自动控制原理第八章2

即在平衡点处， X = 0.
根据式(1), 有
x1 = x 2 =
f1( x1 , x2 ) = 0 f2 ( x1 , x2 ) = 0
⎫ ⎬ ⎭
(3)
平衡点可由式(3)求得。
线性系统通常只有一个奇异点(有时它可能是一个连续 的集合)，而非线性系统却经常会有多个孤立的奇异点
奇异点
奇异点 (续)
z u ：推进器产生的力矩 z θ ：卫星天线的角度
¾ 控制规律:
u(t
)
=
⎧− U,
⎨ ⎩
U,
if θ > 0 if θ < 0
θ＞ 0时推进器以逆时针 方向推动卫星；否则推进 器以顺时针方向推动卫星
相图的绘制
等倾线(等斜率)法绘制相图
⎧ ⎨ ⎩
x 1 x 2
= =
f1( x1 , x2 ), f2 ( x1 , x2 ).
f1( x1 , x2 ), f2 ( x1 , x2 ).
(1)
令
x1 = x, x2 = x ;
源自文库
则有 x1 = x2 , x2 = − f ( x1, x2 ).
¾ 相平面轨迹在任意点处的斜率为
dx2 dx1
=
dx2 dt
dx1 dt
=
x 2 x1
=
−
f
(
x1 , x
x2
)
.
相图的对称性也意味着斜率的对称性 （绝对值相等但符号相反）
相图(Phase Portraits)
相图 ¾ 相平面法是针对下述二阶自治系统(autonomous system)的图 形分析:
x1 = f1( x1 , x2 ), x 2 = f2 ( x1 , x2 )
(1)
zx1 & x2: 系统状态 zf1 & f2: 系统状态的非线性函数
¾ 系统的状态空间是以x1和x2为坐标的平面，称为相平面 ¾ 给定一组初值 X(0) = X0，式(1)就给出一个解X (t)
¾相平面分析不难推广到式(1)表示的更一般的动态系统；这 里 (x1, x2) 平面为相平面
奇异点
奇异点 (Singular Points) ¾奇异点是相平面上的一个平衡点
⎧ ⎨ ⎩
x 1 x 2
= =
f1( x1 , x2 ), f2 ( x1 , x2 ).
(1)
z 平衡点是系统状态能永久停驻的位置(点)
相图
相图的绘制方法
¾ 解析法 ¾等倾线法或等斜率法 (the methods of isoclines) ¾三角法* ¾ Lienard’s method * ¾ Pell’s method *
相图的绘制
解析法绘制相图
⎧ ⎨ ⎩
x 1 x 2
= =
f1( x1 , x2 ), f2 ( x1 , x2 ).
⎧ ⎨ ⎩
x 1 x 2
= =
f1( x1 , x2 ), f2 ( x1 , x2 ).
(1)
¾ 为什么称二阶系统的平衡点为奇异点?
z 考察相轨迹(1)的斜率：
相轨迹通过点(xl , x2)时的斜率为
dx 2 dx1
=
dx2 dt
dx1 dt
=
f2 ( x1, x2 ) . f1( x1, x2 )
例1回顾 mx + kx = 0, x(0) = x0 . (at rest ) x(t) = x0 cos t, x(t) = − x0 sin t. x2 + x 2 = x02 .
相图的绘制
相图的绘制
¾ 现在的相图都是由计算机程序生成的 ¾ 在实际中仍然有必要草绘相图及快速检验计算机绘制的
(1)
(2)
令
⎧ ⎨ ⎩
x1 x2
= =
x, x ,
得状态空间表达形式:
⎧ ⎨ ⎩
x 1 x 2
= =
x2 , −f
(
x1 ,
x2
).
¾大多数二阶系统都可表示成或转化成这种以x及其导数 x 为 状态变量的形式
¾通常，相平面法就是针对式(2)所表示的系统的；而相平面
就定义为以 x及其导数 x 为坐标的平面
相平面分析的最大不足 ¾ 只适用于二阶系统(或一阶系统)
例1 质量-弹簧系统的相图
考虑线性二阶质量-弹簧系统: mx + kx = 0, m = 1, k = 1. ¾假定质点(the mass)起初停在长度为x0处，
则解为 x(t ) = x0 cos t, x(t ) = − x0 sin t.
