高数第一章课件

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高数1第一章课件

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2.逆映射与复合映射逆映射设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个yRf , 有唯一的 xX, 适合f(x)y, 于是, 我们可定义一个从Rf 到X的新映射 g, 即 g : Rf X, 对每个yRf , 规定g(y)x, 这x满足f(x)y. 这个映射g称为f 的逆映射, 记作f -1, 其定义域为Rf , 值域为X . 讨论: 下述三个映射是否存在逆映射？ (3) f :[- , ] [-1, 1], 对每个 x[- , ] , f(x)sin x . 2 2 2 2
X 1
2 3
g
a
Y1 Y2 b c d
f
α β γ
Z
4
fog
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2.逆映射与复合映射复合映射设有两个映射g : XY1, f : Y2Z, 其中Y1Y2. 则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个xX映射成f[g(x)]Z. 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即 f o g: XZ, (f o g)(x)f[g(x)], xX .
X 1
2 3
f
a
Y b c d
X 1
2 3
g
a
Y b c d
4
4
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满射、单射和双射设f是从集合X到集合Y的映射. •若Rf Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X 到Y上的映射或满射; •若对X中任意两个不同元素x1x2, 它们的像f(x1)f(x2), 则称f为X到Y的单射; •若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).

《高等数学》课件高等数学第一章

2 函数的极限
高等数学第一章. 第二节
第 22 页
定义1 给定一个数列xn ，如果当n无限增大时，xn 无限接近于某一
个确定常数A，则称当n趋于无穷时，数列xn 的极限为A，记作
lim
n∞
xn
A?或xn
A（n
∞）．
此时也称数列xn 收敛．如果当n无限增大时，xn 无限接近的常数A不存在，
则称数列xn 发散，此时也称数列xn 的极限不存在．
称为中间变量．
1）复合函数的复合原则：前一个函数的定义域与后一个函数的值域
的交集非空，即中间变量有意义．
1 函数
高等数学第一章. 第一节
第 16 页
例1 将y表示成x的复合函数．
（1）y eu，u sin v，v 3 x；（2）y ln u，u 2 v， 2 v sec x；（3）y arcsin u，u 2 x．2
四、基本初等函数
基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数． 1.幂函数y x ( R)?
幂函数y x 的定义域和值域随的取值不同而不同，但是无论取何值，幂
函数在x (0， ∞)内总有定义．常见的幂函数的图像如图所示．
1 函数
高等数学第一章. 第一节
2.指数函数y a x (a 0，a 1)
指数函数y a（ x a 0，a 1）的定义域为(∞， ∞，) 值域为(0， ∞．) 指数函数的图像如图所示．
第 11 页
1 函数
高等数学第一章. 第一节
3.对数函数y loga x (a 0，a 1)
对数函数y loga x（a 0，a 1）的定义域为(0， ∞， ) 值域为(∞， ∞．) 对数函数y loga x是指数函数y ax的反函数，其图像如图所示．

《高等数学第一章》PPT课件

若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则
称f
(
x
)在
点x
处右
0
连续.
定理函数 f ( x)在 x0 处连续是函数 f ( x)在 x0
处既左连续又右连续.
例2
讨论函数
f
(x)
x 2,

x

2,
x 0, x 0,
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
y
y
y f (x)
y f (x)
★
f
(
x)

1, 1,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.
判断下列间断点类型:
y
y f x
x1 o
x2
x3
x
例8 当a取何值时,
函数
f
(x)

cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
解 f (0) a,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 1为函数的第二类间断点.
o
x
这种情况称为无穷间断点.
例7 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
解在x 0处没有定义,
且 lim sin 1 不存在. x0 x

高等数学第一章复习课ppt课件.ppt

3.极限的性质
定理设 lim f ( x) A,lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
1 o 1
x
(5) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的
数l,使得对于任一 x D,有 x l D .且 f(x+l)=f(x)
恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通
常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
T 1
y
y x [x]
1
o
1
x
3.反函数
由y f ( x)确定的y f 1( x)称为反函数.
y sinh x
4.隐函数
y f 1( x) ar sinh x
由方程F ( x, y) 0所确定的函数 y f ( x)称为隐函数.
5.反函数与直接函数之间的关系
设函数f ( x)是一一对应
函数, 则
y y f 1( x)
3.连续的充要条件
定理函数f ( x)在 x0 处连续是函数f ( x)在 x0 处既左连续又右连续.
4.间断点的定义
函数f ( x)在点x0处连续必须满足的三个条件: (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
2.函数的性质

