ⎪⎛⎫⎪-⨯+⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪=--=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++- ⎪⎝⎭⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭(2 ) 将123,,βββ单位化***123362,,036236βββ⎛⎛ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝则*1β,*2β,*3β为R 3的一组基标准正交基. 3．求齐次线性方程组123451235300x x x x x x x x x +-+-=⎧⎨+-+=⎩ 的解空间的一组标准正交基.分析 因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基，所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可.解 对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵11113111011110100014---⎛⎫⎛⎫−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭可得齐次线性方程组的一个基础解系123100,,010004001ηηη ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由施密特正交化方法, 取11221331211/21/311/21/3111,,011/3223004001βηβηββηββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,将123,,βββ单位化得单位正交向量组***12311/21/311/21/33,,011/326213004001βββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以*1β,*2β,*3β是解空间的一组标准正交基.3． 设1α,2α ,… ,n α 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, A 是n 阶正交矩阵,证明: 1αA ,2αA ,… ,n A α 也是n R 中的一组标准正交基．证明 因为n ααα,,,21 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, 所以⎩⎨⎧=≠==j i j i j T i j i 10),(αααα (,1,2,,)i j n =. 又因为A 是n 阶正交矩阵, 所以T A A E =. 则⎩⎨⎧=≠====j i j i A A A A A A j T i j T T i j T i j i10)()()(),(αααααααα (,1,2,,)i j n = 故n A A A ααα,,,21 也是n R 中的一组标准正交基. 5．设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组标准正交基, 证明112321233123111(22),(22),(22)333βαααβαααβααα=+-=-+=--也是V 的一组标准正交基. 证明 由题知()()1231232211,,,,2123122βββααα⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭1232211,,2123122ααα⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭因为是一组标准正交基,且的行向量组是单位正交向量组.()1232211,,2123122ααα⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭所以和都是正交矩阵.()123,,.βββ从而也是正交矩阵123,,βββ所以是单位正交向量组, 构成V 的一组标准正交基.习题五 (A)一、填空题1．当k 满足 时，()()()31211,2,1,2,3,,3,,3k k R ααα===为的一组基. 解 三个三维向量为3R 的一组基的充要条件是123,,0ααα≠, 即26k k ≠≠且. 2．由向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为 .解 向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为向量组α的秩, 故答案为1.3．()()()()3123,,1,3,5,6,3,2,3,1,0R αααα====中的向量371在基下的坐标为 . 解 根据定义, 求解方程组就可得答案.设所求坐标为123(,,)x x x , 据题意有112233x x x αααα=++. 为了便于计算, 取下列增广矩阵进行运算 ()3213613100154,,133701082025100133αααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等行变换，所以123(,,)x x x = (33,-82,154).4. ()()()3123123,,2,1,3,1,0,1,2,5,1R εεεααα=-=-=---中的基到基的过渡矩阵为 . 解 因为123123212(,,)(,,)105311αααεεε---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 所以过渡矩阵为212105311---⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.5. 正交矩阵A 的行列式为 . 解 21T A A E A =⇒=⇒A =1±.6．已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3, 则该方程组的解空间的维数为 . 解 5元线性方程组AX = 0的解集合的极大无关组（基础解系）含5 – 3 =2 个向量, 故解空间的维数为2.()()()()412342,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,11,a a a R a αααα====≠7.已知不是的基且a 则满足 .解 四个四维向量不是4R 的一组基的充要条件是1234,,,0αααα=, 则12a =或1. 故答案为12a =. 二、单项选择题1．下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是( ). （A ） (){}R x x x x V n n ∈=,,0,,0,111 （B ） (){}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,0,,,21212 （C ） (){}R x x x x x x x V i n n∈=+++=,1,,,21213(D) (){}411,0,,0,0V x x R =∈解 (C ) 选项的集合对向量的加法不封闭, 故选（C ）.2.331,23P A ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在中由生成的子空间的维数为（ ）. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解 向量组A =123⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭生成的子空间的维数是向量组A 的秩, 故选（A ）. 331231223311223311223123123123123,,( )() ,, ()2,23,3() ,,2 () ,2322,355R R A B C D ααααααααααααααααααααααααααααααα++-+++++++++-++-3.已知是的基,则下列向量组是的基.解 因 ( B )选项1223311231012,23,3=(,,) 220033ααααααααα⎛⎫⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭中（）, 又因123101,,220033ααα⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭线性无关且可逆， 所以1223312,23,3αααααα+++线性无关.故选（B ）.33123122313122331122313122313,, () ,, () 2,2,2() ,, () 2,2,2R R A B C D ααααααααααααααααααααααααααα++++++------4.已知是的基,则下列向量组（）不是的基. 解 因122313 ()()()0αααααα-+---=, 所以( C )选项中向量组线性相关, 故选（C ）. 5．n 元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为r , 该方程组的解空间的维数为s, 则( ).(A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s<r 选（B ）6. 已知A, B 为同阶正交矩阵, 则下列( )是正交矩阵. (A) A+B (B) A-B (C) AB (D) kA （k 为数） 解 A, B 为同阶正交矩阵()T T T T AB AB ABB A AA E ⇒=== 故选（C ）.7. 线性空间中，两组基之间的过渡矩阵（ ）.(A) 一定不可逆 (B) 一定可逆 (C) 不一定可逆 (D) 是正交矩阵 选（B ）(B)1．已知4R 的两组基 （Ⅰ）： 1234, αααα,,（Ⅱ）：11234223433444,βααααβαααβααβα=+++=++=+=,, ( 1 )求由基（Ⅱ）到（Ⅰ）的过渡矩阵； ( 2 )求在两组基下有相同坐标的向量.解 （１）设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 已知1234123410001100(,,,)(,,,)11101111ββββαααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以由基（Ⅱ）到基（Ⅰ）的过渡矩阵为11000110001100011C -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭. （2）设在两组基下有相同坐标的向量为α, 又设α在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下的坐标均为),,,(4321x x x x , 由坐标变换公式可得11223344x x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ , 即 1234()x x E C x x ⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0 （*） 齐次线性方程（*）的一个基础解系为(0,0,0,1)η=, 通解为(0,0,0,) ()X k k R *=∈． 故在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下有相同坐标的全体向量为12344000 ()k k k R αααααα=+++=∈.312312313123122323133123123123123123,, ,, ,, (1),, ,, ,, ;(3) 2 ,,R R αααβββββαααββααββααββββββαααααααβββ+=+++=++=+=+-2.已知是 的基,向量组满足证明 是的基;(2)求由基 到基的过渡矩阵求向量 在基 下的坐标.解 ( 1 ) 由题有123123110101(,,)011(,,)110101111βββααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒123123010(,,)(,,)-1-12100αααβββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⇒123123001(,,)(,,)100111222βββααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因 0011001112220≠，所以123,, βββ线性无关. 故123,,βββ是3个线性无关向量，构成3 R 的基. (2 ) 因为123123010(,,)(,,)-1-12100αααβββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以从123123,,,,βββααα基到基的过渡矩阵为010-1-12100⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(3) 123123123101012,,2,,-1-12211001αααααααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+-== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）（）1232,,-51βββ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（）所以1232,,5.1αβββ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为412341234123412341234123412002100,,,,0012002121001100,,,,003500121,,2 2R ααααββββααααββββααααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=++-3.设的两组基,与=，，且由基,到基,的过渡矩阵为（）求基,；（）求向量1234,,ββββ在基,下的坐标.