假设 f1 和 f2 为单值函数，则在相平面上任意给定点处 都有一个确定的斜率值，这意味着相轨迹不会相交
z 在奇异点处，斜率值变为0/0，无法确定，可能有许多轨 迹在此相交；这种斜率的不确定性称为奇异(singular)
例2 非线性二阶系统的奇异点
考察二阶系统:
x + 0.6 x + 3x + x2 = 0.
相平面图的对称性
相平面图的对称性 ¾系统的相图可能会具有能预先知道的对称性，这 对相图的生成和研究均带来很大方便
z 如果相图关于 x1轴或 x2轴对称，则只需要研究它的二 分之一
z 如果相图关于 x1轴和 x2轴都对称，则只需要研究它的 四分之一
¾相图是否具有对称性可通过检验系统的运动方程 来确定；在生成相图前，要先做这项工作
系 移动统取轨决迹于在该某点点处向左x还是的向符右号
z 观察相图可知，平衡点( 0, 0 )稳定，但另外两个平衡点 ( –2, 0 ) 及 ( 2, 0 )不稳定
相平面图的对称性
相平面图的对称性(续) 考察二阶系统: x + f ( x , x) = 0
⎧ ⎨ ⎩
x 1 x 2
= =
dx2 dx1
=
f2 ( x1 , f1( x1 ,
x2 x2
) )
=
α
即曲线 f2 ( x1 , x2 ) = α f1( x1 , x2 ) 上的点都具有相同的切线斜率α
¾ 等倾线法绘制相图的步骤
z 获取相轨迹的切向量场 z 根据切向量场的方向构造相轨迹
例5 卫星控制系统(方法二)
¾ 推进器产生正力矩U时: θ = U ⇒ θdθ = Udθ .
§8.2 相平面分析
相平面分析( Phase Plane Analysis) ¾ 一种研究二阶系统的图形方法 ¾ 基本原理:在二维系统的状态空间(二维平面，称为相平面) 画出对应于不同初值的运动轨迹，然后研究其定性特征
z 据此了解运动的稳定性及其它运动模态等特征
相平面分析的优点 ¾ 不必求解非线性方程而得到非线性系统从不同初值出发的 具体走向 ¾ 不局限于小或平稳光滑的非线性，对强烈和“硬”性的非 线性特性同样有效 ¾ 某些实际系统可完全用二阶系统来近似
相平面图的对称性
相平面图的对称性(续)
¾ 相图关于x1轴对称的条件： f ( x1, x2 ) = f ( x1, − x2 ) 即函数 f 为x2的偶函数
¾ 相图关于x2轴对称的条件： f ( x1, x2 ) = − f (− x1, x2 ) ¾ 相图关于原点对称的条件： f (x1, x2) = − f (−x1, − x2)
z相轨迹: θ2 = 2Uθ + c, c : const.
¾ 推进器产生负力矩– U时:
z相轨迹: θ2 = −2Uθ + c, c : const.
θ
θ
u(t
)
=
⎧− U,
⎨ ⎩
U,
θ >0 θ <0
θ
θ
θ
θ
完整相轨迹
例6 等倾线法用于质量一弹簧系统
系统方程: x + x = 0 ⇒ x = − x.
¾消去时间t可得到运动轨迹方程： x2 + x 2 = x02 .
z 取不同初值可得到不同半径的圆；将它们画 在相平面上即得到该系统的相图
相图的作用就在于：一旦得到系统的相图， 则系统对应于不同初值的特性即展露无遗
z 本系统的相轨迹既不趋于零也不趋于无穷，而是以 原点为中心的圆；因此，系统处于临界稳定状态
¾等倾线法或等斜线法是一种图形方法，适用于 构造得不到解析解的系统的相图，因而有很强 的通用性 z 该法的基本原理是寻找具有相同切线斜率的点
例4 质量-弹簧系统(方法二)
系统的运动方程： x + x = 0. (m = 1,
注意：
x
=
dx dx
⋅
dx dt
=
x
⋅
dx dx
,
运动方程可改写为：
¾两个奇异点： ( 0, 0 ) & ( –3, 0 ) (怎么来的？)
¾相图: 见右图 ¾ 系统运动轨迹在两奇异点
附近的运动趋势： zx = 0：稳定的奇异点 zx = – 3：不稳定的奇异点
奇异点
奇异点 (续) ¾ 奇异点的重要性 z 通过检验奇异点可揭示有关系统特性的大量信息 z 线性系统的稳定性完全由其奇异点的性质决定 z 非线性系统除奇异点外还有一些其它复杂特征，如 极限环 ¾ 相平面法主要是为二阶系统设计的，但也可用于一阶系 统的分析 x + f ( x) = 0.
