常用的一些矢量运算公式

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向量的基本运算公式大全

向量的基本运算公式大全下面是向量的基本运算公式大全：1.向量加法：o a + b = b + a（交换律）o(a + b) + c = a + (b + c)（结合律）2.向量减法：o a - b = a + (-b)3.向量数量乘法：o ka = ak（交换律，其中k是标量）o(kl)a = k(la)（结合律）4.零向量：o a + 0 = ao a + (-a) = 05.向量点乘（内积）：o a·b = b·a（交换律）o(ka)·b = k(a·b) = a·(kb)（分配律）o a·(b + c) = a·b + a·c（分配律）6.向量叉乘（外积）：o a×b = -(b×a)（反对称性）o a×(b + c) = a×b + a×c（分配律）o(ka)×b = k(a×b) = a×(kb)（分配律）7.向量混合积：o a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b)8.长度（模）：o||a|| = √(a·a)9.单位向量：o一个向量除以其长度得到单位向量： a/||a||10.平行和垂直：o两个向量平行：a与b平行，当且仅当存在标量k，使得a = kb或b = ka。

o两个向量垂直：a与b垂直，当且仅当a·b = 0。

这些是向量的基本运算公式，它们形成了向量运算的基础，可以用于解决向量计算和几何问题。

需要注意的是，这些公式适用于向量的二维、三维或更高维度空间。

具体运用时，根据具体的向量运算要求和问题，选择合适的公式和运算规则。

大学物理矢量运算公式(一)2024

大学物理矢量运算公式（一）引言概述:
大学物理中，矢量运算是一门重要的基础课程。

矢量运算公式是在处理矢量量的运算过程中所使用的关键工具。

本文将介绍大学物理矢量运算公式的一些基本概念和常见公式，以帮助读者更好地理解和应用矢量运算。

正文内容:
一、矢量的表示和性质
1. 矢量的定义和表示方法
2. 矢量的加法和减法运算
3. 矢量的数量积和矢量积定义及其性质
4. 矢量的分解和合成
5. 矢量的单位化和模长计算
二、矢量的坐标表示
1. 直角坐标系和矢量的坐标表示
2. 极坐标系和矢量的坐标表示
3. 球坐标系和矢量的坐标表示
三、矢量的运算公式
1. 矢量的加法和减法公式
2. 矢量的数量积公式和性质
3. 矢量的矢量积公式和性质
4. 矢量的混合积公式和性质
5. 矢量的分解和合成公式
四、应用举例
1. 矢量运算在力学中的应用
2. 矢量运算在电磁学中的应用
3. 矢量运算在波动学中的应用
4. 矢量运算在光学中的应用
5. 矢量运算在热学中的应用
五、矢量运算的常见错误和注意事项
1. 矢量运算中常见的错误类型
2. 矢量运算中需要注意的细节
3. 矢量运算的常见问题及解答
4. 矢量运算的常见应用技巧
5. 矢量运算的进一步深入学习建议
总结:
本文概述了大学物理矢量运算公式的基本概念和常见公式，包括矢量的表示和性质、矢量的坐标表示、矢量的运算公式、应用举例以及矢量运算的常见错误和注意事项。

矢量运算公式在物理学中有着广泛的应用，通过学习和掌握这些公式，读者可以更好地理解和应用矢量运算。

对于进一步深入学习，本文还提出了建议。

矢量运算公式范文

矢量运算公式范文矢量运算是对矢量进行运算的数学方法，包括矢量的加法、减法、数与矢量的乘法（数量积）、矢量与矢量的乘法（矢量积）等。

在物理学、工程学、计算机图形学等领域中，矢量运算被广泛应用。

下面将介绍一些常见的矢量运算公式：一、矢量的加法和减法：矢量的加法：对于两个矢量A和B，它们的加法可以表示为：C=A+B加法满足交换律：A+B=B+A加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)矢量的减法：对于两个矢量A和B，它们的减法可以表示为：C=A-B减法可以看作加法的反向操作：A-B=A+(-B)其中，-B表示B的反向矢量，即将B的大小保持不变，方向取反。

二、数与矢量的乘法（数量积）：数与矢量的乘法是将一个数与一个矢量各分量相乘。

假设有一个矢量A和一个数k，则数与矢量的乘法可以表示为：B=kA乘法满足交换律：kA=Ak乘法满足结合律：(kl)A = k(lA)三、矢量与矢量的乘法（矢量积）：矢量与矢量的乘法有两种形式，一种是叉乘（也称为矢量积或外积），另一种是点乘（也称为数量积或内积）。