解 (1) 因为12341234,,,,ααααββββ由基,到基,的过渡矩阵为C = 2100110000350012⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭, 所以112341234(,,,)(,,,)12001-10013002100-120010000012002-5000100210-13037C ααααββββ-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以123413001000,,,00010037αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2 )11234123412341111 2(,,,)(,,,)1122C αααααααααββββ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭123401(,,,)127ββββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,12341234012,,,12-7αααααββββ⎛⎫ ⎪ ⎪∴=++- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为.222123324. ()1,()12,()123[]()6914f x x x f x x x f x x x P x f x x x =++=++=++=++证明是线性空间的一组基,并求在这组基下的坐标.证明 设112233()()()0t f x t f x t f x ++=,则有222123(1)(12)(123)0t x x t x x t x x ++++++++= 即123123123011120*11210230123t t t t t t t t t ++=⎧⎪++==-≠⎨⎪++=⎩（）因为系数行列式所以方程组（*）只有零解. 故123(),(),()f x f x f x 线性无关, 构成3[]P x 线性空间的一组基. 设112233()()()()f x y f x y f x y f x =++ 则有1231123212336129223143y y y y y y y y y y y y ++=⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++=⇒=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪++=⎝⎭⎩⎝⎭所以()f x 123(),(),()f x f x f x 在基下的坐标为（1, 2, 3）. 5．当a 、b 、c 为何值时，矩阵A = 020010a bc ⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是正交阵.解 要使矩阵A 为正交阵，应有 T AA E = 001002200100100010001a b a c bc ⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪⇒=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 222101002201001000102a ac acbc ⎛⎫++ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪++⎪⎭⇒2221120 21a ac b c ⎧+=⎪⎪+=⇒⎨⎪+=⎪⎩①121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；③121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；④121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩. 6．设 α 是n 维非零列向量, E 为n 阶单位阵, 证明:T T E A αααα）（/2-=为正交矩阵. 证明 因为α 是n 维非零列向量, T αα所以是非零实数.又22TTT T T T T A E E A αααααααα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭,所以22 T T T T T A A AA E E αααααααα⎛⎫⎛⎫==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2224444()()T T T T T TTTTTE E Eαααααααααααααααααααα=-+=-+=故A 为正交矩阵．7．设TE A αα2-=, 其中12,,,Tn a a a α=（）, 若 ααT = 1. 证明A 为正交阵.证明 因为A E E E A TTTTTTT=-=-=-=αααααα2)(2)2(，所以A 为对称阵.又(2)(2)T T T A A E E αααα=--244()T T T E E αααααα=-+=, 所以A 为正交阵.8. , , , 0.A B n A B A B =-+=设均为阶正交矩阵且证明证明 因为, ,A B n 均为阶正交矩阵 所以0T A A =≠且T T T T T T TA AB E A B B B A B B A BB A B B A B+=+=+=+⋅=+⋅=⋅+（）()0200T A B A B A A B A B ⇒-⋅+=⇒⋅+=⇒+=.。
研究性学习指导教案
一、教案名称：研究性学习指导教案第一章——研究性学习概述教学目标：1. 让学生理解研究性学习的概念和特点；2. 让学生掌握研究性学习的基本方法和流程；3. 培养学生对研究性学习的兴趣和积极性。
教学内容：1. 研究性学习的定义；2. 研究性学习的特点；3. 研究性学习的方法；4. 研究性学习的流程；5. 研究性学习的重要性。
教学步骤：1. 引入：通过提问方式引导学生思考什么是研究性学习；2. 讲解：详细讲解研究性学习的定义、特点、方法和流程；3. 实例分析：通过具体案例让学生理解研究性学习的实际应用；4. 练习：让学生分组讨论，选取一个课题进行研究性学习的设计；5. 总结：总结本节课的重点内容，强调研究性学习的重要性。
教学评价：1. 学生对研究性学习的概念和特点的理解程度；2. 学生对研究性学习的方法和流程的掌握程度；3. 学生对研究性学习的兴趣和积极性的表现。
二、教案名称：研究性学习指导教案第二章——研究性学习课题的选择和确立教学目标：1. 让学生了解研究性学习课题的选择标准和方法；2. 让学生能够独立地确立一个合适的研究性学习课题；3. 培养学生对研究性学习课题的选择和确立的能力。
教学内容：1. 研究性学习课题的选择标准；2. 研究性学习课题的选择方法；3. 研究性学习课题的确立过程；4. 研究性学习课题的注意事项。
教学步骤：1. 引入：通过提问方式引导学生思考如何选择和确立研究性学习课题；2. 讲解：详细讲解研究性学习课题的选择标准和方法；3. 实例分析：通过具体案例让学生理解如何选择和确立研究性学习课题；4. 练习：让学生分组讨论，选取一个课题进行研究性学习的设计；5. 总结：总结本节课的重点内容，强调选择和确立研究性学习课题的重要性。
