概率论第五章习题解答(全)

X
i 1
i
0.5 5000
5000 0.1
10 } 50
1 (
10 ) 1 (1.414) ＝1－0.9207＝0.0793。 7.07
5、有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m，现从这批木柱中随机地取 100 根，求其中至少有 30 要短于 3m 的概率。 解 把从这批木柱中随机地取一根看作一次试验，并假定各次试验相互独立，在 100 次试验中长度不小于 3m 的根数记作 X ，则 X 是随机变量 X ，且 X b(100, 0.8) ， 其分布律为
2\（1）一保险公司有 10000 个汽车保险投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为 280 美 元，标准差为 800 美元，求索赔总金额不超过 2700000 美元的概率； （2）一公司有 50 张签约保险单，每张保险单的索赔金额为 X i ， i 1, 2, ,50 （以千美元 计）服从韦布尔分布，均值 E ( X i ) 5 ，方差 D ( X i ) 6 求 50 张保险单索赔的合计总金额 大于 300 的概率。 解 （1）设每个投保人索赔金额为 X i ， i 1, 2, ,10000 ，则索赔总金额为 X 又 E ( X i ) 280 ， D ( X i ) 800 ，所以，
以 X 表示总收入，即 X
300 i 1
X
i 1
300 i 1
300
i
，由独立同分布中心极限定理，得
X i 300 1.29
300 0.0489

X
i
387 N (387,14.67)
14.67
则收入超过 400 元的概率为
P{ X i 400} 1 P{ X i 400}
2 2
X
i 1
16
i
，
于是随机变量
Z
Xi n
i 1
16
2 n

X
i 1
16
i
1600
10000 16
X 1600 近似的服从 N (0,1) 400
P{ X 1920} P{
X 1600 1920 1600 X 1600 } P{ 0.8} 400 400 400 X 1600 1 P{ 0.8} 1 (0.8) ＝ 1 0.7881 0.2119 . 400
售出价格为 1.2 元的蛋糕多于 60 只的概率为
P{Y 60} 1 P{Y 60} Y 60 60 60 1 P{ } 4.8 4.8 1 (0) 1 0.5 0.5
（即有 50%的可能售出 60 只价格为 1.2 元的蛋糕。 ） 8、 （1）一复杂的系统由 100 个相互独立起作用的部件组成，在整个运行过程期间每个部件 损坏的概率为 0.10，为了使整个系统起作用，至少必须有 85 个部件正常工作，求整 个系统起作用的概率。 （2）一个复杂系统由 n 个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠性（即部件正常工 作的概率）为 0.9，且必须至少有 80%的部件正常工作才能使整个系统工作，问 n 至少 为多大时才能使系统的可靠性不低于 0.95。 解 （1）设正常工作的部件数为
1，第i个部件在整个运行期间工作 Xi （ i 0,1, 2, ,100 ） ， 0，第i个部件在整个运行期间损坏
由题设知 X i （ i 0,1, 2, ,100 ）相互独立，且 P{ X i 1} 0.9 ， P{ X i 0} 0.1 ， 设X
X
i 1
（－0.5，0.5）上服从均匀分布，从而
E( X i )
(1)、 记X
1500 i 1
0.5 0.5 (0.5 0.5) 2 1 0 ， D( X i ) 2 12 12
， 由独立同分布的中心定理有
X
i
X 1500 0 X 近似的服从 N (0,1) ， 1 125 1500 12
k P{ X k} C100 0.8k 0.2100 k ， k 0,1, 2, ,100
所求的概率为
P{ X 70}
由德莫弗――拉普拉斯定理可求它的近似值
P{ X 70} P{
X 100 0.8 70 100 0.8 } 100 0.8 0.2 100 0.8 0.2
100
i
， 则 X b(100, 0.9) 。 由德莫弗――拉普拉斯定理知，
X 100 0.9 近 100 0.9 0.1
从而
P{| X | 15} 1 P{| X | 15} 1 P{15 X 15} 1 P{ 15 X 15 } 125 125 125 15 15 ) ( )] 5 5 5 5 3 )) 2(1 (1.34)) 2(1 0.9099) 0.1802 。 5
i 1 i 1
300
300
1 P{
X
i 1
300
i
387
14.67
400 387 } 14.67
1 ( 1 (
400 387 ) 14.67
13 ) 1 (3.39) 3.83 1 0.9997 0.0003 。 （2）以 Y 记 300 只蛋糕中售价为 1.2 元的蛋糕数，于是 Y b(300, 0.2) ， E (Y ) 300 0.2 60 （出售这种蛋糕的平均只数） ， D(Y ) 300 0.2 0.8 4.8 (二项分布的方差)
P{
X 80 10 X 80 5 } P{ } 4 2 16 16
5 1 ( ) 1 0.9938 0.0062 。 2
6、一工人修理一台机器要两个阶段，每一阶段需要时间（小时）服从均值为 0.2 的指数分 布，第二阶段所需要的时间服从均值为 0.3 的指数分布，且与第一阶段独立。现有 20 台机 器需要修理，求他在 8 小时内完成任务的概率。 解 设修理第 i （ i 1, 2, , 20 ）台机器，第一阶段耗时 X i ，第二阶段为 Yi ，则共耗时为
10 ) 1 0.90 n 12
即
(
10 ) 0.95 ，查表得 (1.64) 0.95 n 12
n 443 。
令
10 1.64 ，解得 n 12
即最多可有 443 个数相加，可使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90。 4、 设各零件的重量都是随机变量， 它们相互独立， 且服从相同的分布， 其数学期望为 0.5kg， 圴方为 0.1kg，问 5000 只零件的总重量超过 2510kg 的概率是多少？ 解 设每只零件的重量为 X i ， i 1, 2, ,5000 ，由独立同分布的中心极限定理知
1 [ (
2(1 (
（2） 、记 X 近似地有
X
i 1
n
i
，要使
P{| X | 10} 0.90 ，由独立同分布的中心极限定理，
P{| X | 10} P{10 X 10} P{
10 n 12
X 10 } n n 12 12
2 (
20 台机器需要修理的时间由独立同分布的中心极限定理，20 台机器需要维修的时间可认为 近似地服从正态分布，即
Z
i 1
20
i
E ( Z i )
i 1 20
20