1.叉乘：对于两个矢量A和B，它们的叉乘可以表示为：C=A×B矢量的叉乘满足右手法则：-若A和B的夹角θ小于180度，则C的方向垂直于A和B的平面，且由右手握住旋转方向由A转向B；-若A和B的夹角θ大于180度，则C的方向垂直于A和B的平面，且由右手握住旋转方向由B转向A；-若A和B的夹角θ等于180度，则C等于0。

2.点乘：对于两个矢量A和B，它们的点乘可以表示为：C=A•B点乘的结果是一个标量。

点乘的计算方法有两种：-一种是将两个矢量的各分量分别相乘，然后相加：C=A₁*B₁+A₂*B₂+...+An*Bn- 另一种是使用矢量的模和夹角公式：C = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，表示矢量A的模，B，表示矢量B的模，θ表示A和B的夹角。

以上是矢量运算的一些基本公式，它们在物理学、工程学和计算机图形学中都有广泛的应用。

矢量的乘法

矢量的乘法
矢量的乘法可以分为两种情况：数量积（又称点乘）和向量积（又称叉乘）。

1. 数量积（点乘）：
数量积是两个矢量相乘得到一个标量的运算，用符号"."表示。

对于两个矢量a和b的数量积，可以表示为a·b。

计算公式为：a·b = |a| |b| cosθ
其中，|a|和|b|分别表示矢量a和b的模长，θ表示两个矢量之
间的夹角。

2. 向量积（叉乘）：
向量积是两个矢量相乘得到一个新矢量的运算，用符号"×"表示。

对于两个矢量a和b的向量积，可以表示为a×b。

计算公
式为：
a×b = |a| |b| sinθ n
其中，|a|和|b|分别表示矢量a和b的模长，θ表示两个矢量之
间的夹角，n为垂直于a和b所在的平面上的单位法向量。

矢量的乘法在物理学和工程学中有广泛的应用，例如力的乘法可以得到力矩，电场强度的乘法可以得到电场感应强度等。

常用矢量公式

常用矢量公式矢量是具有大小和方向的物理量，它在许多领域中都有广泛的应用，包括物理、数学、工程学和计算机科学等等。

在处理矢量运算时，使用一些常用的矢量公式可以使计算更加简便高效。

本文将介绍一些常用的矢量公式，包括向量运算、向量分解和向量积分等等。

1.向量运算(1)向量加法：对于两个矢量A和B，其加法定义为：A+B=(A_x+B_x,A_y+B_y,A_z+B_z)，其中A_x,A_y和A_z分别表示A的x、y和z分量。

(2)向量减法：对于两个矢量A和B，其减法定义为：A-B=(A_x-B_x,A_y-B_y,A_z-B_z)，其中A_x,A_y和A_z分别表示A的x、y和z分量。

(3)向量数乘：对于一个矢量A和一个标量k，其数乘定义为：kA=(kA_x,kA_y,kA_z)，其中A_x,A_y和A_z分别表示A的x、y和z分量。

2.向量分解(1) 向量的投影：对于一个矢量A和一个单位向量u，其投影的大小定义为：A_u = ，A，cosθ，其中，A，表示A的模长，θ表示A与u的夹角。

(2) 向量的分解：对于一个矢量A和一个单位向量u，其分解定义为：A = A_uu + A_⊥，其中A_uu表示A在u方向上的分量，A_⊥表示A在u方向垂直的分量。

3.向量积分(1) 线积分：对于一个曲线C和一个矢量场F，其线积分定义为：∮C F·ds = ∮C (F_xdx + F_ydy + F_zdz)，其中F_x, F_y和F_z分别表示F的x、y和z分量，ds表示曲线C上的元素位移矢量。

(2) 曲面积分：对于一个曲面S和一个矢量场F，其曲面积分定义为：∬S F·dS = ∬S (F_xdS_x + F_ydS_y + F_zdS_z)，其中F_x, F_y和F_z分别表示F的x、y和z分量，dS表示曲面S上的元素面积矢量。

(3) 体积积分：对于一个区域V和一个矢量场F，其体积积分定义为：∭V F·dV = ∭V (F_xdV_x + F_ydV_y + F_zdV_z)，其中F_x, F_y和F_z分别表示F的x、y和z分量，dV表示区域V内的元素体积矢量。

常用的一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式1.三重标量积如a ，b 和c 是三个矢量，组合()a b c⨯∙叫做他们的三重标量积。

