第九章 滞后变量模型
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一个无限期分布滞后模型可以通过科伊克变 换转化为内生滞后变量 内生滞后变量。 内生滞后变量 讨论下面两种情况： 局部调整模型 适应性期望模型
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二、局部调整模型
物资储备问题 例如，企业为了保证生产和销售，必须保持一定 例如 的原材料储备。对应于一定的产量或销售量Xt， 存在着预期的最佳库存Yt*。 局部调整模型的最初形式为
W 1t= 1 1 1 1 X t + X t −1 + X t −2 + X t −3 2 4 6 8
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2.矩型滞后形式
即认为权数是相等的 权数是相等的，X的逐期滞后值对值 权数是相等的 Y的影响相同。 如滞后期为3，指定相等权数为1/4 ，则新的 1 线性组合变量为：
W 2t= 1 1 1 1 X t + X t −1 + X t − 2 + X t −3 4 4 4 4
第九章 滞后变量模型
刘孟晖 郑州大学商学院
不考虑时间因素的模型，属于静态模型。 在实际中，经济变量的变化往往存在时滞现 象，不仅需要考虑当期的影响，还需要考虑 时滞影响，这就会产生滞后变量模型。 滞后变量模型分为外生滞后变量模型和内生 滞后变量模型两种。
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如：消费函数
通常认为，本期的消费除了受本期的收入影 响之外，还受前1期，或前2期收入的影响： Ct=b0+b1Yt+b2Yt-1+b3Yt-2+µt Yt-1，Yt-2为滞后变量 滞后变量。 滞后变量 该模型是一个滞后变量模型。
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( 9.25)
（9.25）减去（9.26）得
Yt = γ b0 + γ b1 X t + (1 − γ ) Yt −1 + ut − (1 − γ ) ut −1
( 9.27 )
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原模型变为： Yt = α 0 + α 1W1t + µ t 该模型可用OLS法估计。假如参数估计结果为
ˆ α 0 =0.5
ˆ α 1 =0.8
则原模型的估计结果为：
0.8 0.8 0.8 0.8 ˆ Y t= 0.5 + Xt + X t −1 + X t −2 + X t −3 = 0.5 + 0.4 X t + 0.2 X t −1 + 0.133 X t − 2 + 0.1X t −3 2 4 6 8
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3.倒V型滞后形式
权数先递增后递减呈倒“V”型。 权数先递增后递减 例如： 例如 ： 在一个较长建设周期的投资中，历年 投资X为产出Y的影响，往往在周期期中投资对 本期产出贡献最大。 如滞后期为4，权数可取为 1/6， 1/4， 1/2， 1/3， 1/5 则新变量为
1 1 1 1 1 W 3t= X t + X t −1 + X t − 2 + X t −3 + X t − 4 6 4 2 3 5
（1）以一个滞后因变量Yt-1代替了大量的滞后解释 变量Xt-i，最大限度地节省了自由度，解决了滞后期 长度s难以确定的问题； （2）由于滞后一期的因变量Yt-1与Xt的线性相关程 度可以肯定小于X的各期滞后值之间的相关程度， 从而缓解了多重共线性。 但科伊克变换也同时产生了两个新问题： 但科伊克变换也同时产生了两个新问题： （1）模型存在随机项和vt的一阶自相关性； （2）滞后被解释变量Yt-1与随机项vt不独立。 这些新问题需要进一步解决。
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( 9.16 )
( 9.17 )
（9.16）减去λ乘（9.17）得
Yt − λYt −1 = a0 (1 − λ ) + b0 X t + ( ut − λut −1 )
⇓ Yt = a0 (1 − λ ) + b0 X t + λYt −1 + vt
( 9.18)
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考依克模型的特点
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多选几组权数，分别估计出几个模型，然后 根据常用的统计检验（Ｒ方检验，Ｆ检验，t 检验，Ｄ-Ｗ检验），从中选择最佳估计式。
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二、阿尔蒙多项式法
主要思想： 主要思想： 针对有限滞后期模型，通过阿尔蒙变换，定 义新变量，以减少解释变量个数，然后用 OLS法估计参数。
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Yt = δ Yt * + (1 − δ ) Yt −1