得到上图所示的相图。
注意：相图中有一条闭合曲线，其内部和外部的相轨迹均收 敛于它。该闭合曲线对应于一个极限环。
由相图计算时间
由 Δ t ≈ Δ x / x 计算时间
z等倾线斜率α : x1 + α x2 = 0.
可以画许多斜率为α的短线段
令α取不同值，则可得到不同的等斜率线及短
线段，这样就可以得到相轨迹的切向量场
要从切向量场得到相轨迹，可假定切线斜率局 部为常数，这样就可由平面上任意一点出发， 将一系列短线段接起来而生成一条相轨迹
例7 等倾线法用于范德波尔方程
z 思路：在相平面上画出与x有关的 x 的图形，不过这
时的相图由一条轨迹组成的
例3 一阶系统的奇异点
考察一阶系统: x = −4 x + x3.
¾ 三个奇异点: 令 − 4x + x3 = 0 得： ( 0, 0 ), ( –2, 0 ) & ( 2, 0 ).
¾相图: 右图所示的单一轨迹 z 箭头表示运动方向
f1( x1 , x2 ) f2 ( x1 , x2 )
得时间函数
⎧ ⎨ ⎩
x1 x2
= =
g1(t ) g2(t)
消去t，得 g( x1, x2, c) = 0.
¾方法二： 利用
dx2 dx1
=
f2 f1
( (
x1 , x1 ,
x x
2 2
) )
,
直接消去t，得到式(4)
相图的绘制
相图的绘制方法(续) ¾解析法涉及精确地求解描述系统的微分方程 z 该法对某些特殊的非线性系统特别有效，如 分段线性系统(其相图可以通过将相关线性系 统的相图拼在一起而得到)
回顾：对于一般系统 x + f ( x, x) = 0,
x1 = x2 , x2 = − f ( x1, x2 ); x1 = x, x2 = x.
dx 2 dx1
=
dx 2 dt
dx1 dt
=
x 2 x1
=
−
f
(
x1 , x
x2
)
.
z 相轨迹切线斜率: dx2 dx1 = − x1 x2 . (怎么来的?)
z 当时间t由零变到无穷大时， X (t)可用相平面上的一条几 何曲线来表示，该曲线称为相平面轨迹
z 系统的相图：对应于各种初始条件的一簇相平面轨迹
相平面分析
一类二阶系统 x + f ( x , x) = 0
⎧ ⎨ ⎩
x 1 x 2
= =
f1( x1 , x2 ), f2 ( x1 , x2 ).
(1)
有两种产生相平面图的解析方法，结果都是建立起一个关 于两个变量 x1和 x2的函数关系式：
g( x1 , x2 , c) = 0 (4)
z c : 常数，反映初始条件(可能包括外部输入信号)的影响
z 将式(4)依不同初始条件画在相平面上，就可得到相图
¾方法一： 解
⎧ ⎨ ⎩
x 1 x 2
= =
(1)
考察式(1)表征的二阶系统:
• f1 & f2 : 系统状态的非线性函数
• x1 & x2 : 系统状态;
¾在相平面上点(x1, x2)处相轨迹切线的斜率:
dx2 dx1
=
f2 ( x1 , x2 ) f1( x1 , x2 )
¾等倾线: 相轨迹上具有相同切线斜率的点的轨迹
z具有斜率α 的等倾线为：
x
⋅
dx dx
+
x
=
0.
对上式两边积分，得
k = 1)
x2 + x 2 = x02 .
就获取相轨迹方程而言， 方法二更直截了当。
例5 卫星控制系统(方法二)
喷气推进器
卫星
卫星天线
开关推进器
¾ 控制系统的目的：通过调节推进器点火时间使卫星天线的角 度θ为零
¾ 简化的卫星数学模型: θ = u.
范德波尔方程： x + 0.2( x2 − 1) x + x = 0
¾ 斜率为α的等倾线方程:
dx dx
=
−
f (x1, x
x2 )
=
−
0.2( x2
−1)x + x
x
=α.
¾ 下列曲线上的点的斜率均为α：
0.2( x 2 − 1) x + x + αx = 0
¾ 令画出α为斜不率同为值α的可一得组到短不线同，的就等可倾得线到(见切上向图量)场；，在然等后倾就线可上