三重标量积等于这三个矢量为棱边所作的平行六面体体积。

在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为(),,i j k ，令三个矢量的分量记为()()123123,,,,,a a a a b b b b 及()123,,c c c c 则有()()123123123123123123c c c i jka b c a a a c i cj c k a a a b b b b b b ⨯∙=∙++=因此，三重标量积必有如下关系式：()()()a b c b c a c a b ⨯∙=⨯∙=⨯∙即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。

2.三重矢量积如a ，b 和c 是三个矢量，组合()a b c⨯⨯叫做他们的三重标量积，因有()()()a b c a c b c b a ⨯⨯=-⨯⨯=⨯⨯故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。

三重标量积有一个重要的性质（证略）:()()()a b c a b c a c b⨯⨯=-∙+∙ （1-209）将矢量作重新排列又有：()()()a b c b a c b a c∙=⨯⨯+∙ （1-210）3.算子（a ∇）∇是哈密顿算子，它是一个矢量算子。

（a ∇）则是一个标量算子，将它作用于标量φ，即()a φ∇是φ在a 方向的变化速率的a 倍。

如以无穷小的位置矢量d r代替以上矢量a，则()dr φ∇是φ在位移方向d r的变化率的d r倍，即d φ。

()()d dr dr φφφ=∇=∇若将()dr ∇作用于矢量v，则()dr v∇就是v 再位移方向d r变化率的d r倍，既为速度矢量的全微分()dv d r v=∇ 应用三重矢量积公式（1-209）()()()00()()()()a b a b a b b a a b b a a b ∇⨯⨯=∇⨯⨯+∇⨯⨯=∙∇-∙∇-∇∙+∇∙应用三重矢量积公式（1-210）又有()()()00()()()()a b a b a b a b a b b a b a∇∙=∇∙+∇∙=⨯∇⨯+∇+⨯∇⨯+∇∙将以上两式结合（相减）后可得(){()}1()()()()()2a b a b a b b a a b b a a b ∇=∇∙-∇⨯⨯-⨯∇⨯-⨯∇⨯-∇∙+∇∙ 一个重要的特例，令a b v==，因()0v v ∇⨯⨯=则有21()()2v v v v v ∇=∇-⨯∇⨯ 4.算子∇的应用令φ是标量，a 是矢量，;a b为并矢量，则有00002000()()()()()()()()()()()(;)(;)(;)()()a a a a a a a a a a a a aa b a b a b b a a b φφφφφφφφφφ∇=∇+∇=∇∙+∙∇∇⨯=∇⨯+∇=∇⨯+∇⨯∇⨯∇⨯=∇∇∙-∇∇=∇+∇=∇∙+∙∇在直角坐标中，令2222222()x y z y x zx y zx y za ia ja ka ij k x y z a a a a x y z i jk a x y z a a a x y za a a a x y zφφφφφφφφφ=++∂∂∂∇=++∂∂∂∂∂∂∇∙=++∂∂∂∂∂∂∇⨯=∂∂∂∂∂∂∇=∇∙∇=++∂∂∂∂∂∂∇=++∂∂∂对一组正交曲线坐标系123(,,)εεε，其单位矢量123(,,)e e e ，将任意位置矢量R变分写为111222333R h d e h d e h d e δεεε=++其中123,,h h h 为尺度因子（拉美系数）。

矢量公式

二、标量场的梯度
在两点全微分：
（，方向上的单位矢量）
（为与之间的夹角）
在点方向上导致有无穷多个，其中有一个最大，即
,定义梯度
意义：空间某点上标量场函数的最大变化率，刻画了标量场的空间分
布特征。已知梯度即可求出沿任一方向的方向导致。
等值面：常数的曲面称为等值面。
梯度与等值面的关系：梯度等值面。
7.
8.
9.
10.
证：
6．微分运算
去掉角标。
7．
利用
微分运算
用代替，代替，代替
矢量运算
同样
§6.有关矢量场的一些定理
一、关于散度旋度的四个定理
1.标量场的梯度必为无旋场，即
2.矢量场的旋度必为无散场，即
3.无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。
即若，则，称为无旋场的标势函数。
4.无源场必可表示为某个矢量场的旋度。
为单位并矢，张量的九个基。
矢量与张量的矩阵表示：或
单位张量：
张量运算：
与矢量点乘：
与矢量叉乘：
两Hale Waihona Puke 矢点乘： (并矢)两并矢二次点乘：标量
与单位张量点乘：
课堂练习（15-20分钟）
1．计算
2．求证，与矢量垂直。（求）。
3．计算下列各式：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
（0，，－1，1）
4．证明下列各式：
⑴
⑵
数学准备知识
§1矢量代数
一．矢量定义
（单位矢量）
在坐标系中直角系
方向余弦：
二．矢量运算
加法：交换律
结合律
满足平行四边形法则
标量积：

