概率论第二章习题解答(全)

概率论第二章习题

1考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。

解设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010；0.9988，于是得分布律为

X

20（万）5万0x

p 0.0002

0.0010

0.9988

2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律

（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。解（1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法：

3554

1021

C ⋅=

=⋅，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为

2

2335511

{3}10

C P X C C ====

若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4；2，3，4共3种取法，

其概率为23335533

{4}10

C P X C C ====

若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法其概率为

25335566

{5}10

C P X C C ====

一般地35

21

)(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量

X 的分布律为

X 345

x

p 101103610

（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，则样本点为

S ＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件，X 的取值为1,2，3,4，5,6，

最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），

11

{1}36P X ==

；最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3），

9{2}36

P X ==

；最小点数为3的共有7种，7

{3}36P X ==；最小点数为4的共有5种，5

{4}36P X ==；

最小点数为5的共有3种，3

{5}36P X ==；

最小点数为6的共有1种，1

{6}36

P X ==

于是其分布律为

X 123456

k

p 1136936736536336136

3设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品的次数，

（1）求X 的分布律；（2）画出分布律的图形。

解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下，

从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：3

15151413P =⨯⨯，其概率为

若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为3

13131211P =⨯⨯其概率为

13121122

{0}15141335

p X ⨯⨯==

=

⨯⨯若取到的次品数为1，即有1次取正品，2次取到次品，其取法为

1123213321312

C C P =⨯⨯⨯

其概率为

32131212

{1}15141335

p X ⨯⨯⨯==

=

⨯⨯若取到的次品数为2，，其概率为

22121

{2}1{0}{1}1353535

p X p X p X ==-=-==-

-=。于是其分布律为

X

1

2

x

p 22

351235135

（2）分布律图形略。4

进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p ，失败的概率为1q p

=-（01p <<），

（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需要的试验次数，求X 的分布律。（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。）。（2）将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需要的试验次数，求Y 的分布律。（此时称Y 服从以r ，p 为参数的巴斯卡分布或负二项分布。）

解（1）X 的取值为1,2,,,n ，对每次试验而言，其概率或为1，或为q 所以其分布律为

X 1234…n …

k

p p qp 2q p 3q p …1n q p -…

(2)Y 的取值为,1,,,r r n + ，对每次试验而言，其概率或为1，或为q 所以其分布律为

Y r 1

r +2r +…r k

+…k

p r

p 11r

r C qp

+222r

r C q p +…

k k r

r k C q p +…

5.一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞

往了房间，它只能从开着的窗子飞出去，鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。

（1）以X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X 的分布律。

（2）户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以