教学评价：1. 学生对研究性学习课题的选择标准和方法的掌握程度；2. 学生能够独立地确立一个合适的研究性学习课题的能力；3. 学生对研究性学习课题的选择和确立的注意事项的理解程度。
《数据结构与算法》第四章-学习指导材料
《数据结构与算法》第四章串知识点及例题精选串（即字符串）是一种特殊的线性表，它的数据元素仅由一个字符组成。
4.1 串及其基本运算4.1.1 串的基本概念１．串的定义串是由零个或多个任意字符组成的字符序列。
一般记作：s=＂s1 s2 … s n＂＂其中s 是串名；在本书中，用双引号作为串的定界符，引号引起来的字符序列为串值，引号本身不属于串的内容；a i(1<=i<=n)是一个任意字符，它称为串的元素，是构成串的基本单位，i是它在整个串中的序号; n为串的长度，表示串中所包含的字符个数，当n=0时，称为空串，通常记为Ф。
２．几个术语子串与主串：串中任意连续的字符组成的子序列称为该串的子串。
包含子串的串相应地称为主串。
子串的位置：子串的第一个字符在主串中的序号称为子串的位置。
串相等：称两个串是相等的，是指两个串的长度相等且对应字符都相等。
4.2 串的定长顺序存储及基本运算因为串是数据元素类型为字符型的线性表，所以线性表的存储方式仍适用于串，也因为字符的特殊性和字符串经常作为一个整体来处理的特点，串在存储时还有一些与一般线性表不同之处。
4.2.1 串的定长顺序存储类似于顺序表，用一组地址连续的存储单元存储串值中的字符序列，所谓定长是指按预定义的大小，为每一个串变量分配一个固定长度的存储区，如：#define MAXSIZE 256char s[MAXSIZE];则串的最大长度不能超过256。
如何标识实际长度？1. 类似顺序表，用一个指针来指向最后一个字符，这样表示的串描述如下：typedef struct{ char data[MAXSIZE];int curlen;} SeqString;定义一个串变量：SeqString s;这种存储方式可以直接得到串的长度：s.curlen+1。
如图4.1所示。
s.dataMAXSIZE-1图4.1 串的顺序存储方式12. 在串尾存储一个不会在串中出现的特殊字符作为串的终结符，以此表示串的结尾。
第4章 集触发器学习指导
图4.10
解：对(a)电路，因为是D触发器，所以有
对(b)电路，因为是RS触发器,所以有
对(c)电路，因为是T触发器,
对(d)电路，因为是JK触发器,
因此，能实现 的电路是（b）和（d）两个电路。
知识点：复位端的作用。
例4.11由下降沿JK触发器组成的电路及其CP、J端输入波形如图4.11 所示，试画出Q端的波形(设初态为0)。
＝1， ＝0是一个稳定状态，称为1态； ＝0， ＝1是另一个稳定状态，称为0态；
其他情况如 ＝ ＝0或 ＝ ＝1，不满足互补的条件，称之为不定状态，它既不能算作0态，也不能算作1态。
2、在适当的输入信号作用下，触发器能从原来所处的一个稳态翻转成另一个稳态。
3、在输入信号取消后，能够将得到的新状态保存下来，即记忆住这一状态。
二、重点难点
本章主要内容包括：
（1）基本触发器的电路组成和工作原理。
（2）RS触发器、JK触发器、D触发器、T和T’触发器的逻辑功能以及触发器的描述方法：逻辑功能表、特性方程、驱动（激励）表、状态转移图（表）和时序（波形）图。
重点需要掌握的内容在于各类触发器的逻辑功能和逻辑功能描述方法；各种触发方式的特点、脉冲工作特性。
1．画出图P4.1所示由与非门组成的基本RS触发器输出端 、 的电压波形，输入端 、 的电压波形如图中所示。
图P4.1
2．试分析图P4.2所示电路的逻辑功能，列出真值表写出逻辑函数式。
图P4.2
3．若主从结构JK触发器CP、 、 、J、K端的电压波形如图P4.3所示，试画出Q、 端对应的电压波形。
图P4.3
10．下列触发器中，没有约束条件的是。
【高一学习指导】高一物理上学期知识点总结(第四章)
【高一学习指导】高一物理上学期知识点总结（第四章）第四章力与运动第一节伽利略理想实验与牛顿第一定律伽利略的理想实验(见课本，以及单摆实验)牛顿第一定律1.牛顿第一定律(惯性定律)：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。
――物体的运动并不需要力来维持。
2.物体保持原来的匀速直线运动状态或静止状态的性质叫惯性。
3.惯性是物体的固有属性，与物体受力、运动状态无关，质量是物体惯性大小的唯一量度。
4.物体不受力时，惯性表现为物体保持匀速直线运动或静止状态;受外力时，惯性表现为运动状态改变的难易程度不同。
第二、三节影响加速度的因素/探究物体运动与受力的关系加速度与物体所受合力、物体质量的关系第四节牛顿第二定律牛顿第二定律1.牛顿第二定律：物体的加速度跟所受合外力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。
2.a=k•F/m(k=1)→F=ma3.k的数值等于使单位质量的物体产生单位加速度时力的大小。
国际单位制中k=1。
4.当物体从某种特征到另一种特征时，发生质的飞跃的转折状态叫做临界状态。
5.极限分析法(预测和处理临界问题)：通过恰当地选取某个变化的物理量将其推向极端，从而把临界现象暴露出来。
6.牛顿第二定律特性：(1)矢量性：加速度与合外力任意时刻方向相同(2)瞬时性：加速度与合外力同时产生/变化/消失，力是产生加速度的原因。
(3)相对性：a是相对于惯性系的，牛顿第二定律只在惯性系中成立。
(4)独立性：力的独立作用原理：不同方向的合力产生不同方向的加速度，彼此不受对方影响。
(5)同体性：研究对象的统一性。
第五节牛顿第二定律的应用解题思路：物体的受力情况⇋牛顿第二定律⇋a⇋运动学公式⇋物体的运动情况第六节超重与失重超重和失重1.物体对支持物的压力(或对悬挂物的拉力)大于物体所受重力的情况称为超重现象(视重>物重)，物体对支持物的压力(或对悬挂物的拉力)小于物体所受重力的情况称为失重现象(物重<视重)。
统计学-第4章 学习指导
第4章（数据的概括性度量）学习指导数据分布的特征可以从三个方面进行描述：一是分布的集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度；二是分布的离散程度，反映各数据远离其中心值的趋势；三是分布的形状，反映数据分布偏斜程度和峰度。
掌握计算、特点及其应用场合。
主要内容学习要点2．1 集中趋势的度量众数▶概念：众数。
▶众数的特点。
中位数和分位数▶概念：中位数，四分位数。
▶中位数和四分位数的特点。
▶中位数和四分位数的计算。
平均数▶概念：平均数，简单平均数，加权平均数，调和平均数，几何平均数。
▶简单平均数和加权平均数的计算。
▶用Excel中的统计函数计算平均数。
▶几何平均数的计算和应用场合。
众数、中位数和平均数的比较▶众数、中位数和平均数在分布上的关系。
▶众数、中位数和平均数的特点及应用场合。
异众比率▶概念：异众比率异众比率的计算和应用场合。
2．2离散程度的度量四分位差（内距）概念：四分位差。
四分位差的计算。
用Excel中的统计函数计算四分位差。
方差和标准差概念：极差，平均差，方差，标准差。
样本方差和标准差的计算。
用Excel计算标准差。
离散系数概念：离散系数。
离散系数的计算。
离散系数的用途。
2．3偏态与峰态的度量偏态及其测度概念：偏态，偏态系数。