1.1矢量及其代数运算公式

1.1.4
混合积
u
v w u v w u v w ux vx wx uy vy wy uz ux vz u y wz u z vx vy vz wx wy wz
u
v w v w u w u v v u w u w v w v u
uv v u
规则（3）数乘矢量：矢量u乘实数a仍是同一空间的矢量。分配律：
结合律：
a bu au bu au v au av abu abu
I
线性相关：矢量组ui ( i=1，2，…，I )线性相关，若存在一组不全为零的实数ai( i=1，2，…，I ) ，使得
张量分析及连续介质力学
第 1 章
矢量与张量
1.1 矢量及其代数运算公式
1.1.1 矢量
具有大小和方向且满足一定规则的实体。规则（1）相等：两个矢量具有相同的模和方向。规则（2）矢量和：同一空间中两个矢量之和仍是该空间的矢量。交换律：结合律：
u v w u v w
1.1 uy vy k uz vz
u v u v sinu, v
分配律：二重叉积：结合律不成立：
F u v F u F v
u v w u w v u v w u v w u v w
1.1.2
点积
F v F v cosF , v
Fxvx Fy vy Fz vz
交换律：分配律：正定性：
u v v u
F v u F u F v
uu 0 且 u u 0 当且仅当 u 0
Schwartz不等式：

常用矢量公式

常用矢量公式矢量是物理学中常常用到的工具，它能够表示一个物理量的大小和方向。

在研究物体运动、力学和电磁学等方面，常常需要使用矢量公式。

以下是一些常用的矢量公式。

1.矢量的加法：如果有两个矢量A和B，它们的和矢量C可以通过将两个矢量的对应分量相加得到：C=A+B。

2.矢量的减法：如果有两个矢量A和B，它们的差矢量C可以通过将第二个矢量的对应分量取相反数，再与第一个矢量相加得到：C=A-B。

3.矢量的数量积：两个矢量A和B的数量积可以通过将两个矢量的对应分量乘积相加得到：A·B=AxBx+AyBy+AzBz。

4.矢量的向量积：两个矢量A和B的向量积可以通过以下公式计算：C=A×B,其中C是结果矢量，Ax、Ay和Az是矢量A的分量，Bx、By和Bz是矢量B的分量。

向量积的结果是一个垂直于两个矢量的平面，并且它的大小等于两个矢量张成的平行四边形的面积。

5.矢量的标量三重积：三个矢量A、B和C的标量三重积可以通过以下公式计算：(A×B)·C,其中×表示向量积，·表示数量积。

标量三重积的结果是一个标量，它可以用来计算三个矢量张成的平行六面体的体积。

6.矢量的分解：一个矢量A可以被分解为垂直于另一个矢量B的分量和平行于矢量B的分量。

平行分量可以通过数量积来计算：A\，B=(A·B)B/，B，^2，其中\，表示平行于。

垂直分量可以通过减去平行分量得到：A⊥B=A-A\，B。

7.矢量的模长：一个矢量A的模长可以通过以下公式计算：，A，=√(Ax^2+Ay^2+Az^2)，其中Ax、Ay和Az是矢量A的分量。

8.矢量的单位矢量：一个矢量A的单位矢量可以通过以下公式计算：Ā=A/，A，其中Ā是单位矢量。

9. 矢量的投影：一个矢量A在另一个矢量B上的投影可以通过以下公式计算：Proj_A(B) = (A · Ā)Ā，其中Ā是单位矢量。

10. 矢量的夹角：两个矢量A和B之间的夹角可以通过以下公式计算：cosθ = (A · B)/(，A，B，)，其中θ是夹角。

常用矢量公式

常用矢量公式矢量公式是一种强大的数学工具，可以帮助我们理解和应用多维空间方程。

它不仅可以描述几何形状，而且还可以用来解决许多数学问题。

它有很多用法，以下是几个常用的矢量公式：1. 极坐标变换（Polar Change of Coordinates）：它表示将一组参数坐标系统从极坐标（Polar coordinates）变换到直角坐标系统（Rectangular coordinates），格式为：x = r cos pt, y = r sin pt。

2. 空间向量（Space Vector）：表示由三个不同方向的向量构成的空间向量，格式为：V~ = {vx, vy, vz}。

3. 矢量加法（Vector Addition）：表示对两个向量进行矢量加法运算，格式为：Va + Vb = {va + Vb, Va + Vb, Va + Vb}。

