矢量势理论

F 是任意的矢量，定义
,
，两式相减有
由矢量的定义，有 所以有
，或者
将
代入 Maxwell 方程
有
有
使
，则有
，
个人观点 磁矢量势电磁场学习中最基本的一个矢量定义，由电磁场导出的Lorentz规 范和Coulomb规范在以后的学习中有很重要的作用。 Lorentz规范： 由矢量分析知，任一标量场梯度的旋度恒等于零，那么若规定另一个矢量磁
一个显式，第30卷第2期，2011年2月。 [4]、汤井田 任政勇 化希瑞，Coulomb规范下地电磁场的自适应有限元模拟的理
论分析，地球物理学报，2007年5期。 [5]、张民仓 王振邦，Manning-Rosen标量势与矢量势的Klein-Gordon方程和Dirac
方程的束缚态，物理学报，2006年2期。 [6]、姚进 李洪 曹成才 王强，基于矢量势场法的机器人足球路径规划，四川大
Coulomb规范 在电磁场的规范变换中，还有Coulomb规范。此时，规定
即
，上式称为Coulomb条件。那么，由式
的散度为零，
得知，矢量位
以及标量位 满足的微分方程为
对于前述规范变换，若要求变换后的矢量位
也满足Coulomb条件，则
这种规范称为Coulomb规范。 参考文献 [1]、谢处方、饶克谨，电磁场与电磁波，北京：高等教育出版社，2006年。 [2]、杨儒贵、高等电磁理论，北京：高等教育出版社，2008年。 [3]、李庚伟、大学物理，在时谐电磁场中用矢量势A直接表达电场强度E的
系
中
，
,故式（1）可表示为
由于 、
均为常矢量，故上式可分解为三个分量的泊松方程，即
（2） 式（2）所示的三个分量泊松方程与静电位 的泊松方程形式相同，可以确认 它们的求解方法和所得到的解的形式也应相同，故可参照点位 的形式直接写出
将以上三个分量叠加即得磁失位泊松方程的解
上式中得 同样可以写出
为常矢量，它的存在不会影响 B。
学学报，2006年2期。
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矢量势理论
矢量势的基本理论 （1）、磁矢量势 A 利用磁场的无散度特征（▽·B=0），用一矢量的旋度▽×A 来计算磁感应强 度 B，这是因为一个矢量的旋度再取散度恒等于零，即▽·（▽×A）=0，而▽·B=0， 故令
B=▽×A 式中的 A 为矢量磁位，或称磁失位，单位是 T·m（特斯拉·米），它是一个 辅助矢量。 根据亥姆霍兹定理，要惟一地确定一个矢量必须同时给出它的旋度和散度。 因此，要惟一确定磁失位 A，必须对 A 的散度做一个规定。对于恒定磁场，一般 规定
规定标量电位
与矢量磁位
之间的关系满足Lorentz条件，若要
求经过上述规范变换后的位函数 与
之间满足Lorentz条件，即
则这种规范变换称为Lorentz规范。但是，满足Lorentz规范的规范函数 不是任意的，它应满足一定的条件。由于
可见，为了使 与
之间满足Lorentz条件，必须要求规范函数
满足齐次标量Helmholtz方程，即
位
为
①
式中
为任何一个可微的标量函数。将上式代入
②
③ 得
④
⑤
由此可见，若规定另一个标量电位
为
⑥ 则式⑤变为
⑦
变换式①以及式⑥称为规范变换，标量函数
称为规范函数，由于
是任意一个可微函数，因此，标量电位以及矢量磁位不是唯一的。将式
④以及式⑦与式②和式③比较可见，在上述规范变换下，电磁场量与位函数之间 的管事保持不变，这种特性称为规范不变性。
▽·A=0 并称这种规定为 Coulomb Gauge。在这种规范下，磁失位 A 就被惟一确定。
在均匀、线性和各向同性的磁介质中，将
代入▽×
H=J，得
又利用矢量恒等式
和库仑规范▽·A=0，
得到
（1）
上式称为磁失位 A 的泊松方程。在无源区域（J=0），有
上式称为磁失位 A 的拉普拉斯方程。
在
直
角
坐
标
可见，电流元产生的磁失位 dA 是与电流元矢量平行的矢量，这是引入磁矢 位的优点之一。
根据恒定磁场在不同煤质分界面上得边界条件
以及 B=▽×A，可得到不同煤质分界面上得磁失位 A 的边界条件为
（2）、矢量势 A 的计算
因为 B＝▽Χ A，代入
,得
，
）=0
因为▽Χ(▽φ )=0，所以令
，故有，
，
上式左右两边取散度后有
。
因为 B＝▽Χ A，代入▽×H＝J+jωμεE，有▽×▽×A=μJ+jωεμE ，
利用公式
，有
如果取
在频域， 满足，下列方程
称为 Lorentz 规范，相应的矢势和标势
在频域里：
如果对时间的导数为零，即回到静场： 则
在时变场中ρ，A 都是与时间有关的函数。 （3）、矢量势 F 对于电位移 D，在无源场中，D 是个无散场，所以又 divD=0 又因为