用Excel计算偏态系数。
偏态系数数值的意义。
峰态及其测度概念：峰态，峰态系数。
用Excel计算峰态系数。
峰态系数数值的意义。
Excel统计函数的应用。
一）判断题1，各变量值与其平均数的离差之和为最小值。
( )2．当各组的变量值所出现的频率相等时，加权算术平均数中的权数就失去作用，因而，加权算术平均数也就等于简单算术平均数( )3．比较两总体的平均数的代表性，离散系数较小的总体，平均数代表性亦小。
( )4，平均数与次数和的乘积等于各变量值与次数乘积的和。
( )5．若两总体的平均数不同，而标准差相同，则离散系数也相同。
( )6．并非任意一个变量数列都可以计算其算术平均数、中位数和众数。
04 第4章 动态电路时域分析 学习指导及习题解答
第4章动态电路的时域分析学习指导与题解一、基本要求1．明确过渡过程的含义，电路中发生过渡过程的原因及其实。
2．熟练掌握换路定律及电路中电压和电流初始值的计算。
3．能熟练地运用经典分析RC和RL电路接通或断开直流电源时过渡过程中的电压和电流。
明确RC和RL电路放电和充电时的物理过程与过渡过程中电压电流随时间的规律。
4．明确时间常数、零输入与零状态、暂态与稳态、自由分量与强制分量的概念，电路过渡过程中的暂态响应与稳态响应。
5．熟练掌握直流激励RC和RL一阶电路过渡过程分析的三要素法。
能分析含受控源一阶电路的过渡过程。
6．明确叠加定理在电路过渡过程分析中的应用，完全响应中零输入响应与零状态响应的分解方式。
掌握阶跃函数和RC，RL电路阶跃响应的计算。
7．明确RLC电路发生过渡过程的物理过程，掌握RLC串联二阶电路固有频率的计算和固有响应与固有频率的关系，以及振荡与非振荡的概念。
会建立RLC二阶电路描述过渡过程特性的微分方程。
明确初始条件与电路初始状态的关系和微分方程的解法。
会计算RLC 串联二阶电路在断开直流电源时过渡过程中的电压和电流。
了解它在接通直流电源时电压和电流的计算方法。
二、学习指导电路中过渡过程的分析，是本课程的重要内容。
教学内容可分如下四部分：1．过渡过程的概念；2．换路定律；3．典型电路中的过渡过程，包括RC和RL一阶电路和RLC串联二阶电路过渡过程的分析；4．叠加定理在电路过渡过程分析中的应用。
着重讨论电路过渡过程的概念，换路定律，RC和RL一阶电路过渡过程中暂态响应与稳态响应和时间常数的概念，计算一阶电路过渡过程的三要素法，完全响应是的零输入响应和零状态响应，阶跃响应，以及RLC串联二阶电路过渡过程的分析方法。
现就教学内容中的几个问题分述如下。
（一） 关于过渡过程的概念与换路定律1． 关于过渡过程的概念电路从一种稳定状态转变到另一种稳定状态所经历的过程，称为过渡过程。
电路过渡过程中的电压和电流，是随时间从初始值按一定的规律过渡到最终的稳态值。
四章配位滴定法
6
2.配位滴定法对配位反应的要求（配位 反应应具备的条件）
<1> 配位反应必须完全，即形成的配合物要相当 稳定（稳定常数足够大）。 ①在上配例合中物：的稳定性是以配合物的稳定常数K稳表示。
K稳[[AAgg(]C[CN)N2]]2
18℃时，K稳 = 1021.1 K稳 越大，配合物越稳定，如： [Ag(CN)2]-的K稳 = 1021.1 ；[Ag(NH3)2]+的K稳 = 107.46 显用然于， 配位[A滴g(定CN。)2]-配离子比[Ag(NH3)2]+配离子稳定，更适
ML + L === ML2 ……
MLn-1 + L === MLn
第一级稳定常数： 第二级稳定常数：
…… 第n级稳定常数：
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制作人:刘开敏
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<2>累积稳定常数：β
1
K1
[ML] [M][L]
2 K1•K2 [M [M ][L 2L ]]2
……
nK1•K2•Kn[M [M ][L nL ]]n …… 总稳定常数
Ca2+ + Y4- === CaY2-
K稳[C[Ca2a][2YY4]]K1稳
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制作人:刘开敏
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影响配合物稳定常数K稳的因素有： <1>K稳与金属离子本身的性质有关 ①碱金属：K稳 一般较小。例如：lgKNaY = 1.66 ②碱土金属：lgK稳 = 8～11 ③过渡元素、稀土元素、Al3+的配合物：lgK稳 = 15～19
[Ag(NH3)2]+ + 2CNˉ = [Ag(CN)2]ˉ + 2NH3
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教学原理与设计：第四章 学习任务分析
（三）读书指导法 是教师指导学生通过阅读教科书、参考书以 获取知识或巩固知识的方法。 两个环节： 1.预习 2.复习 •复习要及时 •复习经常进行 •不同性质的内容错开复习。 •复习的方式要多样化
教师要正确指导课外阅读： 培根《谈读书》：“读史使人明智， 读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使 人深刻，伦理学使人庄重，逻辑修辞之 学使人善辩，凡有所学，皆成性格”。 •教师首先要指导学生善于选择课外书 •对学生的阅读要进行具体的指导 •指导学生做好读书笔记
2．缺点：第一，对教师的语言表达能力和组织 听讲的能力要求高。
第二，学生在教学过程中的主体地位落实难 ，易形成学生学习被动的习惯，独立创新精神 的培养不够。
第三：课堂交流沟通单调，气氛沉闷。
第四：不利于学生个性的发展。
美国教学论专家弗兰西斯曾在大量 课堂观察的基础上提出了著名的“ 三分之二律”：即课堂时间的三分 之二用于讲话，讲话时间的三分之 二是教师讲话，教师讲话时间的三 分之二是向学生讲话而不是与学生 对话。
二、任务分析的步骤 （一）确定学生的原有基础 （二）分析使能目标
（三）分析支持性条件
作业：
1.就你熟悉的一段中学教材，按陈述教学目 标的要求，并考虑学生的起始能力，陈述这 段教材应达到的教学目标。
2.根据任务分析原理，对你所陈述的教学目 标进一步做任务分析，包括分析使能目标、 支持性条件以及学习的起点。
讲授法的误用表现：
第一：过短的时间内呈现了过多的新知识
第二：讲述时间太长，超出了有意注意的时 限。
第三：讲授内容缺乏组织性、逻辑性，讲授 平铺直叙。
第四：讲述不顾及学生原有的知识基础，或 对学生知识准备想当然假设。
麻醉护理学习指导
第四章麻醉病人的护理第一节概述【学习目标】1．学生知道麻醉前准备项目和意义，知道局部麻醉药物及局部麻醉方法、椎管内麻醉方法、全身麻醉药物及方法，并能运用所学理论知识对病人进行健康教育。
2．学生能够描述麻醉前用药的种类，用药途径和时间。
3．学生能够叙述各种麻醉中或麻醉后常见并发症的预防及处理。
4．学生能够运用所学理论知识为病人制订麻醉后的护理方案，并运用护理程序对其实施整体护理。
【章节概要】麻醉是指利用药物或其它方法，使神经系统的某些部位受到可逆性抑制，消除手术所致的疼痛，为手术创造条件。
全身麻醉包括：①静脉麻醉；②吸入麻醉；③复合全身麻醉；④基础麻醉。