4. 外积（Cross Product）：表示对两个向量进行外积运算，格式为：Va x Vb = {VaxVb, VayVb, VazVb}。

5. 内积（Dot Product）：表示对两个向量进行内积运算，格式为：Va • Vb = VaxVb + VayVb + VazVb。

6. 梯度（Gradient）：表示函数的梯度的矢量方向，格式为：∇f(x) = {df/dx,df/dy,...}。

7. 拉普拉斯算子（Laplacian Operator）：表示二维平面上函数拉普拉斯算子的值，格式为：∇2f = (∂2/∂x2 +∂2/∂y2).8. 散度（Divergence）：表示某些物理多维空间中矢量场的散度，格式为：∇•V = ∂vx/∂x + ∂vy/∂y + ∂vz/∂z。

以上就是矢量公式的一些常用用法，它们可以让我们更容易、更有效地呈现和分析几何形状，并解决多维空间最佳路径等问题。

如果需要更多的矢量公式，可以查阅数学相关书籍，或者找到专门的中文资料。

矢量运算(梯度、散度、旋度)与拉普拉斯算符公式整理

向量算子（nabla ）表示向量微分算子。

】拉普拉斯算符梯度（标量化为矢量）散度（矢量化为标量）旋度（矢量化为矢量）数学解释在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。

标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。

同时也可以求出变化不是最快的那个方向上的倒数，梯度点积该方向上的向量即可。

散度是向量分析中的一个向量算子，将向量空间上的一个向量场（矢量场）对应到一个标量场上。

散度描述的是向量场里一个点是汇聚点还是发源点，形象地说，就是这包含这一点的一个微小体元中的向量是“向外”居多还是“向内”居多。

旋度是向量分析中的一个向量算子，可以表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。

这个向量提供了向量场在这一点的旋转性质。

旋度向量的方向表示向量场在这一点附近旋转度最大的环量的旋转轴，它和向量旋转的方向满足右手定则。

拉普拉斯算子有许多用途，此外也是椭圆型算子中的一个重要例子。

在物理中，常用于波方程的数学模型、热传导方程以及亥姆霍兹方程。

在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见。

在量子力学中，其代表薛定谔方程式中的动能项。

在数学中，经拉普拉斯算子运算为零的函数称为调和函数；拉普拉斯算子是霍奇理论的核心，并且是德拉姆上同调的结果。

物理解释考虑一座高度点的ft 。

这一点的梯度是在该点坡度（或者说斜度）最陡的方向。

梯度的大小告诉我们坡度到底有多陡。

散度是通量的体密度物理上，散度的意义是场的有源性。

某一点或某个区域的散度大于零，表示向量场在这一点或这一区域有新的通量产生，小于零则表示向量场在这一点或区域有通量湮灭。

散度等于零的区域称为无源场或管形场。

就的环量面密度（或称为环量强度）。

旋度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是向量场沿一个闭合曲线的环量。

如果一个向量场中处处的旋度都是零，则称这个场为无旋场或保守场相关概念通环量记法=或三维直角坐标系柱坐标球坐标线性法则乘积法则商法则高斯散度定理：对某一个体积内的散度进行积分，就应该得到这个体积内的总通量。

常用矢量公式范文

常用矢量公式范文矢量公式是向量分析中常用的数学工具，主要用于描述和求解向量场的性质和运算。

下面是一些常用的矢量公式及其应用：1. 格林公式（Green's Theorem）：格林公式是一个基本的矢量公式，描述了平面区域上的环量和面积积分之间的关系。

设F=Pi+Qj是一个连续可微的二维向量场，S是一个闭合的简单曲线围成的平面区域，n是曲线S的单位法向量，则根据格林公式有：∮(Pdx + Qdy) = ∬(∂Q/∂x - ∂P/∂y)dA这个公式在电磁学、流体力学等领域中有广泛的应用。

2. 斯托克斯定理（Stokes' Theorem）：斯托克斯定理是格林公式的推广，描述了曲面上的环量和曲面积分之间的关系。

设F=Pi+Qj+Rk是一个连续可微的三维向量场，S是一个有向曲面，n 是曲面S的单位法向量，则根据斯托克斯定理有：∮(F·dr) = ∬(∇×F)·dS这个公式在电磁学、流体力学、几何学等领域中有广泛的应用。

