分支定界法
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第三节 分枝定界法
§3.1 分枝定界法的基本思想
§3.2 分枝定界法计算步骤
精品课程《运筹学》
§3.1 分枝定界法的基本思想
考虑纯整数线性规划问题
min
(P )
c x
0
T
P0的最优解
x
0
s .t .
Ax b x 0 x 为整数向量
x i 不满足整数要求 xi [ xi ]
0
xi [ xi ] 1
下 面 的 正 整 数 “ k ” 代 表 子 问 题 ( Pk ) ） 上 界 U ： ， ，
当前最好的整数解： ；
第2步
若活点集合 ，则转向第 7 步，否则，选择
一 个 分 枝 点 k 活 点 集 合 ， 从 活 点 集 合 中 去 掉 点 k ；
第3步
解 点 k 对 应 的 松 弛 LP 问 题 ， 若 此 问 题 无 解 ，
精品课程《运筹学》
3 5 T x ( , ) , z0 4 2 2
0
x1 1
(P )
x1 2
( P1 )
( P2 )
x2
min
( x1 x 2 )
0
x1
精品课程《运筹学》
3 5 T x ( , ) , z0 4 2 2
(P )
z3 3.25, x ( 2.25,1)
3
( P3 ) ( P6 )
( P4 )
x1 3
无解
x2
x1 2
x2 2
( P5 )
( P4 )
问题
x1
问题 ( P3 )
0 精品课程《运筹学》
3 5 T x ( , ) , z0 4 2 2
x1 2
x2
( P6 ) ( P5 ) 5 T z5 3, x ( 2,1)
无解
问题 ( P
x1
x1 3
最优解
6
)
问题 ( P5 )
精品课程《运筹学》 0
解整数线性规划问题的分枝定界法步骤： 第1步
令 活 点 集 合 ： O （ 注 ： O ” 代 表 原 问 题 ， “
I L P 问 题 无 解 ，否 则 ，当 前 最 好 的 整 数 解 就 是 原 I L P 问 题 的 最 优 解 ，U 就 是 最 优 值 .计 算 停 止 .
精品课程《运筹学》
最好的整数解： x ，转回第 2 步；
k
第6步
若 点 k 对 应 的 松 弛 L P 问 题 的 最 优 解x
k
k
不满足
整数要求，按x 某个非整数分量生成点 k 的两个后 代点， 这两个后代点为活点， 加入到活点集合中， 令 并
转回第2步； 精品课程《运筹学》
第7步
若 当 前 最 好 的 整 数 解 ： ， U ， 则 原
0
min s .t .
c x Ax b x 0 , x 为整数向量 xi [ xi ]
0
T
min s .t .
c x Ax b x 0 , x 为整数向量 xi [ xi ] 1
0
T
精品课程《运筹学》
(P )
分 枝 树
xi [ xi ]
0
xi [ xi ] 1
0
x1 1
z1 , x (1, ) 2 2
1
5
3
T
x1 2 3 T 7 2 ( P 2 ) x ( 2, 2 ) , z2 2 ( P1 ) x2 1 x2 2
(P )
( P3 )
x2
( P4 )
x
x 2
x1Biblioteka Baidu
1
精品课程《运筹学》 0
0
x1 1
z1 , x (1, ) 2 2
1
5
3
T
x1 2 3 T 7 2 ( P 2 ) x ( 2, 2 ) , z2 2 ( P1 ) x2 1 x2 2
T
(P )
z3 3.25, x ( 2.25,1)
3
( P3 )
( P4 )
x1 3
无解
0
( P1 )
( P2 )
xk [ xk ]
2
xk [ xk ] 1
2
( P3 )
xl [ x ]
3 l
( P4 )
xl [ x ] 1
3 l
分 枝 过 程
( P5 )
( P6 )
分枝过程在某个点上由下述两个原因之一而停止： ⑴相应的松弛LP问题的解是满足整数要求的；
精品课程《运筹学》
⑵相应松弛LP问题是不可行的 .
定界过程
假 设 在 某 一 时 刻 ，到 当 时 为 止 所 得 到 的 最 好 的 满 足 整 数 要 求 解 的 目 标 函 数 值 是 z m ，而 且 我 们 正 打 算 由 某 一 点 x 分 枝 ，该 点 子 域 对 应 的 I L P 的 下 界 为 zk c x ， 若 zk zm ， 这 意 味 着 点x
T k k k
的所有后
代得到的各个解x 的目标函数值均有
c x zk zm
T
因此无须由 x 继续分枝.
精品课程《运筹学》
k
被剪枝
死点
§3.2 分枝定界法计算步骤
例3.3.1 用分枝定界法求解整数线性规划
min ( x 1 x 2 ) s .t . 4 x 1 2 x 2 1 4 x1 2 x 2 11 2 x2 1 x 1 , x 2 0，整数
转回第 2 步；
精品课程《运筹学》
第4步
若 点 k 对 应 的 松 弛 LP 问 题 的 最 优 值 zk U ，
则点k被剪枝，转回第 2 步；
第5步
若 点 k 对 应 的 松 弛 L P 问 题 的 最 优 解x
k
满足整
数 要 求 （ 此 时 一 定 有 zk U ） 则 上 界U ： zk ， 当 前 ，
问题 ( P1 )
问题 ( P2 )
3 5 T x ( , ) , z0 4 2 2
0
x1 1
z1 , x (1, ) 2 2
1
5
3
T
x1 2 3 T 7 2 ( P 2 ) x ( 2, 2 ) , z2 2 ( P1 ) x2 1 x2 2
T
§3.1 分枝定界法的基本思想
§3.2 分枝定界法计算步骤
精品课程《运筹学》
§3.1 分枝定界法的基本思想
考虑纯整数线性规划问题
min
(P )
c x
0
T
P0的最优解
x
0
s .t .