其中，δ为调整系数 调整系数，0≤ δ ≤1 调整系数 将（ 9.19）式代入（9.21）
( 9.21)
Yt = δ b0 + δ b1 X t + (1 − δ ) Yt −1 + δ ut
( 9.22 )
可见，局部调整模型转化为内生滞后变量模型 局部调整模型转化为内生滞后变量模型 局部调整模型转化为
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第一节 外生滞后变量模型
对外生滞后变量模型不能直接应用OLS。 1、没有先验准则确定滞后期长度； 2、如果滞后期较长，将缺乏足够的自由度进行估 计和检验； 3、同名变量滞后值之间可能存在高度线性相关， 即模型存在高度的多重共线性。 通过对各滞后变量加权， 通过对各滞后变量加权，组成线性合成变量而有目 的地减少滞后变量的数目，以缓解多重共线性， 的地减少滞后变量的数目，以缓解多重共线性，保 证自由度。 证自由度。
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例5.2.1 对一个分布滞后模型：
Yt = a0 + b0 X t + b1 X t −1 + b2 X t − 2 + b3 X t −3 + ut
给定递减权数：1/2， 1/4， 1/6， 1/8 令
W 1t= 1 1 1 1 X t + X t −1 + X t − 2 + X t −3 2 4 6 8
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Yt = a0 + b0 X t + b1 X t −1 + b2 X t − 2 + ⋅⋅⋅ + bs X t − s + ut
( 9.1)
Yt = a0 + b0Yt + b1Yt −1 + b2Yt − 2 + ⋅⋅⋅ + bρ Yt − ρ + ut
( 9.2 )
（9.1）仅含有解释变量的滞后变量，称为外 生滞后变量模型或分布滞后模型； （9.2）仅含有被解释变量的滞后变量，称为 外生滞后变量模型或自回归模型。
第二节 内生滞后变量模型
一、考依克（Koyck）变换模型 考依克（ ）
考依克方法是将无限分布滞后模型转换为自 回归模型，然后进行估计。 对于无限分布滞后模型：
Yt = a0 + b0 X t + b1 X t −1 + b2 X t − 2 + ⋅⋅⋅ + ut
( 9.14 )
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假定滞后变量的系数按几何级数递减。设
bi = λ i b0
( 0 < λ < 1, i = 0,1, 2, ⋅⋅⋅)
( 9.15)
λ为分布滞后的降低率或衰退率。 将（9.15）代入（9.14），得
Yt = a0 + b0 X t + λb0 X t −1 + λ 2b0 X t − 2 + ⋅⋅⋅ + ut
⇓ Yt −1 = a0 + b0 X t −1 + λb0 X t − 2 + λ 2b0 X t −3 + ⋅⋅⋅ + ut −1
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三、适应性期望模型
居民消费取决于期望所得收入，即
Yt = b0 + b1 X t* + ut
( 9.23)
X −X
* t
* t −1
= γ ( Xt − X
* t −1
)
( 9.24 )
其中：γ为预期系数 0≤ γ ≤1。 γ 预期系数 预期系数，
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（9.24）改写为
代入 ( 9.23)，得到
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一、经验权数法
根据实际问题的特点、实际经验给各滞后变 量指定权数，滞后变量按权数线性组合，构 成新的变量。 权数的类型有：
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1.递减滞后形式
即认为权数是递减的 权数是递减的，X的近期值对Y的影响较 权数是递减的 远期值大。 如消费函数中，收入的近期值对消费的影响作用 显然大于远期值的影响。 例如：滞后期为 3的一组权数可取值如下： 滞后期为 1/2， 1/4， 1/6， 1/8 则新的线性组合变量为：
Yt * = b0 + b1 X t + ut
( 9.19 )
Yt*不可观测。由于生产条件的波动，生产管理 方面的原因，库存储备Yt的实际变化量只是预期变 化的一部分。
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储备按预定水平逐步进行调整，故有如下局部 储备按预定水平逐步进行调整，故有如下局部 调整假设： 调整假设 * Yt − Yt −1 = δ (Yt − Yt −1 ) ( 9.20 )
Yt = b0 + b1γ X t + b1 (1 − γ ) X t*−1 + ut
X t* = γ X t + (1 − γ ) X t*−1