高等数学第一章的总结-PPT

n
1
lim
n
n2 n2
lim n1
1
n2
1
lim n
n
1
n2
n2
1
2
n2
1
n
1
例:
lim
1
1
(e n
2
en
n
en
)
n n
1
e
x
d
x
e 1
0
1
n
1
解：原式
lim
n
1 n
e
n
(1
e
1
n
)
(1
e) lim
n
n
1
1en
1en
1
(1 e) lim ln(1 u) (1 e) lim ln(1 u) u e 1.
)x
e
两个重要极限
(1) lim sin 1
0
(2) lim ( 1 1 ) e
1
或 lim(1 ) e
0
注: 代表相同的表达式
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ;
x x
3. lim xsin 1 _0___ ;
x0
x
2. lim xsin 1 __1__ ;
从此时刻以后 0 x x0 0 x x0
f (x)
f (x) A
x x0
x x0 0
思考题
x
sin
1 x
,
试问函数 f ( x) 10,
5
x2,
x0 x 0在x 0处
x0
的左、右极限是否存在？当 x 0 时， f ( x) 的

高等数学-第1章课件

x x0
三、函数极限的性质
第三节极限的运算
一、极限的运算法则
法则1 法则2
x x0
lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) A B
x x0 x x0 x x0 x x0
x x0
lim[ f ( x ) g ( x )] lim f ( x ) lim g ( x ) A B
第一章函数 ︑ 极限与连续
目录
第一节函数
第二节极限
第三节极限的运算第四节无穷小与无穷大第五节函数的间断性与连续点第六节初等函数的连续性
第一节函数
一、集合、区间与邻域
1.集合
集合（简称集）是具有某种共同性质的事物的全体，组成集合的单一事物称为该集合的元素。
有限集合有限个元素构成北京户籍人口
° a
• a •
a°Leabharlann a3.邻域设 x0, δ R, 其中δ > 0,以 x0为中心,以δ 为半径,长为 2δ的
开区间. 即
( x0 , x0 ) { x x x0 , 0}
称为点 x0 的 δ 邻域 , 记为U(x0 , δ ).
2
x0
x0
x0
集合的运算及关系
由所有属于集合A或属于集合B的元并集素所组成的集合，称为集合A与B的并集交集差集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集
由所有属于集合A 而不属于集合B 的元素组成的集合
A∪B A∪B={x|x∈A,或 x∈B}
A∩B A-B
A∩B={x|x∈A,且 x∈B} A-B={x|x∈A,且 xB}

大一高数上_PPT课件_第一章

几个数集:
R表示所有实数构成的集合，称为实数集。
Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集。子集: 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集, 记为AB（读作A包含于B）。显然，N Z ，Z Q ，Q R 。
的上方。
y y=f(x) O x
y=K2
如果存在数 M,使对任一 xX，有 | f(x) |M，则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M ，总存在 x1X，使|f(x)|>M。有界函数的图形特点：函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M y 的之间。
高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：
周期函数的图形特点：
y
y=f(x)
-2l
-l
O
l
2l
x
四、反函数与复合函数
1. 反函数设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。对于任一数值 yW，D上可以确定唯一数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=f -1(y)。
什么样的函数存在反函数？

高数上册第一章第一节映射与函数一.ppt

预备知识
一.区间和邻域
⑴【区间】是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
开区间 ( a , b ) x a x b
oa
b
x
闭区间 [ a , b ] x a x b
oa
b
x
半开区间无限区间
有限区间
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a 1)
3.【对数函数】 y loga x (a 0, a 1) y ln x
y log a x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
4.【三角函数】
正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
【说明】通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.
2【注意】 1）构成复合函数的条件 g(D) D1 不可少.
（即：内层函数在复合函数定义域D内的值域g(D) 一定包含在外层函数的定义域D1内）
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
D : (,), 奇函数.
② 双曲余弦chx e x e x 2
D : (,), 偶函数.
y chx
y 1ex 2
y shx
y 1ex 2
③
双曲正切 thx
shx chx
ex ex
ex ex
D : (,) 奇函数, 有界函数,
【双曲函数常用公式】
sh( x y) shxchy chxshy; ch( x y) chxchy shxshy; ch2 x sh2 x 1;