3. 散度定理（Divergence Theorem）：散度定理描述了对空间中一个闭合曲面的矢量场的散度和该矢量场的体积积分之间的关系。

设F=Pi+Qj+Rk是一个连续可微的三维向量场，V是一个有界闭区域，S是该闭区域的边界曲面，n是曲面S的单位法向量，则根据散度定理有：∬(F·dS)=∭(∇·F)dV这个公式在电磁学、流体力学、热力学等领域中有广泛的应用。

4. 梯度公式（Gradient Formula）：梯度公式描述了标量函数在空间中的梯度与函数值的关系。

设u是一个具有连续的一阶偏导数的标量函数，grad u是该标量函数的梯度，则根据梯度公式有：f(x,y,z)=u(x,y,z)∇f=(∂u/∂x)i+(∂u/∂y)j+(∂u/∂z)k这个公式在几何学、热力学、量子力学等领域中有广泛的应用。

5. 矢量恒等式（Vector Identity）：矢量恒等式是一组用于简化矢量场运算的公式集合，它包括了一些常用的矢量运算规则。

常用的一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式矢量运算是研究矢量的数学运算方法和规律的一个分支。

在物理学、工程学和计算机图形学等领域，矢量运算经常被用于描述和计算各种物理量。

以下是一些常用的矢量运算公式。

1.矢量加法矢量加法是指两个矢量相加得到一个新的矢量。

设两个矢量A和B，它们的坐标分别为(A1,A2,A3)和(B1,B2,B3)，则它们的矢量和C的坐标为(C1,C2,C3)。

矢量加法公式为：C=A+B=(A1+B1,A2+B2,A3+B3)2.矢量减法矢量减法是指一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量。

设两个矢量A和B，它们的坐标分别为(A1,A2,A3)和(B1,B2,B3)，则它们的矢量差C的坐标为(C1,C2,C3)。

矢量减法公式为：C=A-B=(A1-B1,A2-B2,A3-B3)3.点乘点乘是指两个矢量之间的乘积得到一个标量。

设两个矢量A和B，它们的坐标分别为(A1,A2,A3)和(B1,B2,B3)，则它们的点乘结果为：A·B=A1B1+A2B2+A3B34.叉乘叉乘是指两个矢量之间的乘积得到一个新的矢量。

设两个矢量A和B，它们的坐标分别为(A1,A2,A3)和(B1,B2,B3)，则它们的叉乘结果为：A×B=(A2B3-A3B2,A3B1-A1B3,A1B2-A2B1)5.矢量模长矢量的模长表示向量的长度或大小。

设一个矢量A，它的坐标为(A1,A2,A3)，则它的模长结果为：A，=√(A1^2+A2^2+A3^2)6.单位矢量单位矢量是模长为1的矢量，通常用于表示方向。

设一个非零矢量A，它的坐标为(A1,A2,A3)，则它的单位矢量U的坐标为：U=A/，A，=(A1/，A，,A2/，A，,A3/，A，)7.矢量投影矢量投影是指一个矢量在另一个矢量上的投影，得到一个与原矢量垂直的新矢量。

设一个矢量A投影到B上的矢量为C，则矢量C的坐标为：C=(A·B/，B，^2)B8.向量夹角向量夹角是指两个矢量之间的夹角。

矢量微分运算公式汇总

=
Ar
∂Br ∂r
+
Aφ r
∂Br ∂φ
+
Az
∂Br ∂z
−
Aφ Bφ r
(A · ∇B)φ
=
Ar
∂Bφ ∂r
+
Aφ r
∂Bφ ∂φ
+
Az
∂Bφ ∂z
+
Aφ Br r
(A · ∇B)z
=
Ar
∂Bz ∂r
+
Aφ r
∂Bz ∂φ
+
Az
∂Bz ∂z
Divergence of a tensor
(∇ · T )r
(18) (∇·T )i = j (∂Tji/∂xj )
[This deﬁnition is required for consistency with Eq. (29)]. In general (19) ∇ · (AB) = (∇ · A)B + (A · ∇)B
(20) ∇ · (f T ) = ∇f ·T +f ∇·T
2 cos θ r2 sin2 θ
∂Aφ ∂φ
(∇2 A)φ
= ∇2Aφ −
Aφ r2 sin2 θ
+
2 r2 sin θ
∂Ar ∂φ
+
2 cos θ r2 sin2 θ
∂Aθ ∂φ
8
Components of (A · ∇)B
(A · ∇B)r
=
Ar
∂Br ∂r
+
Aθ r
∂Br ∂θ
+
Aφ r sin θ
If e1, e2, e3 are orthonormal unit vectors, a second-order tensor T can be

