2014矩阵分析试卷

2014矩阵分析试卷

一、判断题（不要求证明）（20分）

1.设n 是大于1的整数，{()|()}V f x f x n F =是次数小于的域上的多项式，V 关于多项式的加法与数乘是一个域F 上的线性空间。 （ √ ）

2.设a r 为XOY 面上的非零向量，V 为XOY 面内所有不平行于a r

的向量构成的集合，V 关于向量的加法与数乘是一个域R 上的线性空间。 （ × ） 3.设V 是域F 上的线性空间, V α∈不是零向量，映射:,()V V ξξα→=+A A 是V 上的线性变

换。 （ × ）

4. 设A 是数域R 上的对称阵，映射:,()n n R R A αα→=A A 是n

R

上的对称变换。 （ √ ）

二、计算题 1. （1,1,1,1）T 2. 已知1

12212W

={,},W ={,}Span a a Span b b ，而

1212(0,1,1,1),(1,0,2,0);(0,3,3,1),(1,2,0,0)a a b b =-==-=。 12W W ⋂的基为(1,1,3,1)T --与维数1；

12122212W +W ={,,}={,,}span span ααβαββ的基122,,ααβ或212,,αββ与维数3

3.

23:,()R R A

ββ→=A A ，基

123(1,0,0),(0,1,0);(0,0,1)

ααα===及基

12(1,0),(0,1)ββ==下的矩阵为110=211T

B ⎛⎫ ⎪

⎝⎭

。

4. （10分）设线性变换22:R R →A

，在基12(1,0),(0,1)ββ==的矩阵为12=24A ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，求A

的核为{k(-2,1)| k}T ∀、值域的基1

2+2β

β，维数1。

6.（8分）求矩阵11010=0111123131A ⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

的满秩分解

7.（24分）设矩阵308=3-16-20-5A ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭

，求可逆矩阵P ，使得1

P AP -为约当阵。 A E -λ = ⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+-+---502613803

λλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2)1(0001

0001λλ，

于是A 的初等因子是1+λ, 2

)1(+λ,故A 的若尔当标准形为

J = 100011001骣-÷ç÷ç÷ç÷-ç÷ç÷ç÷÷ç-桫

。 =-1λ对对应的特征向量为()1

2

=2,0,1,=(0,1,0)T

T

ηη- ,

另3

1

1

2

2

(-k ηηη-+E A)=k ,取1

2

=1=-1k ，k ，解得()3

=1/2,0,0T

η，故201/2010100P 骣-÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç桫

三、证明题（10分） 设:V

V ℑ→是酉空间上的线性变换，证明ℑ是酉变换的充要条件是：对所有V α∈有

()αα

ℑ=。

答案

一、1.（√）2.（╳）3.（╳）4.（√） 二、计算题 1. 1

234=1e

+1e +1e +1e α，故坐标为。=(1,111)

T X ，， （8分） 2. （8分）显然1

2,a

a 为方程组31242

2x x x x x =-⎧⎨

=⎩的基础解系，而1

W 方程组的解空间

12,b b 为方程组21434

2+3-3x x x x x =⎧⎨

=⎩的基础解系，而1

W 方程组的解空间

因而12W W ⋂为方程组2143431242

2+3-32x x x x x x x x x x =⎧⎪=⎪⎨

=-⎪⎪=⎩的的解空间，其基础解析为=(-1,1-31)T a ，，，故12W W ⋂的基为a ，维数为1。

121212121W +W ={,,,}{,,}Span a a b b Span a a b =，故12W +W 的基为121,,a a b ，维数为3。

3.（8分）设线性映射

23:,()R R A ββ→=A A ，其中110=211A ⎛⎫

⎪⎝⎭

，求

A

在基

123(1,0,0),(0,1,0);(0,0,1)ααα===及基12(1,0),(0,1)ββ==下的矩阵表示。

设线性映射

32:,()R R A αα

→=A A ，其中

110=211A ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，求

A

在基

123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)T T T ααα===及基12(1,0),(0,1)T T ββ==下的矩阵表示。

4. （10

分）设线性变换

22

:R R →A ，在基

12(1,0),(0,1)

ββ==的矩阵为

12=24A ⎛⎫ ⎪⎝⎭12=36A ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，求A 的核、值域的基与维数。

5.（8分）求矩阵308=3-16-20-5A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11-1=-3-33-2-22A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的约当标准型。

6.（8分）求矩阵11010=0111123131A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭21-231=25-141-233-2-1A ⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的满秩分解

7.（20分）求微分方程组'112

'

2123'3

2()22()22()2x t x x x t x x x x t x

⎧=-⎪=-+-⎨⎪=-⎩的通解。 三、证明题（10分） 设:V

V ℑ→是酉空间上的线性变换，证明ℑ是酉变换的充要条件是：对所有V α∈有

()αα

ℑ=。