Ax b x 0 x 为整数向量
x i 不满足整数要求 xi [ xi ]
0
xi [ xi ] 1
下 面 的 正 整 数 “ k ” 代 表 子 问 题 ( Pk ) ） 上 界 U ： ， ，
当前最好的整数解： ；
第2步
若活点集合 ，则转向第 7 步，否则，选择
一 个 分 枝 点 k 活 点 集 合 ， 从 活 点 集 合 中 去 掉 点 k ；
第3步
解 点 k 对 应 的 松 弛 LP 问 题 ， 若 此 问 题 无 解 ，
精品课程《运筹学》
3 5 T x ( , ) , z0 4 2 2
0
x1 1
(P )
x1 2
( P1 )
( P2 )
x2
min
( x1 x 2 )
0
x1
精品课程《运筹学》
3 5 T x ( , ) , z0 4 2 2
(P )
z3 3.25, x ( 2.25,1)
3
( P3 ) ( P6 )
( P4 )
x1 3
无解
x2
x1 2
x2 2
( P5 )
( P4 )
问题
x1
问题 ( P3 )
0 精品课程《运筹学》
3 5 T x ( , ) , z0 4 2 2
x1 2
x2
( P6 ) ( P5 ) 5 T z5 3, x ( 2,1)
无解
问题 ( P
x1
x1 3
最优解
6
)
问题 ( P5 )
精品课程《运筹学》 0
解整数线性规划问题的分枝定界法步骤： 第1步
令 活 点 集 合 ： O （ 注 ： O ” 代 表 原 问 题 ， “
I L P 问 题 无 解 ，否 则 ，当 前 最 好 的 整 数 解 就 是 原 I L P 问 题 的 最 优 解 ，U 就 是 最 优 值 .计 算 停 止 .
精品课程《运筹学》
最好的整数解： x ，转回第 2 步；
k
第6步
若 点 k 对 应 的 松 弛 L P 问 题 的 最 优 解x
k
k
不满足
整数要求，按x 某个非整数分量生成点 k 的两个后 代点， 这两个后代点为活点， 加入到活点集合中， 令 并
转回第2步； 精品课程《运筹学》
第7步
若 当 前 最 好 的 整 数 解 ： ， U ， 则 原
0
min s .t .
c x Ax b x 0 , x 为整数向量 xi [ xi ]
0
T
min s .t .
c x Ax b x 0 , x 为整数向量 xi [ xi ] 1
0
T
精品课程《运筹学》
(P )
分 枝 树
xi [ xi ]
0
xi [ xi ] 1
0
x1 1
z1 , x (1, ) 2 2
1
5
3
T
x1 2 3 T 7 2 ( P 2 ) x ( 2, 2 ) , z2 2 ( P1 ) x2 1 x2 2
(P )
( P3 )
x2
( P4 )
x
x 2
x1Biblioteka Baidu
1
精品课程《运筹学》 0
0
x1 1
z1 , x (1, ) 2 2
1
5
3
T
x1 2 3 T 7 2 ( P 2 ) x ( 2, 2 ) , z2 2 ( P1 ) x2 1 x2 2
T
(P )
z3 3.25, x ( 2.25,1)
3
( P3 )
( P4 )
x1 3
无解
0
( P1 )
( P2 )
xk [ xk ]
2
xk [ xk ] 1
2
( P3 )
xl [ x ]
3 l
( P4 )
xl [ x ] 1
3 l
分 枝 过 程
( P5 )
( P6 )
分枝过程在某个点上由下述两个原因之一而停止： ⑴相应的松弛LP问题的解是满足整数要求的；
精品课程《运筹学》
⑵相应松弛LP问题是不可行的 .
定界过程
假 设 在 某 一 时 刻 ，到 当 时 为 止 所 得 到 的 最 好 的 满 足 整 数 要 求 解 的 目 标 函 数 值 是 z m ，而 且 我 们 正 打 算 由 某 一 点 x 分 枝 ，该 点 子 域 对 应 的 I L P 的 下 界 为 zk c x ， 若 zk zm ， 这 意 味 着 点x
T k k k
的所有后
代得到的各个解x 的目标函数值均有
c x zk zm
T
因此无须由 x 继续分枝.
精品课程《运筹学》
k
被剪枝
死点
§3.2 分枝定界法计算步骤
例3.3.1 用分枝定界法求解整数线性规划
min ( x 1 x 2 ) s .t . 4 x 1 2 x 2 1 4 x1 2 x 2 11 2 x2 1 x 1 , x 2 0，整数
转回第 2 步；
精品课程《运筹学》
第4步
若 点 k 对 应 的 松 弛 LP 问 题 的 最 优 值 zk U ，
则点k被剪枝，转回第 2 步；
第5步
若 点 k 对 应 的 松 弛 L P 问 题 的 最 优 解x
k
满足整
数 要 求 （ 此 时 一 定 有 zk U ） 则 上 界U ： zk ， 当 前 ，
问题 ( P1 )
问题 ( P2 )
3 5 T x ( , ) , z0 4 2 2
0
x1 1
z1 , x (1, ) 2 2
1
5
3
T
x1 2 3 T 7 2 ( P 2 ) x ( 2, 2 ) , z2 2 ( P1 ) x2 1 x2 2
T