三个矢量叉乘运算法则

三个矢量叉乘运算法则
a×（b×c）=b(a·c)-c（a·b），套入公式，所以r×（ω×r）=ωr^2-r(ω·r)
拉格朗日公式：a × (b × c) = b（a·c）− c（a·b）
二重向量叉乘化简公式及证明，可以简单地记成“BAC-CAB”。

这个公式在物理上简化向量运算非常有效。

需要注意的是，这个公式对微分算子不成立。

这里给出一个和梯度相关的一个情形；这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。

扩展资料
运算法则：
1、反交换律：a×b=-b×a
2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。

3、与标量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。

4、不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。

5、分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。

6、两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。

常用的一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式个矢量为棱边所作的平行六面体体积。

在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为i,j,k,令三个矢量的分量记为a a1,a2,a3 ,b b1,b2,b 3及C c1,c2,c 3则有I I L一（a 乂b ）∙c = （b 乂 c ）∙a = （c ×: a ⅛∙b因此，三重标量积必有如下关系式：即有循环法则成立,这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。

2.三重矢量积4 4 4如a ，b 和C 是三个矢量，组合a （b C ）应用三重矢量积公式（1-210）又有、、a 第「… 、a.b θ J C b ）（a 、）b b c I c 需a 将以上两式结合（相减）后可得（a.）b=1、a;」、a b -b C a ）_a C ；）-：「■麗）：c 肮1.三重标量积如a , b 和C 是三个矢量，组合a b *c叫做他们的三重标量积。

三重标量积等于这三卑k! I Ic 1c 2c3■* 4 ÷(a=<b )∙c = a 1a 2a 3 ∙(Gi +C 2 j +C 3k )=b ∣b 2bb ∣b 2b叫做他们的三重标量积，因有彳a X *b)*9*b)*(c故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时, 二重标量积符号才改变。

三重标量积有一个重要的性质（证略）a (b c) - -(a *b)c 亠〔a *c b (1-209) 将矢量作重新排列又有:ab∙c=b aci7b∙ac(1-210)",即a,则（dr'）是在位移方向dr 的变化率的dr 倍，即d I=(dr') = dr '若将"）作用于矢量V ，则（dr '）v就是V 再位移方向dr 变化率的dr 倍，既为速度矢量dv =（dr 京 V的全微分应用三矢量积公式1-209)W- (a 5(a^b 0(a 0江 b ) = (b N)a — (a ∙V)b —b (可∙a) +a(^ *b)一个重要的特例，令 1a =b=v ，因' VV =O 则有H 存-V C V)在直角坐标中,^ia X ja y Za ∙^r,k +… ,4cΦ G Φ B *C Φ -i —— j —— k —— :X ；y √z'•、、订=旦旦旦CXCyGZH÷ 1ijk0r ∖ .∙~∙. IC C-X .:y ；：za x a y az'、a =：2 ' ：2| =\、•(▽«)CX Cy・L 、L 、L 、⅛ C -L C+ Ca -a xa ya z -:X :y:Z：：2 '■.∙z对一组正交曲线坐标系1, 2, ^）,其单位矢量,e2,eJ ）,将任意位置矢量 R变分写为、R = h l d 1e l h 2d ；2e 2 h 3d；3eh 1,h 2,h 36 R = dxi 十 dx i +dxk其中为尺度因子（拉美系数）。

矢量叠加通用公式

矢量叠加通用公式矢量相加减的公式是设A(X1，Y1)B(X2，Y2)，则A+B=（X1+X2，Y1+Y2），A-B=（X1-X2，Y1-Y2）。

矢量是一种既有大小又有方向的量，又称为向量。

一般来说，在物理学中称作矢量，例如速度、加速度、力等等就是这样的量。

舍弃实际含义，就抽象为数学中的概念──向量。

矢量是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念，指一个同时具有大小和方向的几何对象，因常以箭头符号标示以区别于其它量而得名。