局部麻醉包括：①表面麻醉；②局部浸润麻醉；③区域阻滞；④神经阻滞；⑤椎管内麻醉（习惯上自成一类）。
第二节麻醉前护理麻醉前询问病人的病史、既往麻醉与手术史、了解用药史、药物过敏史、家族史和个人史。
重点评估生命体征，心、肺、肝、肾和脑等重要脏器的功能状况；水、电解质和酸碱平衡情况及营养状况；牙齿有无缺损或松动，有无义齿；穿刺部位皮肤有无感染病灶；有无脊柱畸形或骨折，活动度是否良好。
实验室和其他检查检查包括血、尿、粪常规检查，凝血四项，电解质，肝、肾功能等检查；心电图、胸部Ｘ线以及特殊病例选择针对性的项目检查等。
妊娠期妇女在生理方面发生许多明显的变化，使孕妇对麻醉的风险增。
另外，胎儿各器官最易受药物致畸作用的影响，因此手术最好延至妊娠中、晚期进行。
护理诊断：恐惧、焦虑；知识缺乏。
护理措施：（一）增强病人对麻醉的耐受力。
（二）常规禁食12小时，禁饮4小时，以防术中呕吐物误吸所致窒息和吸入性肺炎。
（三）局麻药过敏试验。
（四）麻醉前用药：１．麻醉前用药的目的①稳定病人情绪，解除焦虑和恐惧等心理应激状态；②抑制口腔和气道腺体分泌，保持呼吸道通畅；③对抗麻醉药的副作用和毒性，消除不利的神经反射；④提高痛阈，增强麻醉效果。
2．常用药物①抗胆碱药：抑制腺体分泌，减少口腔唾液和呼吸道粘液分泌，以利于保持呼吸道通畅，是全麻前不可缺少的药物。
第四章常用概率分布学习指导(定)详解
第四章 常用概率分布[教学要求]了解：质量控制的意义、原理和方法 熟悉：三个常用概率分布的特征。
掌握：掌握三个常用概率分布的概念；二项分布及Poisson 分布的概率函数与累计概率、正态分布的分布函数的计算方法；医学参考值的计算。
[重点难点]第一节 二项分布一、二项分布的概念与特征基本概念：如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为，阴性结果的发生概率均为（1－π）；而且各个观察对象的结果是相互独立的，那么，重复观察n 个人，发生阳性结果的人数X 的概率分布为二项分布，记作B （n ,π）。
二项分布的概率函数：Xn X X n C X P --=)1()(ππ二项分布的特征：二项分布图的形态取决于与n ，高峰在=n 处。
当接近0.5时，图形是对称的；离0.5愈远，对称性愈差，但随着n 的增大，分布趋于对称。
二项分布的总体均数为 πμn = 方差为 )1(2ππσ-=n 标准差为 )1(ππσ-=n 如果将出现阳性结果的频率记为 nX p =则p 的总体均数为 πμ=p 标准差为二、二项分布的应用二项分布出现阳性的次数至多为k 次的概率为np )1(ππσ-=∑∑==-==≤kX kX XX eX P k X P 0!)()(λλ出现阳性的次数至少为k 次的概率为第二节 Poisson 分布的概念与特征一、Poisson 分布的概念与特征基本概念：Poisson 分布可以看作是每个观察对象阳性结果的发生概率很小，而观察例数n 很大时的二项分布。
除二项分布的三个基本条件以外，Poisson 分布还要求 接近于0。
有些情况和n 都难以确定，只能以观察单位（时间、空间、面积等）内某种稀有事件的发生数X 来近似。
Poisson 分布的概率函数：式中，πλn =为Poisson 分布的总体均数，X 为观察单位内某稀有事件的发生次数，e 为自然对数的底，λ为常数，约等于2.71828。
Poisson 分布的特征Poisson 分布当总体均数λ值小于5时为偏峰，λ愈小分布愈偏，随着λ增大，分布趋向对称。
电工技术(第三版 席时达)教学指导、习题解答 第四章
4-2-2三相四线制对称电路中，负载为纯电阻（星形联接），相电流为5A，试问
(1)若电源电压不变，中性线阻抗忽略不计，其中一相功率减半，则中性线电流变为多少？
(2)若一相负载不变，两相负载电流减至2A，则中性线电流变为多少？
【讲授】三相交流电通常由三相交流发电机产生，通过三相输电线路，传输到用户使用。
一、三相电动势
【讲授】图4-1-1。
图4-1-1图4-1-2
【说明】①U、V、W三相绕组在空间相隔120°。当转子磁极在原动机拖动下以角速度ω按顺时针方向匀速旋转时，三相定子绕组依次切割磁力线，在各绕组中产生相应的正弦交流电动势，这些电动势的幅值相等，频率相同，相位互差120°，相当于三个独立的交流电源，如图4-1-2所示。
图4-2-9
[解]因为是对称电路，故可归结到一相来计算。
ＵＰ＝Ｕl/ ＝220V
IＰ＝ = =22A
φ=arctan=arctan =53.1°
选U为参考相量，则
İU＝=22/－53.1°A
İV＝=İU/－120°=22/－173.1°A
İV＝=İU/120°=22/66.9°A
图2-10
【小结】①三相交流电源的电动势是三相对称的电动势，即幅值相同，频率相等，相位互差120°。在三相四线制供电系统中，相线与中线之间的电压称为相电压，相线与相线之间的电压称为线电压。线电压在数值上是相电压的 倍，在相位上超前于相应的相电压30°。在我国低压供电系统中，通常相电压为220V，线电压为380V。
③大批量的单相负载对于三相电源来说，在总体上可看成是不对称的三相负载。
《基础化学学习指导 04指导
第四章缓冲溶液【学习目标】掌握缓冲溶液的概念、组成和作用机制；影响缓冲溶液pH的因素、Henderson-Hasselbalch方程式及应用；缓冲容量的概念、影响因素及有关计算。
熟悉缓冲溶液的配制原则、方法和步骤；血液中的主要缓冲系及其在稳定血液pH过程中的作用。
了解医学上常用的缓冲溶液的配方和标准缓冲溶液的组成。
【内容要点】第一节缓冲溶液及缓冲机制一、缓冲溶液及其作用机制能够抵抗外来少量强酸、强碱，或在一定范围内稀释时，保持溶液pH基本不变的溶液称为缓冲溶液。
其对溶液pH的稳定作用称为缓冲作用。
以足量HAc和Ac-组成的缓冲溶液为例，HAc(aq)+H2O(l) H3O+(aq) + Ac-(aq)加入少量强碱（OH-）时，OH-接受H3O +传递的质子，使平衡右移，溶液中大量存在的HAc解离以补充被OH-消耗掉的H3O+，从而保持pH基本不变。
加入少量强酸（H3O +）时，大量存在的Ac-接受其传递的质子生成HAc，使平衡左移，因而[H3O+]无明显增加，保持pH基本不变。
二、缓冲溶液的组成缓冲溶液一般由足够浓度、一定比例的共轭酸碱对组成。
组成共轭酸碱对的两种物质称为缓冲系或缓冲对，其中共轭酸起到抗碱作用，称为抗碱成分；共轭碱起到抗酸作用，称为抗酸成分。
第二节缓冲溶液pH的计算一、缓冲溶液pH的近似计算公式（一）基本公式——Henderson-Hasselbalch方程式在HB-B-组成的缓冲溶液中，HB和B-之间存在如下质子转移平衡O(l) H3O+(aq)+ B- (aq)HB(aq) + H由平衡可得[H 3O +]＝K a × ]B []HB [- (4.1) pH ＝p K a + lg ]HB []B [-＝p K a + lg ][][共轭酸共轭碱 (4.2) 此式即计算缓冲溶液pH 的Henderson —Hasselbalch 方程式。
[B -]与[HB]的比值称为缓冲比，[B -]与[HB]之和为缓冲溶液的总浓度。
第四章学习指导及习题
第四章反映企业经济活动的会计基本程序与方法[学习目的与要求]了解会计循环的主要内容，了解账户的基本结构和内容及分类，掌握会计账户的设置。
掌握借贷记账法及如何编制会计分录。