( 9.23) 滞后一期乘以 (1 − γ ) 1 − γ ) Yt −1 = b0 (1 − γ ) + b1 (1 − γ ) X t*−1 + (1 − γ ) ut −1 ( 9.26 ) (
一个无限期分布滞后模型可以通过科伊克变 换转化为内生滞后变量 内生滞后变量。 内生滞后变量 讨论下面两种情况： 局部调整模型 适应性期望模型
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二、局部调整模型
物资储备问题 例如，企业为了保证生产和销售，必须保持一定 例如 的原材料储备。对应于一定的产量或销售量Xt， 存在着预期的最佳库存Yt*。 局部调整模型的最初形式为
W 1t= 1 1 1 1 X t + X t −1 + X t −2 + X t −3 2 4 6 8
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2.矩型滞后形式
即认为权数是相等的 权数是相等的，X的逐期滞后值对值 权数是相等的 Y的影响相同。 如滞后期为3，指定相等权数为1/4 ，则新的 1 线性组合变量为：
W 2t= 1 1 1 1 X t + X t −1 + X t − 2 + X t −3 4 4 4 4
第九章 滞后变量模型
刘孟晖 郑州大学商学院
不考虑时间因素的模型，属于静态模型。 在实际中，经济变量的变化往往存在时滞现 象，不仅需要考虑当期的影响，还需要考虑 时滞影响，这就会产生滞后变量模型。 滞后变量模型分为外生滞后变量模型和内生 滞后变量模型两种。
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如：消费函数
通常认为，本期的消费除了受本期的收入影 响之外，还受前1期，或前2期收入的影响： Ct=b0+b1Yt+b2Yt-1+b3Yt-2+µt Yt-1，Yt-2为滞后变量 滞后变量。 滞后变量 该模型是一个滞后变量模型。
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( 9.25)
（9.25）减去（9.26）得
Yt = γ b0 + γ b1 X t + (1 − γ ) Yt −1 + ut − (1 − γ ) ut −1
( 9.27 )
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原模型变为： Yt = α 0 + α 1W1t + µ t 该模型可用OLS法估计。假如参数估计结果为
ˆ α 0 =0.5
ˆ α 1 =0.8
则原模型的估计结果为：
0.8 0.8 0.8 0.8 ˆ Y t= 0.5 + Xt + X t −1 + X t −2 + X t −3 = 0.5 + 0.4 X t + 0.2 X t −1 + 0.133 X t − 2 + 0.1X t −3 2 4 6 8
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3.倒V型滞后形式
权数先递增后递减呈倒“V”型。 权数先递增后递减 例如： 例如 ： 在一个较长建设周期的投资中，历年 投资X为产出Y的影响，往往在周期期中投资对 本期产出贡献最大。 如滞后期为4，权数可取为 1/6， 1/4， 1/2， 1/3， 1/5 则新变量为
1 1 1 1 1 W 3t= X t + X t −1 + X t − 2 + X t −3 + X t − 4 6 4 2 3 5
（1）以一个滞后因变量Yt-1代替了大量的滞后解释 变量Xt-i，最大限度地节省了自由度，解决了滞后期 长度s难以确定的问题； （2）由于滞后一期的因变量Yt-1与Xt的线性相关程 度可以肯定小于X的各期滞后值之间的相关程度， 从而缓解了多重共线性。 但科伊克变换也同时产生了两个新问题： 但科伊克变换也同时产生了两个新问题： （1）模型存在随机项和vt的一阶自相关性； （2）滞后被解释变量Yt-1与随机项vt不独立。 这些新问题需要进一步解决。
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( 9.16 )
( 9.17 )
（9.16）减去λ乘（9.17）得
Yt − λYt −1 = a0 (1 − λ ) + b0 X t + ( ut − λut −1 )
⇓ Yt = a0 (1 − λ ) + b0 X t + λYt −1 + vt
( 9.18)
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多选几组权数，分别估计出几个模型，然后 根据常用的统计检验（Ｒ方检验，Ｆ检验，t 检验，Ｄ-Ｗ检验），从中选择最佳估计式。
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二、阿尔蒙多项式法
主要思想： 主要思想： 针对有限滞后期模型，通过阿尔蒙变换，定 义新变量，以减少解释变量个数，然后用 OLS法估计参数。
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Yt = δ Yt * + (1 − δ ) Yt −1