高数课件第一章

第一节预备知识一、实数及其几何表示1、实数2、数轴规定原点、正方向和长度单位的直线叫做数轴。

3、实数与数轴数轴上的点与全体实数是一一对应的。

二、实数的绝对值1、实数的绝对值实数的绝对值，用表示，即实数的绝对值是一个非负值，几何上，表示数轴上点与原点之间的距离.a a ,0,0a a a a a >⎧=⎨-<⎩a2、实数绝对值的性质（1），仅当时，有（2）（3）（4）绝对值的运算性质（1）（2）（3）（4）0a ≥0a =0a =2a a=a a -=a a a -≤≤a b a b+≤+a b a b -≥-a b a b ⋅=⋅(0)aa b b b =≠3、绝对值不等式当时，例2 解下列不等式（1）（2）解：由原不等式可知（1）或，整理得（2）得0k >a k k a k ≤⇔-≤≤a k a k a k>⇔<->或2+5>7x 324x ->2+5>7x 2+5<-7x 16x x ><-或324324324x x x ->⇔-<-->或223x x <>或1、区间设a 和b 都是实数，且a<b,则称{x | a<x<b }表示的实数x 的集合为开区间，记作(a, b )，即(a , b)={x | a<x<b}.类似地，称[ a, b ]={ x| a }为闭区间；[ a,b ]={ x | }以及( a ,b ) ={x |a<x<b }都称为半开区间.以上这些区间都称为有限区间，a 和b 称为区间的端点，数b-a 称为这些区间的长度。

引进记号+ （读作正无穷大）及-（读作负无穷大），则可类似地表示下面的无限区间[ a ，+ )={ x | a x}(-,b )={ x | x<b}，全体实数的集合也可记作（-，+ ），它也是无限区间.∞∞∞a xb ≤≤≤∞∞∞。

高数一章6节ppt课件

分子次数等于分母次数
时, 分母
分子
分子分母同除以 x3 , 则
“ 抓大头”
42
lim
x
3x3 7x3
4x2 5x2
2 3
lim
x
3 7
x 5
x
x3 3
x3
这是因为lim x
a xn
a lim x
1 xn
a
lim
x
1 n x
0.
10
例8 求 lim 3x2 2x 1 . x 2x3 x2 5
( x x2
x
2) 1
1
通分化作商的极限
14
例12 求 lim x 1 . x1 x 1
解方法 1 令 u x , 则 lim u 1, x1 x 1 u2 1 u1 x 1 u1
所以原式 lim(u 1) 2 u1
方法2 lim x 1 lim ( x 1)( x 1)
x2 lim
x2 x 2
x22
lim
x 7 3 x2
x22 x73
2
3
13
例11
求
lim(
x 1
x
3 3
1
1 ). x1
解 lim( 3 1 ) x1 x3 1 x 1
lim
x1
3
(x2 (x3
x 1)
1)
lim ( x 2)( x 1) x1 ( x3 1)
lim
x 1
由定理1，推论1及推论2 4
定理3的(1), (2)可以分别推广到有限个函数的代数和,相乘的情形.
推论1 若lim f ( x) A，c为常数，则
lim[cf ( x)] c lim f ( x) cA

大学高数第一章 PPT课件

数集间的关系: N Z, Z Q, Q R. 若A B,且B A,就称集合A与B相等. ( A B) 例如 A {1,2},
C { x x2 3x 2 0}, 则 A C. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x2 1 0}
2.有界不是绝对的，是相对于所给定的D而言的。 3.有界函数的界不唯一。
25
二初等函数
基本初等函数
1.幂函数
y x (是常数)
y
y x
y x2
1
y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
26
2.指数函数 y a x (a 0, a 1)
y ex
y (1)x a
(0,1)
x
6
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
7
3.常量与变量:
证明:
∵ f(x+2c)=f((x+c)+c)=-f(x+c)=f(x)
∴f(x)为周期为2c的函数.
2233
4．函数的有界性: 设D是f ( x)的定义域, 若M 0,x D,有 f ( x) M ,
则称函数f (x)在D上有界.否则称无界.
y M
y=f(x)
x
o
D
y M
x0
o