[学习重点与难点]1、构成会计循环的基本步骤有：设置账户、编制会计分录、过账、试算平衡、调整分录、结账和编制会计报表。
2、账户是指对会计要素的具体内容所作的科学的分类，其包括两方面的内容：账户的名称、账户的用途与结构。
账户的基本结构应正确反映各要素的增减变动，其简略的结构一般由借方和贷方组成，形成一个“T”字型。
了解账户的分类，主要了解账户按会计要素的内容、按账户的用途结构及按提供指标的详略程度分类。
3、复式记账法。
它是相对单式记账而言的，是指对每一项经济业务，都以相等的金额，同时在相互对应的两个或两个以上的账户中进行登记的一种记账方法。
复式记账法具有两个显著的特点：一是能全面、系统地反映经济活动的过程与结果；二是可以试算平衡。
4、借贷记账法。
要了解借贷记账法是以“借”和“贷”为记账符号的复式记账方法。
对记账符号“借”和“贷”的理解，一定要舍去其字面含义，仅仅将其作为一种符号，与不同性质的账户相联系，分别代表了增加和减少。
“有借必有贷，借贷必相等”的记账规则，是借贷记账法科学性的体现。
对它的理解，要结合会计分录来进行。
5、借贷记账法的运用。
账户的对应关系是指运用复式记账法登记经济业务时，在有关账户之间形成的一相互对立而又相互依存的关系。
而存在对应关系的账户就叫做对应账户。
本章习题[本章要点]会计科目是对于会计对象的具体内容进行分类核算的标志或项目。
通过设置会计科目，可以分类反映不同的经济业务，可以将复杂的经济信息变成有规律、易识别的经济信息，并为其转换为会计信息准备条件。
会计科目按经济内容分为资产、负债、所有者权益、成本和损益五大类科目。
会计科目按提供信息的详细程度分类可分为总分类科目和明细分类科目。
会计账户，简称账户，是指根据会计科目开设的，具有一定格式和结构，用于分类、连续地记录经济业务，反映会计要素增减变动及其结果的截体，它是会计最基本的汇总工具。
管理会计课后习题学习指导书习题答案第四章
课后练习思考题1.定性销售预测和定量销售预测的优缺点是什么?其适用范围又是什么?答：（１）定性销售预测又称为定性分析法或非数量分析法，它主要是依靠预测人员丰富的实践经验和知识以及主观的分析判断能力，在考虑政治经济形势、市场变化、经济政策、消费倾向等各项因素对经营影响的前提下，对事物的性质和发展趋势进行预测和推测的分析方法。
定性销售预测方法又分为判断分析法和调查分析法两大类。
定性预测的优点在于注意对当期事物发展变化的把握，在资料不足的情况下可以加快预测速度；缺点是容易受到主观因素的影响，科学依据不足，准确性、可靠性较差。
（２）定量销售预测也称数量分析法。
它主要是应用数学的方法，对与销售有关的各种经济信息进行科学的加工处理，建立相应的数学模型，充分揭示各有关变量之间的规律性联系，并做出相应预测结论。
定量预测基本上分为：趋势预测分析法、因果预测分析法、季节预测分析法和购买力指数法。
定量预测的优点是结果的客观性。
但由于经济生活的复杂性，并非所有影响因素都可以通过定量进行分析，某些因素（例如，政治经济形势的变动、消费倾向、市场前景、宏观环境的变化等）只有定性的特征，定量预测比较机械，难以预测事物性质的发展变化；再者，定量分析也存在其本身的局限性，任何数学方法都不能概括所有的复杂的经济变化情况。
如果不结合预测期间的政治、经济、市场以及政策方面的变化情况，必然会导致预测结果脱离客观实际。
所以，我们必须根据具体情况，把定量分析与定性分析方法结合起来使用，这样才能收到良好的效果。
2.某家具公司采用调查分析法进行销售预测时，应如何去做?答：通过对有代表性的顾客的消费意向进行调查，了解市场需求变化趋势，了解到顾客明年的购买量，顾客的财务状况和经营成果，顾客的爱好、习惯和购买力的变化，顾客购买本公司产品占其总需要量的比重和选择供应商的标准，这对销售预测将更有帮助。
3.在不同的产品寿命周期阶段，应如何有效地进行销售预测?答:某种产品从投人市场开始直到退出市场为止，一般分为投人期、成长期、成熟期和衰退期四个阶段。
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（一）练习测试题1．不定项选择（1）唯物辩证法和形而上学对立的焦点在于是否承认（）事物的普遍联系事物的运动、变化和发展事物发展的根本动力是事物的内部矛盾经过量变过渡到质变事物的发展是前进性和曲折性的统一（2）“一切以时间、地点、条件为转移”的观点是（）取消人的主观能动性的错误观点夸大客观条件作用的机械论观点唯物辩证法关于世界普遍联系的正确观点必然导致形而上学外因论的错误观点相对论和诡辩论的观点（3）唯物辩证法是（）关于世界的本质问题的科学关于普遍联系的科学关于联系和发展的科学关于自然、社会和思维发展的最一般规律的科学关于量变质变规律的科学（4）矛盾的特殊性是指（）每一事物的矛盾不包含共性构成事物一切要素的总和矛盾斗争的对抗形式每一事物内部所包含的矛盾及其各个方面都有其特点矛盾独立于事物而存在（5）马克思主义普遍真理同中国革命具体实际相结合建设有中国特色的社会主义的哲学理论依据是（）主要矛盾和非主要矛盾辩证关系的原理矛盾同一性和斗争性相结合的原理矛盾普遍性和特殊性辩证关系的原理内部矛盾和外部矛盾相互作用的原理基本矛盾与非基本矛盾相互关系的原理（6）区别量变与质变的根本标志是（）事物变化持续时间的久暂事物变化的显著不显著事物量的变化是否超出度的范围事物的质变是否引起新的量变事物的状态是否稳定（7）事物质变的爆发式或非爆发式的形式取决于（）事物主要矛盾的发展事物发展的内因和外因事物发展的客观规律性事物本身的性质和事物所处的具体条件（8）作为辩证否定的联系环节，是（）把新事物和旧事物联系起来新事物和旧事物合为一体把旧事物保留、容纳在新事物中使旧事物在另一段上重新发展新事物吸收、保留和改造旧事物中的积极因素（9）在下列命题中，包含辩证法思想的有（）①“易穷则变，变则通，通则久”②“祸兮福之所倚，福兮祸之所伏”③“道之大原出于天，天不变，道亦不变”④“天下之势，循则极，极则反”（10）下列格言或成语中，体现量变质变规律的有（）九层之台，起于垒土有无相生，前后相随月晕而风，础润而雨千里之堤，溃于蚁穴（11）实际工作中的“一刀切”的工作方法是由于忽视了（）矛盾的同一性矛盾的斗争性矛盾的普遍性矛盾的特殊性（12）我国“独立自主、自力更生”方针的理论依据是（）矛盾统一性和斗争性辩证关系原理矛盾的普遍性和特殊性辩证关系原理内因和外因的辩证关系原理主要矛盾和非主要矛盾辩证关系原理（13）发展的实质是（）事物的前进上升运动事物数量的增加和减少事物发展的曲折性新事物的产生和旧事物的灭亡（14）中国加入WTO与世贸组织成员达成了“双赢”协议，它将对世界经济产生深远影响。
这在辩证法上的启示是（）①矛盾的双方在相互斗争中获得发展②矛盾一方的发展以另一方的某种发展为条件③矛盾的一方克服另一方面使用自身获得发展④矛盾双方既对立又统一，由此推动事物发展（15）唯物主义辩证法的总特征是（）①联系的观点和发展的观点②物质第一性、意识第二性的观点③运动和静止辩证统一的观点④对立统一的观点（16）“在自然界中，既没有原因，也没有结果”，“因果律的一切形式都是从主观意向当中产生的”。