其中，δ为调整系数 调整系数，0≤ δ ≤1 调整系数 将（ 9.19）式代入（9.21）
( 9.21)
Yt = δ b0 + δ b1 X t + (1 − δ ) Yt −1 + δ ut
( 9.22 )
可见，局部调整模型转化为内生滞后变量模型 局部调整模型转化为内生滞后变量模型 局部调整模型转化为
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第一节 外生滞后变量模型
对外生滞后变量模型不能直接应用OLS。 1、没有先验准则确定滞后期长度； 2、如果滞后期较长，将缺乏足够的自由度进行估 计和检验； 3、同名变量滞后值之间可能存在高度线性相关， 即模型存在高度的多重共线性。 通过对各滞后变量加权， 通过对各滞后变量加权，组成线性合成变量而有目 的地减少滞后变量的数目，以缓解多重共线性， 的地减少滞后变量的数目，以缓解多重共线性，保 证自由度。 证自由度。
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例5.2.1 对一个分布滞后模型：
Yt = a0 + b0 X t + b1 X t −1 + b2 X t − 2 + b3 X t −3 + ut
给定递减权数：1/2， 1/4， 1/6， 1/8 令
W 1t= 1 1 1 1 X t + X t −1 + X t − 2 + X t −3 2 4 6 8
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Yt = a0 + b0 X t + b1 X t −1 + b2 X t − 2 + ⋅⋅⋅ + bs X t − s + ut
( 9.1)
Yt = a0 + b0Yt + b1Yt −1 + b2Yt − 2 + ⋅⋅⋅ + bρ Yt − ρ + ut
( 9.2 )
（9.1）仅含有解释变量的滞后变量，称为外 生滞后变量模型或分布滞后模型； （9.2）仅含有被解释变量的滞后变量，称为 外生滞后变量模型或自回归模型。
第二节 内生滞后变量模型
一、考依克（Koyck）变换模型 考依克（ ）
考依克方法是将无限分布滞后模型转换为自 回归模型，然后进行估计。 对于无限分布滞后模型：
Yt = a0 + b0 X t + b1 X t −1 + b2 X t − 2 + ⋅⋅⋅ + ut
( 9.14 )
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假定滞后变量的系数按几何级数递减。设
bi = λ i b0
( 0 < λ < 1, i = 0,1, 2, ⋅⋅⋅)
( 9.15)
λ为分布滞后的降低率或衰退率。 将（9.15）代入（9.14），得
Yt = a0 + b0 X t + λb0 X t −1 + λ 2b0 X t − 2 + ⋅⋅⋅ + ut
⇓ Yt −1 = a0 + b0 X t −1 + λb0 X t − 2 + λ 2b0 X t −3 + ⋅⋅⋅ + ut −1
郑州大学商学院
三、适应性期望模型
居民消费取决于期望所得收入，即
Yt = b0 + b1 X t* + ut
( 9.23)
X −X
* t
* t −1
= γ ( Xt − X
* t −1
)
( 9.24 )
其中：γ为预期系数 0≤ γ ≤1。 γ 预期系数 预期系数，
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（9.24）改写为
代入 ( 9.23)，得到
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一、经验权数法
根据实际问题的特点、实际经验给各滞后变 量指定权数，滞后变量按权数线性组合，构 成新的变量。 权数的类型有：
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1.递减滞后形式
即认为权数是递减的 权数是递减的，X的近期值对Y的影响较 权数是递减的 远期值大。 如消费函数中，收入的近期值对消费的影响作用 显然大于远期值的影响。 例如：滞后期为 3的一组权数可取值如下： 滞后期为 1/2， 1/4， 1/6， 1/8 则新的线性组合变量为：
Yt * = b0 + b1 X t + ut
( 9.19 )
Yt*不可观测。由于生产条件的波动，生产管理 方面的原因，库存储备Yt的实际变化量只是预期变 化的一部分。
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储备按预定水平逐步进行调整，故有如下局部 储备按预定水平逐步进行调整，故有如下局部 调整假设： 调整假设 * Yt − Yt −1 = δ (Yt − Yt −1 ) ( 9.20 )
Yt = b0 + b1γ X t + b1 (1 − γ ) X t*−1 + ut
X t* = γ X t + (1 − γ ) X t*−1
( 9.23) 滞后一期乘以 (1 − γ ) 1 − γ ) Yt −1 = b0 (1 − γ ) + b1 (1 − γ ) X t*−1 + (1 − γ ) ut −1 ( 9.26 ) (