数值分析第三章习题

x2 f ( x2 ) x3 f ( x3 ) xБайду номын сангаас f ( x4 )
f [ x0 , x1 ,L , x4 ]
k xk l0 ( xk ) l0 [ xk −1 , xk ] 0 x0 1 1 x 2 x2 M M n xn M 0 1 0 0 1 x0 − x1 0 M 0
l0 [ xk −1 , xk , xk +1 ]
第三章
插值法
习题
T12
若f ( x) = a0 + a1 x + K + an −1 x n −1 + an x n有N 个不同实根x1 , x2 ,K xn , 证明:
∑
j =1
n
xk 0 0 ≤ k ≤ n − 2 j = −1 f ′( x j ) an k = n − 1
解：
∴ 当0 ≤ k ≤ n − 2时, 上式为0; 当k = n − 1时上式为a
−1 n
练习： 练习：
设l0 ( x)是以x0 , x1 ,K , xn为插点的插值基函数: ( x − x1 )( x − x2 )……( x − xn ) l0 ( x) = ( x0 − x1 )( x0 − x2 )……( x0 − xn ) 试证明: x − x0 ( x − x0 )( x − x1 ) ( x − x0 )( x − x1 )……( x − xn −1 ) l0 ( x) = 1 + + + …… + x0 − x1 ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ( x0 − x1 )( x0 − x2 )……( x0 − xn )
n
k j
k j
∑
j =1
n
x
k j
ωn′ ( x j )
由差商的性质，得
∑
j =1
n
n
x 1 = f ′( x j ) an
k j
1 ∑ ′ = a ϕ[ x1 , x2 ,K , xn ] j =1 ω ( x ) n n j
n
x
k j
再由差商和导数的关系，有
∑
j =1
n− n −1 xk ( x k ) n−1 |x =ξ 1 1 ϕ (ξ ) 1 j = ϕ[ x1 , x2 ,K , xn ] = = f ′( x j ) an an (n − 1)! an (n − 1)!
设f ( x) = a0 + a1 x + K + an −1 x n −1 + an x n = an ( x − x1 )( x − x2 )……( x − xn )
= anωn ( x)
设ϕ ( x) = x k
∑
j =1
n
x x 1 =∑ = f ′( x j ) j =1 anωn′ ( x j ) an
k xk l0 ( xk ) l0 [ xk −1 , xk ] 0 x0 1 1 x 2 x2 M M n xn M 0 1 0 0 1 x0 − x1 0 M 0
l0 [ xk −1 , xk , xk +1 ]
……n阶差商
1 ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) M 0 …… 1 ( x0 − x1 )( x0 − x2 )……( x0 − xn )
……n阶差商
1 ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) M 0 …… 1 ( x0 − x1 )( x0 − x2 )……( x0 − xn )
由Newton插值公式，得 x − x0 ( x − x0 )( x − x1 ) ( x − x0 )( x − x1 )……( x − xn −1 ) l0 ( x) = 1 + + + …… + x0 − x1 ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ( x0 − x1 )( x0 − x2 )……( x0 − xn )
提示： Newton插值 提示：用Newton插值
对l0 ( x)做差商表如下
xk l0 ( x) 一阶差商 x0 f ( x0 )
f [ x0 , x1 ]
二阶差商
三阶差商
四阶差商
x1 f ( x1 )
f [ x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x2 , x3 , x 4 ] f [ x3 , x 4 ]