这种观点属于（）①形而上学的机械决定论②否定因果区别的诡辩论③唯心主义的非决定论④唯物主义的决定论（17）“否定是连续性与非连续性的统一”的观点属于（）①形而上学的观点②相对主义的观点③诡辩论的观点④辩证法的观点（18）世界上各种事物可以相互区别是因为（）①矛盾的普遍性②矛盾的斗争性③矛盾的特殊性④矛盾的同一性（19）割裂一般与个别的辩证关系的观点是（）①物生有两②白马非马③自相矛盾④我思故我在（20）我国农业结构的调整，既影响农民的收入和农业扩大再生产的规模，又影响工业原料的来源和工业产品的销售，从因果联系看是（）①一因一果②一因多果③一果多因④多因多果（21）“一国两制”符合矛盾学说中的（）①矛盾的同一性与斗争性的关系②矛盾的普遍性与特殊性的关系③矛盾的主要方面与次要方面的关系④主要矛盾与次要矛盾的关系（22）“挟泰山而超北海，语人曰‘我不能’是诚不能也；为长者而折枝，语人曰‘我不能’是非不能而实不为也”说明（）的区别①可能性与不可能性②本质与现象③原因与结果④可能与现实（23）系统论科学出现的意义在于它（）①高于唯物辩证法②扬弃了唯物辩证法③代替了唯物辩证法④丰富了唯物辩证法（24）“偶然性是科学的敌人”这种观点属于（）①形而上学机械决定论②否认因果区别的诡辩论③否认了偶然性的作用④看到了偶然性的作用（25）把握“适度”原则，防止“过”与“不及”的哲学依据是（）①肯定与否定的相互渗透②质与量的统一③内容与形式的相互转化④矛盾的同一与斗争的相互转化（26）高能物理和天体物理的研究证明，地球上的核反应、元素蜕变现象与宇宙天体物理活动存在共同规律，说明两类现象之间存在（）间接的联系偶然的联系内在的联系外部的联系（27）“只有判断与判断才能相互矛盾，事物是不能相互矛盾的，世界本身是不存在什么真正矛盾的”的观点是（）①用逻辑矛盾否认矛盾的客观普遍性②把逻辑矛盾与客观矛盾混为一谈③肯定了逻辑矛盾与客观矛盾的内在联系④承认了逻辑矛盾是客观矛盾的反映（28）事物螺旋式发展的根本特征是（）①上升性②循环性③重复性④曲折性（29）事物矛盾问题的精髓是（）①矛盾的普遍性与特殊性的关系②矛盾的同一性与斗争性的关系③主要矛盾与次要矛盾的关系④矛盾的主要方面与次要方面的关系（30）事物运动的两种状态是（）①肯定与否定②斗争与同一③联系与发展④量变与质变（31）真象与假象的区别是（）①表现事物本质的是真象，不表现本质的是假象②客观存在的是真象，主观想象的是假象③从正面表现本质的是真象，从反面歪曲表现本质的是假象④隐藏在事物内部的是真象，表露于事物外部的是假象（32）教学质量的高低，是由教师的水平、学校的管理、学生的努力和社会影响等因素造成的。
从因果联系看，是（）①异因同果②同因异果③多因一果④一因多果（33）“让一部分人通过诚实劳动和合法经营先富起来，然后逐步扩展，达到共同富裕的目标”的理论依据是（）①质变过程中量的迅速扩张的原理②总的量变过程中部分质变的原理③质、量、度三者关系的原理④非爆发式飞跃的原理（34）“勿以善小而不为，勿以恶小而为之”说明（）①量变是由质变引起的②质变与量变是相互渗透的③质变在事物发展中起重要作用④质变是由量变引起的（35）“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
不识庐山真面目，只缘身在此山中”说明（）①本质与现象的关系②内容与形式的关系③原因与结果的关系④必然与偶然的关系（36）马赫认为“没有物理上的因果性，只有逻辑上的因果性”，他的观点属于（）①混淆了因果联系与因果观念的关系②只看见现象没有看见本质③只见树木不见森林④夸大了逻辑上的因果性（37）“如果偶然性不起任何作用的话，那么世界历史就会带有非常神秘的性质”的观点是（）①唯物史观②唯心史观③宿命论④英雄史观（38）人不可貌相，因为“有温良而为盗者，有貌恭敬而心慢者，有外廉谨而内无至诚者”，说明（）①本质与现象的关系是同一的②现象是个别，本质是总和③感官只解决现象问题，理论才解决本质问题④现象是外在易逝多变的，本质是内在相对稳定的（39）原子衰变过程极其短促，由猿到人的转变长达几百万年，这说明（）①质变过程的条件性②量变过程的客观性③质变过程的普遍性④质变形式的多样性（40）事物的肯定方面是指（）①维持事物存在的因素②促成事物灭亡的因素③决定事物基本趋势的因素④包含事物量的因素（41）DDT曾被誉为杀虫良药，后来发现它污染环境，危害人类和牲畜，被宣布为禁用农药，说明（）①事物的因果关系是复杂的②一因可以产生多种结果③同因可以异果④多因可以一果（42）在自然界，没有上就无所谓下；在社会中，没有先进就无所谓落后；在认识中，没有正确就无所谓错误。
这说明（）①矛盾双方是相互排斥的②矛盾双方是相互依存的③矛盾双方是相互渗透的④矛盾双方是相互转化的（43）“芳林新叶催陈叶，流水前波让后波”，“沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春”说明（）①事物的联系是客观的普遍的②事物的发展是永恒的绝对的③新事物取代旧事物是事物发展的总趋势④事物的发展变化是从量变到质变的过程（44）有些哲学家认为，因果联系是由于人们多次看到两组现象先后相随而形成的心理习惯。
这种观点属于（）①相对主义的诡辩论②唯物主义的决定论③唯心主义的非决定论④形而上学的机械决定论（45）中国的发展离不开世界，我国必须在独立自主，自力更生的基础上坚持改革开放，积极吸收外国的优秀文明成果发展自身，增强综合国力。
其哲学依据是（）①外因是事物变化的条件②内因是事物变化的根据③外因通过内因而起作用④外因对事物的发展有重要的影响作用⑤内因与外因结合在一起共同推动事物的发展（46）下列命题反映事物之间的客观联系的有（）①森林覆盖面积的大小影响气候②人口数量的多少影响社会发展③客观条件的好坏影响人们行动的效果④亚洲金融危机影响中国经济增长的速度⑤彗星的出现预示天灾人祸（47）下列说法属于矛盾同一性的有（）①真理与谬误相比较而存在②离开内容就没有形式，离开形式就没有内容③贫生于富，弱生于强④因祸得福，转败为胜⑤扬汤止沸，莫若去薪（48）某地自20世纪70 年代发现钒矿以来，办了三个钒矿厂。
由于没有严格的环保措施，每天排出大量的钒烟，使村民大多患有呼吸道疾病和皮肤病。
违背了哲学上的（）原理①事物的普遍联系的原理②事物联系的复杂多样性的原理③事物运动发展的原理④矛盾的普遍性与特殊性关系的原理⑤矛盾的主要方面与次要方面的关系原理（49）“在对现存事物的肯定理解中同时也包含着对现存事物的否定的理解，即对现存事物必然灭亡的理解”的观点属于（）①形而上学的观点②唯物辩证法的观点③相对主义诡辩论④激变论的观点（50）属于矛盾的特殊性的表现的有（）①对症下药，量体裁衣②欲擒故纵，声东击西③因时制宜，因地制宜④物极必反，相辅相成⑤因材施教，因人而异（51）属于矛盾斗争性的表现的有（）①剥削阶级与被剥削阶级的对立②各地区之间经济发展的不平衡性③先进思想与落后思想的冲突④人民内部的意见分歧⑤同学之间对某个问题认识的差异(52)割裂量变与质变的辩证关系会导致（）①庸俗进化论②改良主义③循环论④激变论⑤冒险主义（53）我国市场经济发展中出现了一些以权谋私、假冒伪劣的负面现象，符合唯物辩证法矛盾学说的（）①矛盾的同一性与斗争性的关系②矛盾的普遍性与特殊性的关系③主要矛盾与次要矛盾的关系④矛盾的主要方面与次要方面的关系（54）小说《套中人》的比里可夫每天出门总要穿着雨衣、带上雨伞、穿着雨鞋“说不定要下雨呢”，他把下雨这个客观事物看作是（）①必然性②偶然性③可能性④现实性（55）“任何个别（无论怎样）都是一般”这句话的正确含义是（）①特殊性就是普遍性②特殊性中包含普遍性③特殊性存在于普遍性中④普遍性是特殊性的总和（56）“是就是，不是就不是。