常用的一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式

1.三重标量积

如a r ，b r 和c r

是三个矢量，组合

()

a b c

⨯•r r r 叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三

个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为

(

),,i j k

r r r ，令三个矢量的分量记为

()()

123123,,,,,a a a a b b b b r r

及

()

123,,c c c c r

则有

(

)()

123123123123

123123

c c c i jk

a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ⨯•=•++=rr r

r r r r r r

因此，三重标量积必有如下关系式：

(

)()()

a b c b c a c a b

⨯•=⨯•=⨯•r r r r r r r r r

即有循环法则成立，

这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。

2.三重矢量积

如a r ，b r 和c r

是三个矢量，组合

()

a b c

⨯⨯r r r 叫做他们的三重标量积，因有

()()()a b c a c b c b a ⨯⨯=-⨯⨯=⨯⨯r r r r r r r r r

故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:()

()()a b c a b c a c b

⨯⨯=-•+•r r r r r r r r r （1-209）

将矢量作重新排列又有：()()()

a b c b a c b a c

•=⨯⨯+•r r r r r r r r r （1-210）

3.算子（

a ∇

r ）

∇

是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（

a ∇

r

）则是一个标量算子，将它作用于标量φ

，即

()a φ∇r

是φ在a

r 方向的变化速率的a

倍。如以无穷小的位置矢量

d r

r 代替以上矢量a

r ，则

()dr φ

∇r 是φ

在位移方向

d r

r 的变化率的

d r

r 倍，即

d φ

。

()

()d dr dr φφφ=∇=∇r r

若将

()dr ∇r 作用于矢量v r ，则

()dr v

∇r r 就是v r 再位移方向

d r

r

变化率的

d r

r 倍，既为速度矢量

的全微分()

dv dr v

=∇r 应

用三

重

矢

量

积

公

式

（

1-209

）

()()()

00()()()()

a b a b a b b a a b b a a b ∇⨯⨯=∇⨯⨯+∇⨯⨯=•∇-•∇-∇•+∇•r r r u u r u u r r r r r r r r r r

应用三重矢量积公式（1-210）又有

()()()

00()()()()a b a b a b a b a b b a b a

∇•=∇•+∇•=⨯∇⨯+∇+⨯∇⨯+∇•r r r r r u u r r r r r r r r r

将以上两式结合（相减）后可得

()

{()}

1()()()()()

2

a b a b a b b a a b b a a b ∇=∇•-∇⨯⨯-⨯∇⨯-⨯∇⨯-∇•+∇•r r r r r r r r r r r r r r 一个重要的特例，令a b v ==r r r ，因()

0v v ∇⨯⨯=r r 则有21()()

2

v v v v v ∇=∇-⨯∇⨯r r r r

4.算子∇

的应用

令φ是标量，a r 是矢量，;a b

r r 为并矢量，则有

00002

000()()()()()

()()()()

()()(;)(;)(;)()()a a a a a a a a a a a a a a b a b a b b a a b φφφφφφφφφφ∇=∇+∇=∇•+•∇∇⨯=∇⨯+∇=∇⨯+∇⨯∇⨯∇⨯=∇∇•-∇∇=∇+∇=∇•+•∇r r r r r

r r r r r r r r r r u u r u u r u u r r r r r r

在直角坐标中，令

2222

222

()x y z

y x z

x y z

x y z

a ia ja ka i j k

x y z a a a a x y z i jk a x y z a a a x y z

a a a a x y z

φφφφφφφφφ=++∂∂∂∇=++∂∂∂∂∂∂∇•=++∂∂∂∂∂∂∇⨯=

∂∂∂∂∂∂∇=∇•∇=++∂∂∂∂∂∂∇=++∂∂∂r r r r r r r r rr r r r

对一组正交曲线坐标系

123(,,)

εεε，其单位矢量123(,,)

e e e ，将任意位置矢量

R

u r

变分写为

111222333

R h d e h d e h d e δεεε=++u r

其中

123

,,h h h 为尺度因子（拉美系数）。因在直角坐标中，

R dxi dx j dxk

δ=++u r r r r

，所以

1231h h h ===。在柱坐标

(,,)

r z ϕ中，因

r z

R dre rd e dze ϕδφ=++u r u u r u r ，所以1321,h h h r

===。在球坐标

(,,)

r θϕ中，因

sin r R dre rd e r e θθ

δθθ=++u r u u r u u r ，所以