Z
i 1
20
i
20 0.5 N (10, 2.6)
D ( Z i )
i 1 20
20 0.13
而所求概率
Z i X i Yi
已 知因 为 指 数分 布 的数 学 期 望为 ， 方差 ， 即 E ( X i ) 0.2 ， E (Yi ) 0.3 ，
2
D( X i ) 0.22 ， D(Yi ) 0.32 ，又第一阶段和第二阶段是相互独立的，故 E ( Z i ) E ( X i Yi ) E ( X ) E (Y ) 0.2 0.3 0.5 D( Z i ) D( X i Yi ) D( X i ) D(Yi ) 0.22 0.32 0.13
2 10000 i 1
X
i
索赔总金额不超过 2700000 美元的概率

P{ X 2700000} 1` P{ X 270000}
10000
1 P{
X
i 1
i
280 10000
800 100
2700000 2800000 } 80000
10000
1 P{
5000 i 1
X
i
0.5 5000
近似地服从 N (0,1)
5000 0.1
则
P{ X 2510} 1 P{ X 2510}
5000
1 P{
X
i 1
i
0.5 5000
5000 0.1
5000
2510 2500 } 50
1 P{
第五章习题解答
1、据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100h 的指数分布，现随机地取 16 只， 设它们的寿命是相互独立的，求这 16 只元件的寿命的总和 1920h 的概率。 解 设这 16 只元件的寿命为 X i ， i 1, 2, ,16 ，则 X 因为 E ( X i ) 100 ， D ( X i ) 10000
1 P{
50
X
i 1
50
i
50 5
6 50 50 5
300 250 } 300
1 P{
X
i 1
i
6 50
5 } 3
1 P{
X
i 1
50
i
50 5 2.89}
6 50
1 (2.89) 1 0.9981 0.0019
7、一家食品店有三种蛋糕出售，由于出售哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格 是一个随机变量，它取 1 元、1.2 元、1.5 元各个值的概率分别为 0.3，0.2，0.5。若售出 300 只蛋糕， （1）求收入至少 400 元的概率。 （2）求售出价格为 1.2 元的蛋糕多于 60 只的概率。 解 设第 i 格为为 X i （ i 1, 2, ,300 ） ，其分布律
Xi pi
由此得
1
0.3 0.2
1.2
0.5
1.5
E ( X i ) 1 0.3 1.2 0.2 1.5 0.5 1.29 （即平均收入） E ( X 2i ) 1 0.3 1.44 0.2 2.25 0.5 1.713 D( X i ) E ( X 2i ) ( E ( X i )) 2 1.713 (1.29) 2 0.0489
3、计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立， 且在（－0.5，0.5）上服从均匀分布， （1）将 1500 个数相加，问误差总和的绝对值超过 15 的概率是多少？ （2）最多可有几个数相加，使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90？ 解 设每个加数的舍入误差为 X i ， i 1, 2, ,1500 ，由题设知 X i 相互独立同分布，且在
p P{ Z i 0.8} (
i 1
8 10 ) 2.6
(
2 2 ) ( ) (1.24) 1.6125 2.6
1 (1.24) 1 0.8925 0.1075
即不大可能在 8 小时内完成任务。 （因为完成任务的可能性不到 20%）
X
i 1
i
2800000
80000
10 } 8
10000
1 P{
X
i 1
i
2800000 1.25} 近似的服从 N (0,1)
80000
即
P{ X 2700000} 1 (1.25) (1.25) 0.8944
（2） P{ X 300} 1 P{ X 300}