高等数学第一章-课件2.ppt

一函数的连续性
1.函数在点x0的连续性
函数连续的概念源于对几何曲线的直观分析,粗略地说,如果函数是连续的,那么它的图像是一条连绵不断的曲线,当然我们不能满足于这种直观的认识,我们需要用数学的语言给出它的精确定义。
第四节
考察如图1-21所示的函数图像。
图1-21
第四节
故函数f(x)在点 x=0处连续,如图 1-22所示。
图1－20
第二节极
四无穷小量与无穷大量
1.无穷小量
定义1－9 若函数f(x)在自变量的某一变化过程中的极限为零,则称该函数为自变量在此变化过程中的无穷小量,简称无穷小。通常函数极限有x→+∞,x→- ∞, x→∞,x→x0 + ,x→x0 -,x→x0这六种情形。因此,只简单地说函数是无穷小量是不确切的,还必须指出x的趋近方式。
fξ=0。该推论表明方程fx=0在 a,b内有实根。其几何解释如图1-26所示。
图1-26
Thank You!
第一章函数、极限与连续
第一节函数
第二节极限
第三节
极限的运算
第四节
初等函数的连续性Leabharlann 第五节闭区间上连续函数的性质
第一节函数
一函数
1.函数的概念
定义1－1 给定两个实数集D和E，若有一个对应法则f，使得对每个x∈D，都有唯一确定的值y∈E与之对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作y=f(x) ，x∈D。其中，x称为自变量，y 称为因变量，D称为函数fx的定义域，全体函数值的集合E称为函数的值域.如果在D中任取某一个数值x0，与之对应的y的数值y0，称为函数f(x)在点x0处的函数值，记作y0=f(x)0 。

《高等数学》课件第1章

2
(3) y e2sin3 x2 解 (1) y是由y=sinu与u=2x (2) y是由y=u2、u=tanv及 v x
(3) 表格法.变量间的函数关系通过列表形式反映出来. 例如，火车时刻表就是利用列表的方法，把进(出)站火车的车次与时间的函数关系表示出来.这种表示方法使得自变量与因变量的对应关系一目了然.
4. 某市电话局规定市话的收费标准为：当月所打电话次数不超过30次时，只收月租费10元；超过30次时，每次加收 0.20元.则电话费y和用户当月所打电话次数x的关系可用下面的形式给出：
有arccos(－x)=π－arccosx成立.
图 1-8
图 1-9
反正切函数y=arctanx的图形如图1-10所示，其定义域是
x∈(－∞，+∞)，值域是
y
π 2
,
π 2
，该函数是单调增加
的，是奇函数，即arctan(－x)=-arctanx.
图 1-10
反余切函数y=arccotx的图形如图1-11所示，其定义域是 x∈(－∞，+∞)，值域是y∈(0，π)，该函数是单调减少的，且有arccot(－x)=π－arccotx成立.
第一章函数的极限与连续
1.1 函数及其性质 1.2 初等函数 1.3 数学模型方法概述 1.4 极限的概念 1.5 极限的运算 1.6 函数的连续性本章小结
1.1 函数及其性质
1.1.1 函数
函数是微积分学研究的对象.虽然在中学已经学习了函数的概念，但是在以后的学习中我们不再是进行简单的重复，而是要从全新的视角对函数进行描述并重新分类.
邻域是一个经常应用到的概念. 以点x0为中心的任何开区间称为点x0的邻域，记作N(x0).

《高等数学(上册)》课件第一章

图 1-1
图 1-2
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连续性
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连续性
例1 判断函数 ylg(x x2 1)的奇偶性．解因为函数的定义域为〔－∞，+ ∞ 〕，且
f( x ) l g ( x ( x ) 2 1 ) l g ( x x 2 1 ) l g ( x x 2 1 ) ( x x 2 1 ) x x 2 1
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连续性
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连续性
一、数列极限
定义1 在某一法那么下，当n〔n∈N+〕依次取1,2,3，…， n，…时，对应的实数排成一列数
x1， x2， x3，， xn，
函数的对应法那么和函数的定义域称为函数的两
个要素．两个函数相等的充分必要条件是函数的定义域和对应法那么均相同．
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与