线性规划求最值问题

线性规划求最值问题

角度(一) 截距型

1．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是

( )

A ．[－3,0]

B ．[－3,2]

C ．[0,2]

D ．[0,3]

2．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为

________．

角度(二) 求非线性目标函数的最值 一、距离型

3．(2018·太原模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，则z ＝x 2＋y 2的取值范

围为( )

A ．[1,13]

B ．[1,4]

二、斜率型

4．(2018·成都一诊)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧

2x ＋y －4≤0，x －2y －2≤0，x －1≥0，则y －1

x 的最小值为

________．

变式训练

1、若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧

x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y

x 的最大值为________．

[题型技法] 常见的2种非线性目标函数及其意义

(1)点到点的距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方；

(2)斜率型：形如z ＝y －b

x －a ，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率．

角度(三) 线性规划中的参数问题

5．(2018·郑州质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x ＋y 的最

大值为10，则z 的最小值为________．

变式训练

2.(2018·惠州调研)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实

数a 的值为________．

[题型技法] 求解线性规划中含参问题的基本方法

(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围．

(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．

作业：

1．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧

x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.

(1)设z 1＝4x －3y ，求z 1的最大值； (2)设z 2＝y

x ，求z 2的最小值； (3)设z 3＝x 2＋y 2，求z 3的取值范围．