直观上，矢量通常被标示为一个带箭头的线段。

线段的长度可以表示矢量的大小，而矢量的方向也就是箭头所指的方向。

向量的加法：ab+bc=ac 设a=（x,y） b=(x',y')则a+b=(x+x',y+y') 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量加法的性质：交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) a+0=0+a=a 2、向量的减法ab-ac=cba-b=(x-x',y-y') 若a//b则a=eb则xy`-x`y=0 若a垂直b则ab=0则xx`+yy`=03、向量的乘法设a=（x,x'） b=(y,y')a·b(点积）=x·x'+y·y'矢量与张量常用公式的证明并矢的常用公式有K K K K K K（1）∇⋅(AB ) =(∇⋅A ) B +(A ⋅∇) BK K K K K K（2）∇×(AB ) =(∇×A ) B −(A ×∇) B，有设S 为区域Ω的边界曲面，n 为S 的法向单位矢量（由内指向外）K K K K K（3）v ∫S d S ⋅(AB ) =∫Ωd V ∇⋅(AB )K K K（4）v ∫S d S ×A =∫Ωd V ∇×AK（5）v ∫S d S u =∫Ωd V ∇uK K K K K（6）v ∫S d S ×(AB ) =∫Ωd V ∇×(AB )K K K（7）v ∫d S A =∫d V ∇ASΩ设L 为曲面S 的边界，L 的方向与S 的法线方向成右手螺旋关系，有K K（8）v ∫d l u =∫d S ×∇uLK ∂K，e k 说明：以下的证明都是在直角坐标系下进行的，在直角坐标系下，∇=e k∂x k ∂∂K为常矢量，可放在前或后。

矢量运算公式大全

矢量运算公式大全一、矢量加法。

1. 平行四边形法则。

- 对于两个矢量→A和→B，以这两个矢量为邻边作平行四边形，那么它们的合矢量→C=→A+→B就是平行四边形的对角线（以→A和→B的起点为共同起点的那条对角线）。

- 设→A=(A_x,A_y)，→B=(B_x,B_y)，则→C=→A+→B=(A_x + B_x,A_y +B_y)（在直角坐标系下）。

2. 三角形法则。

- 把两个矢量首尾相接，从第一个矢量的起点指向第二个矢量的终点的矢量就是这两个矢量的和矢量。

即→C=→A+→B，先画→A，再从→A的终点开始画→B，→C就是从→A的起点指向→B的终点的矢量。

- 在空间直角坐标系中，如果→A=(A_x,A_y,A_z)，→B=(B_x,B_y,B_z)，那么→C=→A+→B=(A_x + B_x,A_y + B_y,A_z + B_z)。

二、矢量减法。

1. 定义。

- 矢量减法是矢量加法的逆运算，→A-→B=→A+(-→B)，其中-→B是→B的反矢量，其大小与→B相同，方向相反。

2. 三角形法则。

- 同样可以用三角形法则来计算矢量减法。

把→A和-→B首尾相接，从-→B 的起点指向→A的终点的矢量就是→A-→B。

- 在直角坐标系下，如果→A=(A_x,A_y,A_z)，→B=(B_x,B_y,B_z)，则→A-→B=(A_x - B_x,A_y - B_y,A_z - B_z)。

三、矢量的数乘。

1. 定义。

- 设→A是一个矢量，k是一个实数（标量），则k→A是一个矢量，其大小| k→A|=| k||→A|。

- 当k>0时，k→A与→A方向相同；当k < 0时，k→A与→A方向相反；当k = 0时，k→A=→0。

2. 在直角坐标系中的表示。

- 如果→A=(A_x,A_y,A_z)，那么k→A=(kA_x,kA_y,kA_z)。

四、矢量的点积（数量积）1. 定义。

- 对于两个矢量→A和→B，它们的点积→A·→B=|→A||→B|cosθ，其中θ是→A和→B之间的夹角(0≤slantθ≤slantπ)。

矢量的运算法则

含义：标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积。
h BC
A C

B
工程电磁场
V A (BC) C (A B) B (C A)
注意：先后轮换次序。推论：三个非零矢量共面的条件。
h BC
A C

A(BC) 0
B
在直角坐标系中：
aˆx aˆy aˆz
求： r4 ar1 br2 cr3 中的标量 a、b、c。
解： 3aˆx 2aˆy 5aˆz a(2aˆx aˆy aˆz ) b(aˆx 3aˆy 2aˆz ) c(2aˆx aˆy 3aˆz ) (2a b 2c)aˆx (a 3b c)aˆy (a 2b 3c)aˆz
aˆn

A B A B
aˆx aˆy aˆz A B 2 6 3 15aˆx 10aˆy 30aˆz
4 3 1
| A B | 152 (10)2 302 35
aˆn

1 7
(3aˆx

2aˆ y

6aˆz
)
工程电磁场
例3：已知A点和B点对于原点的位置矢量为 a 和 b ，
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即
aˆx aˆy 0, aˆx aˆx 1, 有两矢量点积：
aˆx aˆz 0, aˆy aˆy 1,
aˆy aˆz 0 aˆz aˆz 1
A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )