多元函数的概念二元函数的极限和连续性

类似地，可以定义三元函数 u f ( x ,y,z ) 以及n元函 数 u f ( x1 ,x2 , , xn )
多于一个自变量的函数统称为多元函数
同一元函数一样，定义域和对应规律是二元函数定义 的两要素。对于以算式表示的二元函数 z f ( x , y ) 其定义域就是使式子有意义的自变量的变化范围 一组概念： 1.区域：全部xy坐标平面或由曲线所围成的部分平面 常用字母D表示 2.边界：围成区域的曲线称为该区域的边界 3.开区域：不包括边界的区域 4.闭区域：连同边界在内的区域
2018/11/23
多元函数的概念
引例 1.圆柱体的体积
r
h
V r 2 h , ( r , h ) r 0, h 0
2.定量理想气体的压强
RT p ( R 为常数） , ( V , T ) V 0, T T0 V 3.三角形面积 1 S ah 2
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多元函数的概念
D {( x, y ) | 2 x y 4, x y }.
2 2 2
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二元函数的几何意义
思考： 一元函数一般表示平面上的一条曲线；对于二元 函数，在空间直角坐标系中一般表示曲面
二元函数的 几何意义？
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二元函数的几何意义

如图，定义域D就是曲面 在xy面上的投影区域
一、前言
在前面的学习中，我们讨论的是一元函数微积分 ，但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量 本章内容为多元函数微分学。多元微积分的概 念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、 的函数—多元函数，也提出了多元微积分问题 函数的微分法从一元函数发展到 二元函数本质 上要出现一些新东西，但从二元函数到二元以上 方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处 函数则可以类推，因此这里基本上只讨论二元函 理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于 数。 进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系， 更要注意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻 理解，融会贯通。
O
x y0
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多元函数的定义域
例2 求 f ( x , y )
arcsin(3 x 2 y 2 ) x y2
的定义域
2 2 3 x y 1 解，由题意得， 2 x y 0

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 x2 y2 4 2 x y
x y2
所求的定义域为
（点p0可以除外）如果当点p( x, y )无限地接近p0 ( x0 , y0 )
时，恒有 f ( p) A ( 是指任意地小的正数)，则称
A为函数z f ( x, y )当( x, y ) ( x0 , y0 )时的极限，记为
P P0
lim f ( P )=A,
或
x x0 y y0
4.某种商品的市场需求量Q不仅与市场价格p有关，而且 与消费者平均收入以及需要这种商品的人数N有关,同时 ，还与这种商品的其他代用品的价格等因素有关；从而 决定该商品需求量的自变量不只一个而是多个 以上引例说明，在许多实际问题中往往需要研究因 变量与几个自变量之间的关系， 也引入多元函数的必 要性
6
4.会求复合函数偏导数，掌握隐函数的求导方法，
5.会求曲线的切线、法平面，曲面的切平面和法 线，会求多元函数极值
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第一节 多元函数的概念 二元函数的极限和连续性
学习目标： 正确理解二元函数的概念，能求 二元函数的定义域以及知道二元 函数的几何意义 理解二元函数的极限的定义 理解二元函数连续性的定义
多元函数的概念
二元函数的定义
设有三个变量x、y和z，如果当变量x、y在一定 范围内任意取定一对数值时，变量z按照一定的 规律f 总有确定的数值与它们对应，则称z是x、y 的二元函数，记为
z f ( x , y )，
其中x、y称为自变量, z是因变量, 自变量x、y的取值范围称为函数定义域
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多元函数的概念
y
其图形为：
又如闭区域: {( x , y ) 1 x 2 y 2 4},
o
x
y
其图形为：
o
x
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多元函数的定义域
如开区域： {( x , y ) x y 0}
y
x y0
x
其图形为：
又如闭区域： {( x , y ) x y 0}
O
x y0
y
x y0
x
其图形为：
1
二、教学计划
1、课时安排 多元函数的概念 偏导数 二元函数的极限和连续性 2课时 2课时
全微分
多元复合函数与隐函数的微分法 偏导数的应用 复习以及习题课
2课时
2课时 2课时 2课时
2
三、本章的教学目标
基本要求
1.掌握多元函数基本概念，会表示定义域，了解二 元极限、连续
2.深刻理解二元函数偏导数，能熟练求出一阶和高 阶偏导数， 3.掌握全微分概念
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多元函数的定义域
5.有界区域（无界区域）：如果一个区域可以被包含在 一个以原点为圆心，适当长为半径的圆内，否则为无解 区域 6.内点：开区域内的点 7.边界点：边界上的点 8.区域的表示：与用区间表示不定式一样，区域也可以 用不等式或不等式组表示
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多元函数的定义域
例如开区域: {( x , y ) 1 x 2 y 2 4},
lim f ( x , y ) A
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二元函数的极限
说明 （1）定义中 P P0 的方式可能是多种多样的，方 向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限 存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和 任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。—— 这是产生本质差异的根本原因。
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二元函数的几何意义
例如，x 2 y 2 z 2 a 2 表示 的曲面为球心在原点，半径 为a的球面（见右图）
o
y
z
而z a 2 x 2 y 2 表示 的为上半球面 z a 2 x 2 y 2 表示 的是下半球面
x
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二元函数的极限
二元函数的极限定义
设函数z f ( x, y )在点p0 ( x0 , y0 )的某一领域内有定义
二元函数在点( x0 , y0 )所取得的函数值记为
z
x x0 y y0
,z
( x0 , y0 )
或 f ( x 0 , y0 )
1 1 y
2
例1 设z cos( xy )
解，z
，求z
1 1 12
( ,1)
( ,1)
cos( 1)
2 1 2
8
多元函数的概念、定义域