定积分及其应用

i 1
y=f(x)
f(ξｉ) 0 a x0 x1 x2 xi1ξｉxi
xn1 xn b x
返回
（4）取极限：当分割无限时，所有小矩 形的 面积之和的极限 就是曲边梯形面积A的精确 值。
n
分割越细， f (i )xi 就越接近于曲边梯形 i 1
的面积A，当 小区间长度最大值趋近于零，即
0 其中 为所有小区间的长度最大者,
数( x)
x
a
f
(t )dt 在[a, b]上具有导数，且它的导数
是(
x)
d dx
x
a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
y
证
x x
( x x) a
f (t)dt
( x x) ( x)
x x
x
f (t)dt f (t)dt
a
a
( x)
o a x x x b x
返回
x
定积分及其应用
定积分的概念 定积分的积分法 微积分基本公式 定积分的应用
返回
曲边梯形面积 几何意义 定积分的概念 定积分的性质
返回
一.引例 曲边梯形面积
1.曲边梯形:
由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所 围成的图形
y
y=f(x) 如何求面积?
ao
b
x
返回
2.思想方法（回顾割圆术）
的一个原函数，则ab f ( x)dx F (b) F (a).
证 已知F ( x)是 f ( x) 的一个原函数，
又
(
x)
x
a
f (t )dt 也是 f ( x)的一个原函数,
F( x) ( x) C x [a,b]
返回
令 x a F(a) (a) C,
(a)
a
a
f
(t )dt
b
b
b
a[ f (x) g(x)]dx a f (x)dx a g(x)dx
性质2: 设f (x)在[a, b]上可积, 则k f (x)在[a, b]可
积,
且
b
b
kf (x)dx k f (x)dx
( k为常数)
a
a
返回
性质3: (可加性)设f (x)在[a, b]上可积, a < c < b, 则f (x)分别在[a, c], [c, b]上可积, 且
即
max
1in
{x
i
}
时,和式
返回
n
f (i )x i
i 1
极限就是A，即
n
y
A
lim
0
i 1
f (i )x i
y=f(x)
f(ξｉ) 0 a x0 x1 x2 xi1ξｉxi
xn1 xn b x
返回
二、定积分的概念
1.定义： 设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义。在区间
[a,b]中任取分点
即:
m(b a)
b
f (x)dx M (b a)
a
返回
性质7: (中值性质) 设 f (x)在[a, b]上连续, 则在 [a, b]上至少存在一个点 , 使得
b
f (x)dx f ( )(b a)
(a b)
a
Hale Waihona Puke 证: 由于 f (x)在[a, b]上连续, 所以 f (x)在[a, b]
x
a f ( x)dx a f (t)dt
如果上限x 在区间[a, b]上任意变动，则对于
每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以
它在[a, b]上定义了一个函数，
记
( x)
x
a
f
(t )dt .
称为积分上限函数
返回
积分上限函数的性质
定理１ 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
0
－1 2
x2
|0-1
1 2
x2
|10 1
注意本题如不分段积分，则得如下错误结果：
1 x 2 dx 1 xdx 1 x 2 1 0
1
-1
2 -1
返回
定积分的积分法
换元积分法 分部积分法
返回
一、换元积分法
定理 假设
（1） f ( x)在[a, b]上连续；
（2）函数 x (t ) 在[ , ]上是单值的且有连续
例如：b
b
b
a f (x)dx a f (t)dt a f (y)dy
2) 规定： b
a f (x)dx 0 (a b)
b f(x)dx － a f(x)dx（a b)
a
b
返回
三、定积分的几何意义
A f (x) 0
1.
b a
f
(x)dx
-A
f (x) 0
A表示以y=f(X)为曲边的曲边梯形面积
底边，以曲线 y f (x)为曲边的曲边梯形的面积
等于同一底边而高为f () 的一个矩形的面积。
y
y=f(x)
f ( )
o
x
返回
例 估计定积分 1ex2 dx 的值 1
解 先求 f (x) ex2在[－1, 1]上的最大值和最小值 因 f (x) 2xe x2
得驻点 x = 0 而 f(0)=1 , f(－1)=f(1)=1/e
a x0 x1 x2 x3 xi1 xi xn1 xn b,
将区间[a, b]分成n个小区间：
[xi1, xi ] (i 1,2, , n)
其长度为 xi xi xi1 (i 1,2, , n)
在第i小区 间 [xi1，xi ]上，任取一点ξi(xi1 ξi xi )
0
F(a) C,
x
F ( x) a f (t)dt C,
x
a f (t)dt F ( x) F (a),
令x b
b
a f ( x)dx
F (b) F (a).
牛顿—莱布尼茨公式
返回
b
a
f
( x)dx
F (b)
F (a)
F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
作乘积 f(ξi )Δxi(i 1,2, ,n)的和式：
n
f (i )xi .
i 1
返回
n
如果和式
f (i )xi .极限存在,
i 1
n
A
lim
0
i 1
f (i )x i
其中
max
1in
{x
i
}
该极限值就称为f(x)在[a,
b]
上的定积分.记为
n
b
lim
0
f (i )x i
i 1
f (x)dx
且 f (xg(x). 则
b
a
f
(x)dx
b
a
g(x)
返回
性质6: (估值性质)设M 和m分别是 f (x)在[a, b]
上的最大值及最小值, 则
b
m(b a) f (x)dx M (b a) (a < b) a
证: m f (x) M
b
b
b
a mdx a f (x)dx a Mdx
则 m=1/e , M=1
于是有 2 / e e1 x2 dx 2 1 返回
微积分基本公式
问题提出 上限函数 牛－莱公式
返回
一、问题提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时
间间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t ) 0，
求物体在这段时间内所经过的路程.
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
此时, c 称为内分点.
注意：
C点既可为(a, b)内的点，也可为(a,b)外的点
返回
性质4: 设在[a, b]上, f (x) 1. 则
b
b
a 1dx a dx b a
性质5: (比较性质)设f (x)、g(x)在[a, b]上可积,
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时， x (t ) 的值
在[a,b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b，
则
有 b a
f
(
x)dx
f [ (t)] (t)dt .
返回
应用换元公式时应注意:
（1）用 x (t )把变量x 换成新变量 t 时，积分限也
要相应改变，原上限对新上限，原下限对新下限.
y
y=f(x)>0
A
0a
bx
y
a 0
b x
A
y=f(x)<0
返回
2.如果f(x)在[a,b]上时正，时负，如下图
y
y=f(x)
A1 a 0 A2
A3
bx
则
b a
f
(x)dx
A1
A2
A3
3.结论：
b a
f
(
x)dx的值都可用区边梯形面积
的代数和表示 几何意义
返回
四、 定积分的性质
性质1 : 设f (x)、g(x)在[a, b]上可积, 则 f (x) g(x) 在[a, b]可积, 且
变速直线运动中路程为 T2 v(t )dt T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
T2 v(t )dt
T1
s(T2 ) s(T1 ).
其中 s(t) v(t).
返回
二、积分上限函数
设函数 f ( x) 在区间[a, b]上连续，并且设x
为[a, b]上的一点，考察定积分
x
0 1 t
0
1 t
[t
求
2-
ln2
2t
ex
2ln(1
-1dx
t)]
|02
2ln3
0
解 设 ex -1 t , 则 x ln(1 t 2 ),
返回
dx
2t
dt ,于是有 ln2
ex -1dx
1
t
2t
dt
1 t2
0
0 1 t2
2
1
dx
1 3
x3
2x－1 x
|13
13
1 3
1
(2)
2 1
4
dx x(1 - x)
1
2 1
4
dx x 1－x
2
1
2 1
4
dx 1－( x )2
返回
2arcsin
x
1
2 1
4
2 － ＝ 4 6 6
（3） 1
x 2 dx＝ 1 | x | dx
0 －xdx
1
xdx
-1
－1
-1
y
y=f(x)
0 a x0 x1 x2 x3 xi1 xi
xn1 xn b x
返回
（2）取近似:将这些细长条近似地看作小矩形
在第i个小曲边梯形的底[xi1,xi ]上任取
一点ξ（i xi1 ξi xi ),它所对应的函数值是
f(ξi ).用相应的宽为Δxi,长为f(ξi )的小矩形
面积来近似代替，小曲边梯形的面积，即
（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条 在区间[a,b]中任取若干分点：
a x0 x1 x2 xi1 xi xn1 xn b
把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间：
小区间 [xi1,xi ]的长度记为
xi xi xi1(i 1,2,3, , n)
返回
过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个 曲边梯形分 成n个小曲边梯形，其中第i个小 曲边梯形的面积记为 Ai
a
返回
上限
被积表达式
b
积分符号
f (x)dx
a
下限
被积函数
积分变量
f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积式，x称为 积分量变量，[a, b]为积分区间，a , b分别称为 积分下限与上限.
返回
2. 定积分定义说明：
1）定积分表示一个数值，与被积表达式和积
分上、下限有关，而与积分变量的表示无关。
上至少存在最大值M, 最小值m,
得
m(b a)
b
f (x)dx M (b a)
a
所以
m
b
a
f
(x)d
x
M
(b a)
b
由介值定理存在[a , b]. 使
f (x)dx
a
f ( )
(b a)
即:
b
f (x)dx f ( )(b a)
a
返回
积分中值性质的几何解释：
在区间[a ,b]上至少存在一点 ，使得以区间[a,b]为
（2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t )后，不
必象计算不定积分那样再要把(t ) 变换成原 变量 x的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t )然后相减就行了.
返回
例 求 4 x dx
0 1 x
解 设 x t,则x t 2 , 于是有 4 x dx
0 1 x
＝ 2 2t 2 dx 2 2 t -1 1 dt
y
ΔAi f(ξi )Δxi
y=f(x)
f(ξｉ)
0 a x0 x1 x2 xi1ξｉxi
xn1 xn b x
返回
（3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面 积的一 个近似值。
n
把n个小矩形的面积相加得和式 f (i )xi i 1
它就是曲边梯形面积A的近似值，即
n
y
A f (i )xi .
如果 f ( x) 在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
(t )dt
就是
f
(x)
在[a , b]上的一个
原函数.
定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之
间的联系.
返回
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式）
如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间[a, b]上
a
f
(t )dt
xx
x
f
(t )dt
x
a
f
(t )dt
x x
y
f (t)dt, x
由积分中值定理得
( x)
oa
f ( )x [x, x x],
x x x b x
f ( ), lim lim f ( )
x
x0 x x0
x 0, x ( x) f ( x).
返回
定理2（原函数存在定理）
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b
时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)仍成立.
返回
例 计算下列定积分
(1) 3 x 1 2 dx 1 x
(2)
1
2 1
4
dx x(1 - x)
(3) 1 x 2 dx -1
解
(1)
3 x 1 2 dx 1 x
3 1